CHUYEN DE PT MU LOGARIT ON THI DH

Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng hoặc giảm trên khoảng a;b thì phương trình fx=k kR có không quá một nghiệm trong khoảng a;b.. Tính chất 3: Nếu hàm f tăng v[r]

Giáo Viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Hàm số mũ  y=ax; TXĐ D=R  Bảng biến thiên a>1 x  y   Đồ thị y 0<a<1 x  y + + +  y y=3x 2 -2 + -3 x -1 -2 1 y   3 -1 -1 -1 -2 -2 x x II Hàm số lgarit  x  ; D=(0;+) 0  a  y=logax, ĐK:   Bảng biến thiên a>1 x 0 y   0<a<1 x y + + + +  Đồ thị y=3x y 3 2 y y  log x y=x y=log3x -1 x 1 y   3 -1 x x -1 -1 y=x -2 -2 III Các công thức Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, nR ta có: ana m =a n+m; an 1  a n  m ;( n =am ; a 0=1; a1= ); m a a a (an)m =anm ; (ab)n=a nbn; n an a    m; b b m a n  n am Công thức logarit: logab=ca c=b (0<a1; b>0) Với 0<a1, 0<b1; x, x1, x2>0; R ta có: loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga x1 = logax1logax2; x2 Lại Văn Long: http://violet.vn/vanlonghanam a log a x Giáo Viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam logax= logax;  x; log a x  x log a x ;(logaa =x);  logax= log b x ;(logab= ) log b a log b a logba.logax=logbx; alogbx=xlogba IV Phương trình và bất phương trình mũlogarit Phương trình mũlogarit a Phương trình mũ: Đưa cùng số +0<a1: af(x)=ag(x) (1)  f(x)=g(x) b   f x   log a b + 0<a1: af(x)=b  Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) (a1)[f(x)g(x)]=0 Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a x (t>0), để đưa phương trình đại số Lưu ý cặp số nghịch đảo như: (2  ), (7 4 ),… Nếu phương trình có chứa {a 2x;b 2x;axbx} ta có thể chia hai vế cho b 2x(hoặc a 2x) đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x) f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c1 b Phương trình logarit: Đưa cùng số: 0  a   +logaf(x)= logag(x)  f x    f x   g  x   0  a  +logaf(x)=g(x)  g x   f x   a g x  0 Đặt ẩn phụ Bất phương trình mũlogarit a Bất phương trình mũ: a  ; a  1 f x   g x   a  a  1 f x   g x    a f(x)>a g(x)   Đặt biệt: * Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x) af(x)ag(x) * Nếu 0<a<1 thì: af(x)>ag(x) af(x)ag(x) b Bất phương trình logarit:      a f(x)a g(x)   f(x)>g(x); f(x)g(x) f(x)g(x); f(x)g(x) 0  a   logaf(x)>logag(x)  f x   0, g x   ; a  1 f x   g x   0  0  a   logaf(x)logag(x)  f x   0, g x   a  1 f x   g x   0  Đặt biệt: logaf(x)>logag(x)  + Nếu 0<a<1 thì: logaf(x)>logag(x)  + Nếu a>1 thì:  f x   g x  ;   g x    f x   g  x    f x   * * * Lại Văn Long: http://violet.vn/vanlonghanam Giáo Viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHBẤT PHƯƠNG TRÌNHHỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I Biến đổi thành tích Ví dụ 1: Giải phương trình: x  x  4.2 x  x  2 x    x  x   22 x      Nhận xét: Mặc dù cùng số không thể biến đổi để đặt ẩn phụ đó ta phải phân tích thành tích: x  x   2 x    Đây là phương trình tích đã biết cách giải   2 Ví dụ 2: Giải phương trình:  log x   log x.log   2x   Nhận xét: Tương tự trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:  log x  log x    log x  Đây là phương trình tích đã biết cách giải    Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng số không thể biến đổi để đặt ẩn phụ thì ta biến đổi thành tích II Đặt ẩn phụ-hệ số chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: x  2( x  2)3x  x   Đặt t = 3x (*), đó ta có: t   x   t  x    t  1, t   x Thay vào (*) ta tìm x Lưu ý: Phương pháp này sử dụng  là số chính phương Ví dụ 2: Giải phương trình: log 23  x  1   x  5 log  x  1  x   Đặt t = log3(x+1), ta có: t   x   t  x    t  2, t   x  x = và x = III Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá nghiệm khoảng (a;b) Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có f (u )  f  v   u  v Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm giảm khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b) Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn F'(x) trên khoảng (a;b) thì F b   F a  c  a; b  : F ' c   Khi áp dụng giải phương trình có F(b) – F(a) = thì ba c   a; b  : F '  c    F '  x   có nghiệm thuộc (a;b) Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 không có quá hai nghiệm thuộc D Ví dụ 1: Giải phương trình: x  2.3log x  Hướng dẫn: x  2.3log x   2.3log x   x , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm x=1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x  x  x  x Phương trình tương đương x  x  x  x , giả sử phương trình có nghiêm  Khi đó:         Xét hàm số f t   t  1  t  , với t > Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn 2  1 c   2;5  cho: f '  c      c  1  c 1      0,   , thử lại ta thấy x = 0, x = là   nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình: 2x x 1  x   x x x  x 1  ( x  1) Viết lại phương trình dạng  x  x , xét hàm số f t   t  t là hàm đồng biến trên R ( ??? ) Vậy phương trình viết dạng: f  x  1  f  x  x   x   x  x  x  Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x  2x  x  Dễ dàng ta tìm nghiệm: x = và x = Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác Lại Văn Long: http://violet.vn/vanlonghanam Giáo Viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam Xét hàm số f  x   3x  2x  3x   f ''  x   x ln  2x ln 2   Đồ thị hàm số này lõm, suy phương trình không có quá hai nghiệm y  x e  2007  Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình  e y  2007    y  có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > x x2  HD: Dùng tính chất để x = y đó xét hàm số f  x   e x  x  2007 x 1 Nếu x < 1 thì f  x   e 1  2007  suy hệ phương trình vô nghiệm Nếu x > dùng định lý Rôn và với x0 = thì f(2) < để suy điều phải chứng minh b a 1 Ví dụ 6: Cho a  b  Chứng minh  2a  a    2b  b  (ĐH Khối D2007)     1 ln  2a  a  ln  2b  b    Xét hàm số HD: BĐT  b ln  2a  1a   a ln  2b  1b      a b     ln  x  x    với x > f  x  x Suy f’(x) < với x > 0, nên hàm số nghịch biến với a  b  ta có f (a)  f b (Đpcm) IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ sử dụng các phương pháp trên 1.Dạng 1: Khác số: Ví dụ: Giải phương trình log x  log3 ( x  2) Đặt t = log x  x  7t Khi đó phương trình trở t  t 7     3   thành: t  log ( 7t  2)  3t  7t     2.Dạng 2: Khác số và biểu thức dấu log phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình log ( x  x  2)  log  x  x   Đặt t = x2 – 2x – ta có log  t  1  log t   Ví dụ 2: Giải phương trình log x  3log x  log x Đặt t  log6 x , phương trình tương 3 t đương 6t  3t  2t  3t     2 log b  x  c   x ( Điều kiện: b = a + c ) Ví dụ 1: Giải phương trình 4log  x 3   x Đặt t  log  x    7t  x  , phương trình Dạng 3: a t t 4 1 tương đương          7 7 t t Ví dụ 2: Giải phương trình log3  x 5   x  Đặt t = x+4 phương trình tương đương log3 t 1  t Ví dụ 3: Giải phương trình 4log3  x 1   x  1 2log  x1  x  ax  b  c log s  dx  e    x   , với d  ac   , e  bc   Dạng 4: s Phương pháp: Đặt ay  b  log s ( dx  e) chuyển hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình ta được: s ax b  acx  s ay b  acy Xét f  t   s at  b  act Lại Văn Long: http://violet.vn/vanlonghanam Giáo Viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam Ví dụ: Giải phương trình x 1  log (6 x  5)  Đặt y   log  x   Khi đó chuyển thành hệ x 1 7 x 1   y  1  7  y    x 1  x  y 1  y Xét hàm số f  t   7t 1  6t suy x=y,   y 1  y   log  x   7  x  x 1 Khi đó:  x   Xét hàm số g  x   x 1  x  Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta nghiệm phương trình là: x = 1, x = Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình 2x 18  x 1 1 x x 1 x 1  2   18 HD: Viết phương trình dạng x 1  1 x  x 1 , đặt   2  21 x  u  x 1  1, v  21 x  1.u, v  Ví dụ: Giải phương trình  18 8    v uv u.v  u  v Nhận xét: u.v = u + v Từ đó ta có hệ:  u Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: x x a          b x    2 2 x  x 4 x c          x x d     16     x3 e  x    x   2  (ĐH_Khối B 2007) 1 f 3.8 x+4.12x18x2.27x=0 (ĐH_Khối A 2006) g x  x  4.2x  x  22 x   (ĐH_Khối D 2006) k x  x  22  x  x  (ĐH_Khối D 2003) i 3.16 x  2.8 x  5.32 x 2 2 ĐS: x=1, x=1 ĐS: x=1 ĐS: x=0, x=1 ĐS: x=1, x=2 j 2.4 x  x  x Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:  x  y  128 a  x 2 y 3 1 5 5 x  y  125  b   4( x  y ) 1   x  y  12 c   x  y  log  x  y    log  xy  d  2 3 x  xy  y  81  x    y  3 log  x   log y  (ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (2;2) e  (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2)  log  y  x   log y  f   x  y  25  (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4)  23 x  y  y  g  x  x 1 y  x  2 (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4) Lại Văn Long: http://violet.vn/vanlonghanam Giáo Viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam Bài 3: Giải và biện luận phương trình: a  m   x  m.2 x  m  b m.3x  m.3 x  Bài 4: Cho phương trình log 23 x  log 23 x   2m   (m là tham số) (ĐH_Khối A 2002) a Giải phương trình m=2 b Tìm m để phương trình có ít nghiệm thuộc đoạn 1; 3  ĐS: a x  3 , b  m    16 b Định m để bất phương trình thỏa x  R Bài 5: Cho bất phương trình x 1  m x   a Giải bất phương trình m= Bài 6: Giải các phương trình sau: a log5 x  log5  x    log5  x  2 b log x  log 25 x  log 0,2   x3 0 x 1 c log x x  x   d lg( x  x  3)  lg e log2x1(2x2+x1)+logx+1(2x1)2=4 f log 22  x  1  log2 x    (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3 g log  x  15.2 x  27   log x 4.2  0 Bài 7: Giải bất phương trình: a log (4 x  3)  log  x    (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23 (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4  x  3  b log 0,7  log  x2  x  0 x4  (ĐH_Khối B 2008) ĐS: 4< x < 3, x > c log  x  144   log   log5  x 2  1 (ĐH_Khối B 2006) ĐS: < x < d log x  3x  0 x (ĐH_Khối D 2008) ĐS:     2;1  2;      Lại Văn Long: http://violet.vn/vanlonghanam