* Dạng 2: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = fx, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị cua hàm số 1 trong các trờng hợp sau: a [r]
(1)đề cơng ôn tập toán chơng I lớp 12 Chuyên đề 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số * Quy tắc xét đồng biến, nghịch biến hàm số y = f(x) 1) Tìm tập xác định 2) Tính đạo hàm y’ = f’(x) 3) Tìm các điểm làm cho y’ = y’ không xác định (giả sử các điểm đó là x 1, x2, xn ) 4) LËp b¶ng biÕn thiªn Chó ý: + S¾p xÕp c¸c ®iÓm x1, x2, xn theo thø tù t¨ng dÇn trªn b¶ng biÕn thiªn + Xét dấu y’ và lu ý, y’ > trên (a; b) thì hàm số đồng biến trên (a; b), y’< trªn (a; b) th× hµm sè nghÞch biÕn trªn (a; b) Bài tập 1: Lập bảng biến thiên tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến các hàm số : a) y = x3 + 3x2 f) y = - x − x 2+ x −1 b) y = 2 x+ g) y = x + 3x – 4x +2 c) y = x3 + x2 – x + h) y = x3 + 3x2 – i) y = -x3 + 3x2 – − x−2 d) y = x +3 j) y = x - x2 + x + e) y= x – 2x - 3 Chuyên đề 2: Cực trị hàm số * Quy t¾c t×m cùc trÞ cña hµm sè y = f(x) 1) Tìm tập xác định 2) Tính đạo hàm y’ = f’(x) 3) Tìm các điểm làm cho y’ = y’ không xác định (giả sử các điểm đó là x 1, x2, xn ) 4) LËp b¶ng biÕn thiªn Chó ý s¾p xÕp c¸c ®iÓm x1, x2, xn theo thø tù t¨ng dÇn trªn b¶ng biÕn thiªn 5) Tõ b¶ng biÕn thiªn suy c¸c ®iÓm cùc trÞ Chú ý: + Đạo hàm y’ đổi dấu từ (-) sang (+) qua x1 thì ta có x1 là điểm cực tiểu x x1 y' y y(x1) + Đạo hàm y’ đổi dấu từ (+) sang (-) qua x1 thì ta có x1 là điểm cực đại x y' x1 + y(x1) - y + Giá trị cực đại là y’(x1) Bµi tËp 1: T×m c¸c ®iÓm cùc trÞ cña c¸c hµm sè sau: a) y = x(x2-3) b) y= x4 – 2x2 + c) y= x4 – x +2 y(x1) chø kh«ng ph¶i lµ d) y = -x3 + 3x2 – e) y = x + 3x2 - 7x – f) y= x4 – 2x2 + Chuyên đề 3: Tiệm cận * Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang hàm số y = ax+ b cx+ d 1) Tiệm cận đứng: Ta tính giới hạn hàm số y = f(x) x 2) TiÖm cËn ngang: Ta tÝnh giíi h¹n cña hµm sè y = f(x) x → x−1 x+3 c) y = ¿ ( ) vµ x → →+∞ vµ x →− ∞ Bài tập 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang các hàm số sau: a) y = +¿ −d c x+3 x −1 −d c − ( ) (2) b) y= 3−2x x+1 d) y = 3−2x 2−x Chuyên đề 4: Khảo sát hàm số * Sơ đồ khảo sát: 1) TX§ 2) Sù biÕn thiªn - ChiÒu biÕn thiªn: + Tính đạo hàm y’ + Tìm các điểm làm y’ = và y’ không xác định + Xét dấu y’ và suy các khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số - Cùc trÞ - Giíi h¹n - B¶ng biÕn thiªn 3) §å thÞ - Giao víi trôc ox, cho y = t×m x - Giao víi trôc oy, cho x = t×m y Nhận xét: Sơ đồ khảo sát tơng ứng các bớc để trình bày bài toán khảo sát hàm số Bài tập 1: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = x3 - 3x2 + g) y = x4 – 2x2 + b) y = x −1 x+ h) y = c) y = x3 + x2 – x + d) y = x+3 x−1 i) y= x3 + x2 x −3 x +1 +x+1 j) y = -x3 + x2 – x + k) y = x4 + 3x2 + l) y = -x3 + 2x2 – x - e) y = x4 – 8x2 + f) y = - x4 + 3x2 + Chuyên đề 5: Tìm GTLN & GTNN hàm số * D¹ng 1: T×m GTLN & GTNN cña hµm sè y = f(x) trªn ®o¹n [ a ; b ] Quy tắc: 1) Tính đạo hàm y’ = f’(x) 2) Tìm các điểm làm cho y’ (giải phơng trình y’ = ) y’ không xác định Giả sử các điểm đó là x 1, x2, xn 3) TÝnh f(a); f(x1); f(x2) … f(xn); f(b) 4) KÕt luËn: So s¸nh c¸c sè f(a); f(x1); f(x2) … f(xn); f(b) T×m sè lín nhÊt lµ GTLN cña hµm sè vµ sè nhá nhÊt lµ GTNN cña hµm sè Bµi tËp 1: TÝnh GTLN vµ GTNN cña c¸c hµm sè sau: a) y = x3 + 3x2 – trªn ®o¹n [ −3 ;1 ] b) y = x4 - 2x2 – trªn ®o¹n [ − 2; c) y = −x − x2 + 2 trªn ®o¹n ] d) y = e) y = [ −1 ; ] − x+ trªn ®o¹n [ ; ] x+1 x −2 trªn ®o¹n [ ; ] x +1 f) y = -x3 + 3x2 – 4x + trªn ®o¹n [ ; 2] * D¹ng 2: T×m GTLN & GTNN cña hµm sè y = f(x) trªn kho¶ng ( a ; b ) Quy t¾c: 1) LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè y = f(x) trªn kho¶ng (a;b) 2) Tõ b¶ng biÕn thiªn suy kÕt luËn Bµi tËp 1: TÝnh GTLN vµ GTNN cña c¸c hµm sè sau: a) y = x +4 b) y = +4 x x (x ¿ Chuyên đề 6: Sự tơng giao đồ thị hàm số * Dạng 1: Biện luận theo m số nghiệm phơng trình: f(x) = g(m) đồ thị 1) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x); y = g(m) là đờng thẳng song song với trục ox và cắt trục oy điểm có toạ độ (0; g(m)) (3) 2) Số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) và đờng thẳng y = g(m) chính số nghiệm phơng trình f(x) = g(m) Bµi tËp 1: Cho hµm sè y = - x4 + 6x2 – (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm thùc cña ph¬ng tr×nh: - x4 + 6x2 = m Bµi tËp 2: Cho hµm sè y = x3 + 9x2 + 15x - (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm thùc cña ph¬ng tr×nh: x3 + 9x2 + 15x - = 2m Bµi tËp 3: Cho hµm sè y = x +1 x+1 (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm thùc cña ph¬ng tr×nh: x +1 x+1 = 3m + Bµi tËp 4: Cho hµm sè y = x4 - 6x2 + (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt: x4 - 6x2 + = m2 Bµi tËp 5: Cho hµm sè y = (x + 1)2(2 – x) (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt: (x + 1)2(2 – x) = m2 + * Dạng 2: Xác định giao điểm hai đồ thị Cho hàm số y = f(x) có đồ thi (c1) và đờng thẳng (d) : y = ax + b Số nghiệm phơng trình f(x) = ax + b chính số giao điểm đồ thị (c1) và đờng thẳng (d) Bài tập 1: Xác định toạ độ giao điểm hai đờng sau: g) y = x +1 x +1 vµ y = x + Bµi tËp 2: Cho hµm sè y = hai ®iÓm ph©n biÖt Bµi tËp 3: Cho hµm sè y = 3−2x x −1 x +1 x +2 h) y = x+1 x−1 vµ y = 3x - Tìm tất các giá trị m để đờng thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số (1) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt đờng thẳng y = - x + m víi mäi gi¸ trÞ cña m Chuyên đề 7: Tiếp tuyến * Dạng 1: Viết phơng trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị hàm số y = f(x) Phơng trình tiếp tuyến điểm M0(x0 ; y0) đồ thị hàm số y = f(x) là: y - y0 = f’(x0)(x-x0) (*) Vậy để viết phơng trình tiếp tuyến điểm, ta cần xác định ba yếu tố: y0 ; x0 ; f’(x0) Nếu đề bài cho điểm M0(x0 ; y0) là tiếp điểm thì ta tính đạo hàm f’(x), từ đó tính f’(x 0) Thế y0 ; x0 ; f’(x0)vào (*) ta đợc phơng trình tiếp tuyến Nếu đề bài cho hoành độ tiếp điểm x0 thì ta thay x = x0 vào hàm số y = f(x) để tìm y0, y0 = f(x0) Sau đó ta tính đạo hàm f’(x), từ đó tính f’(x0) Thế y0 ; x0 ; f’(x0) vào (*) ta đợc phơng trình tiếp tuyến Nếu đề bài cho tung độ tiếp điểm y0 thì ta thay y = y0 vào hàm số y = f(x) để tìm x0, y0 = f(x0) Sau đó ta tính đạo hàm f’(x), từ đó tính f’(x0) Thế y0 ; x0 ; f’(x0) vào (*) ta đợc phơng trình tiếp tuyến Chó ý c¸c côm tõ sau: + “ Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành” thì ta cã y0 = + “ Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị cua hàm số giao điểm đồ thị hàm số với trục tung” thì ta cã x0 = Bài tập 1: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + (1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị cua hàm số (1): a) T¹i ®iÓm M(1; 0) b) Tại điểm có tung độ c) Tại điểm có hoành độ d) Tại giao điểm đồ thị hàm số (1) với trục tung Bµi tËp 2: Cho hµm sè y = a) T¹i ®iÓm M(1; x −2 x+ (1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1): ) b) Tại điểm có tung độ c) Tại điểm có hoành độ d) Tại giao điểm đồ thị hàm số (1) với trục hoành e) Tại giao điểm đồ thị hàm số (1) với trục tung Bài tập 3: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + (1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1): a) T¹i ®iÓm M(0;1) (4) b) Tại điểm có hoành độ * Dạng 2: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x), biết hệ số góc tiếp tuyến k Gäi M(x0; y0) lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn cÇn t×m Tõ gi¶ thiÕt cña bµi to¸n ta cã f’(x 0) = k, gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta tìm đợc x0, x = x0 vào phơng trình hàm y = f(x) tìm y0 Thế y0 ; x0 ; f’(x0) vào (*) ta đợc phơng trình tiếp tuyến Chó ý c¸c côm tõ sau: + “ Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = ax + b” th× ta cã hÖ sè gãc k = a + “ Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = ax + b” th× ta cã hÖ sè gãc k = −1 a Bài tập 1: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + (1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị cua hàm số (1) các trờng hợp sau: a) HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn b»ng – b) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 9x + c) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng x + 24y = 24 Bµi tËp 2: Cho hµm sè y = x −2 x+ (1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị cua hàm số (1) các trờng hợp sau: d) HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn b»ng e) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = x + f) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng 9x + 5y - 10 = Chuyên đề 8: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu 1) XÐt hµm sè y = ax3 + bx2 + cx + d + TËp x¸c ®inh cña hµm sè lµ R + Tính đạo hàm y’ = 3ax2 + 2bx + c 2b¿ −4.3a.c≤0 ¿ 3a ⇒ Để hàm số đồng biến trên R ta cần có ¿ ¿ ¿ Δ=¿ b ¿2 − a c ≤ ¿ ¿ ⇒ §Ó hµm sè nghÞch biÕn trªn R ta cÇn cã ¿ no ¿ ¿ Δ=¿ ax+ b 2) XÐt hµm sè y = cx+ d −d + TËp x¸c ®inh cña hµm sè lµ R\ c cx+ d ¿ ¿ + Tính đạo hàm y’ = ad − bc ¿ ⇒ Để hàm số đồng biến trên tập xác định ta cần có ad – bc > ⇒ Để hàm số nghịch biến trên tập xác định ta cần có ad – bc < { } Bài tập 1: Cho hàm số y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (m + 3)x + Xác định giá trị m để hàm số đồng biến trên tập xác định nó −1 x + (m - 1)x2 + (12m + 5)x Xác định giá trị m để hàm số nghịch biến trên R mx+ Bµi tËp 3: Cho hµm sè y = Xác định giá trị m để hàm số nghịch biến trên tập xác định nó x +m Bµi tËp 2: Cho hµm sè y = (5) Chuyên đề 9: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 1) §Ó hµm sè y = ax3 + bx2 + cx + d cã cùc trÞ, ta cÇn cã ph¬ng tr×nh y’ = cã hai nghiÖm ph©n biÖt, mµ y’ = 3ax2 + 2b¿ −4.3a.c ¿ 2bx + c nªn ta cÇn cã ¿ Δ=¿ 2) §Ó t×m ®iÒu kiÖn cho hµm sè y = f(x) cã cùc trÞ t¹i x ta lµm nh sau: + TÝnh y’ = f’(x) + f(x) đạt cực trị x0 nên ta có f’(x0) = Từ điều kiện này ta tìm đợc giá trị tham số m + Thử lại: với m vừa tìm đợc ta tìm cực trị, hàm số có cực trị x = x thì nhận giá trị đó m, không th× lo¹i 3) §Ó t×m ®iÒu kiÖn cho hµm sè y = f(x) cã cùc tiÓu t¹i x ta lµm nh sau: + TÝnh y’ = f’(x) + f(x) đạt cực tiểu x0 nên ta có f’(x0) = Từ điều kiện này ta tìm đợc giá trị tham số m + Thử lại: với m vừa tìm đợc ta tìm cực trị, hàm số có cực tiểu x = x0 thì nhận giá trị đó m, kh«ng th× lo¹i 4) Để tìm điều kiện cho hàm số y = f(x) có cực đại x0 ta làm nh sau: + TÝnh y’ = f’(x) + f(x) đạt cực đại x0 nên ta có f’(x0) = Từ điều kiện này ta tìm đợc giá trị tham số m + Thử lại: với m vừa tìm đợc ta tìm cực trị, hàm số có cực đại x = x thì nhận giá trị đó m, không th× lo¹i Bµi tËp 1: Cho hµm sè y = x - (m - 1)x2 + (m2 - 3m + 2)x + Xác định giá trị m để hàm số đạt cực đại x = Bài tập 2: Cho hàm số y = mx3 + 3x2 + 12x + Xác định giá trị m để hàm số đạt cực đại x = Bài tập 3: Cho hàm số y = x3 +(m – 1)x2- mx + Xác định giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x = Bài tập 4: Cho hàm số y = x3 - 3mx2+ 4m3 Xác định giá trị m để hàm số có cực trị Biên soạn: ThÇy TuÊn Anh (6)