1. Trang chủ
  2. » Trung học cơ sở - phổ thông

Đề cương ôn tập toán 12 học kì 2 và ôn thi tốt nghiệp

24 961 3

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 24
Dung lượng 0,93 MB

Nội dung

7 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy.. TN 2009 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuôn

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT XUÂN THỌ

NĂM HỌC : 2011 – 2012

Trang 2

'( ) 0, ( ; )'( ) 0, ( , )

'( ) 0''( ) 0

Giải : a) TXĐ : D = R; y'=4x3+4x=4 (x x2+1), 'y = ⇔ =0 x 0(Lập bảng biến thiên)

Từ bảng biến thiên suy ra x=0 là điểm cực tiểu của hàm số

+

=+ d)

251

y x

2- CMR hàm số y= | |x không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó

3- CMR với mọi giá trị của tham số m, hàm số y= −x3 mx2−2x+1 luôn luôn có một điểm cực đại

và một điểm cực tiểu

4- Xác định m để hàm số 3 2 2

53

  có cực trị tại x=1 Khi đó hàm số đạt cực tiểu hay cực đại ? Tính cực trị tương ứng

21

y x

− +

=+ Xác định m sao cho :

a) Hàm số có cực trị b) Hàm số có hai cực trị và hai cực trị trái dấu nhau

Trang 4

Chủ đề 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1- Định nghĩa : Cho hàm số y= f x( ) xác định trên tập D

m= f x nếu ( )f x ≥ ∀ ∈m, x D và tồn tại x0∈D sao cho f x( 0)=M

2- Cách tìm GTLN, GTNN trên đoạn [ ; ]a b : ( )f x liên tục trên [ ; ]a b

• Tìm x i∈[ ; ]a b mà tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

a) f x( )=2x3−3x2−12x+10 trên đoạn [-3; 3] b) f x( )=x4−3x2+2 trên đoạn [2; 5]

c) f x( )= 25−x2 trên đoạn [-4; 4] d) ( )f x =2 sinx+sin 2x trên đoạn 0; 3

f x

x

= trên khoảng (0; )π2- Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất 3- Tìm hai số có hiệu bằng 13 sao cho tích của chúng là bé nhất

4- Tính GTLN của các hàm số : a) 4 2

1

y x

Trang 5

a- Chiều biến thiên

• Tính 'y

• Tìm các nghiệm của phương trình 'y =0 và các

điểm tại đó 'y không xác định

• Xét dấu 'y và suy ra chiều biến thiên của hàm

số

b- Tìm cực trị

c- Tìm các giới hạn vô cực : các giới hạn tại +∞,

−∞ và tại các điểm mà hàm số không xác định Tìm các tiệm cận đứng và ngang (nếu có)

d- Lập bảng biến thiên 3- Đồ thị : Vẽ đồ thị hàm số, xác định giao điểm của thồ thị với trục hoành và trục tung (nếu có)

II- Khảo sát một số hàm đa thức và phân thức :

1

x y

Suy ra, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0)

và (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng (0; 1)

1

x y

3lim lim

1

x y

1

x y

Trang 6

III – Sự tương giao của các đồ thị :

1- Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :

Giả sử : (C là đồ thị của hàm số 1) y= f x( ) và (C2) là đồ thị của hàm số y=g x( ) Số nghiệm của phương trình ( )f x =g x( ) bằng số giao điểm của (C và 1) (C , tọa độ giao điểm là nghiệm của PT 2)( ) ( )

f x =g x

2- Viết phương trình tiếp tuyến :

Giả sử hàm số y= f x( ) có đồ thị là ( )C và M x( ; (0 f x0))∈( )C ; ( )f x có đạo hàm tại x=x0 Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại M là : yy0 = f x'( 0)(xx0)

3- Sự tiếp xúc của hai đường cong :

Hai đường cong y= f x( ) và y=g x( ) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình :

x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox

c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số : 2

là :

15( 3)

y= − x+ và y=15(x−3)c)

:4

− +

=+

2- a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y= − +x3 3x+1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình x3−3x+ =m 0 theo tham số m

3- Cho hàm số 3 1

2

x y x

+

=+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x= −1

4- Cho hàm số y= +x3 (m+3)x2+ −1 m có đồ thị là (C m)

Trang 7

=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y= +x 2

BÀI TẬP TỔNG HỢP :

1- Cho hàm số ( ) 1 3 2 2 3 1

3

f x = − x + x − +x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

2- Cho hàm số y= − − +x4 x2 6

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1

+

=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5−

4- Cho hàm số y = 1 4 3 2 5

2xx +2a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 0)

5- Cho hàm số y= −x3 6x2+9x−6

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm (2; 4)và có hệ số góc bằng k Tìm các giá trị của k để d là tiếp tuyến của (C)

6- Cho hàm số 4 2

2

y=xx a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Xác định m để phương trình : x4−2x2− =m 0 có 4 nghiệm thực phân biệt

7- Cho hàm số y= f x( )=x4−2mx2+m3−m2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=1

b) Xác định m để đồ thị ( C m)của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt 8- Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

=+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Tìm m để đường thẳng y= − +2x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB

có diện tích bằng 3 ( O là gốc tọa độ)

9- Cho hàm số y= −x3 (m+4)x2−4x+m

a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số đi qua với mọi giá trị của m

b) CMR với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số luôn luôn có cực trị

c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=0

d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng y=kx tại ba điểm phân biệt

10- Cho hàm số 1

x y x

Trang 8

b) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y= +x m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và

B Gọi k k1, 2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B Tìm m để tổng k1+k2

Nếu b≤0 : PT vô nghiệm

Nếu b>0 : PT có nghiệm duy nhất x=loga b

2 Phương trình mũ đơn giản :

a) Phương trình có thể đưa về phương trình cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp : đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, lấy lôgarit hai vế (lôgarit hoá)

b) Phương trình có thể giải bằng phương pháp đồ thị

c) Phương trình có thể giải bằng cách áp dụng tính chất của hàm số mũ

II – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT :

1 Phương trình cơ bản : loga x=b (a>0,a≠1)

Điều kiện của PT : x>0, PT luôn có nghiệm duy nhất x=a b

2 Phương trình mũ đơn giản :

a) Phương trình có thể đưa về phương trình cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp : đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hoá hai vế

b) Phương trình có thể giải bằng phương pháp đồ thị

Trang 9

4 Giải các phương trình lôgarit sau :

a) 1log( 2 5) log 5 log 1

b) log 2 x+4 log4x+log8x=13; ĐK : x>0

PT 2 log2 2 log2 1log2 13 13log2 13 log2 3 8

77

2 Giải các phương trình lôgarit sau :

a) logx4+log 4x= +2 logx3 b) log (3 x−2).log5 x=2 log (3 x−2) c) xlog 9+9logx =6d) log (22 x+1).log (22 x+1+ =2) 2 e) 1 2 log+ x+25=log (5 x+2)

3 CMR các phương trình sau chỉ có một nghiệm x=1:

+ 0< <a 1: nghiệm của BPT là : x<loga b

2) BPT mũ đơn giản : Ta biến đổi về BPT mũ cơ bản hoặc BPT đại số

II Bất phương trình lôgarit :

1) BPT lôgarit cơ bản : loga x>b (hoặc loga xb, loga x<b, loga xb) với a>0,a≠1

Trang 10

log log ( 2) log 3

x x

12

Trang 11

5/ 7 41 1 1

28

x x

− − = 6/ 2x+2x+2 =20 7/ 3.9x−2.9−x+ =5 0 8/ 4x+2x+1−24=0Bài 3 : Tính

Bài 4 : Thực hiện phép biến đổi :

1/ Cho log 725 =a, log 52 =b Tính log5 49

8 theo ,a b 2/ Cho log 52 =a, log 32 =b Tính log 135 theo ,3 a b

Bài 5 : Tính đạo hàm các hàm số sau :

1/ y=(x2 −2x+2)e x 2/ y=(x2 +2)ex 3/ y=2x ecosx 4/ 3

1

x

y x

=+

5/ y=ln(2x2+ +x 3) 6/ y=(2x−1) ln(3x2+x) 7/ ln(2 1)

x y

1/ 25.2x−10x+ =5x 25 2/ 12.3x+3.15x−5.5x=20

Bài 10 : Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số) :

1/ log (23 x− = −1) 2 2/ log (2 x+ −2) log (2 x− =2) 2 3/ log2 5 log (2 2 25) 0

Bài 12 : Giải các bất phương trình sau :

1/ 23 6− x >1 2/ log (35 x− <1) 1 3/ log0,5(x2−5x+ ≥ −6) 1 4/ log31 2x 0

x

5/ 2x+2− +x1− <3 0 6/ log20,5x+log0,5 x− ≤2 0 7/ 1 2 3

3log (x −6x+ +5) 2 log (2− ≥x) 0

Chủ đề 6 : NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I- Nguyên hàm :

1 Phương pháp đổi biến số : f u x u x dx[ ( )] ( )′ =F u x[ ( )]+C

2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần : udv∫ =uv−∫vdu

b

Trang 12

1 Phương pháp đổi biến số : b [ ]

+

2

x dx

+

∫ d)∫4sin xdx2 e) 2

Trang 13

3- a) f x( )=x2cos2x b) ( )f x = xlnx c) f x( ) sin= 4 xcosx d)

1

x dx

++ +

∫1

x +x dx

0

5( 4)

x dx

x +

6

0(1 cos 3 ) sin 3x xdx

π

3 2 0

41

x dx

x +

∫2- Tích phân từng phần :

π

ln 2 2 0

∫5- Tính các tích phân:

( +1)

2

0(2 x)sinxdx

Trang 14

x dx x

2

2 3 0

e

x x

+ ++

1- Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây

khi nó quay xung quanh trục Ox :

Trang 15

i z

e)

i i

1

f)

20123

i z

)1(2

1

2−+

)1(

i

i z

i

z

25)3

Trang 16

PHẦN HÌNH HỌC

Chủ đề 1 : THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

• Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là : 1

3

V = Bh

Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là : V =Bh

• Thể tích của khối hộp bằng tích diện tích đáy với chiều cao của nó

• Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó

Chú ý :

a) Tỷ số thể tích của hai khối đa diện đồng dạng bằng lập phương tỷ số đồng dạng

b) Ta thường áp dụng kết quả sau : Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S Khi đó :

1) Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,

các cạnh bên tạo với đáy một góc 600 Hãy tính thể tích khối chóp đó

a) Gọi SH là đường cao của hình chóp S.ABCD Mp(P) cắt hình

chóp theo thiết diện là tứ giác AB’C’D’

Ta có : BD⊥(SAC) ⇒ BD⊥SC, do đó BD // (P), từ đó suy ra (P)

cắt (SBD) theo giao tuyến B’D’ // BD

Kẻ HE // AC’, khi đó : EC’= EC và ' ' ' 2

Trang 17

b) Theo câu a), AC’vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của ∆SAC nên AS = SC, suy ra

2) Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a Trên đt qua C và vuông góc với mp(ABC) lấy

điểm D sao cho CD = a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD cắt BD tại F và cắt AD tại E Tính

5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật SA vuông góc với đáy và AB=a, AD=b, SA=c Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB và SD sao cho AB’⊥ SB, AD’⊥ SD Mp(AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

6) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB’ và DD’ Mp(CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện đó

7) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy Biết BAC=1200 , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a (TN 2009)

8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60

o

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (TN 2010)

9) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =

3

a Tính thể tích khối chóp S.CDNM (ĐH Khối A 2010)

10) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi O là các giao điểm các đường chéo của đáy dưới ABCD, biết OA’ = a

a Tính thể tích hình chóp A’.ABD, từ đó suy ra khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (A’BD)

b Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mp(A’BD)

11) Một hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC

a Tính góc giữa cạnh bên và đáy Tính thể tích hình lăng trụ

b Chứng minh rằng mặt bên AA’C’C là hình vuông

12) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh

góc vuông bằng a Mặt bên (SBC) vuông góc với đáy, mỗi mặt bên còn lại

tạo với đáy một góc 450

a Chứng minh rằng chân đường cao hình chóp trùng với trung điểm cạnh

⇒ = = ⇒ = ⇒ là trung điểm của BC

13) Đáy ABC của hình chóp S.ABC là tam giác vuông cân (BA = BC) Cạnh

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và độ dài bằng a 3 Cạnh bên SB tạo

với đáy một góc bằng 600

a Tính diện tích toàn phần của hình chóp

b Gọi M là trung điểm của cạnh SC Tính góc giữa mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng đáy

Trang 18

14) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA= SB, góc giữa đường thẳng

SC và mặt phẳng đáy bằng 450 Tính theo a thể

tích của khối chóp S.ABCD (CĐ B 2010)

15) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình

chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng

(ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,

4

AC

Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng

minh M là trung điểm của SA và tính thể tích

khối tứ diện SMBC theo a (ĐH D 2010)

16) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh đáy bằng a

a Tính thể tích hình chóp

b Tính góc do mặt bên tạo với đáy

17) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác vuông tại B Biết BB’=AB=h và góc của B’C làm với mặt đáy một góc α

a Chứng minh rằng : BCA=B CB' và tính thể tích hình lăng trụ trên

b Tính diện tích thiết diện tạo nên do mặt phẳng (ACB’) cắt hình lăng trụ

18) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và bằng a

a Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông

b Từ A dựng AM SB, AN SD Chứng minh rằng SC mp(AMN)

c Gọi K là giao điểm của SC và mp(AMN) Tính diện tích tứ giác AMKN

19) Cho hình lăng trụ đứng EFG MNK có đáy EFG là tam giác vuông cân tại E Biết FG=2u, cạnh bên EM =2u Tính thể tích khối lăng trụ theo u

20) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = CD = a, AB = 3a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (TN 2011)

b) Tính thể tích của khối nón tương ứng

c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60 Tính diện tích của thiết diện này 0

2- Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó

3- Cắt hình nón đỉnh S bằng một mặt phẳng qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh

huyền bằng a 2

a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng

b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mp SBC tạo với đáy một góc ( ) 60 0

Tính diện tích tam giác SBC

4- Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có chiều cao SO=h và góc SAB=600 Tính diện tích

xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Trang 19

5- Cho hình chóp tam giác đều S ABC có các cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên và mặt

phẳng đáy là 45 Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp đỉnh S và đáy là hình tròn nội 0tiếp tam giác ABC

6- Cho tứ diện đều EFGH có cạnh bằng a Tính thể tích khối nón có đỉnh là E và mặt đáy là hình

tròn ngoại tiếp tam giác FGH

2- Mặt trụ :

Diện tích xung quanh : S xq =2πrl Diện tích đáy : Sd =πr2

Diện tích toàn phần : S tp =S xq+S d Thể tích : V =Bhr h2

Bài tập :

1- Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng

c) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho

2- Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao R 3 A và B là hai điểm trên đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30 0

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng

c) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ

3- Cho hình lăng trụ đứng EFG MNK có đáy là tam giác EFG vuông tại E Biết FG=2u, cạnh bên EM =2u Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp của ∆EFG, ∆MNK

4- Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ( ; )O r và ( '; ')O r Khoảng cách giữa hai đáy là

b- Giao của mặt cầu và đường thẳng :

Cho mặt cầu ( ; )S O r và đường thẳng h=OH =d O( , )∆

h>r : ∆ không cắt ( ; )S O r

h=r : ∆ tiếp xúc ( ; )S O r tại H

h<r : ∆ cắt ( ; )S O r tại hai điểm M N ,

c- Diện tích mặt cầu : S =4πr2 - Thể tích khối cầu : 4 3

3

V = πr

Bài tập :

1- Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Hãy xác định tâm và bán kính

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó

2- Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có ' ' ' ' AA'=a AB, =b AD, =c

a) Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua tám đỉnh của hình hộp đó

b) Tìm bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên

Ngày đăng: 16/10/2014, 20:08

HÌNH ẢNH LIÊN QUAN

Hình  vuông  cạnh  a,  cạnh  bên  SA  =  a  ;  hình - Đề cương ôn tập toán 12 học kì 2 và ôn thi tốt nghiệp
nh vuông cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình (Trang 18)

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w