TỨ GIÁC nội TIẾP

 Sưu tầm CÁC BÀI TOÁN VỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP Sưu Tầm Chủ đề 1: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A KIẾN THỨC CƠ BẢN Tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Đường trịn gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác I Phương pháp chứng minh: Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm CÁC VÍ DỤ Mức độ 1: NB Cho hình thang ABCD (AB / / CD , AB < CD) có C = D = 600 , CD = 2AD Chứng minh bốn điểm A, B , C , D thuộc đường tròn Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm CD , ta có IC=AB ⇒ ICBA hình hành ⇒ BC = AI (1) IC / /AB Tương tự AD = BI (2) ABCD hình thang có C = D = 60 Từ (1), (2), (3) ta có hai tam giác thuộc đường trịn nên ABCD hình thang cân(3); mà ICB; IAD hay IA = IB = IC = ID hay bốn điểm A, B , C , D Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M , N , R S hình chiếu O AB , BC , CD DA Chứng minh bốn điểm M , N , R S thuộc đường tròn Hướng dẫn giải Trang 01 Website: tailieumontoan.com Do ABCD hình thoi nên O trung điểm AC,BD ; AC,BD phân giác góc A, B ,C , D nên ∆MAO = ∆SAO = ∆NCO = ∆PDO ⇒ OM = ON = OP = OS hay bốn điểm M , N , R S thuộc đường tròn Cho tam giác ABC có đường cao BH CK Chứng minh B , K , H , C nằm đường trịn Xác định tâm đường trịn Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm CB , ∆CHB; ∆CKB vuông H , K nên IC = IB = IK = IH hay B , K , H , C nằm đường tròn tâm I Mức độ 2: TH Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I ( I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác giác nội tiếp đường tròn B C ), AE cắt CD F Chứng minh: BEFI tứ Hướng dẫn giải C E F A B I O D Tứ giác BEFI có: BIF = 90 (gt) = BEF = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BEA Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường trịn đường kính BF Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O; R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B , C tiếp điểm) Trên cung nhỏ ( I ∈AB,K ∈AC) BC lấy điểm M , vẽ MI ⊥ AB , MK ⊥ AC , MI ⊥ AB, MK ⊥ AC a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn Trang 02 Website: tailieumontoan.com b) Vẽ MP ⊥ BC (P ∈ BC ) Chứng minh: CPMK tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải A K I M H B C P O a) Ta có: AIM = AKM = 90 (gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường trịn đường kính AM b) Tứ giác CPMK có MPC = MKC = 90 (gt) Do CPMK tứ giác nội tiếp Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB , M thuộc cạnh BC cho: IEM = 90 ( I M không trùng với đỉnh hình vng ) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường trịn b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC ; K giao điểm BN tia EM Chứng BKCE tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải K N M B C I E A D a)Tứ giác BIEM : IBM = IEM = 90 (gt);hay tứ giác BIEM nội tiếp đường trịn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME = IBE = 45 (do ABCD hình vng) c) ∆EBI ∆ECM có BE = CE , BEI = CEM ( IEM = BEC = 90 ) ⇒ ∆EBI =∆ECM (g-c-g) ⇒ MC = IB ⇒ MB = IA Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 03 Website: tailieumontoan.com MA = MB = IA Suy IM song song với BN MN MC IB Vì CN / / BA nên theo định lí Thalet, ta có: (định lí Thalet đảo) ⇒BKE=IME=45 0 (2) Lại có BCE = 45 (do ABCD hình vng) Suy BKE = BCE ⇒ BKCE tứ giác nội tiếp Mức độ 3: VDT Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn ( C tiếp điểm) AC cắt OM E ; MB cắt nửa đường tròn (O) D ( D khác B ) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải x N C M D E A I H O B =MCO= 90 ⇒ AMCO tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính Vì MA, MC tiếp tuyến nên: MAO MO 0 ADB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)⇒ ADM = 90 (1) Lại có: OA = OC = R ; MA = MC (tính chất tiếp tuyến) Suy OM đường trung trực AC ⇒ AEM = 90 (2) Từ (1) (2) suy AMDE tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MA Cho hai đường tròn (O) (O′) cắt A B Vẽ AC , AD thứ tự đường kính hai đường trịn (O) (O′) a) Chứng minh ba điểm C , B , D thẳng hàng b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O ) E ; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) F ( E, F khác ′ A ) Chứng minh bốn điểm C , D , E , F nằm đường tròn Hướng dẫn giải Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 04 Website: tailieumontoan.com F E d N A I M O O / D K B C ′ a) ABC ABD góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) (O ) ⇒ ABC = ABD = 90 Suy C , B , D thẳng hàng b) Xét tứ giác CDEF có: CFD = CFA = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) CED = AED = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O ) / ⇒CFD=CED= 90 suy CDEF tứ giác nội tiếp Cho đường tròn (O) (O ) cắt hai điểm A (O ) điểm thứ hai C ′ (O) , B phân biệt Đường thẳng OA cắt D Đường thẳng O A cắt (O) , (O ) điểm thứ hai ′ ′ ′ F E E, Chứng minh đường thẳng AB , CE DF đồng quy điểm I Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải: I E D A O C B P Ta có: ABC = 90 o O' H F Q (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên B , C , F thẳng hàng AB , CE DF đường ABF = 90 cao tam giác ACF nên chúng đồng quy Do IEF = IBF = 90 suy BEIF nội tiếp đường tròn Mức độ 4: VDC Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N thuộc nửa đường tròn (O) Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua V vng góc với NM cắt Ax , By thứ tự C D Trang 05 Website: tailieumontoan.com a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD từ suy IMKN tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải y x D N C I A K MO B a)Ta có tứ giác ACNM có: MNC = 90 (gt) MAC = 90 ( tínhchất tiếp tuyến) ⇒ ACNM tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường trịn đường kính MD b) ∆ANB ∆CMD có: ABN = CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp) BAN = DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp ) nên ∆ANB c) ∆ANB ∆CMD o ⇒CMD=ANB=90 ∆CMD (g.g) (do ANB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) ) Suy IMK = INK = 90 ⇒ IMKN tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính IK BÀI TẬP TỰ LUYỆN Mức độ 1: NB Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M , N hình chiếu B đường thẳng AC , AD Chứng minh bốn điểm A, B , M , N nằm đường tròn HD: Chứng minh bốn điểm A, B , M , N nằm đường trịn đường kính AB Bài Cho tam giác ABC có hai đường cao BD CE cắt H Chứng minh bốn điểm A, D , H , E nằm đường tròn (gọi tâm O) HD Chứng minh bốn điểm A, D , H , E nằm đường trịn đường kính AB Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) Các đường cao BE CF cắt H Chứng minh: AEHF BCEF tứ giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải: Tứ giác AEHF có: AEH = AFH = 90 (gt) Suy AEHF tứ giác nội tiếp - Tứ giác BCEF có: BEC = BFC = 90 (gt) Suy BCEF tứ giác nội tiếp II Phương pháp chứng minh “Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù ( tổng hai góc đối diện 1800 ) CÁC VÍ DỤ Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 06 Website: tailieumontoan.com Mức độ 1: NB Hình chữ nhật; Hình thang cân; Hình bình hành Hình nội tiếp đường trịn? Chứng minh Hướng dẫn giải Ta có hình chữ nhật hình thang cân có tổng hai góc đối diện bù nên chúng nội tiếp đường tròn Cho tứ giác ABCD cho: AD cắt BC M MA.MD = MB.MC Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp Hướng dẫn giải Xét hai tam giác MAB , MCD MA MC MA.MD = MB.MC ⇒ MB =MD CóAMB = CMDvà hay∆MAB ∆MCDhay MCD = MAB ⇒ DAB + BCD = 180o hay tứ giác ABCD nội tiếp Cho đường trịn (O; R) ,đường kính AB Dây BC = R Từ B kẻ tiếp tuyến cắt Bx Bx với đường tròn Tia AC M Gọi E trung điểm AC Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải B O Ta có E trung điểm AC ⇒ OE ⊥ AC I A o Mà Bx ⊥ AB ⇒ ABx = 90 nên tứ giác OBME nội tiếp E C Mức độ 2: TH M x Cho đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với O AB I ( I nằm A F ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD giác nội Chứng minh: BEFI tứ tiếp đường tròn Hướng dẫn giải C E F A B I O D 0 Tứ giác BEFI có: BIF = 90 (gt) BEF = BEA = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF Trang 07 Website: tailieumontoan.com Cho đường trịn tâm O đường kính AB , điểm M nửa đường trịn ( M khác A , B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I ; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E ; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H , cắt AM K Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải X I F M H E K 12 Ta có: AMB = 90 o o A O B o = 90 (vì hai góc kề bù) ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ⇒ KMF o = 90 (vì hai góc kề bù) ⇒ KEF + KMF = 180 EFMK tứ giác nội tiếp AEB = 90 o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ⇒ KEF Cho đường tròn tâm O đường kính AB , Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E , F ( F B E ) Chứng minh: ABD = DFB Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp X E C F D A O B Hướng dẫn giải: 1) ∆ADB có ADB = 90 tam giác 180o )(1) ∆ABF có ABF = 90 180o ) (2) o o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ⇒ ABD + BAD = 90 ( BF tiếp tuyến ) ⇒ AFB + BAF o (vì tổng ba góc o = 90 (vì tổng ba góc tam giác Từ (1) (2) ⇒ ABD = DFB ( 2) ) Tứ giác ACDB nội tiếp O ⇒ ABD + ACD = 180o ⇒ ECD + ACD = 180 o ∠ ( Vì hai góc kề bù) ⇒ ECD = DBA Theo ABD = DFB , ECD = DBA ⇒ ECD = DFB Mà EFD + DFB = 180 nên ⇒ ECD + AEFD = 180o , tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp Mức độ 3: VDT o ( Vì hai góc kề bù) Liên hệ word tốn zalo: 039.373.2038 Trang 08 Website: tailieumontoan.com a) Do BD, BH hai tiếp tuyến cắt đường tròn M HBD BM tia phân giác ABD B1 Lý luận tương B2 BAC AM tia phân giác tự BAC b) AMB 90 A1 A2 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) HBD BAC A1 B1 90 Vậy AC / /BD , mà MD BD, MC AC (gt) 90 HBD BAC 180 nên M , C , D thẳng hàng Ta có OM đường trung bình hình thang vuông ABDC nên OM / /AC mà CD AC (gt) OM CD M , CM bán kính M CD tiếp tuyến đường tròn O M c) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt đường trịn, có: AC AH BD BH AC BD AH BH Áp dụng hệ thức lượng tam AB 2R const giác vuông: AC BD AH BH MH CD2 (do CHD vng có HM trung tuyến ứng với cạnh huyền) Ta có IP / /AM (vì vng góc với MB ).Kéo dài IP cắt AN K ; AMN có IK đường trung bình K trung điểm AN Mà A, N cố định nên K cố định Điểm P ln nhìn hai điểm K , B cố định góc vng nên P chuyển động đường trịn đường kính KB d) Câu 18 Giải: E a) Ta có AIB 90 (góc nội tiếp chắn nủa đường tròn) BI AE C F Tương tự AC BE AEB có hai K đường cao AC , BI cắt A K K trực tâm AEB b) Do I điểm AC H O EK AB (tính chất ba đường cao) IA IC IBA IBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Mà IAC IBC (hai góc nội tiếp chắn IC ) IAC IBA FAK có AI đường cao AI BI I) B đồng thời đường trung tuyến (F K đối xứng qua Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 028 Website: tailieumontoan.com FAK cân A FAI Ta IAK có FAB FAI IAB IBA IAB 90 O sin BAC IAB IAK KH AK AF AB A AF tiếp tuyến KH c) sin KAH AK mà AK có BI vừa đường cao vừa đường HK ABE phân giácABE cân B nên BI đường trung trực KA KE K BI EH EK KH KH Ta có KH KH 2HE KH Và 2HE.KE KH 2 HK 2HK KH 6KH 3 HK 2 2HE.KE Suy KH KH 2HE Q N Câu 19 Giải: C a) Do M điểm AC M MA MC NBM ABM B (hai góc nội tiếp chắn hai cung O A nhau) BM đường phân giác ABN ABM [ Mặt BMA 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) BAN có BM vừa đường cao vừa đường phân giác BAN cân B Ta lại có(vì bù) Do BAN BNABAN MCNBCMBNA MCNCMN cân M b) Do MB MQ (gt)BMQ cân M MBQ MQB MCB BC góc nhau)BCMQNM (g.g) QN (góc nội tiếp vng CM MN) QN BC.BCA 90 A , AC BQ có: MNQ (vì bù với hai CM (do CMN cân M nên MN chắn nửa đường tròn) Xét BAQ AB BC.BQ BC BN NQ (1) Đặt BC x , x , biết AB 2R , từ (1) BC AB BC cho 4R x 2R x x 2Rx 4R2 ' R 4R 5R ' R , x R R x R R (loại) Vậy BC R Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 029 MA MB Website: tailieumontoan.com Câu 20 Giải: a) Đường kính AC vng góc MD với dây DE M Tứ giác ADBE có MD MB (gt), AB MA ME ME, DE ADBE hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vng góc nhau) (góc nội tiếp chắn nủa đường trịn b) Ta có BIC 90 ) O' (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ADC 90 O mà BE / /AD E , B, I thẳng hàng (tiên đề Ơclit) ứng với ) BI CD AD DC nên AD / /BI , DIE có IM đường trung tuyến cạnh huyền MI MD Do MI MD (cmt)MDI cân M MID MDI + O ' I O ' C RO ' IC cân O ' O ' IC O ' CI Suy MID O 'IC MDI bán kính đường trịn 90 O 'CI ( MCD vng M ) Vậy MI O ' I I , O ' I R ' O ' MI tiếp tuyến đường tròn O ' (cùn g c) BCI BIM (góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn BI ) BCI BIH phụ HIC ) BIM BIH Ta lại có BI CI IC IB phân giác MIH MIH phân giác đỉnh I MIH Áp dụng tính chất phân giác MIH có: BH MB IH MI CH CH.MB BH.MC CM A Câu 21 Giải: Xét tứ giác AKDL có KDL KAL P 180 0 (vì K L 90 ) KDL 180 60 120 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có DM , DN tia phân giác KDP PDL 120 KDP PDL KDL Ta có: MDN 60 2 MDC MDN NDC BM NDC BMD CD CN BD 60 NDC ;MDC , mà MBD DCN BM.CN BD.CD 60 BC N M K B C D 60 B BMD BMD ( ABC đều) L NDC (góc ngồi BMD ) CDN (g.g) Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 030 Website: tailieumontoan.com MN.PD S MDN b) Ta có S MN PD MN KD AD.BC ABC MN BC AD BC AD 2BC Vì D MD tia phân giác BMN DK DP , AKD có AD KD 0 K 90 ,KAD 30 KD AD c) Dựng đường trịn bàng tiếp góc A có tâm O AEF Do AD đường trung tuyến Suy O AC Gọi P ', K ', L ' ABC nên AD tia phân giác BAC tiếp điểm O với EF , AB, AC Ta có AK ' AL '; P ' E EK '; P ' F FL ' (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) PAEF AE EF FA AE EP ' P 'F FA AE EK ' FL ' FA AK ' AL ' 2AK ' Mà PAEF 2AK ' PABC2 AB ( ABC đều) BK '.AB AB BK ' AK ' 2 AB PABC (gt) Mặt khác BD BC BD AB (vì AK ' K ' B AB ) ( D trung điểm BC ); AB BC Ta lại ( ABC đều) BK có '.AB BD BKD ' BDA (c.g.c) BK 'D BDA 90 0 (vì AK ' DL ' tứ giác nội OK 'B 90 O D (vì O, D AD ) Mà K ' AL ' K ' DL ' 180 0 (tia phân giác hai góc tiếp) mà K ' AL ' 60 K 'DL ' 120 kề) EDF 60 Câu 22 Giải: a) Xét có chung; M MAD MBA AMB (góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây chắn) MAD MBAAD MB b) AB MD B C O MA Ta có MA MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt đường tròn) tự, ta có A E MAD $ MBA (g.g) MA AD D AD AB MD MD Lập luận tương MA MC MC CD BC AD BC AB CD c) Dựng điểm E AC cho EDC ADB MD CD BC Suy Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 031 Website: tailieumontoan.com vàcó(cách dựng),(hai góc nội tiếp chắn DABDEC ADB EDCABD ECD AD ) DAB $ DEC (g.g) AB BD EC DC AB DC EC BD (1) Do , nên DAE $ DBC EDC ADB BDC ADE Từ (1) (2) ta có AB CD AD BC BD AE EC AD.BC AB.CD c) Ta có BD.AC 2AB.CD AC.BD AD.BC AB.CD AC.BD 2AB CD Mà AC 2AB (gt) Câu 23 Giải: 2AB BD CD BD Suy tam giác BCD cân D C a) Áp dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ta có: E I M D , AEB AMB 90 BMC (g.g) AD BC BD AE (2) AEC 90 A H B O 180 Tứ giác MCED nội tiếp đường trịn ABC có hai đường cao AEC BMC BM , AE cắt D D trực tâm ABC CD AB b) cos ABC BE BH AB BC BE.BC BH.AB c) + Gọi I giao điểm tiếp tuyến M đường tròn O đường tròn với CD Trong có(góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây chắn), OIMD MABMB (cùng phụ với ACH ) IMD MDI MAB MDI Ta lại có IMC ICM Vậy IM ID IC IMD cân I IM ID (cùng phụ với hai góc nhau)MIC cân I IM IC I trung điểm CD + CED có EI trung tuyến ứng với cạnh huyền nên IE IC ID IM , CED IED có IM IE (cmt), OI chung, OM OE R IMO IEO tạ (c.c.c) IEO IMO 90 IE OE , OE R nên IE tiếp tuyến đường tròn O i E Nghĩa tiếp tuyến M , E đường tròn O cắt điểm I thuộc CD d) AHC có H 90 0 EAB 30 EBA 60 Ta có AB AH HB 2R x 45 AHC vng cân H CH AH x HB ; cot EBA HC cot 60 3HB HC , CAH x 6R R3 3 3 x Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 032 Website: tailieumontoan.com Vậy SABC AB.CH 2 Câu 24 Giải: BDO BOD 180 a) Ta có 180 BOD COE R2 (đvdt) .2R.R B 120 DOE 120 , BDO COE A mà DOE B 60 BD OB BDOCOE (g.g) OC BD CE OB OC BC CE E D (không đổi) P Q I N B b) C D OD O E BDOCOE BD BD OC OB mặt khác , mà tia DO nằm hai tia DBO DOE 60 BDOODE (c.g.c) BDO ODE DB, DE DO tia phân giác BDE , mà DO c) ABC nên đường trung tuyến AO đường phân giác BAC phân giác đỉnh D O tâm đường trịn bàng tiếp góc A ADE ĐƯờng trịn O ln tiếp xúc DE , AC d) AP AQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), AB AC AP AQ 0 , mà DOE 60 IQE IOE 60 ;O, Q AB AC PQ / /BC IQA ACB 60 hai đỉnh liên tiếp tứ giác IOQE Tứ giác IOQE nội tiếp (cùng thuộc cung chứa góc) 0 Lý luận tương tự DNE 90 Vậy tứ giác DINE ( DIE DNE Suy EIO EQO 90 nhìn DE góc vng) ONI ODE DE IN ON ODcos 60 Vậy ONIODE DE 2NI Câu 25 Giải: B a) Do AB, AC hai tiếp tuyến M E O cắt đường tròn O A G' I H G nên ABO ACO (g.g) 90 B, C K C Liên hệ word tốn zalo: 039.373.2038 Trang 033 Website: tailieumontoan.com thuộc đường trịn đường kính OA có tâm I trung điểm OA b)Ta có AM AO AB 2AI AB AI c) Gọi E trung điểm MA, G trọng tâm CMA nên G CE ME MA BE (vì ME GE CE Mặt khác MB BE GE ME nên ME 3) CE BE , theo định lý Ta-lét đảo MG //BC d) Gọi G ' giao điểm OA CM G ' trọng tâm ABC Nên theo G'M GE , CM CE' định lý Ta-lét đảo GG '/ /ME (1) MI đường trung bình OAB MI / /OB , mà AB OB (cmt) MI AB , nghĩa MI ME (2) Từ (1) (2) cho MI GG ' , ta lại có GI ' MK (vì OA MK ) nên I trực tâm MGG ' GI G ' M tức GI CM Câu 26 Giải: A a) Gọi O ' giao điểm AO O' với cung nhỏ DE đường tròn N O O O ' thuộc đường phân giác A ADE Ta có C B (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) DOA EOADO ' O 'E M E D ' phân DO giác Mà ADO ' sđ DO ';EDO ' sđO ' E ADO ' EDO ' đường trịn nội tiếp ADE Do OO ' R D O ' tâm b) Do AB AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)ADE cân A nên 180 ADE BAC 90 BAC ABC Mà ADE ABM NMB ABC phân giác nê ABC n ABM B ) NMB ADE 90 BAC NMB (do BO ABC ACB Mặt ACB (do CO tia phân giác ACB ) Suy , mà M , C hai khác NCB đỉnh NMB NCB liên tiếp tứ giác BCMN Tứ BCMN nội tiếp (vì thuộc cung chứa giác góc) c) NMO BCO có NOM BOC (đối đỉnh); NMO BCO (cmt)NMO $ BCO (g.g) OM ON MN Tương tự DMO $ ACO (g.g) DM OM ; NEO$ BAO OB OC OC BC AC (g.g) -//// - Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 034 Website: tailieumontoan.com Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 035 ... TỨ GIÁC NỘI TIẾP A KIẾN THỨC CƠ BẢN Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Đường trịn gọi đường trịn ngoại tiếp tứ giác I Phương pháp chứng minh: Chứng minh bốn đỉnh tứ. .. nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao BE CF cắt H Chứng minh: AEHF BCEF tứ giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải: Tứ giác AEHF có: AEH = AFH = 90 (gt) Suy AEHF tứ giác nội tiếp - Tứ giác. .. IMKN tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải y x D N C I A K MO B a)Ta có tứ giác ACNM có: MNC = 90 (gt) MAC = 90 ( tínhchất tiếp tuyến) ⇒ ACNM tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MC Tương tự tứ giác