[r]
(1)2 B A B A B ì ³ ïï = Û í ï = ïỵ A
A 0;B
A B
B A
A 0;B B
ìï
-ï £ <
ïï -ï =í ïï
ï ³ >
ïïỵ 2x x + =
-(x+3) x- =1
VÝ dụ 1: Giải ph ơng trình
Những sai lầm th ờng gặp giải ph ơng trình vô tỷ
x x x x é + = é =-ê ê Û ê Û ê = - = ë ë Gi¶i:
Xét xem lời giải sau hay sai:
Ta cã:
(x+3) x- =1
x x x B
A B A B ì ³ ïï ïï é = Û í ê = ùù = ù ùợ
Điều kiện: x
Với điều kiện x x + > nên ph ơng trình cho t ơng đ ơng với (tmđk) Vậy ph ơng trình có nghiệm x =
1
Vậy ph ơng trình có hai nghiƯm lµ x1 = -3; x2 =
x+ = +4 x
Ví d2: Giải ph.trình:
2
Xét xem lời giải sau hay sai:
Ta cã: x+ = +4 x 2
2
x
x x 4x ì + ³ ïï Û íï + = + + ïỵ x x 3x ì ³ -ïï Û íï + = ïỵ ( ) x x x ì ³ -ïï Û íï + = ïỵ x x x x x ì ³ -ïï é = ïïé ê Û íïê= Û ê =-ë ï ê =-ï ë ïỵ 2
x x x
x x
x x
x x 4x x 3x x
x
x x
x x
x
Vậy ph.trình cho có nghiệm x = Vậy ph ơng trình cho có nghiệm
x1 = 0; x2 = -3
Giải:
Ví dụ 3: Giải phơng trình
Xét xem lời giải sau hay sai:
Ta cã:
Vậy ph.trình cho có nghiệm x =7 -7
2x 2x
1
x x
+ = Û + =
-
-2x x
Û + =
-Vậy ph ơng trình cho vô nghiệm
x x
2x x x
ì - ³ ì ³ ï ï ï ï Û íï Û íï + = - =-ï ï ỵ ỵ 2x
0, x
x
2x 2x
1
x x
2x x x
(2)( )1 2 x 4 x 1 2x 3 4 x( 4)
x 1 2x 3 x 1 2x 3 x 2
Û - + - = - +
-Þ - =
-Þ - = - Û =
x 1 x 3
x 2 x 3
x 1 x 2 2 x 3
ìï - >
-ùớ
ù - >
-ùợ
ị - + - >
-Gi¶:
Xét xem lời giải sau hay sai:
Ta cã:
Vậy ph ơng trình có nghiệm x = 2 Vậy ph ơng trình cho vơ nghiệm
x- 4 + x- =1 2x- 3+ 4x- 16
§iỊu kiƯn: x 4
(Không Tmđk)
(1) A 0
4 A B A C
B C
ì ³ ïï
+ = + Û í
ï =
ïỵ
( )1 2 x 4 x 1 2x 3 4 x( 4)
x 1 2x 3
x 1 0 x 1
x 1 2x 3 x 2
Û - + - = - +
-Û - =
-ì - ³ ì ³
ï ï
ï ï
Û í Û í
ï - = - ï =
ù ù
ợ ợ
Ví dụ 5: Giải phơng trình
Xột xem li gii sau ỳng hay sai:
Ta cã:
Vậy ph ơng trình cho vơ nghiệm
( ) ( ) ( )
x x- 1 + x x- 2 =2 x x- 3
Điều kiện: x ta có
(1)
( )1 x x 1 x x 2 2 x x 3 x 1 x 2 2 x 3
Û - + - =
-Û - + - =
-x 1 x 3 x 2 x 3
x 1 x 2 2 x 3
ìï - >
-ïí
ï - >
-ùợ
ị - + - >
-A B A 0; B 0 5 AB
A. B A 0; B 0
ìï ³ ³
ï =í
ï - - £ £
ùợ
Giải:
( )
+ Khi x 0
1 x x 1 x x 2 2 x x 3 x 1 x 2 2 x 3
>
Û - + - =
-Û - + - =
-Điều kiện: x ta có
(3)Kết luận:
Vậy ph ơng trình có nghiƯm lµ x = 0
( )
+ Khi x 0
1 x 1 x x 2 x 2 x 3 x 1 x 2 x 2 3 x
<
Û - - + - - = -
-Û - + - =
-1 x 3 x
2 x 3 x
1 x 2 x 2 3 x
ìï - <
-ïí
ù - <
-ùợ
ị - + - <
-Ta thÊy:
Vậy phơng trình cho vô nghiệm khoảng x >
Vậy phơng trình cho vơ nghiệm khoảng x <
B 0
A B 0 A 0
B 0
ì ³ ïï ïï é
= Û í ê =
ïï ê = ï ë ïỵ
1.
2.
A 0
4 A B A C
B C
ì ³ ïï
+ = + Û í
ï =
ïỵ
3.
A B A 0; B 0
5 AB
A. B A 0; B 0
ìï ³ ³
ï =í
ï - - £ £
ïỵ
2 B 0
6 A B A B
A B
ì ³ ïï
= Û = Û í
ï =± ïỵ
2
B 0
A B
A B
ì ³ ïï
= Û íï =
ïỵ
A
A 0;B 0
A B
B A
A 0;B 0
B
ìï
-ï £ <
ïï -ï =í ïï
ï ³ >
(4)( ) ( )2
1 2x 1 x 2
2x 1 x 2
x 2
x 2 0 x 3
x 3
2x 1 x 2 1
x 1
2x 1 x 2 x 3
3
Û - = +
Û - = +
ì ³ -ï
ì + ³ ï
ï ï é =
ï ïé ê
ï =
ïé ï
Û íïê - = + Û íï ê Û ê
ê
ê =
ïê - =- - ï ê = ê
ïë ï ë
ïỵ ï êëïỵ
( )
4x - 4x+ = +1 x 2
( )( ) ( )
x- 3 x - -x 6 = -x 7x+12 2
Gi¶i:
VÝ dơ 6: Gi¶i phơng trình
Xột xem li gii sau ỳng hay sai:
Ta cã:
Vậy ph ơng trình cho có nghiệm duy
nhÊt x = 3 Vậy ph ơng trình có nghiệm x1 = vµ x2 =
( ) ( )2
1 Û 2x- 1 = +x 2 2x – = x + x =3
1 3
(5)Xét xem lời giải sau hay sai:
Ta cã:
Vậy ph ơng trình có nghiệm x1 = vµ x2 = 7
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )2
2 x 3 x 3 x 2 x 3 x 4
x 3 x 2 x 3 x 4
x 3 x 2 x 4 0
x 3
x 2 x 4
x 4 0
x 2 x 4
x 2 x 4
x 4
x 7
x 9x 14 0
Û - - + = -
-Û - + = -
-é ù
Û - êë + - - úû=
é = ê
Û ê + =
-ê ë
ì - ³ ïï
+ = - Û í
ï + = -ïỵ
ì ³ ïï
Û íï - + = Û =
(6)Ví dụ 7: Giải ph ơng tr×nh
2
0 A 0
7 A B A B A B A 0
A B A 0
ì =
ïï ïï
= =íï >
ïï - <
ïỵ
( )( ) ( )
x- 3 x - x- 6 = -x 7x+12 2
Vậy ph ơng trình có nghiệm x1 = vµ x2 = 7; x3 = 2.
Giải:
Điều kiện: x -2 x 3
2 x x x 2 x x 4
x 3 x 2 x x 4
2
2
Khi x 4
x 3 x 2 x x 4
x 2 x 4
x 2 x 8x 16
x 9x 14 0
x 7 Tm
x 2 KTm
2
2
Khi -2 x 3
x 3 x 2 x x 4
x 3 x 2 x 4 0
x 3 0
x 2 4 x
* x 3 0 x 3
* x 2 4 x
x 2 x 8x 16
x 9x 14 0
x 7 KTm