Nếu học sinh làm bài theo cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa của bài đó..[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT HUYỆN LỤC NAM ĐỀ THI KHẢO SÁT CLB HỌC SINH GIỎI Năm học 2014 - 2015 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: ( điểm) 1) Cho A= 2) Cho 1 1 + + + .+ Hãy so sánh A và 1,999 √ 1999 √ 1998 √3 1997 √ 1999 a=√17 − Hãy tính giá trị biểu thức: B = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2014 Bài 2: ( điểm) Cho biểu thức : Q= √ x+2 − √ x −2+ √ x +2+4 √ x −2 4 − +1 x x √ a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm các số nguyên x để biểu thức Q là số nguyên Bài 3: ( điểm) Giải các phương trình sau: ¿ 3 a x − x −2 − √ x − 2=0 ¿ b ¿ 1+ √ x −16=√ x+ ¿ Bài 4: ( điểm) 1) Cho đoạn thẳng MN = cm Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm Vẽ đường tròn tâm N bán kính 4,8 cm, chúng cắt A và B a) Chứng minh : 1 = + 2 AB AM AN b) Tính số đo các góc MAB (làm tròn đến độ) 2) Cho tam giác ABC nhọn và O là điểm nằm tam giác Các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB M, N, P Chứng minh : AM BN CP + + OM ON OP Bài 5: ( điểm) Cho a,b,c > và a + b + c = √ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= √ a2+ ab+b 2+ √b 2+ bc+ c 2+ √a 2+ ac+c - Hết -PHÒNG GD&ĐT HD CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT CLB HSG (2) HUYỆN LỤC NAM Bài ý 1 2 Năm học 2014-2015 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Hướng dẫn 1 1 + + + .+ A= √ 1999 √ 1998 √3 1997 √ 1999 1+1999 Theo BĐT Côsi ta có 1+1999>2 √ 1999 ⇒ √ 1999< 2+1998 3+1997 1999+1 Tương tự √ 1998< ; √ 1997< ; .; √ 1999 1< 2 2 ⇒ A> + + + (1999 phân số) 2000 2000 2000 => A >1999 1000 => A >1,999 KL… Điểm 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 B = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2014 2014 a B={ a3 (a 2+2 a+1)−18 a3 −a 2+18 a− 17 } 17 a3 −18 a3 − a2+ 18 a− 17 ¿2014 ¿ 2014 B= {−a (a +2 a+1)+a2 +19 a −17 } ¿ − 17 a+a 2+19 a − 17 ¿2014 ¿ a+ 1¿ −18 ¿ ¿ ¿ ¿ 2014 B=¿ x+2 − √ x −2+ √ x +2+4 √ x −2 Q= √ ĐK: x > 4 − +1 x x √ x −2 −2 ¿ ¿ √ x − 2+2 ¿2 ¿ −1 ¿2 x ¿ ¿ √¿ ¿ ¿ √¿ Q=¿ 2− √ x −2+ √ x − 2+2 x Q= = x −2 - Nếu < x < thì 1− x 0,5 0,5 0,5 0,5 0.25 √ 0.5 0.5 0.5 0.25 (3) - Nếu x ≥ thì Q= √ x −2 −2+ √ x − 2+2 x √ x − 2x = = x −2 √ x −2 1− x KL……… b 4x Nếu < x < thì Q= x − ∈ Z ⇒ 4+ x − ∈ Z ¿ ⇒( x −2)∈ Ư(8) = ¿ ⇒ x −2=1 ¿ x −2=2 ¿ x − 2=4 ¿ x=3(tm) ¿ x=4 (tm) ¿ x=6(ktm) ¿ ¿ ¿ => ¿ ¿ ¿ ¿ a { ±1 ; ± 2; ± ; ±8 } Vì < x < 0,5 0,5 0,5 2x ∈ Z => √ x − 2+ ∈Z Nếu x ≥ thì Q= √ x −2 √x − => x = 6(tm); x = 18(tm) KL………… a ¿ √ x2 − x −2 − √ x −2=0 Đk: x ≥ ⇔ √( x +1)(x − 2) − √ x − 2=0 ⇔ √ x −2( √ x+ 1−1)=0 √ x − 2=0 KL 0,5 ¿ √ x+1=1 ¿ ⇔ ¿ x=2( tm) ¿ x=0(ktm) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 0,25 0,5 0,25 (4) b 3 3 1+ √ x −16=√ x+3 ⇔ √ x +3 − √ x − 16=1 3 √ x+3 − √ x −16 ¿3=1 ¿ 3 3 ⇔ x +3 − x +16 −3 √ x+3 √ x − 16( √ x+ 3− √ x −16)=1 ¿ 3 3 ⇔3 √ x+ √ x − 16=18 ⇔ √ x +3 √ x −16=6 ¿ ⇔( x+ 3)(x −16)=216 ⇔ x −13 x −264=0 ¿ ⇔( x − 24)( x +11)=0 ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ x=24 ¿ ⇔¿ 0,5 0,5 0,5 0,5 KL ……… A M H N B a) Chứng minh góc MAN = góc MBN = 900 Chứng minh MN ⊥ AB 1 = + 2 AH AM AN 1 = + Chứng minh 2 AB AM AN b) Tính đúng góc MNA 370 ; góc AMN 0,5 Chứng minh => Góc AMB = 1060 góc MAB = góc MBA = 370 0,5 0,5 530 0,5 0,5 0,5 (5) A P N O B H K M C Từ A và O kẻ AH BC OK BC (H, K BC) OM OK AH // OK Nên AM AH (1) S BOC OK BC OK S BOC OM S ABC AH BC AH S AM ABC (2) Từ (1) , (2) S AOC ON S AOB OP S ABC CP Tương tự : S ABC BN ; 0,5 OM ON OP S BOC S AOC S AOB 1 AM BN CP S S S ABC ABC ABC Nên (3) 0,5 0,5 0,5 Với ba số dương a,b,c ta chứng minh được: 1 (a+ b + c) ( a b c ) OM ON OP AM BN CP )( ) 9 Nên ( AM BN CP OM ON OP (4) Từ (3) ,(4) suy : AM BN CP 9 OM ON OP (đpcm) 0,5 0,5 Cho a,b,c > và a + b + c = √ A= √ a2+ ab+b 2+ √ b 2+ bc+ c 2+ √a 2+ ac+c a+b ¿2 + a2+ b2 a+ b ¿2 ¿ ¿ a+b ¿ 2+ ¿ Ta có ¿ ¿≥ ¿ (a2 +ab+ b2 )= ¿ √ 3( a+b) => √ a2+ ab+b ≥ 0,5 0,25 0,5 0,25 (6) Tương tự ta có => A ≥ c) √ (a+ c) ; √ a2 +ac +c ≥ √ b2 + bc+c ≥ √3 (b+ 2 0,25 √3 (a+b) + √3( b+c ) + √ 3(a+ c) 2 => A ≥ √ 3(a+ b+c )=√ √ 3=6 => Min A = Dấu “=” xảy a = b = c = √3 Trên đây là sơ lược các bước giải và thang điểm Bài giải học sinh cần chặt chẽ, hợp lôgic toán học Nếu học sinh làm bài theo cách khác đúng thì cho điểm tối đa bài đó (7)