Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích.. II.[r]
(1)Có học vấn mà khơng có đạo đức kẻ xấu, có đạo đức mà khơng có học vấn kẻ thơ bỉ. CHUN ĐỀ 9
PHƯƠNG TRÌNH − BẤT PHƯƠNG TRÌNH − HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MŨ_LOGARIT KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Hàm số mũ
• y=ax; TXĐ D=R
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x −∞ +∞ x −∞ +∞
y +∞
1
−∞
y +∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=3 ^x
-17 -16 -15-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x y
y=3x
f(x)=(1/3)^x
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x y
x
y =31
II Hàm số lgarit
• y=logax, ĐK:
≠ < >
1
0 a x
; D=(0;+∞)
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x +∞ x +∞
y +∞
1
−∞
y +∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=ln(x)/ln(3) f(x)=3^x f(x)=x
-15-14-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x y
y=x y=3x
y=log3x
f(x)=ln(x)/ln(1/3) f(x)=(1/3)^x f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x y
x y =
3
x y
3
log
= y=x
III Các công thức
1. Công thức lũy thừa :
Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
anam=an+m; n m
m n
a a
a −
= ;( n
a
=a−m ; a0=1; a−1=
a
(2)(an)m=anm; (ab)n=anbn; m n n b a b a = ; n m n m a
a =
2. Công thức logarit : logab=c⇔ac=b (0<a≠1; b>0)
Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x1, x2>0; α∈R ta có:
loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga
1
x x
= logax1−logax2;
x
alogax = ; log
axα=αlogax;
x x a a log log α
α = ;(logaax=x); logax= a
x
b b
log log
;(logab= a
b
log
)
logba.logax=logbx; alogbx=xlogba
IV. Phương trình bất phương trình mũ−logarit
1. Phương trình mũ−logarit
a. Phương trình mũ :
Đưa số
+0<a≠1: af(x)=ag(x) (1) ⇔ f(x)=g(x)
+ 0<a≠1: af(x)=b ⇔
( ) = > b x f b a log
Chú ý: Nếu a chứa biến (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta đặt t=ax (t>0), để đưa phương trình đại số
Lưu ý cặp số nghịch đảo như: (2± 3), (7±4 3),… Nếu phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta
có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x.
Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x)⇔ f(x).log
ca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c≠1 b. hương trình logaritP :
Đưa số:
+logaf(x)=g(x)⇔ ( ) ( )
= ≠ < x g a x f a
+logaf(x)= logag(x)⇔ ( ) [ ( ) ]
( ) ( ) = > > ≠ < x g x f x g x f a 0
Đặt ẩn phụ
2. Bất phương trình mũ−logarit
a. Bất phương trình mũ :
af(x)>ag(x) ⇔
( ) ( ) ( )[ ] > − − > x g x f a a
; af(x)≥ag(x) ⇔
( ) ( ) ( )[ ] ≥ − − > x g x f a a Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x) ⇔ f(x)>g(x);
af(x)≥ag(x) ⇔ f(x)≥g(x).
* Nếu 0<a<1 thì: af(x)>ag(x) ⇔ f(x)<g(x);
af(x)≥ag(x) ⇔ f(x)≤g(x).
b. Bất phương trình logarit :
logaf(x)>logag(x)⇔ ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] > − − > > ≠ < , x g x f a x g x f a
; logaf(x)≥logag(x)⇔ ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ≥ − − > > ≠ < , x g x f a x g x f a Đặt biệt:
+ Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x) ⇔ ( )( ) ( )
> > x g x g x f ;
+ Nếu 0<a<1 thì: logaf(x)>logag(x) ⇔ ( ) ( )( )
(3)* * *
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH−BẤT PHƯƠNG TRÌNH−HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I Biến đổi thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2+x − 4.2x2−x − 22x + = ⇔4 0 (2x2−x − 1 2) ( 2x − 4) = 0.
Nhận xét: Mặc dù số biến đổi để đặt ẩn phụ ta phải phân tích thành tích:
( ) ( 2 )
2x−x − x − = 0 Đây phương trình tích biết cách giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình: log( 9x)2 = log log3x 3( 2x+ −1 1)
Nhận xét: Tương tự ta phải biến đổi phương trình thành tích: log3x− 2log3( 2x+ −1 log) 3x=
Đây phương trình tích biết cách giải
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp số biến đổi để đặt ẩn phụ ta biến đổi thành tích
II Đặt ẩn phụ-hệ số chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình: 9x + 2(x− 2)3x + 2x− =5 0 Đặt t = 3x (*), ta có:
( )
2 2 2 2 5 0 1, 5 2
t + x− t+ x− = t = − t= − x Thay vào (*) ta tìm x
Lưu ý: Phương pháp sử dụng ∆ số phương
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2( ) ( ) ( )
3
log x+ + x− log x+ − 2x+ =6 Đặt t = log3(x+1), ta có:
( )
2 5 2 6 0 2, 3
t + x− t− x+ = t= t= − ⇒x x = x =
III Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) phương trình f(x)=k (k∈R) có khơng q
nghiệm khoảng (a;b)
Tính chất 2:Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) ∀u, v ∈(a,b) ta có f u( )= f v( ) ⇔ u v=
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng g hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f(x)=g(x) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b)
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục đoạn [a;b] tồn F'(x) khoảng (a;b) ∃c∈ ( )a;b :
( ) ( ) ( )
a b
a F b F c F
− − =
' Khi áp dụng giải phương trình có F(b) – F(a) =
( ); : '( ) '( )
c a b F c F x
∃ ∈ = ⇔ = có nghiệm thuộc (a;b)
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi lõm miền D phương trình f(x)=0 khơng có q hai nghiệm
thuộc D
Ví dụ 1: Giải phương trình: x+ 2.3log2x =
Hướng dẫn: x+ 2.3log2x = ⇔3 2.3log2x = −3 x, vế trái hàm đồng biến, vế phải hàm nghịch biến nên phương
trình có nghiệm x=1
Ví dụ 2: Giải phương trình: 6x + 2x = 5x + 3x Phương trình tương đương 6x− 5x = 3x − 2x, giả sử phương
trình có nghiêm α Khi đó: 6α − 5α = 3α − 2α
Xét hàm số f( ) ( )t = t+1α − tα , với t > Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn c∈ ( )2;5 cho: f c'( ) = ⇔0 α (c+ 1)α −1− cα−1 = ⇔0 α = 0,α = 1, thử lại ta thấy x = 0, x = nghiệm phương trình
Ví dụ 3: Giải phương trình: 1 2
2x−x 2x− (x 1)
− + = − Viết lại phương trình dạng 1 2
2x− + − =x 2x −x + x − x,
xét hàm số f( )t = 2t + t hàm đồng biến R ( ??? ) Vậy phương trình viết dạng:
( 1) ( ) 1 1
f x− = f x − x ⇔ x− = x − ⇔x x=
Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x + 2x = 3x+ 2 Dễ dàng ta tìm nghiệm: x = x = Ta cần chứng minh
(4)Xét hàm số f x( ) = 3x + 2x − 3x− 2 f ''( )x = 3 ln ln 0x + x > Đồ thị hàm số lõm, suy
phương trình khơng có q hai nghiệm
Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình
2
2
2007
1 2007
1 x
y
y e
y x e
x
́ = −
−
= −
−
có hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y >
HD: Dùng tính chất để x = y xét hàm số ( ) 2 2007
1
x x
f x e
x
= + −
−
Nếu x < −1 f( )x < e−1 − 2007< 0suy hệ phương trình vơ nghiệm
Nếu x > dùng định lý Rôn với x0 = f(2) < để suy điều phải chứng minh
Ví dụ 6: Cho a≥ b> Chứng minh 2
2
b a
a b
a b
+ ≤ +
÷ ÷
(ĐH Khối D−2007)
HD: BĐT
1
ln ln
1 2
ln ln
2
a b
a b
a b
a b
b a
a b
+ +
÷ ÷
⇔ + ÷ ≤ + ÷ ⇔ ≤
Xét hàm số
( )
1 ln
2
x x
f x
x
+
÷
=
với x >
Suy f’(x) < với x > 0, nên hàm số nghịch biến với a≥ b> 0ta có f(a)≤ f( )b (Đpcm)
IV Một số toán (đặc biệt logarrit) ta th ường phải đưa phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ sử dụng phương pháp trên.
1.Dạng 1: Khác số:
Ví dụ: Giải phương trình log7x= log (3 x + 2) Đặt t = log7x̃ x= 7tKhi phương trình trở thành:
3
7
log ( 2) 2
3
t t
t t t
t= + ⇔ = + ⇔ = ÷ + ÷
2.Dạng 2: Khác số biểu thức dấu log phức tạp
Ví dụ 1: Giải phương trình log (46 x2 − 2x− 2)= log 5( x2 − 2x− 3)
Đặt t = x2 – 2x – ta có ( )
6
log t+ = log t
Ví dụ 2: Giải phương trình ( log6 )
2
log x+ x = log x Đặt t= log6x, phương trình tương đương
3
6 3
2 t
t + t = t ⇔ t + =
÷
3 Dạng 3: alogb(x c+ ) = x ( Điều kiện: b = a + c )
Ví dụ 1: Giải phương trình 4log7(x+3) = x Đặt t= log7(x+ 3) 7t = +x 3, phương trình tương
đương 1
7
t t
t = t − ⇔ + =
÷ ÷
Ví dụ 2: Giải phương trình 2log3(x+5) = x+ 4 Đặt t = x+4 phương trình tương đương 2log3( )t+1 = t
Ví dụ 3: Giải phương trình 4log3(x+1) − (x− 1 2) log3(x+1) − =x 0.
4 Dạng 4: ax b log ( )
s
s + =c dx+e +αx+β , vớid = ac+ α ,e bc= + β
Ph
ương pháp: Đặt ay b+ = log (s dx e+ )rồi chuyển hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình ta được: sax b+ + acx s= ay b+ + acy Xét f t( ) = sat b+ + act.
Ví dụ: Giải phương trình
7
7x− = 6log (6x− 5) 1+ Đặt ( )
7
1 log
y− = x− Khi chuyển thành hệ
( )
( )
1
1
1
7 1
7
1 log
x x
x y
y
y y
x y
y x x
− −
− −
−
́ = − + ́ = −
⇔ + = +
− = − = −
Xét hàm số ( )
1
7t
f t = − + tsuy x=y, Khi đó:
1
7x− − 6x+ =5 0 Xét hàm sốg( )x = 7x−1 − 6x+ 5 Áp dụng định lý Rôn nhẩm nghiệm ta nghiệm
phương trình là: x = 1, x =
(5)Ví dụ: Giải phương trình 81 1 181
2 2 2
x
x− + + x + = x− + −x+
HD: Viết phương trình dạng 18 1 1 181
2x− +1 2+ −x + = 2x− + 2−x + 2, đặt u= 2x−1+ 1,v= 21−x+ ,u v> Nhận xét: u.v = u + v Từ ta có hệ:
8 18
u v u v
u v u v
́ + =
+
= +
Bài tập Bài 1: Giải phương trình sau:
a.( 2+ 3) (x + 2− 3)x − =4
b ( 2− 3) (x + 2+ 3)x =
c.(7 3+ )x − 2( − 3)x + =2 d (3+ 5)x + 16 3( − 5)x = 2x+3
e ( 1− ) (x + 1+ )x − 2 0= (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=−1
f 3.8x+4.12x−18x−2.27x=0 (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1.
g 2 2
2x +x − 4.2x −x − x + =4 0 (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1.
k 2
2x −x − + −x x = 3 (ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=−1, x=2.
i 3.16x + 2.8x = 5.32x
j.2.41x + 61x = 91x
Bài 2: Giải hệ phương trình sau: a 43 2 1283
5
x y
x y
+
− −
́ =
=
b ( ) 12
5 125
4
x y x y
+
− −
́ =
=
c 2 12
5
x y
x y
́ + =
+ =
d 2 ( 2 ) ( )
2
2
log log
3x xy y 81
x y xy
− +
́ + = +
=
(ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (−2;−2)
e
( )2
9
1
3log log
x y
x y
́ − + − =
− =
(ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2)
f 14( )
2
1
log log
25 y x
y
x y
́ − − =
+ =
(ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4)
g
3
1
2
4
2
x
x x
x
y y
y +
́ = −
+ =
+
(ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4)
Bài 3: Giải biện luận phương trình:
a (m− 2) x + m.2−x + m= b 3m x + m.3−x =
Bài 4: Cho phương trình 2
3
log x+ log x+ −1 2m− =1 (m tham số) (ĐH_Khối A 2002)
a Giải phương trình m=2
b Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 1;3 3
(6)Bài 5: Cho bất phương trình 4x−1− m 2( x + 1) > a Giải bất phương trình m=16
b Định m để bất phương trình thỏa∀ ∈x R
Bài 6: Giải phương trình sau:
a log5x= log5(x+ 6) − log5(x+ 2) b log5x+ log25 x= log0,2
c logx(2x2− 5x+ 4) = d.lg( 2 3) lg
1 x
x x
x
+
+ − + =
−
e log2x−1(2x2+x−1)+logx+1(2x−1)2=4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4
f 2( )
2
log x+ − 6log x+ + =1 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3
g 2( )
1
log 15.2 27 log
4.2
x x
x
+ + + =
− (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23
Bài 7: Giải bất phương trình:
a 1( )
3
2 log (4x−3) log+ 2x+ ≤ (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 ≤x≤ 3.
b
2
0,7
log log
4
x x
x
+ <
+ ÷
(ĐH_Khối B 2008) ĐS: −4< x < −3, x >
c log 45( x + 144) − log log 25 < + 5( x−2 + 1) (ĐH_Khối B 2006) ĐS: < x < d
2
3
log x x
x
− + ≥
(ĐH_Khối D 2008) ĐS: 2− 2;1) (U 2; 2+ 2