Vẽ về phía ngoài ∆ đó ∆ABD vuông cân tại B và ∆ACE vuông cân tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB vÏ hai h×nh vu«ng ACNM, [r]
(1)HuyÖn quÕ vâ – bninh
Bài (4đ):
1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 3x2 + 6x + 4.
2/ a,b,c cạch tam giác Chứng minh rằng: 4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2 Bài (3đ): Chứng minh x + y = xy ≠ : y
x3−1 −
x
y3−1 =
2(x − y)
x2y2+3 Bài (5đ): Giải phương trình:
1, x2−24 2001 +
x2−22 2003 =
x2−20 2005 +
x2−18 2007 2, (2x − 1)3 + (x + 2)3 = (3x + 1)3
Bài (6đ): Cho ∆ABC vuông A Vẽ phía ngồi ∆ ∆ABD vng cân B ∆ACE vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BE Chứng minh rằng:
1, AH = AK 2, AH2 = BH.CK
Bài (2đ): Tỡm giỏ trị nhỏ biểu thức: A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) đề thi học sinh giỏi
Bµi 1:
1) Rót gän biĨu thøc: A =
1
6
5 n n
x x
x x
víi /x/ = 1 2) Cho x, y tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy 4y + = Tính giá trị biểu thøc: B =
2 7 52
( )
x xy
x y x y
Bµi 2:
1) Giải phơng trình:(x 2).(x + 2).(x2 10) = 72
2) Tìm x để biểu thức:A = ( x – 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ ú ?
Bài 3:
1) Tìm số tự nhiên x cho: x2 + 21 số chÝnh ph¬ng ?
2) Chøng minh r»ng: NÕu m, n hai số phơng lẻ liên tiếp thì:(m 1).(n 1) 192
Bài 4:Cho đoạn thẳng AB Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C cho AC > BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hình vuông ACNM, BCEF Gọi H giao điểm AE BN
1) Chứng minh: M; H; F thẳng hàng
2) Chứng minh: AM tia phân giác AHN
3) Vẽ AI HM; AI cắt MN G Chứng minh: GE = MG + CF
Bµi 5:
1) Gải phơng trình:(x2 + 10x + 8)2 = (8x + 4).(x2 + 8x + 7) 2) Cho a, b, c R+ vµ a + b + c = 1.Chøng minh r»ng:
1 1
9
abc Đề số 1
Bài 1: (3 ®iÓm)Cho biÓu thøc A=(1 3+
3
x2−3x):( x2 27−3x2+
1
x+3) a) Rút gọn A; b) Tìm x để A < -1
c) Víi gi¸ trị x A nhận giá trị nguyên
Bài 2: (2 điểm)Giải phơng trình: a)
1 3y2+
3 x2−3x
:( x 27−3x)
b)
x − x
2− 3+x
4
2 =3−
(1−6− x
3 ) 2
(2)Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đờng chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB N AD) Chứng minh:
a) BD // MN b) BD MN cắt K nằm AC
Bài 5: (1 ®iĨm)Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4) Chøng minh r»ng: a + b + số phơng
Đề số 2
Câu I: (2điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2
+4x 5
b) ab(a b)ac(a+c)+bc(2a b+c) 2) Giải phơng tr×nh
x2 +x+
1
x2
+3x+2
Câu II: (2 điểm)
1) Xỏc nh a, b để da thức f(x)=x3+2x2+ax+b chia hết cho đa thức
g(x)=x2+x+1
2) T×m d phÐp chia ®a thøc P(x)=x161+x37+x13+x5+x+2006 cho ®a thøc
Q(x)=x2+1
Câu III: (2 điểm)
1) Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Tính giá trị biểu thức:
P= a
2
a2−b2− c2+
b2 b2− c2− a2+
c2 c2−a2−b2
2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n a ≠ −b , b ≠ −c , c ≠ − a CMR: a
2
−bc (a+b)(a+c)+
b2−ac (b+a)(b+c)+
c2−ab (c+a)(c+b)=0
Câu IV: (3điểm)
1) Cho đoạn thẳng AB, M điểm nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hình vuông ACDM MNPB Gọi K giao điểm CP vµ NB CMR:
a) KC = KP
b) A, D, K thẳng hàng
c) Khi M di chuyển A B khoảng cách từ K đến AB khơng đổi 2) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, ba đờng cao AA”, BB’, CC’ đồng quy H
CMR: HA' AA'+
HB'
BB' +
HC'
CC' b»ng mét h»ng sè
Câu V: (1 điểm): Cho hai số a, b khơng đồng thời Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: Q=a
2
ab+b2
a2+ab+b2
Đề số 3
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nh©n tư:
a+b¿2(a −b)
c+a¿2(c − a)+c¿
b+c¿2(b − c)+b¿
a¿
b) Cho a, b, c khác nhau, khác
a+
1
b+
1
c=0
Rót gän biĨu thøc: N=
a2+2 bc+
b2+2ca+
c2+2 ab
Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M=x2+y2xy x+y+1
b) Giải phơng trình: y 5,5 4−1
=0
y −4,5¿4+¿ ¿
Bµi 3: (2điểm)
(3)Bài 4: (3điểm)
Cho hình vng ABCD M điểm đờng chéo BD Kẻ ME MF vng góc với AB AD
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vng góc với b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn
Bài 5: (1điểm)
Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 3x2
+5y2=345 Đề số 4
Bài 1: (2,5điểm)Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 ;b) x4 + 4;c) x
√x - 3x + √x -2 víi x
Bài : (1,5điểm)Cho abc = Rót gän biĨu thøc: A= a ab+a+2+
b
bc+b+1+ 2c
ac+2c+2
Bài 3: (2điểm)Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a b 0.TÝnh: P=ab 4a2− b2
Bài : (3điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M cho BM CM Từ N vẽ đờng thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua E F
a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF BiÕt : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN hình thang c©n
c) TÝnh : ANB + ACB = ?
d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ABC AEMF hình vng
Bài 5: (1điểm)Chứng minh với số nguyên n th× : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23. Đề số 5
Bài 1: (2điểm) Cho biÓu thøc: M=
x2−5x+6+
x2−7x+12+
x2−9x+20+
1
x2−11x+30 1) Rót gän M
2) Tìm giá trị x để M >
Bài 2: (2điểm) Ngời ta đặt vòi nớc chảy vào bể vòi nớc chảy lng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vịi sau 42 phút bể đầy nớc Cịn đóng vịi chảy mở vịi chảy vào sau 1giờ rỡi đầy bể Biết vịi chảy vào mạnh gấp lần vịi chảy
1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy 2) Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể bao nhiờu
Bài 3: (1điểm) Tìm x, y nguyên cho: x2
+2 xy+x+y2+4 y=0
Bài 4: (3điểm) Cho hình vng ABCD cố định, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển đoạn CD (E khác D) Đờng thẳng AE cắt BC F, đờng thẳng vng góc với AE A cát CD K
1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam giác ADK
2) Gọi I trung điểm KF, J trung điểm AF Chứng minh rằng: JA = JB = JF = JI
3) Đặt DE = x (a x > 0) tính độ dài cạnh tam giác AEK theo a x 4) Hãy vị trí E cho di EK ngn nht
Bài 5: (1điểm)Cho x, y, z khác thoả mÃn: xy+
1 yz+
1
zx=0 TÝnh N=x yz+
y2
zx+
z2
xy §Ị sè 6
Câu I: (5 điểm) Rút gọn phân thøc sau: 1) |x −1|+|x|+x
3x2−4x +1
2)
a −1¿2+30
¿
a −1¿4−18(a2−2a)−3 3¿
a −1¿4−11¿ ¿ ¿
(4)1) Cho a, b số nguyên, chứng minh a chia cho 13 d vµ b chia cho 13 d th× a2
+b2 chia hÕt cho 13
2) Cho a, b, c số nguyên thoả mÃn abc = Tính giá trị biÓu thøc:
A= a
1+a+ac+
b
1+b+bc+
c
1+c+ac 3) Giải phơng trình: x
2
+2x+1
x2+2x+2+
x2+2x+2
x2+2x+3=
Câu III: (4 điểm)Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đồn TNCS Hồ Chí Minh (26/3) Hai tổ cơng nhân lắp máy đợc giao làm khối lợng công việc Nếu hai tổ làm chung hồn thành 15 Nếu tổ I làm giờ, tổ làm làm đợc 30% cơng việc Nếu cơng việc đợc giao riêng cho tổ tổ cần thời gian để hồn thành
C©u IV: (3 điểm)Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt hình chiếu B, D lên AC; H, K lần lợt hình chiếu C AB AD
1) Tứ giác DFBE hình ? ?
2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA 3) Chứng minh AC2
=AB AH+AD AK
Câu V: (2 điểm)Giải phơng trình: |x 2002|2002+|x 2003|2003=1 Đề số 7
Câu I: (2điểm)
1 Thực phép chia A=2x4− x3− x2− x+2 cho B=x2+1 Tìm x Z để A chia hết cho
B
2 Phân tích đa thức thơng câu thành nhân tử
Câu II: (2điểm)
1 So sánh A B biết: A=5321 B=6(52+1)(54+1)(58+1)(516+1) Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hÕt cho 44.
Câu III: (2điểm)
1 Cho tam giác có ba cạnh a, b, c thoả mÃn: a+b+c¿2=3(ab+bc+ca)
¿ Hái tam
giác cho tam giác ? Cho đa thức f(x) = x100
+x99+ +x2+x+1 T×m d cđa phÐp chia ®a thøc f(x) cho ®a
thøc x2
−1
Câu IV: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Gọi E, F lần lợt hình chiếu H lên AB AC Gọi M giao điểm BF CE
1 Tứ giác AEHF hình ? Tại ? Chøng minh AB CF = AC AE
3 So sánh diện tích tứ giác AEMF diện tích tam giác BMC
Câu V : (1 điểm)Chứng minh nghiệm phơng trình sau số nguyên: x −2
2005+
x −3 2004 +
x −4 2003=
x −2005 +
x −2004 +
x −2003 §Ị sè 8
Câu 1: (2điểm) a) Cho x2
2 xy+2y2−2x+6y+13=0 TÝnh N=3x y −1 xy
b) Nếu a, b, c số dơng đôi khác giá trị đa thức sau số dơng A=a3
+b3+c3−3 abc
C©u 2: (2 ®iĨm)Chøng minh r»ng nÕu a + b + c = th×: A=(a −b
c +
b − c
a +
c − a
b )(
c a − b+
a b − c+
b c − a)=9
Câu 3: (2 điểm) Một ô tô phải quãng đờng AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đờng đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quãng đờng sau với vận tốc vận tốc dự định km/h
Tính thời gian tơ quãng đờng AB biết ngời đến B
Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đờng thẳng vng góc vơi AE cắt đờng thẳng CD F Gọi I trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đờng thẳng song song với CD cắt AI N
(5)Câu 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x6
+3x2+1=y4 Đề số 9
Bài 1: (2 ®iĨm)
Cho M=(
x+1
x)
6
−(x6 +1
x6)−2 (x+1
x)
3
+x3+
x3
a) Rót gọn M
b) Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ M
Bài 2: (2 điểm) a) T×m x biÕt :
x −3¿3
x −2¿3=¿
2x −5¿3−¿ ¿
b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 n - 65 l hai s chớnh phng
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho x y thoả mÃn: 4x2
+17 xy+9y2=5 xy−4|y −2| TÝnh H=x3+y3+xy
b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a+b+c=abc
Chøng minh: a(b2−1)(c2−1)+b(a2−1)(c2−1)+c(a2−1)(b2−1)=4 abc
Bài 4: (4 điểm)Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I giao điểm AC BD Qua I vẽ đờng thẳng song song với AB cắt AD BC lần lợt M N
a) Chøng minh IM = IN b) Chøng minh:
AB+ CD=
2 MN
c) Gọi K trung điểm DC, vẽ đờng thẳng qua M song song với AK cắt DC, AC lần lợt H E Chứng minh HM + HE = 2AK
d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2) Tính S(ABCD) theo a b. Đề sè 10
C
©u : (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2− x −12 ; b) x8
+x+1 ; c) (x2+3x+2)(x2+11x+30)5
Câu 2: (2 điểm)
1) So sánh A B biết: A=532 vµ B
=24(52+1)(54+1)(58+1)(516+1)
2) Cho 3a2
+2b2=7 ab 3a>b>0
Tính giá trị biểu thức: P=2005a 2006b 2006a+2007b
Câu 3: (2 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: 6 12 1974
2
x y xy x y
A
2) Giải phơng trình: y2
+4x+2y 2x+1+2=0
3) Chøng minh r»ng: a8 b8 c8 d8 4a2b2c2d2
Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC (E khác B C) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đờng thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ë G
a) Chøng minh tø gi¸c EGFK hình thoi b) Chứng minh AF2 = FK FC.
c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi tam giác EKC khụng i
Câu 5: (1 điểm) Cho đa thức f(x) có hệ số nguyên Biết f(1) f(2) số lẻ Chứng minh đa thức f(x) nghiệm nguyên
Đề số 11
(6)a) Tính giá trị biểu thøc: A=( 14+1
4)(3
+1
4) (19
+1 4)
(24 +1
4)(4
+1
4) (20
+1 4)
b) Chøng minh r»ng: TÝch cña sè tù nhiên liên tiếp cộng với số ph-ơng
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho xyz = 2006.Chøng minh r»ng: 2006x
xy+2006x+2006+
y
yz+y+2006 +
z
xz+z+1=1 b) Tìm n nguyên dơng để A = n3 + 31 chia hết cho n + 3.
c) Cho a+2b+3c ≥14 Chøng minh rằng: a2
+b2+c214 Câu 3: (2 điểm)Cho ph©n thøc: B=(3x
2 +3
x3−1 −
x −1
x2+x+1−
x −1)
x 1 2x25x+5 a) Rút gọn B
b) Tìm giá trị lớn B
Câu 4: (3 điểm) Cho M điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ hình vuông AMCD BMEF
a) Chøng minh: AE BC
b) Gäi H giao điểm AE BC, chứng minh rằng: D, H, F thẳng hàng
c) Chng minh rng đờng thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng AB
C©u 5: (1 ®iĨm)
a) Chøng minh r»ng víi n N n > thì: C=1+1 23+
1 33+
1 43+
1 53 +
1
n3<2 b) Giải phơng trình: (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
Đề số 12
Câu 1: (2 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2
−7x −6 ;b) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)−24 ;c) x4+4
2) Rót gän: A=
x2+5x+6+
x2+7x+12+
x2+9x+20+
1
x2+11x+30
C©u 2: (2 ®iĨm)
1) Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x-2 d 2, f(x) chia cho x-3 d 7, f(x) chia cho x2 - 5x + đợc thơng 1-x2 cịn d.
2) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau số nguyên
A=2x
+x2+2x+5 2x+1
Câu 3: (2 điểm)Giải phơng tr×nh: a) x −1
99 +
x −3 97 +
x −5 95 =
x −2 98 +
x −4 96 +
x −6 94 b) x2+x+1¿2+(x2+x+1)−12=0
¿
Câu 4: (3 điểm)Một đờng thẳng d qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC lần lợt E, K, G Chứng minh rằng:
1) AE2
=EK EG
2) AE=
1 AK +
1 AG
3) Khi đờng thẳng d xoay quanh điểm A Chứng minh: BK DG = const
Câu 5: (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nÕu cã cđa biĨu thøc sau: B=16x
+4x+1
2x (víi x > 0)
§Ị sè 13
Câu 1: (6 điểm)Phân tích đa thức sau thành nhân tử;
a) 2x 2y x2+2 xy y2 ;b) xy+2x − y2− y ;c) x2 2xyy2 3x 3y 10
(7)C©u (4 ®iĨm)Cho biĨu thøc Q= x
+x
x2− x
+1+1−
2x2+3x+1
x+1 ( x ≠ −1 ) a) Rót gän biĨu thøc Q
b) Tìm giá trị nhỏ Q
Câu 4: (6 điểm) Vẽ phía ngồi tam giác nhọn ABC tam giác ABD ACE Gọi M, N lần lợt trung điểm AD CE H hình chiếu N AC, từ H kẻ đờng thẳng song song với AB cắt BC I
a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác HIN b) Tính góc tam giác MNI
c) Gi¶ sư gãc BAC = 900 , AB = a, AC = b TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c MIN theo a, b.
Đề số 14
Câu 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành thừa số: a+b+c3 a3b3 c3
b) Rót gän: 2x
−7x2−12x+45 3x3−19x2
+33x 9
Câu 2: (2điểm)Chứng minh rằng: n 27
¿2−36n
A=n3¿ chia hÕt cho 5040 víi mäi số t/ nhiên n
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nớc giếng Nếu làm máy bơm A hút hết nớc 12 giờ, máy bơm B hút hếtnớc 15 máy bơm C hút hết nớc 20 Trong đầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến máy bơm B
TÝnh xem giếng hết nớc
b) Giải phơng trình: 2|x+a||x 2a|=3a (a số)
Câu 4: (3 điểm)Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C ngời ta kẻ tia Ax, By vuông góc với AB Đờng thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lợt điểm M, N
a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN b) So sánh hai tam giác ABC INC
c) Chøng minh: gãc MIN = 900.
d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích ∆IMN lớn gấp đơi diện tích ∆ABC
C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng sè: 224 99 9⏟ n-2 sè
1 00 09⏟
n sè lµ sè phơng ( n 2 )
Đề số 15
Câu 1: (2 điểm)Cho P= a
34a2 a +4
a3−7a2+14a −8 a) Rót gän P
b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá tr nguyờn
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập phơng chúng chia hÕt cho
b) Tìm giá trị x để biểu thức:
P=(x −1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
C©u 3: (2 điểm)
a) Giải phơng trình:
x2
+9x+20+
1
x2
+11x+30+
1
x2
+13x+42= 18 b) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh r»ng;
A= a
b+c − a+
b a+c − b+
c a+b − c≥3
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho hai cạnh Mx, My cắt cạnh AB AC lần lợt D E Chứng minh:
a) BD CE=BC
(8)(9)Đề số 16
Bài 1: (2 điểm)
a, Giải phơng trình
6x 103=0 1 x2
¿3+¿
x2−6x+9¿3+¿ ¿
b) Cho x, y tho¶ m·n: x2
+2y2+2 xy−6x −2y+13=0
TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: H=x
2−7 xy +52
x y
Bài 2: (2 điểm) Cho x 2−3y
x(1−3y)=
y2−3x
y(1−3x) víi x , y ≠0 ; x , y ≠
3 ; x ≠ y Chøng minh r»ng:
x+
1
y=x+y+
8
Bài 3: Tìm x ngun để biểu thức y có giá trị nguyên.Với y=4x+3
x2+1
Bài 4: (3 điểm) Cho ∆ABC cân A (AB = AC > BC) Trên cạnh BC lấy M cho MB < MC Từ M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB E, kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua đờng thẳng EF
a) Cho AB =1002,5 cm TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF b) Chứng minh tứ giác ANEF hình thang cân c) AN cắt BC H Chứng minh HB HC = HN HA
Bài 5: (1 điểm)Cho đa thức f(x)=x3+ax2+bx+c
T×m a, b, c biÕt f (1)=5 ; f(2)=7 ; f(3)=9 Đề số 17
Bài 1: (2 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x8
+x7+1 ;b) (4x+1)(12x −1)(3x+2)(x+1)−4 2) Cho a+b+c=0 a2
+b2+c2=1 Tính giá trị biểu thức: M=a4+b4+c4 Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức: M= x
2
(x+y)(1− y)−
y2
(x+y)(1+x)−
x2y2
(1+x)(1− y) a) Rót gän M
b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị -7
Bài 3: (2điểm)Ngời ta đặt vòi nớc chảy vào bể vòi nớc chảy lng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vịi sau 42 phút bể đầy nớc Cịn đóng vịi chảy mở vịi chảy vào sau 1giờ rỡi đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp lần vòi chảy
1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy 2) Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vịi chảy đến đáy bể
Bµi 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC (E khác B C) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đờng thẳng kẻ qua E, song song với AB c¾t AI ë G
a) Chøng minh AE = AF tứ giác EGFK hình thoi
b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF AF2 = FK FC
c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi tam giác EKC khơng đổi
Bµi 5: (1 điểm) Cho a số gồm 2n chữ số 1, b số gồm n + chữ số 1, c số gồm n chữ số (n số tự nhiên, n 1 ).Chứng minh rằng: a+b+c+8 số phơng
Đề số 18
Câu 1: (2 điểm)
Giải phơng trình sau: a) x4
+4x2=5 ;b) |x −1|−|2x −3|=5 C©u 2: (2 ®iĨm)Cho biĨu thøc: A=x
4
− x x2− x
(10)C©u 3: (2 ®iĨm) Hai anh em Trung vµ Thµnh cïng cc mảnh vờn, hoàn thành 50 Nhng sau giê lµm chung Trung bËn việc khác nên không làm nữa, anh thành phải làm tiếp cuốc xong mảnh vờn
Hỏi làm anh phải làm bao lâu?
Cõu 4: (3 điểm)Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC Qua B vẽ đờng thẳng BI song song với AD cắt AC F, AK cắt BD E Chứng minh rằng:
a) EF song song víi AB b) AB2 = CD EF
Câu 5: (1 điểm)Chứng minh biểu thøc: 10n
+18n −1 chia hÕt cho 27 víi n số tự nhiên
Đề số 19
Câu 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành nhân tö: x4 3x2 4x 12
b) TÝnh: 2003.2005
1
7
1
1
1
A
C©u 2: (2 ®iĨm)
a) Cho a, b, c lµ hai sè khác khác thoả mÃn: 3a2 b2 4ab Tính giá trị biểu thức: A=a b
a+b b) Giải phơng trình: x2
Câu 3: (2 điểm)Cho An3 3n2 2n (n N) a) Chứng minh A chia hết cho b) Tìm n với n < 10 để A chia hết cho 15
Câu 4: (3 điểm)Cho ABC vuông A điểm H di chuyển BC Gọi E, F lần lợt điểm đối xứng H qua AB, AC
a) Chøng minh E, A, F thẳng hàng b) Chứng minh BEFC hình thang
c) Tìm vị trí H BC để BEFC hình thang vng, hình bình hành
C©u 5: (1 ®iĨm) Cho
13
14
2
2
b a b
ab a
TÝnh giá trị :
P=a2 b2
Đề số 20
Bài 1: (2 điểm)
a) Cho x > 0, y > tho¶ m·n: x
2−2 xy =3y2
.Tính giá trị biểu thức: x y y x A
b) Víi |x|=1 Rót gän biĨu thøc: B=− x
+6x 5 5xn xn+1
Bài 2: (2 điểm) Chứng minh với giá trị nguyên x th× biĨu thøc
P(x)=1985.x
3 +1978
x2
2+5
x
6 cã giá trị nguyên
Bi 3: (2 im) Mt ngi xe đạp, ngời xe máy, ngời ô tô từ A B khởi hành lần lợt lúc giờ, giờ, với vận tốc thứ tự 10 km/h, 30 km/h,
40 km/h Hỏi lúc ô tô cách ngời xe đạp xe máy
Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) có O giao điểm ba đờng trung trực, vẽ phía ngồi tam giác hai hình vng ABDE, ACGH Biết OE = OH
TÝnh sè ®o góc BAC ?
Bài 5: (1 điểm) Giải phơng trình: (x26x+11)(y2+2y+4)= z2+4z+2 Đề số 21
(11)a) Rót gän biĨu thøc:
a+2¿2− a2 ¿ ¿ ¿
A= a
2 +a −2
an+1−3an.¿
b) Tính giá trị biểu thức: B=x195x18+5x175x16+ 5x2+5x+1886 với x =
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên phơng trình x3
+5x 12y=4 b) Cho a, b, c số tự nhiên không nhỏ
Chứng minh rằng: 1+a2+
1 1+b2≥
2 1+ab
Câu 3: (2 điểm) Một ô tô vận tải từ A đến B với vận tốc 45 km/h Sau thời gian ô tô từ A đến B với vận tốc 60 km/h khơng có thay đổi đuổi kịp tơ tải B Nhng sau đợc nửa quãng đờng AB, xe tải giảm bớt km/h nên hai xe gặp C cách B 30 km Tính quãng đờng AB
Câu 4 : (3 điểm) Một đờng thẳng d qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng:
a, AE2 = EK EG; b, AE=
1 AK +
1 AG
c, Khi đờng thẳng thẳng d thay đổi vị trí nhng qua A tích BK.DG = Const
C©u 5: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M=x
−2x+2005
x2
§Ị sè 22
Câu 1: (2 điểm)
a) Chứng minh với số nguyên dơng ta có:
A= x
5 120 +
x4 12+
7x3 24 +
5x2 12 +
x
5 lu«n số nguyên dơng b) Rút gọn: B=x
24
+x20+x16+ +x4+1
x26+x24+x22+ +x2+1
C©u 2: (2 điểm)Bạn A hỏi bạn B: năm bố mẹ anh tuổi ? B trả lời: bố mẹ tuổi Trớc tổng số tuổi bố mẹ 104 tuổi tuổi ba anh em lµ 14; 10 vµ HiƯn tỉng sè ti bố mẹ gấp lần tổng số tuổi cđa ba anh em t«i” TÝnh xem ti cđa bè mẹ bạn B ?
Câu 3: (2 ®iĨm)
a) Chøng minh r»ng nÕu: x+y=z+t (x, y, z, t Z ) th× sè :
A=x2+y2+z2+t2 tổng bình phơng ba số nguyªn
b) Tìm số tự nhiên N từ ba điều kiện sau: Trong có điều kiện đúng, điều kiện sai: N + 45 bình phơng số tự nhiên
2 N cã chữ số tận
3 N - 44 bình phơng số tự nhiên
Câu 4: (3 điểm) Hai đờng chéo AC BD hình thoi ABCD cắt O Đờng trung trực AB cắt BD AC O1 O2 Đặt O2A = a ; O1B = b
TÝnh diÖn tÝch ABCD theo a, b
Câu 5: (1 điểm) Tìm x, y, z Z thoả mÃn: (2x+5y+1)(2|x|+y+x2+x)=105 Đề số 23
Câu 1: (2 ®iĨm) a) Cho
k2+k¿3 ¿
ak=3k
+3k+1
¿
víi k N*.TÝnh tæng S = a1+a2+a3+ +a2007
b) Chøng minh r»ng: n 2−7
¿2−36n
A=n3¿ chia hÕt cho với n nguyên
Câu 2: (3 điểm)
a) Cho ba số x, y, z thoả mãn đồng thời:
(12)b) Chøng minh r»ng với x, y Z
P=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4 số phơng c) Tìm số d phép chia:
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2007 cho x2+8x+1
Câu 3: ( điểm)Phơng Hng có 110.000 đồng Hai ngời rủ chợ Phơng tiêu 1/5 số tiền Hng tiêu 1/6 số tiền Số tiền lại Hng nhiều số tiền lại Phơng 10.000 đồng Hỏi ngời có bao nhiờu tin
Câu 4: (3 điểm)Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt hình chiếu B, D lên AC; H, K lần lợt hình chiếu C AB AD
1) Tứ giác DFBE hình ? ?
2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA 3) Chứng minh AC2
=AB AH+AD AK
§Ị sè 24
Câu 1: (2 điểm) Giải phơng trình: a) (
1 2+
1 3+
1 4+ +
1 2005).x 2004
1 + 2003
2 + 2002
3 + + 2004
=2005
b) |x −1|+|x −3|=4
Câu 2: (2 điểm) Tìm tỉ lệ ba đờng cao tam giác Biết cộng lần lợt độ dài cặp hai cạnh tam giác tỉ lệ kết : :
C©u 3: (2 ®iĨm)
a) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: 2004+2005x+x2¿2005
2004−2005x+x2¿2004.¿
P(x)=¿
b) Tìm số tự nhiên n để n4
+n2+1 lµ sè nguyªn tè
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC Kẻ đờng cao AH Gọi C’ điểm đối xứng H qua AB, B’ điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B’C’ với AC AB I K
Chứng minh IB, CK đờng cao tam giác ABC
Câu 5: (1 điểm)Cho a, b, c [0;1] a+b+c=2 Tìm giá trị lớn biểu thức
P=a2+b2+c2
Đề số 25
Câu 1: ( điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tư: x9
− x7− x6− x5+x4+x3+x2−1
b) Rót gän biÓu thøc: (
x2−xy− 3y2 x4−xy3−
y
x3+x2y+xy2).(y+
x2 x+y)
C©u : (2 ®iĨm)
a) Có tồn cặp số tự nhiên (x, y) để số 4x4
+y4 số nguyên tố
không
b) Giải phơng trình: y22y+3=
x2+2x+4
Cõu 3: (2 điểm) Một ngời từ A đến B tử B A 17 phút, đoạn đờng AB dài km gồm đoạn lên dốc, tiếp đoạn đờng bằng, cuối đoạn xuống dốc Hỏi đoạn đờng dài km Nếu vận tốc ngời lúc lên dốc 4km/h, lúc đoạn đờng km/h, lúc xuống dốc km/h
Câu 4: (3 điểm)Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đờng chéo BD Kẻ ME vng góc với AB, MF vng góc với AD
a) Chøng minh: DE = CF vµ DE CF
b) Chứng minh đờng thẳng DE, BF, CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn
Câu 5: (1 điểm)Cho a, b, c ba sè d¬ng Chøng minh r»ng: 1< a
a+b+
b b+c+
c c+a<2 Đề số 26
Câu 1: (2 điểm) Cho phân thức: A= x
+x3− x2−2x −2
(13)b) Xác định x để A có giá trị nhỏ
C©u 2: (2 điểm)
a) Cho x, y, z số nguyên khác 0.Chứng minh nếu: x2yz =a ;
y2−zx=b ; z2−xy=c Th× tỉng ax+by+cz chia hÕt cho tỉng a+b+c
b) Cho ®a thøc f(x) chia cho x-2 th× d 5, chia cho x-3 d 7, chia cho
x2−5x+6 đợc thơng 1− x2 cịn d Tìm đa thức f(x) Câu 3: (2 điểm) Giải phơng trình: x3− x2− x=1
3
Câu 4: (3 điểm)Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia AD lấy điểm F cho
AF = AB Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE = AD Gọi N giao điểm FC với AB M giao điểm EC AD
a) Chøng minh MD = BN
b) Kẻ BH AC, gọi I trung điểm AH, K trung điểm CD Chứng minh r»ng BH IK
(14)§Ị số 27
Câu 1: (2 điểm)
a) Cho y>x>0 vµ x
+y2 xy =
10
3 Tính giá trị biểu thức M=
x − y x+y b) Rót gän biĨu thøc A=(
14+1 4)(3
4 +1
4) (11
+1 4)
(24 +1
4)(4
+1
4) (12
+1 4) Câu 2: (2 điểm)
a) Giải phơng tr×nh: x4
−4x3−19x2+106x −120=0
b) Cho x
a + y4
b =
1
a+b vµ x
+y2=1 Chøng minh r»ng:
a+b¿102 ¿
x2004 a1002+
y2004 b1002=
2
¿
Câu 3: (2 điểm) Lúc giờ, An rời nhà để đến nhà bình với vận tốc km/h Lúc 20 phút, Bình rời nhà để đến nhà An với vận tốc km/h An gặp Bình đờng hai nhà Bình Khi trở đến nhà An tính qng đờng dài gấp bốn lần qng đờng Bình Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình
Câu 4: (3 điểm) Cho hình vng ABCD, góc vng xAy qoay quanh đỉnh A hình vng, cạnh Ax cắt đờng thẳng BC, CD lần lợt M, N; cạnh Ay cắt đờng thẳng P Q
a) Chøng minh r»ng ANP vµ AMQ vuông cân
b) Biết QM cắt PN R; I, K theo thứ tự trung điểm PN, QM Tứ giác AKRI hình ?
c) Chứng minh điểm: B, D, K, I thuộc đờng thẳng, từ suy đờng thẳng IK cố định góc vng xAy quay quanh đỉnh A
Câu 5: (1 điểm)Cho p3
+q3=2 Chøng minh r»ng: 0<p+q ≤2
§Ị sè 28
Câu 1: (2 điểm)
a) Giải phơng trình:
4x −6¿3=0 2− x2¿3+¿
x2−4x
+4¿3+¿ ¿
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4
+2004x2+2003x+2004
Câu 2: (2 điểm) Cho a+b+c=0 ; x+y+z=0 ; a
x+ b y+
c z=0
Chøng minh: ax2
+by2+cz2=0
Câu 3: (2 điểm) Tìm số nguyên dơng A; Cho biết ba mệnh đề P, Q, R dới có mệnh đề sai:
P = “A+ 45 bình phơng số tự nhiên Q = A tận chữ số
R = A - 44 bình phơng số tự nhiên
Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD; M điểm tuỳ ý BD, ME AB; MF AD (E AB, F AD)
a) Chứng minh DE, BF, CM đồng quy
b) Tìm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn
Bài 5: (1 điểm)Tìm x nguyên để y ngun: y=2x+3
x2+1
§Ị sè 29
Câu 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức: a) A=|x −2|+|x|+x
(15)b) B=
x2 +2x+
3
x2
+7x+10+
4
x2
+14x+15+
x+9
C©u 2: (2 điểm) a) Cho 3a2
+b2=4 ab b > a > TÝnh P=a −ba
+b b) Tìm x, y biết: x2
+y2xy3x+3=0 Câu 3: (2 điểm)
a) Cho a, b số nguyên Chøng minh r»ng nÕu a chia cho 19 d 3, b chia cho 19 d th× a2
+b2+ab chia hÕt cho 19
b) Chøng minh r»ng tÝch bốn số tự nhiên liên tiếp cộng sè chÝnh ph¬ng
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đờng cao AA’, BB’ , CC’ cắt H, gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác ABC Trên tia HG lấy điểm O cho OG =
3 OH; AO HM cắt D
a) Chøng minh OM BC.;b) Tø gi¸c BHCD hình ?
c) Gi A1 , B1 , C1 điểm đối xứng H qua cạnh BC, CA, AB Tính AA1
AA'+
BB1 BB'+
CC1 CC'
C©u 5: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
x+6¿4
x+8¿4+¿
P=¿
§Ị sè 30
Câu 1: (2 điểm) Cho đa thức A=2a2b2
+2b2c2+2a2c2 a4b4c4
a) Phân tích đa thức A thành nhân tö
b) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác A>
Câu 2: (2 điểm)
a) Giải phơng trình: (x2
y2)2=4 xy+1 b) Cho a, b, c đôi khác a
b− c+ b c −a+
c
a −b=0
TÝnh
b − c¿2 ¿
c −a¿2 ¿
a −b¿2 ¿ ¿ ¿
P=a
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho m, n số thoả mÃn: 3m2
+n=4m2+n
Chứng minh (m-n) (4m + 4n + 1) số phơng b) Cho x, y, z số khác thoả mãn x+y+z=xyz
x+
1
y+
1
z=m
Tính giá trị biểu thức: A=
x2+
1
y2+
1
z2 theo m
Câu 4: (3 điểm)Cho ABC , trọng tâm G, BC lấy điểm P, đờng thẳng qua P theo thứ tự song song CG BG cắt AB, AC E, F; EF cắt BG, CG theo tứ tự I, J
a) Chøng minh: EI = IJ = JF
b) Chøng minh PG ®i qua trung ®iĨm cđa EF
c) Một đờng thẳng P tam giác Chứng minh tổng khoảng cách từ ba đỉnh tam giác ABC xuống đờng thẳng d gấp lần khoảng cách từ trọng tâm n thng d
Câu 5: (1 điểm) Tìm tất số có hai chữ số ab cho: ab
|a b| số nguyên tố
Đề số 31
Câu 1: (2 điểm)Cho biểu thức: M= x
(x+y)(1− y)−
y2
(x+y)(1+x)−
(16)b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị -7
Câu 2: (3 điểm)
a) Chứng minh với n số tự nhiên chẵn biểu thức:
A=20n+16n−3n−1 chia hÕt cho 323
b) Cho x, y, z khác x+y+z 0 Chứng minh r»ng: NÕu
x+
1
y+
1
z=
1
x+y+z th×
x2007+
1
y2007+
1
z2007=
1
x2007+y2007+z2007
Câu 3: (2 điểm) Trong đua mơ tơ có ba xe khởi hành lúc Một xe chạy chậm xe thứ 15 km nhanh xe thứ ba km, đến đích chậm xe thứ 12 phút sớm xe thứ ba phút Khơng có dừng lại đờng
Tìm vận tốc xe, quãng đờng đua xem xe chạy thời gian
C©u 4: (2 điểm)Cho hình vuông ABCD, gọi K, O, E, N lần lợt trung điểm AB, BC, CD DA Các đoạn thẳng AO, BE, Cn DK cắt L, M, R, P
Tính tỉ sè diƯn tÝch S(MNPR) : S(ABCD)
C©u 5: (1 ®iĨm)TÝnh tỉng S= 1 3+
1 34+
1
3 5+ +
1
n(n+1)(n+2) Đề số 32
Câu 1: (2 điểm)
a) Phân tích a4
+4 thành nhân tö b) TÝnh : A=2
4 +4 44
+4 64+4 84
+4 104+4 124
+4 144+4 164
+4 184+4 204
+4
Câu 2: (2 điểm)
a) Tính giá trị biÓu thøc: A=x15
−7x14+7x13−7x2+ −7x2+7x −5 với x = b) Tìm n nguyên để n - chia ht cho n2n
+1 Câu 3: ( điểm)
a) Cho đa thức f (x)=x100+x99+ +x2+x+1 Tìm d phép chia f(x) cho x21 b) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau:
B=xy(x −2)(y+6)+12x2−24x+3y2+18y+2004
Câu 4: (3 điểm)Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Gọi E, F lần lợt hình chiếu H lên AB AC Gọi M giao điểm BF CE
a) Tø gi¸c AEHF hình ? Tại ? b) Chứng minh AB AE = AC AF
c) So s¸nh diện tích tứ giác AEMF diện tích tam giác BMC
Câu 5: (1 điểm) Cho x2
+y2xy=x+y
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: A=x3 +y3
§Ị sè 33
Câu 1: (2 điểm)
1 Phân tích thành nhân tö: a) x10
+x2+1
b) (x2−3x+2)(x2−7x+12)−15 Cho a, b số thoả mÃn a2
+b2+ab=2005 Tính giá trị biểu thức:
a+b¿4 ¿
a+b¿2
a2+b2+¿
a4 +b4+¿
P=
Câu 2: ( điểm)
) Cho p p2 + số nguyên tố Chứng minh p3 + số nguyên tố. b) Tìm số dơng x, y, z thoả m·n: x+y=xyz vµ x+y+z=4
(17)chuyển động với vận tốc nh Một khách du lịch từ A đến B nhận thấy phút lại gặp xe buýt từ B vể phía
Hỏi phút lại có xe từ A vợt qua ngời
Câu 4: (3 điểm)
a) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD Lấy E thuộc BD, Gọi F điểm đối xứng với C qua E Qua F kẻ Fx song song với AD, cắt AB I, Fy song song với AB, cắt AD K Chứng minh ba điểm I, K, E thẳng hàng
b) Cho đoạn thẳng AB song song với đờng thẳng d Tìm điểm M (d M nằm khác phía với AB) cho tia MA, MB tạo với đờng thẳng d tam giác có diện tích nhỏ
Câu 5: (1 điểm)Giải phơng trình: x a2x b
2
b2− x2+a= x2 x2−b2
§Ị số 34
Câu 1: (2 điểm) a) Cho x2
4x+1=0 Tính giá trị biểu thức: A=x
+x2+1
x2
b) Tìm số tự nhiên x để x
+8
x+8 lµ sè phơng
Câu 2: (2 điểm)
a) Giải phơng trình: (x2
1)2=4x+1 b) Giải bất phơng trình: x −1
2− x>1
C©u 3: ( điểm)Việt (hỏi): Bạn số nhà ?
Nam (trả lời): Mình số nhà số có ba chữ số, mà hai chữ số đầu nh hai chữ số cuối lập thành số phơng số gấp bốn lần số ?
Việt: Sau lúc suy nghĩ tìm số nhà Nam Hỏi số nhà Nam bao nhiờu ?
Câu 4: ( điểm)
1) Cho hai điểm A B nằm phía đờng thẳng a Hãy tìm đờng thẳng a điểm P cho tổng độ dài AP + PB bé
2) Cho góc nhọn xOy điểm A miền góc Hãy tìm hai cạnh Ox, Oy điểm tơng ứng B C cho chu vi tam giác ABC nht
Câu 5: (1 điểm)Tìm số x, y, z, t tháa m·n: x2+y2+z2+t2=x(y+z+t) §Ị sè 35
Câu 1: ( điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)
c+a b3
b+c − a¿3−¿
a+b − c¿3−¿
a+b+c¿3−¿ ¿
b)
y2+z2¿3
z2− x2¿3−¿
x2+y2¿3+¿ ¿
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho f(x) = ax2
+bx+c Chøng minh r»ng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3) b) T×m số x, y nguyên dơng thoả mÃn: x2 y2
=2y+13 Câu 3: ( điểm)
a) Chứng minh r»ng n5
−5n3+4n chia hÕt cho 120 víi mäi n nguyªn
b) Cho tam giác có độ dài hai đờng cao cm cm Hãy tìm độ dài đờng cao thứ ba, biết độ dài đờng cao số nguyên
Câu 4: (3 điểm)
a) Chng minh tng dài cạnh ngũ giác lồi bé tổng độ dài đờng chéo ngũ giác
b) Cho tam giác ABC Trong hình chữ nhật có hai đỉnh nằm cạnh BC hai đỉnh lại lần lợt nằm hai cạnh AB AC, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn
(18)§Ị sè 36
Câu 1: ( điểm)
a) Chứng minh r»ng: n5−n chia hÕt cho 30 víi mäi sè nguyên n. b) Phân tích thành nhân tử: x3
+y36 xy+8
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z tho¶ m·n:
¿
1
x+
1
y+
1
z=2
2 xy −
1
z=4
¿{
¿
b) Cho a, b, c số hữu tỉ đôi khác Chứng minh rằng:
a −b¿2 ¿
b − c¿2 ¿
c −a¿2 ¿ ¿ ¿ ¿
1
¿
A=
số hữu tỉ
Câu 3: ( ®iĨm)
a) Cho x, y > tho¶ m·n x + y =1 Chøng minh r»ng: (x+1
x)
2
+(y+1
y)
2
≥25
2
b) Chøng minh r»ng:
n+1¿2 ¿
n2+¿
1 5+
1
13+ +
¿
C©u 4: (2 ®iĨm)Cho ®a thøc P(x) ¿x4
+ax3+bx2+cx+d víi a, b, c , d lµ h»ng sè BiÕt P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 TÝnh P(12) + P(-8)
Câu 5: ( điểm)Tìm số x, y nguyên thoả mÃn: x2y2 x28y2 =2 xy
Đề số 37
Bài 1: (4 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: A=x4+4
b) Tìm số nguyên a để biểu thức P=a
+a+3
a+1 nhận giá trị nguyên
Bi 2: (4 điểm) Đa thức P(x) chia cho x -3 d 7, chia cho x + d -9 chi cho x2 - 5x + đợc thơng x2 + cịn d Tỡm a thc P(x).
Bài 3: (6 điểm)
a) Biết x nghiệm phơng trình: x ab
a+b +
x −ac
a+c +
x bc
b+c =a+b+c Tìm x dạng thu gän
b) Rót gän biĨu thøc: M= (2
+1)(33+1)(43+1) (503+1) (231)(331)(431) (5031)
Bài 4: (6 điểm)
a) Trên tia Ox góc xOy cho trớc điểm A Hãy tìm tia Oy góc điểm B cho OB + BA = d (với d độ dài cho trớc
b) Cho tam giác ABC có trung tuyến kẻ từ B vµ C lµ BE vµ CF Chøng minh r»ng BE vuông góc với CF khi: AC2 + AB2 = 5BC2
(19)a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4
+3x22x+3 b) Giải phơng trình: x3
+3x23x+1=0 Bài 2: (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc: P=(a+2
a+1−
a −2
a −1)
a+1
a
a) Rót gän P
b) Tìm a để P ngun
Bài 3: (3 điểm)
a) Tìm số nguyªn x, y, z biÕt r»ng:
y+z+1
x =
x+z+2
y =
x+y −3
z =
1
x+y+z b) Cho ®a thøc f(x) = ax2
+bx+c víi a, b, c lµ số hữu tỉ Biết f(0), f(1), f(2)
có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên
Bi 4: (2 im) Cho tam giác ABC nhọn với ba đờng cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: HA'
AA'+
HB'
BB' +
HC'
CC' =1
Bµi 5: (1 điểm) Tìm số a b chob ®a thøc x2
+ax+b chia cho (x + 1) th× d
7, chia cho (x-3) d -5
Đề số 39
Bài 1: (2 ®iĨm) Rót gän biĨu thøc:
a)
b+c − a¿2
a+b − c¿2+¿
a −b+c¿2+¿
a+b+c¿2+¿
P=¿
b) Q=
x − y−
1
x+y−
x2 +y2
Bài 2: ( điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (a+b+c)(ab+bc+ca)abc b) Tìm x, y biết: x2+y2− x+3y+5
2=0
c) Cho A=(n −1)(n2−3n+1) Tìm số tự nhiên n để giá trị A số nguyên tố
Bµi 3: ( điểm) Giải phơng trình:
x 13 117 +
x −11 119 +
x −9 121 +
x −7 123 +
x −5 125 =
x −117 13 +
x −119 11 +
x −121 +
x −123 +
x −125 Bài 4: (2 điểm) Một ô tô khởi hành từ A đến C, hai sau ô tô khác từ B đến C Sau 32
5 tính từ tơ thứ lhởi hành hai tơ gặp Tính vận tốc tơ Biết B nằm đờng từ A đến C quãng đờng AB 78 km, vận tốc ô tô từ A lớn vận tốc ô tô từ B km/h
Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC có ba phân giác AD, BE CF Gọi M, N, P theo thứ tự điểm đối xứng B, A C qua AD, BE , AD Q điểm đối xứng A qua CF Chứng minh MN // PQ
Đề số 40
Bài 1: ( điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x4
+1−2x3− x2
b) a(b3− c3)+b(c3−a3)+c(a3− b3)
Bài 2: (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức sau:
a+b¿2
a+b −1¿3−6¿
a+b+1¿3−¿ ¿
b) Xác định a, b để đa thức x3
+ax2+2x+b chia hết cho đa thức x21
c) Tìm d cđa phÐp chia ®a thøc f (x)=2004x2005−2005x2004+x2002−1 cho ®a thøc
x2−1
(20)Bµi 3: (2,5 ®iĨm)Cho tø gi¸c ABCD cã AD = BC Gäi M, N, P Q lần lợt trung điểm AB, CD, BD vµ AC
a) Chứng minh MN phân giác góc PMQ b) Tìm điều kiên tứ giác ABCD để MN = PQ
c) Xác định vị trí điểm I CD để AIB có chu vi nhỏ
Bµi 4: (1,5 ®iÓm)
a) TÝnh nhanh: 9982
+9992+10012+10022
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A=x2+xy+y23x 3y+2004
Đề số 41
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x4
+x32x2+3x 1
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A=2x2+9y26 xy6x 12y+2006
Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm thơng phần d phép chia ®a thøc:
f(x)=1+x+x2+x3+ +x1997 cho x2+1
b) Đa thức f(x) chia cho x-3 d 10, chia cho x+5 d cịn chia cho (x-3) (x+5) đợc thơng x2
+1 vµ d Tìm đa thức f(x)
Bài 3: (2 điểm)Tìm số tự nhiên x cho M=x1999+x1997+1 có giá trị số nguyên tố
Bi 4: (3 điểm)Cho hình vng ABCD điểm M đờng chéo AC Từ M hạ MH, MK thứ tự vuông góc với AB BC
a) Chứng minh rằng: AK, CH DM đồng quy
b) Tính góc ∆DHK biết diện tích ∆ 14(HK2+KD2)
Bài 5: (1 điểm)Tìm a để phơng trình sau có nghiệm nhất: |2x − a|+1=|x+3|
Đề số 42
Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x5
2x4+2x34x23x+6 b) x3
+x2+4
Bài 2: (2 điểm) Cho biÓu thøc: P=(
m−1+
m m3−1
m2+m+1
m+1 ):
2m+1
m2
+2m+1 a) Rót gän P
b) TÝnh P m=2001 1999 Bài 3: (2 điểm)
a) Chứng minh với số nguyên dơng n phân số: 15n
2
+8n+6
30n2+21n+13 tèi gi¶n
b) Tìm số nguyên n để n −7 chia hết cho n2
−64
Bài 4: (3 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đờng thẳng vng góc với AE, cắt đờng thẳng CD F Gọi I trung điểm EF, AI cắt CD M Qua E dựng đờng thẳng song song với CD cắt AI N
a) Chứng minh tứ giác MENF hình thoi
b) Chứng minh chi vi tam giác CEM không đổi E chuyển động BC
Bài 5: (1 điểm)Tìm a để P = a4 + số nguyên tố. Đề số 43
Bài 1: ( 2điểm) hân tích đa thức thành nhân tư: a) x+y¿2−(x+y)−6
¿
b) (x2+x+1)(x2+3x+1)+x2
Bµi 2: (2 điểm) Cho đa thức P(x)=x5+ax4+bx3+cx2+dx+e cho biết P(1) = ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51
TÝnh P(6) ; P(7) ; P(8)
(21)b) x5
=x4+x3+x2+2
Bài 4: (2 điểm)Dùng hai can lít 2,5 lít làm để đong đợc lít rợu từ can lít đựng đầy rợu (các can khơng có vạch chia )
Bài 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: P = x100
−10x10+10 §Ị số 44
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành nhân tử: x5
x41
b) Tìm cặp số (x, y) để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: P=− x2
− y2+xy+2x+2y Bài 2: ( 2điểm) Giải phơng trình:
a) (x+2)2+(x+3)3+(x+4)4=2
b) |x2
−1|+|x2−4|=x2−2x+4
Bµi 3: ( điểm)Tìm hệ số x8 khai triển nhị thức Newtơn đa thức:
[1+x2(1 x)]8
Bài 4: (2 ®iĨm)
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết số luỹ thừa bậc bốn tổng chữ số
Bµi 5: (2 ®iĨm) Chøng minh r»ng: 3≤
x2+x+1
x2 x+13
Đề số 45
Câu 1: ( điểm)Phân tích thành nhân tử: a) x4y4
+64
b) 2x4
−9x3+14x2−9x+2
Câu 2: ( điểm)Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm: |x|+|x −2|−|x+1|=m Câu 3: ( điểm) Cho x2
2006x+1=0 Tính giá trị biểu thức: P=x
+x2+1
x2 x2−2006x+1=0 => x2 +1 = 2006x
4
1
x x = (x2 +x+1)( x2 –x+1) = 2007x 2005x = 2005.2006 x2 => P = 2005 2007
Câu 4: (2 điểm)Cho x, y, z > xyz =1 Chøng minh r»ng:
x3+y3+1+
y3+z3+1+
z3+x3+1≤1
C©u 5: ( điểm) Cho a, b, c ba số dơng thoả mÃn: a+b+c=1 Tìm GTNN biểu thức: P=(1+1
a)(1+
1
b)(1+
1