SKKN ky thuat lay nghiem cua pt luong giac co DK

Trong đề tài này tôi đề cập đến một số phương pháp lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện, qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán.Từ đó học s[r]

A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài.

Trong chương trình mơn Tốn lớp 11 nói riêng mơn Tốn nói chung Lượng giác chiếm phần quan trọng Đặc biệt phương trình lượng giác phần kiến thức trọng tâm phần đại số lớp 11 học kì I Hơn nữa, phương trình lượng giác có mặt đề thi đại học mơn Tốn, câu khơng phải khó kiếm điểm

Trong q trình dạy học mơn Tốn đại số lớp 11, dạy phần phương trình lượng giác, tơi thấy học sinh thường lúng túng việc lấy nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện hay mắc sai lầm việc Vậy, làm để giúp em vượt qua trở ngại này? từ giúp em làm tốt giải phương trình lượng giác, tự tin học tập

Chính lý mà định chọn đề tài “Kỹ thuật lấy nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện ”, với hy vọng mong muốn đem đến cho em kỹ năng, phương pháp nhằm giúp em khắc phục trở ngại nói Từ đem lại kết cao học tập, giúp em u thích có hứng thú học Tốn

II Mục đích nghiên cứu.

Thực đề tài muốn lấy làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho q trình giảng dạy thân, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp Trong đề tài đề cập đến số phương pháp lấy nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện, qua cho học sinh thấy sáng tạo linh hoạt giải tốn.Từ học sinh thấy thích thú say mê học tập, đem lại kết cao

III Đối tượng nghiên cứu.

Nghiên cứu phương trình lượng giác có điều kiện IV Phạm vi nghiên cứu.

- Làm tài liệu cho giáo viên

- Áp dụng cho học sinh khối 11, 12 Đặc biệt học sinh lớp 12 tham gia thi học sinh giỏi, đại học, cao đẳng trung học chuyên nghiệp

V Phương pháp nghiên cứu.

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận vấn đề nghiên cứu.

1 Các đẳng thức lượng giác sin2x + cos2x= 1;

2

2

1

1 tan , ,

cos

x x k k

x

 

 

      

 



;

2

1 cot

sin

x

x

 

, x k k ,   ;

tan cotx x1.

2 Biểu diễn cung lượng giác, góc lượng giác đường trịn lượng giác.

Khi biểu diễn cung (góc) lượng giác chọn điểm đầu A, điểm cuối M tuỳ thuộc vào độ lớn dấu cung (góc) để ta biểu diễn cho

+, x  k2 , k  biểu diễn đường tròn lượng giác điểm.

+, x  k k,   biểu diễn đường tròn lượng giác hai điểm đối

xứng nhua qua gốc toạ độ

+, , , ,

k

x k n n

n

 

   

3 Cơng thức nghiệm phương trình lượng giác bản.

+,

2

sin sin ,

2

x k

x k

x k

 



  

  

   

  





; +, cosxcos  x  k2 , k ;

+, tanxtan  x  k k,  ;

+, cotxcot  x  k k,  .

II Cơ sở thực tiễn vấn đề nghiên cứu.

Trong q trình dạy học mơn Tốn đại số lớp 11, dạy phần phương trình lượng giác, thấy học sinh thường lúng túng việc lấy nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện hay mắc sai lầm việc Để giúp em vượt qua trở ngại này? từ giúp em tự tin hơn, làm tốt giải phương trình lượng giác Từ đem lại kết cao học tập

III Nội dung vấn đề nghiên cứu.

1 Phương pháp biểu diễn điều kiện nghiệm thông qua hàm số lượng giác

Ví dụ : Giải phương trình:

2

2

2

cos cos

cos2 tan

cos

x x

x x

x

 

 

(1)

Lời giải : ĐK: cosx0 Khi đó

  2

2

1 cos tan cos tan cos cos

cos

1 cos

2

x x x x

x x

x x

      

   

 

 

 



Đối chiếu với điều kiện cosx0, ta thấy hai giá trị thoả mãn.

Vậy phương trình (1) có nghiệm x k2 , x k2 k 



  

     

* Nhận xét Trong phương trình (1), ta biến đổi ĐK nghiệm tìm thơng qua h/s ycosx Từ chuyển việc đối chiếu ĐK x đối chiếu ĐK y đơn giản hơn nhiều

Ví dụ : Giải phương trình:

 

1 2

Lời giải : ĐK:

cos sin

sin sin

sin 2

sin x x x x x x                          (2)

 

4sin cos2 cos2 sin 2sin sin

1 sin 1;0;

2

x x x

x x x

x               

Đối chiếu với ĐK, ta chọn

1 sin

2

x

Vậy pt(2) có nghiệm là:  

5

2 ;

6

x k  x  k  k 

2 Phương pháp sử dụng phép biến đổi lượng giác

Ví dụ : Giải phương trình:  

4 sin sin3 tan cos x x x x    (3)

Lời giải : ĐK: cosx 0 sinx1

Ta có: (3)

 

 

  

 

 

4

2

2

2

3

sin cos sin sin3

1 sin 2 sin sin3

2 sin 2sin3

sin3 (*) sin 1,

1 3sin 4sin

2

4sin 6sin **

x x x x

x x x

x x

x Do x x

x x x x                        

Thay sinx1 vào (**) khơng thoả mãn, nên nghiệm phương trình (*)

chính nghiệm phương trình (3)

Vậy nghiệm pt (3) là:  

2 ; ,

18 18

k k

x   x    k 

Như khơng phải tìm đk cụ thể, ta đối chiếu nghiệm với đk suy nghiệm phương trình

3 Phương pháp thử trực tiếp.

Đối với phương trình mà ĐK nghiệm khó đưa hàm số lượng giác, ta tìm nghiệm cụ thể, thay vào ĐK để kiểm tra lại

Ví dụ : Giải phương trình:   cos3 tan 5x xsin 4x

Lời giải : ĐK: cos5x0 Khi đó

(4)

 

2sin cos3 2sin cos5 sin8 sin12

2 20 10

x x x x

x x k x k k x                 

+, Với

k

x 

5

cos5 cos ( )

2

k

x    k  m m 

+, Với 20 10

k

x  

cos5 cos(4 ) )

k

x       k

Vậy phương trình (4) có nghiệm là: x m , , 20 10

k

x   

m k,   Ví dụ : Giải phương trình:

 

  sin cos

1 5

tan cot cot

x x

x x x

 

 

Lời giải : ĐK:

cos

tan cot sin2

cot sin

sin cos

x

x x x

x x x x                       

Khi (5)

 

sin 2 sin

sin cos sin cos x x x x x x           

+,   2 cos 2

x x k

x k

x x k

                  

Dễ thấy ĐK cosx0, sinx0 thoả mãn Thay trực tiếp nghiệm x1, x2

Vào hệ:

sin sin cos

x x x     

 ta thấy có nghiệm x1 thoả mãn.

Vậy nghiệm phương trình là:  

3 2 ,

4

x  k  k 

4 Phương pháp biểu diễn đường tròn lượn giác.

- Trên đường trròn lượng giác, điểm không thoả mãn ĐK đánh dấu “x”, điểm nghiệm tìm đánh dấu “o”

- Những điểm đánh dấu “ o ” mà không trùng với điểm đánh dấu “x” nghiệm phương trình

+, x  k2 , k  biểu diễn đường tròn lượng giác điểm.

+, x  k k,   biểu diễn đường tròn lượng giác hai điểm đối

xứng nhua qua gốc toạ độ

+, , , ,

k

x k n n

n

 

   

biểu diễn đường tròn lượng giác n điểm cách tạo thành n đỉnh đa giác nội tiếp đường trịn

Ví dụ : Giải phương trình: sin sin sin3 3 cos cos2 cos3

x x x

x x x

 



  (6).

Lời giải : ĐK:

cos cos2 cos3

4 2 ,

2

x x x

k x k x k                     

Khi  6  tan2x 3 x6 n2 ,n 

Biểu diễn đường trịn lượng giác, nghiệm phương trình tìm đánh dấu “o”, ĐK pt đánh đấu “x” Qua biểu diễn, ta thấy nghiệm phương trình là:

 

5

; , ,

6

B' A'

B

A O

x

5 Bài tập vận dụng Giải phương trình sau:

1 cos2x – sin2x = tanx + cotx; cosx sin3x0;

3

1

sin sin cot

2sin sin2

x x x

x x

   

;

4

2 cot tan 4sin

sin2

x x x

x

  

;

5

4

2

sin cos 1 sin

2 2 tan sin tan

1 sin

x x

x

x x x

x





 

 ;

6

2 cos tan

1 sin

x x

x

 

 ;

7

1

cot cot

sin sin2 sin3

x x

x x x

  

;

8

3

8sin

cos sin

x

x x

 

9

2 3 cos 2sin2

2 0

2 cos

x x

x



 

    

 



 ;

10

 

 

cos cos

2 sin sin cos

x x

x

x x



 

 ;

11

2 cos4 cot tan

sin2

x

x x

x

 

;

12  

2

sin cos2x xcos x tan x1 2sin x0 ;

13

1 cos4 sin ; 2sin cos4

x x

x x



 

14

 

3 cot cos2

2sin2 0; cot cos2

x x

x

x x



 



15

2

1 2sin sin sin 1; 2sin cos

x x x

x x

  

C KẾT THÚC VẤN ĐỀ I Ý nghĩa đề tài.

- Mục đích quan trọng đề tài muốn lấy làm cuấn tài liệu phục vụ trình giảng dạy thân, đồng thời cuấn tài liệu để đồng nghiệp tham khảo giảng dạy

- Giúp học sinh biết cách lấy nghiệm toán giải phương trình lượng giác có điều kiện, đồng thời qua phương pháp nhằm phát triển tư linh hoạt cho học sinh Từ mang lại say mê hứng thú học Toán, …

II Kết nghiên cứu.

- Đề tài bắt đầu thực từ năm học 2011 – 2012 trực tiếp lớp 11B1 Kết đa số em biết lấy nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện Góp phần nâng cao kết học tập mơn Tốn nói riêng, kết học tập em nhà trường nói chung

- Kết thi học kì I, thi thử đại học lần thi thử đại học lần lớp 11B1 với 42 em, đa số em làm phần phương trình lượng giác Cụ thể sau: số H/S

Đợt thi

Số học sinh không đạt Số học sinh đạt

Thi HKI 100%

Thi ĐH L1 28,6% 71,4%

Thi ĐH L2 11.9 88.1%

- Những kết khả quan từ thực nghiệm sư phạm, cho phép kết luận mục đích nghiên cứu đề tài hồn thành đề tài có tính khả thi cao

- Tôi hy vọng rằng, cuấn tài liệu mà thầy giáo dạy Tốn yêu thích, đồng thời giúp em học sinh học tốt phần giải phương trình lượng giác, qua góp phần nâng cao kết học tập em

II Những kiến nghị làm tăng tính khả thi

Đề tài có ý nghĩa thiết thực cho học sinh, đặc biệt dùng cho học sinh ôn thi đại học Vì thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu mở rộng để đề tài hoàn chỉnh thực cuấn tài liệu bổ ích Để đề tài hiệu thì:

- Đầu tư thời gian, vật chất nghiên cứu thêm chuyên đề khác có liên quan

- Cần có quan tâm, ủng hộ cấp lãnh đạo

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn(chủ biên)- Đào Ngọc Nam- Lê Văn Tiến-Vũ Viết Yên, Đại số giải tích 11 ban bản, NXBGD, 2010

2. Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn(chủ biên)- Doãn Minh Cường- Đỗ Mạnh Hùng-Nguyễn Tiến Tài, Đại số010 ban bản, NXBGD, 2006

3. Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Mơn Bài giảng chuyên sâu toán THPT Giải Toán Lượng Giác 11.

LờI CảM ƠN

Trong quỏ trình thực nghiên cứu thử nghiệm Tơi nhận đóng góp ý kiến thầy cô đồng nghiệp trường, tổ Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ chân thành

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Ban chấp hành Cơng Đồn trường THPT Gia Viễn C, thầy cô hội đồng sư phạm nhà trường, thầy tổ Tốn – Tin tạo điều kiện, động viên để tơi có hội nghiên cứu khoa học, trao đổi tri thức khoa học Thầy cô ban giám hiệu tạo điều kiện cho thể nghiệm đối tượng học sinh Từ hồn thành báo cáo sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy

Do thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài báo cáo thử nghiệm tơi khơng tránh khỏi thiếu sót khía cạnh chưa đề cập đến Rất mong nhận ý kiến quý báu quý bạn đọc để đề tài phát huy hiệu sâu rộng

Xin chân thành cảm ơn !

Gia Viễn, ngày 20 tháng năm 2012 Tổ Toán – Tin

MỤC LỤC

A Đặt vấn đề 1

B Giải vấn đề

I Cơ sở lý luận vấn đề nghiên cứu II Cơ sở thực tiễn vấn đề nghiên cứu III Nội dung vấn đề nghiên cứu

III.1.Phương pháp biểu diễn điều kiện nghiệm thông qua một

hàm số lượng giác

III.2 Phương pháp sử dụng phép biến đổi lượng giác

III.3 Phương pháp thử trực tiếp.

III.4 Phương pháp biểu diễn đường tròn lượn giác.

III.5 Bài tập vận dụng

C Kết thúc vấn đề