Dùng phương pháp đặc ẩn phụ : Đổi biến chuyển về tìm giới hạn của của một hàm số có cách tính dể dàng hơn. II.[r]
(1)Bài tập phần giới hạn Dãy số I.Lí Thuyết :
a.Các loại tốn cáh giải : Loại I: limn
A B
Cách giải :
- Xác định bậc A B (bậc mở rộng)
- Chia tử mẫu cho nα ;α =max{deg A;deg B}
- Sử dụng định lý
-Cách xác định bậc mở rộng biểu thức ( ) ( )
q
m P n Q n
deg ( ) deg ( ) deg mP n( ) qQ n( ) max P n ; Q n
m q
-Cách biểu diễn p
q p q
n n
Ví dụ :
1-2
3 1
lim
2
n
n n
n
Tacó : Max{deg(n2 -3n +1);deg(2n2+3)} = 2
Chia tử mẫu cho n2
2
3
1 1
lim
3 2
2
n
n n n
Loại II: lim(n A B) ;
lim
n
C
A B
Cách giải :
- Nhân tử mẫu cho lượng liên hợp
( A B) có lương liên hợp ( A B)
( A B) có lương liên hợp ( A B) - Chuyển Loại I
(Chú ý: ( A B)( A B)= A – B)
3
3 3
3
3
lim ( 2)
( 2)( 2)
lim
( 2)
3 lim
( 2)
n
n
n
n n n
n n n n n
n n
n
n n
Ta có : deg{3n}=1
(2)
deg{
2
n n
Chia tử mẫu cho
3
n n n n
khi :
3
0
lim
2
1 1
1
n
n
n n n n
Vậy
3
lim ( 2)
n n n n
Loại III:
3
lim( )
n A B ; 3
lim
n
C
A B
Cách giải :
- Nhân tử mẫu cho lượng liên hợp
(3 A3 B) có lượng liên hợp ( A3 3 B2 3A B)3 (3 A B) có lượng liên hợp ( A3 3B2 3 A B)3 - Chuyển loại I.
(Chú ý : (3 A3 B) ( A3 3B2 A B)3 = A + B (3 A B) ( A3 3 B2 3A B)3 = A – B ) b Loại tốn Lí thuyết cách giải :
-Sử dụng định lí sgk , Cơng thức tổng cấp số nhân ,một số
công thức số học.
- Củ thể : 1+2+3+ + n =
( 1)
n n
12+22+32+ + n2 =
( 1)(2 1)
6
n n n
1-2+3-4+ -2n+(2n+1)=n+1
1 1
1.2 2.3 n n( 1) n1
+ 3+ + + (2n-1) = n2
II Bài tập :
+ Ngoài tập sgk làm thêm số tập sau : Câu 1:
Chứng minh : a
3
lim
2
n n n
b
2
3
lim
2
n
n n
n
(3)c
1
lim 0
1
n n
Câu 2: Tìm giới hạn dãy số sau : a
( 1)( 3)
lim
( 2)( 4)
n
n n n n
b 1
( 2) lim
( 2)
n n n n n
(h.dẫn: chia tử mẫu cho 3n+1)
c
2
lim ( 2)
n n n n
c
3
lim( )
n n n n n Câu : Tìm giới hạn dãy số sau :
a
2
1
1
2 2
1
2
n
n u
n n
,( n N*)
b. 2
1
n
n u
n n n
,( n N*)
c
1 1
1.3 3.5 (2 1)(2 1)
n u
n n
d
1 1
1.3 2.4 ( 2)
n u
n n
Câu 4: Tìm giới hạn dãy số sau
a
1 (2 1) lim
2
n
n n
n n
b limn n1( n 2 n)
Bài tập giới hạn hàm số
I.Lý thuyết :
a Các dạng vô định
( ; ;0 ; )
0
Để giải loại toán trước hết ta khử dạng vơ định cách : + Dạng
( )
lim ;( )
( ) x a
f x g x
ta phân tích f(x)=(x-a).f’(x) g(x)=(x-a).g’(x) :
' '
' '
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( )
x a x a x a
f x x a f x f x
g x x a g x g x
+ Các dạng vô định khác khử dạng vô định cách nhân tử mẫu cho lượng liên hợp dùng định lí để khử dạng vơ định
b Còn dạng khác ta sử dụng ý sau :
Nếu hàm số f(x) xác định khoảng D a thuộc D trừ lim n 0,| |
(4)điểm biên ta có x a
c Dùng phương pháp đặc ẩn phụ : Đổi biến chuyển tìm giới hạn của hàm số có cách tính dể dàng
II Bài tập :
1 Tìm giới hạn sau : a
2
3
lim
3
x
x x x
x x
b.
3 1 lim x x x c 3 2 lim x
x x x
x d. 1 lim x x x x e 1 lim x x x
f.
1 lim 1 x x x x x h lim x x x x x
g.
3
1
lim x x x x x Tìm giới hạn sau :
Chú ý :
sinx
lim
x
x
a os lim sin x c x x x
b
1 sinx-cosx lim sinx-cosx x c 2 osx+x lim 2sinxcos x xc x
d 1
sin( 1) lim x x x x
e 0
1 osxcos2x lim x x c
f
sinx-cosx lim
4
x x
g
2
1 sin osx
lim sin x x c x h lim( 4)sin
x x x
i
sin( )
3 lim
1 osx
x x c
k
1 os7( -x) lim 5( -x) x c 3.Tìm giới hạn sau :
a lim( ) osx x tgx c
b
sinx lim x tgx x
c.lim(x x tgx)
d
1 os3x lim sinx.tg2x x c e
lim ( )
4
x
tg xtg x f 2 1 lim( ) sin
(5)g
2 2
sinx
lim( )
cos x
x
tg x
h lim(1x1 x tg) x
i lim 5x 1
x x tg
k
1 sinx
lim
x
tgx x
( Hướng dẫn : Đặt ẩn phụ t=Π/2 –x , t=Π/4 – x , t = 1- x )
Bài tập phần hàm số liên tục
I.lí thuyết : a Định nghĩa :
f(x) xác định khoảng (a,b) , x0 (a,b)
f(x) gọi liên tục x0 0
lim ( ) ( )
xx f x f x
(
0
0
0
lim ( ), lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( )
x x x x
x x x x
f x f x
f x f x f x
)
b.Một số định lí hàm số liên tục :
+ Tổng hiệu tích thương (với mẫu khác khơng) hàm số liên tục điểm liên tục điểm
+ Các hàm số đa thức ,hữu tỉ ,hàm lượng giác liên tục tập xác định chúng c Phương pháp làm tập loại :
Loại I : Dạng : “Xét tính liên tục hàm số x0
0 ( )
( )
( )
g x neu x x f x
h x neu x x
“
Cách giải:
+Tính 0
lim ( ) lim ( )
xx f x x x g x tính f(x
0)= h(x0)
+ So sánh
lim ( )
x x g x h(x
0) :Bằng kết luận liên tục x0 ngược lại
Loại II : Dạng : “Xét tính liên tục hàm số x0
0
( ) ( )
( )
g x neu x x f x
h x neu x x
”
Cách giải :
+ Tính 0
lim ( ) lim ( )
xx f x xx g x
0
lim ( ) lim ( )
(6)Loại III : Dạng : “Xét tính liên tục hàm số x0
0
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
g x neu x x f x h x neu x x
l x neu x x
Cách giải :
+ Tính 0
lim ( ) lim ( )
x x f x x x g x
0
lim ( ) lim ( )
x x f x x x l x
f(x0) = h(x0)
+ So sánh ba giá trị vừa tìm kết luận II Bài tập :
1. Xét tính liên tục hàm số sau tai điểm x0
a
4 16
2
( )
16
x
khi x f x x
khi x
tại x0=
b
2
0
( )
2 1
khi x f x x khi x
x x khi x