Ph−¬ng ph¸p biÕn ®æi biÓu thøc cÇn chøng minh vÒ d¹ng tæng...[r]
(1)TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp giáo dục
Phần I: Tóm tắt lý thuyết I Định nghĩa phép chia
Cho s nguyên a b b ≠ ta ln tìm đ−ợc hai số ngun q r cho:
a = bq + r Víi ≤ r ≤ | b|
Trong đó: a số bị chia, b số chia, q th−ơng, r số d− Khi a chia cho b xẩy | b| số d−
r ∈ {0; 1; 2; …; | b|}
Đặc biệt: r = a = bq, ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: a⋮b hay b\ a
VËy: a ⋮ b ⇔ Cã sè nguyªn q cho a = bq
II C¸c tÝnh chÊt
1 Víi ∀ a ≠ ⇒ a ⋮ a NÕu a ⋮ b vµ b ⋮ c ⇒ a ⋮ c Víi ∀ a ≠ ⇒ ⋮ a
4 NÕu a, b > vµ a ⋮ b ; b ⋮ a ⇒ a = b NÕu a ⋮ b vµ c bÊt kú ⇒ ac ⋮ b NÕu a ⋮ b ⇒ (±a) ⋮ (±b)
7 Víi ∀ a ⇒ a ⋮ (±1)
8 NÕu a ⋮ b vµ c ⋮ b ⇒ a ± c ⋮ b NÕu a + b ⋮ c vµ a ⋮ c ⇒ b ⋮ c 10 NÕu a ⋮ b vµ n > ⇒ an ⋮ bn 11 NÕu ac ⋮ b vµ (a, b) =1 ⇒ c ⋮ b
12 NÕu a ⋮ b, c ⋮ b vµ m, n bÊt kú am + cn ⋮ b 13 NÕu a ⋮ b vµ c ⋮ d ⇒ ac ⋮ bd
14 TÝch n sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho n!
III Mét sè dÊu hiÖu chia hÕt
Gäi N = a a a a a a a1 2 3 4 n-2 n-1 n
1 DÊu hiÖu chia hÕt cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 + N ⋮ ⇔ an ⋮ ⇔ an∈{0; 2; 4; 6; 8}
+ N ⋮ ⇔ an ⋮ ⇔ an∈{0; 5}
(2)TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiệp giáo dục + N (hoặc 9) ⇔ a0 + a1+ +an ⋮ (hc 9)
3 Mét sè dÊu hiƯu kh¸c
+ N ⋮ 11 ⇔ [(a0 + a2 + ) - (a1 + a3+ )] =
+ N ⋮ 101 ⇔ (a a1 2+a a5 6 + )−(a a3 4 +a a7 8 + )=0
+ N ⋮ (hc 13) ⇔ (a a a1 2 3+a a a7 8 9 + )−(a a a4 5 6 +a a a10 11 12+ )=0
IV §ång d− thøc
a Định nghĩa: Cho m số nguyên d−ơng Nếu hai số nguyên a b cho số d− chia cho m ta nói a đồng d− với b theo modun m
Ký hiÖu: a ≡ b (modun m)
VËy: a ≡ b (modun m) ⇔ a - b ⋮ m
b C¸c tÝnh chÊt
1 Víi ∀ a ⇒ a ≡ a (modun)
2 NÕu a ≡ b (modun m) ⇒ b ≡ a (modun m)
3 NÕu a ≡ b (modun m), b ≡ c (modun m) ⇒ a ≡ c (modun m)
4 NÕu a ≡ b (modun m) vµ c ≡ d (modun) ⇒ a + c ≡ b + d (modun m) NÕu a ≡ b (modun m) vµ c ≡ d (modun m) ⇒ ac ≡ bd (modun m) NÕu a ≡ b (modun m), d ∈ ¦C (a, b) vµ (d, m) =1
⇒ a b
d ≡ d(modun m)
7 NÕu a ≡ b (modun), d > vµ d ∈ Uc (a, b, m) ⇒ a b
d ≡ d (modun d m
)
V Một số định lý 1 Định lý Euler
NÕu m số nguyên dơng (m) số số nguyên dơng nhỏ m nguyên tố víi m, (a, m) =
Th× aϕ(m) ≡ (modun) Công thức tính (m)
Phân tích m thõa sè nguyªn tè m = p1α1 p
2
α2 … p k
αk víi p
i ∈ p; αi ∈ N* Th× ϕ(m) = m(1 -
` 1
p )(1 - 2
p ) … (1 - pk
) 2 Định lý Fermat
Nếu t số nguyên tố a không chia hết cho p ap-1 (modp)
3 Định lý Wilson
Nếu p số nguyên tố ( P - 1)! + ≡ (modp)
(3)TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp giáo dục Ví dụ 1: Tìm chữ số a, b cho a56b ⋮ 45
Gi¶i Ta thÊy 45 = 5.9 mµ (5 ; 9) =
để a56b ⋮ 45 ⇔ a56b ⋮ Xét a56b ⋮ ⇔ b ∈ {0 ; 5}
NÕu b = ta cã sè a56b ⋮ ⇔ a + + + ⋮
⇒ a + 11 ⋮ ⇒ a =
NÕu b = ta cã sè a56b ⋮ ⇔ a + + + ⋮
⇒ a + 16 ⋮ ⇒ a = VËy: a = vµ b = ta cã sè 7560
a = vµ b = ta cã sè 2560
Ví dụ 2: Biết tổng chữ số số khơng đổi nhân số với Chứng minh số chia hết cho
Giải Gọi số cho a
Ta cã: a vµ 5a chia cho cïng cã sè d− ⇒ 5a - a ⋮ ⇒ 4a ⋮ mµ (4 ; 9) =
⇒ a ⋮ (§pcm)
VÝ dơ 3: CMR sè
1 sè 81
111 111… ⋮ 81
Gi¶i Ta thÊy: 111111111 ⋮
Cã
1 sè 81
111
111… = 111111111(1072 + 1063 + + 109 + 1)
Mµ tỉng 1072 + 1063 + + 109 + có tổng chữ số ⇒ 1072 + 1063 + + 109 + ⋮
VËy:
1 sè 81
111
111… ⋮ 81 (§pcm)
Bài tập tơng tự
Bài 1: Tìm chữ số x, y cho a 34x5y vµ
b 2x78 ⋮ 17
(4)TRNG THCS TH TRN Vì nghiệp giáo dôc b N ⋮ 16 ⇔ (a + 2b + 4c + 8d) ⋮ 16 víi b ch½n
c N ⋮ 29 ⇔ (d + 2c + 9b + 27a) ⋮ 29
Bài 3: Tìm tất số có chữ số cho số gấp lần tích chữ số số Bài 4: Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 đến 80 ta đ−ợc số A = 192021 7980 Hỏi số A có chia hết cho 1980 khơng ? Vì sao?
Bµi 5: Tỉng cđa 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã chia hÕt cho 46 không? Vì sao? Bài 6: Chứng tỏ sè
1 sè 100
11
11…
2 sè 100
22
22… tích số tự nhiên liên tiếp
Hớng dẫn - Đáp số
Bài 1: a x = vµ y = x = vµ y =
b 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)⋮17 ⇔ x =
Bµi 2: a N⋮4 ⇔ ab ⋮4 ⇔ 10b + a⋮4 ⇔ 8b + (2b + a) ⋮4
⇒ a + 2b⋮4 b N⋮16 ⇔ 1000d + 100c + 10b + a⋮16
⇔ (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) ⋮16 ⇒ a + 2b + 4c + 8d⋮16 víi b ch½n
c Cã 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca ⋮29 mµ (1000, 29) =1
dbca ⋮29
⇒ (d + 3c + 9b + 27a) ⋮29 Bµi 3: Gọi ab số có chữ số
Theo bµi ta cã:
ab = 10a + b = 2ab (1) ab ⋮2 ⇒ b ∈{0; 2; 4; 6; 8}
thay vµo (1) a = 3; b = Bµi 4: Cã 1980 = 22.32.5.11
Vì chữ số tận cïng cđa a lµ 80 ⋮ vµ ⇒ A
Tổng số hàng lẻ + (2 + + + 7).10 + = 279 Tổng số hàng chẵn + (0 + + + 9).6 + = 279 Cã 279 + 279 = 558 ⋮ ⇒ A ⋮
279 - 279 = ⋮ 11 ⇒ A ⋮ 11
Bµi 5: Tỉng số tự nhiên liên tiếp số lẻ nên kh«ng chia hÕt cho
(5)TRNG THCS TH TRN Vì nghiệp giáo dục Bµi 6: Cã
1 sè 100 11 11… sè 100 22
22… =
1 sè 100 11 11… sè 99 02 100… Mµ sè 99 02
100… = sè 99 34 33… ⇒ sè 100 11 11… sè 100 22
22… =
3 sè 100 33 33… sè 99 34
33 (Đpcm)
2 Phơng ph¸p 2:Sư dơng tÝnh chÊt chia hÕt
* Chó ý: Trong n số nguyên liên tiếp có chØ sè chia hÕt cho n CMR: Gäi n số nguyên liên tiếp
m + 1; m + 2; .; m + n víi m ∈ Z, n ∈ N*
LÊy n sè nguyªn liªn tiÕp chia cho n ta đợc tập hợp số d− lµ: {0; 1; 2; … n - 1} * Nếu tồn số d 0: giả sử m + i = nqi ; i = 1, n
⇒ m + i ⋮ n
* NÕu không tồn số d số nguyên dÃy chia hết cho n ph¶i cã Ýt nhÊt sè d− trïng
Gi¶ sư: + = + ≤ ≤ + = + r qjn j m n j i; r nqi i m
⇒ i - j = n(qi - qj) ⋮ n ⇒ i - j ⋮ n mµ i - j< n ⇒ i - j = ⇒ i = j
⇒ m + i = m + j
Vậy n số có số số chia hết cho n
VÝ dơ 1: CMR: a TÝch cđa sè nguyên liên tiếp chia hết cho b TÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho
Gi¶i
a Trong số nguyên liên tiếp có số chẵn ⇒ Số chẵn chia hết cho
VËy tÝch cđa số nguyên liên tiếp chia hết cho
Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho nªn tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho
b Trong sơ nguyên liên tiếp bao giơ có số chia hết cho ⇒ Tích số chia hết cho mà (1; 3) =
VËy tÝch số nguyên liên tiếp chia hết cho
VÝ dơ 2: CMR: Tỉng lËp ph−¬ng cđa số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải
Gọi số nguyên liên tiếp lần lợt lµ: n - , n , n+1 Ta cã: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3
= 3n3 - 3n + 18n + 9n2 +
= 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n Ta thÊy (n - 1)n (n + 1) ⋮ (CM VÝ dô 1)
(6)TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN Vì nghiệp giáo dục mà
2
9(n 1) 9 18n 9
+
⋮ ⋮
⇒ A ⋮ (§PCM)
VÝ dô 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n 84 với n chẵn, n4 Giải
Vì n chẵn, n ≥ ta đặt n = 2k, k ≥
Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = đặt 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1)
Với k ≥ nên k - 2, k - 1, k + 1, k số tự nhiên liên tiếp nên số có số chia hết cho số chia hết cho ⇒ (k - 2)(k - 1)(k + 1)k ⋮
Mµ (k - 2) (k - 1)k ⋮ ; (3,8) = ⇒ (k - 2) (k - 1) (k + 1)k ⋮ 24
⇒ 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k ⋮ (16,24)
VËy n4 - 4n3 - 4n2 +16n ⋮ 384 víi ∀ n chẵn, n
Bài tập tơng tự
Bµi 1: CMR: a n(n + 1) (2n + 1) ⋮
b n5 - 5n3 + 4n ⋮ 120 Víi ∀ n ∈ N Bµi 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n ⋮ 24 Víi ∀ n ∈ Z Bµi 3: CMR: Víi n lẻ
a n2 + 4n + ⋮ b n3 + 3n2 - n - ⋮ 48 c n12 - n8 - n4 + ⋮ 512
Bµi 4: Víi p số nguyên tố p > CMR : p2 - ⋮ 24
Bµi 5: CMR: Trong 1900 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã sè có tổng chữ số chia hết cho 27
Hớng dẫn - Đáp số
Bài 1:
a) n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)] = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) ⋮ b) n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n
= n(n2 - 1) (n2 - 4)
(7)TRƯỜNG THCS TH TRN Vì nghiệp giáo dục = n(n3 + 6n2 + + 11n)
= n(n + 1) (n + 2) (n + 3) ⋮ 24 Bµi 3:
a) n2 + 4n + = (n + 1) (n + 3) ⋮ b) n3 + 3n2 - n - = n2(n + 3) - (n + 3)
= (n2 - 1) (n + 3)
= (n + 1) (n - 1) (n + 3)
= (2k + 4) (2k + 2) (2k víi n = 2k + 1, k ∈ N) = 8k(k + 1) (k +2) ⋮ 48
c) n12 - n8 - n4 + = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1) = (n4 - 1) (n8 - 1)
= (n4 - 1)2 (n4 + 1)
= (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1) = 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1)
Víi n = 2k + ⇒ n2 + n4 + số ch½n ⇒ (n2 + 1)2 ⋮ n4 + ⋮ ⇒ n12 - n8 - n4 + ⋮ (24.22 22 21)
VËy n12 - n8 - n4 + ⋮ 512
Bµi 4: Cã p2 - = (p - 1) (p + 1) p số nguyªn tè p > ⇒ p ⋮ ta cã: (p - 1) (p + 1) ⋮
và p = 3k + p = 3k + (k ∈ N) ⇒ (p - 1) (p + 1) ⋮
VËy p2 - 24
Bài 5: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp n, n +1; n + 2; ; n + 1989 (1)
trong 1000 tù nhiªn liªn tiÕp n, n + 1; n + 2; ; n + 999
có số chia hết cho 1000 giả sử n0, n0 có tận chữ số giả sử tổng chữ số n0 s 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; ;
n0 + 99; n0 + 199; ; n0 + 899 (2)
Cã tæng chữ số lần lợt là: s; s + ; s + 26 Cã sè chia hÕt cho 27 (§PCM)
* Chó ý: n + 899 ≤ n + 999 + 899 < n + 1989 ⇒ C¸c sè ë (2) n»m d·y (1)
3 Phơng pháp 3:xét tập hợp số d phép chia
VÝ dơ 1: CMR: Víi ∀ n ∈ N
Th× A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hÕt cho Gi¶i
(8)TRNG THCS TH TRN Vì nghiệp giáo dục Ta chøng minh A(n) ⋮
LÊy n chia cho ta đợc n = 3k + (k ∈ N) Víi r ∈ {0; 1; 2}
Víi r = ⇒ n = 3k ⇒ n ⋮ ⇒ A(n) ⋮
Víi r = ⇒ n = 3k + ⇒ 2n + = 6k + ⋮ ⇒ A(n) ⋮ Víi r = ⇒ n = 3k + ⇒ 7n + = 21k + 15 ⋮ ⇒ A(n) ⋮ ⇒ A(n) ⋮ víi ∀ n mµ (2, 3) =
VËy A(n) ⋮ víi ∀ n ∈ N
VÝ dơ 2: CMR: NÕu n ⋮3 th× A(n) = 32n + 3n + ⋮ 13 Víi ∀ n ∈ N Gi¶i
V× n ⋮3 ⇒ n = 3k + r (k ∈ N); r ∈ {1; 2; 3} ⇒ A(n) = 32(3k + r) + 33k+r +
= 32r(36k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r +
ta thÊy 36k - = (33)2k - = (33 - 1)M = 26M ⋮ 13 33k - = (33 - 1)N = 26N ⋮ 13
víi r = ⇒ 32n + 3n + = 32 + +1 = 13 ⋮ 13 ⇒ 32n + 3n + ⋮ 13
víi r = ⇒ 32n + 3n + = 34 + 32 + = 91 ⋮ 13 ⇒ 32n + 3n +
Vậy với n ⋮ A(n) = 32n + 3n + ⋮ 13 Với ∀ n ∈ N Ví dụ 3: Tìm tất số tự nhiên n để 2n - ⋮
Gi¶i
LÊy n chia cho ta cã n = 3k + (k ∈ N); r ∈ {0; 1; 2} Víi r = ⇒ n = 3k ta cã
2n - = 23k - = 8k - = (8 - 1)M = 7M ⋮ víi r =1 ⇒ n = 3k + ta cã:
2n - = 28k +1 - = 2.23k - = 2(23k - 1) + mµ 23k - ⋮ ⇒ 2n - chia cho d−
víi r = ⇒ n = 3k + ta cã : 2n - = 23k + 2 - = 4(23k - 1) + mµ 23k - ⋮ ⇒ 2n - chia cho d− VËy 23k - ⋮ ⇔ n = 3k (k N)
Bài tập tơng tù
(9)TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN Vì nghiệp giáo dục Bài 2: Cho A = a1 + a2 + + an
B = a5 + a
5
2 + + a
n
Bài 3: CMR: Nếu (n, 6) =1 n2 - ⋮ 24 Với ∀ n ∈ Z Bài 4: Tìm số tự nhiên W để 22n + 2n + ⋮
Bài 5: Cho số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4 + = n2 CMR: mn ⋮ 55
H−íng dÉn - Đáp số
Bài 1: + A(n)
+ LÊy n chia cho ⇒ n = 5q + r r ∈ {0; 1; 2; 3; 4} r = ⇒ n ⋮ ⇒ A(n) ⋮
r = 1, ⇒ n2 + ⋮ ⇒ A (n) ⋮ r = 2; ⇒ n2 + ⋮ ⇒ A
(n) ⋮ ⇒ A(n) ⋮ ⇒ A(n) ⋮ 30
Bµi 2: XÐt hiƯu B - A = (a5
1 - a1) + + (a5n - an) ChØ chøng minh: a5
i - ⋮ 30 l
Bài 3: Vì (n, 6) =1 ⇒ n = 6k + (k ∈ N) Víi r ∈ {±1}
r = ±1⇒ n2 - ⋮ 24 Bµi 4: XÐt n = 3k + r (k ∈ N)
Víi r ∈ {0; 1; 2}
Ta cã: 22n + 2n + = 22r(26k - 1) + 2r(23k - 1) + 22n + 2n + Làm tơng tự VD3
Bài 5: Cã 24m4 + = n2 = 25m4 - (m4 - 1) Khi m ⋮ ⇒ mn ⋮
Khi m ⋮ th× (m, 5) = ⇒ m4 - ⋮ (V× m5 - m ⋮ ⇒ (m4 - 1) ⋮ ⇒ m4 - ⋮ 5) ⇒ n2 ⋮ ⇒ n
i5 VËy mn ⋮
4 Phơng pháp 4:sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử
Giả sử chứng minh an k
Ta phân tích an chứa thừa số k phân tích thành thừa số mà thừa số chia hết cho thừa số k
(10)TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN Vì nghiệp giáo dục = (33 + 23) (33 - 23)M
= 35.19M ⋮ 35 VËy 36n - 26n ⋮ 35 Víi ∀ n ∈ N VÝ dơ 2: CMR: Víi ∀ n lµ sè tù nhiên chăn biểu thức A = 20n + 16n - 3n - ⋮ 232
Gi¶i Ta thÊy 232 = 17.19 mµ (17;19) = ta chøng minh
A ⋮ 17 vµ A ⋮ 19 ta cã A = (20n - 3n) + (16n - 1) cã 20n - 3n = (20 - 3)M ⋮ 17M 16n - = (16 + 1)M = 17N ⋮ 17 (n ch½n)
⇒ A ⋮ 17 (1)
ta cã: A = (20n - 1) + (16n - 3n) cã 20n - = (20 - 1)p = 19p ⋮ 19
cã 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q ⋮ 19 (n ch½n) ⇒ A ⋮ 19 (2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒ A ⋮ 232
VÝ dô 3: CMR: nn - n2 + n - ⋮ (n - 1)2 Víi ∀ n >1 Gi¶i Víi n = ⇒ nn - n2 + n - =
vµ (n - 1)2 = (2 - 1)2 = ⇒ nn - n2 + n - 1⋮ (n - 1)2
với n > đặt A = nn - n2 + n - ta có A = (nn - n2) + (n - 1) = n2(nn-2 - 1) + (n - 1)
= n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + … + 1) + (n - 1) = (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 +1)
= (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)] = (n - 1)2M ⋮ (n - 1)2
VËy A ⋮ (n - 1)2 (§PCM)
Bài tập tơng tự
Bài 1: CMR: a 32n +1 + 22n +2 ⋮ b mn(m4 - n4) ⋮ 30
Bµi 2: CMR: A(n) = 3n + 63 ⋮ 72 víi n ch½n n ∈ N, n ≥ Bµi 3: Cho a b số phơng lẻ liên tiÕp CMR: a (a - 1) (b - 1) ⋮ 192
(11)TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× nghiệp giáo dục
Hớng dẫn - Đáp sè
Bµi 1: a 32n +1 + 22n +2 = 3.32n + 2.2n = 3.9n + 4.2n
= 3(7 + 2)n + 4.2n = 7M + 7.2n ⋮
b mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) ⋮ 30 Bµi 3: Cã 72 = 9.8 mµ (8, 9) = vµ n = 2k (k ∈ N)
cã 3n + 63 = 32k + 63 = (32k - 1) + 64 ⇒ A
(n)
Bài 4: Đặt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k ∈ N)
Ta cã (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) ⋮ 64 vµ Bài 5: Có 60 = 3.4.5 Đặt M = abc
Nếu a, b, c không chia hết cho ⇒ a2, b2 c2 chia hết cho d− ⇒ a2 ≠ b2 + c2 Do có số chia hết cho Vậy M ⋮
Nếu a, b, c không chia hết cho ⇒ a2, b2 c2 chia d− ⇒ b2 + c2 chia d− 2;
⇒ a2 ≠ b2 + c2 Do có số chia hết cho Vậy M ⋮ Nếu a, b, c số lẻ ⇒ b2 c2 chia hết cho d− ⇒ b2 + c2 ≡ (mod 4) ⇒ a2 ≠ b2 + c2
Do số a, b phải số chẵn Giả sử b số chẵn
NÕu C lµ sè chẵn M
Nếu C số lẻ mà a2 = b2 + c2 a sè lỴ ⇒ b2 = (a - c) (a + b) ⇒
− + =
2
2
c a c a b
⇒
b ch½n ⇒ b ⋮ ⇒ m ⋮ VËy M = abc ⋮ 3.4.5 = 60
5 Ph−ơng pháp 5:biến đổi biểu thức cần chứng minh
vỊ d¹ng tỉng
Giả sử chứng minh A(n) ⋮ k ta biến đổi A(n) dạng tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tử chia hết cho k
VÝ dơ 1: CMR: n3 + 11n ⋮ víi ∀ n ∈ z Gi¶i Ta cã n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n
(12)TRƯỜNG THCS TH TRN Vì nghiệp giáo dục Vậy n3 + 11n ⋮
VÝ dô 2: Cho a, b ∈ z tho¶ m·n (16a +17b) (17a +16b) ⋮ 11 CMR: (16a +17b) (17a +16b) ⋮ 121
Giải Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b) ⋮ 11 ⇒
+ +
11 16b 17a
11 17b 16a
⋮ ⋮
(1)
Cã 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) ⋮ 11 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒
+ +
11 16b 17a
11 17b 16a
⋮ ⋮
VËy (16a +17b) (17a +16b) ⋮ 121
VÝ dơ 3: T×m n ∈ N cho P = (n + 5)(n + 6) ⋮ 6n Gi¶i Ta cã P = (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30
= 12n + n2 - n + 30 Vì 12n ⋮ 6n nên để P ⋮ 6n ⇔ n2 - n + 30 ⋮ 6n ⇔
⇔
(2) n 30
(1) 1) -n(n 6n
30 n -n2
⋮ ⋮ ⋮
⋮
Tõ (1) ⇒ n = 3k hc n = 3k + (k ∈ N) Tõ (2) ⇒ n ∈ {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} VËy tõ (1); (2) ⇒ n ∈ {1; 3; 6; 10; 15; 30} Thay c¸c giá trị n vào P ta có
n {1; 3; 10; 30} thoả mÃn
Vậy n ∈ {1; 3; 10; 15; 30} th× P = (n + 5)(n + 6) ⋮ 6n
Bµi tËp tơng tự
Bài 1: CMR: 13 + 33 + 53 + 73 ⋮ 23 Bµi 2: CMR: 36n2 + 60n + 24 ⋮ 24 Bµi 3: CMR: a 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 ⋮ 59
b 2n + 14 ⋮
Bài 4: Tìm n N cho n3 - 8n2 + 2n ⋮ n2 +
H−íng dẫn - Đáp số
(13)TRNG THCS THỊ TRẤN Vì nghiệp giáo dục Ta thấy n 3n + không đồng thời chẵn lẻ
⇒ n(3n + 5) ⋮ ĐPCM Bài 3: a 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1
= 5n(25 + 26) + 8 2n+1 = 5n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 + 8.59m ⋮ 59 b 2n + 14 = 9 2n - + 15
= (81n - 1) + 15 = 80m + 15 ⋮
Bµi 4: Cã n3 - 8n2 + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + ⋮ (n2 + 1) ⇔ n + ⋮ n2 + NÕu n + = ⇒ n = -8 (tho¶ m·n)
NÕu n + ≠ ⇒ n + 8≥ n2 + ⇒ − ≥ ≤ − − − ≤ ≤ + + ⇒ − ≥ + ≥ + − ≤ − ≤ + 8 0 7 n 8 0 9 n 8 1 n 8 n 8 1 -n 8 n 2 2 n n n n n n Víi Víi Víi Víi
⇒ n ∈ {-2; 0; 2} thư l¹i VËy n ∈ {-8; 0; 2}
6 Phơng pháp 6:Dùng quy nạp toán học
Gi¶ sư CM A(n) ⋮ P víi n ≥ a (1)
B−ớc 1: Ta CM (1) với n = a tức CM A(n) ⋮ P
B−ớc 2: Giả sử (1) với n = k tức CM A(k) ⋮ P với k ≥ a Ta CM (1) với n = k + tức phải CM A(k+1) ⋮ P B−ớc 3: Kết luận A(n) ⋮ P với n ≥ a
VÝ dô 1: Chøng minh A(n) = 16n - 15n - ⋮ 225 víi ∀ n ∈ N* Gi¶i
Với n = ⇒ A(n) = 225 ⋮ 225 n = Giả sử n = k ≥ nghĩa A(k) = 16k - 15k - ⋮ 225 Ta phải CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - ⋮ 225 Thật vậy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) -
= 16.16k - 15k - 16
= (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15 = 16k - 15k - + 15.15m = A(k) + 225
mµ A(k) ⋮ 225 (giả thiết quy nạp) 225m 225
(14)TRNG THCS TH TRN Vì nghiệp giáo dục VÝ dơ 2: CMR: víi ∀ n ∈ N* n số tự nhiên lẻ ta có 2n n 2
m −1 2⋮ +
Gi¶i
Víi n = ⇒ m2 - = (m + 1)(m - 1) ⋮ (v× m + 1; m - số chẵn liên tiÕp nªn tÝch cđa chóng chia hÕt cho 8)
Gi¶ sư víi n = k ta cã 2k k
m −1 2⋮ + ta ph¶i chøng minh 2k+1 k
m −1 2⋮ +
ThËt vËy 2k k
m −1 2⋮ + ⇒ 2k k
m − =1 + q víi q∈Z
⇒ 2k k 2
m =2 + q+1
cã 2k+1 ( )2k ( k+2 )2
m − =1 m − =1 q +1 −1
2k+4 k+3 k+3 k+1 k+3
2 q q (2 q q)
= + = + ⋮
VËy 2n n
m −1 2⋮ + víi n
Bài tập tơng tự
Bµi 1: CMR: 33n+3 - 26n - 27 ⋮ 29 víi ∀ n ≥ Bµi 2: CMR: 42n+2 - ⋮ 15
Bµi 3: CMR sè đợc thành lập 3n chữ số giống chia hết cho 3n với n số nguyên dơng
Hớng dẫn - Đáp số
Bài 1: Tơng tự ví dụ Bài 2: Tơng tự ví dụ Bài 3: Ta cần CM
sèa n a aa
⋮ 3n (1)
Víi n = ta cã aa a = 111a⋮3
Giả sử (1) với n = k tức
sèa
k
a aa
3
⋮ 3k
Ta chứng minh (1) với n = k + tức phải chứng minh
a sè + k a
aa ⋮ 3k+1 ta cã 3k+1 = 3.3k = 3k + 3k +3k
Cã k k k k a a a a a a a aa 3 3 = + a sè k k k a a a aa a aa 3 10 . 10 . + + =
( 2.3 )
3 3 1 10 10 + + +
= k k k
k
a
(15)TRNG THCS TH TRN Vì nghiệp giáo dục
7 Ph−ơng pháp 7:sử dụng đồng d− thức
Giải toán dựa vào đồng d− thức chủ yếu sử dụng định lý Euler định lý Fermat Ví dụ 1: CMR: 22225555 + 55552222 ⋮
Gi¶i
Cã 2222 ≡ - (mod 7) ⇒ 22225555 + 55552222 ≡ (- 4)5555 + 45555 (mod 7) L¹i cã: (- 4)5555 + 42222 = - 45555 + 42222
= - 42222 (43333 - 1) = -42222(( )43 1111 1) − V× 43 = 64 ≡ (mod 7) ⇒ ( )43 1111 −1≡ 0
(mod 7) ⇒ 22225555 + 55552222 ≡ (mod 7)
VËy 22225555 + 55552222 ⋮
VÝ dô 2: CMR: 3 3 5 22 4 ⋮ + + + + n n
với ∀ n ∈ N Giải Theo định lý Fermat ta có:
310 ≡ (mod 11) 210 ≡ (mod 11)
Ta tìm d phép chia 24n+1 34n+1 cho 10 Cã 24n+1 = 2.16n ≡ (mod 10)
⇒ 24n+1 = 10q + (q ∈ N) Cã 34n+1 = 3.81n ≡ (mod 10) ⇒ 34n+1 = 10k + (k ∈ N)
Ta cã: 32 33 5 310 210
4
4 + +
+ =
+
+ +
+ n q k
n
= 32.310q + 23.210k + ≡ 1+0+1 (mod 2) ≡ (mod 2) mµ (2, 11) =
VËy 3 3 5 22 4 ⋮ + + + + n n
víi ∀ n ∈ N VÝ dô 3: CMR: 2 7 11
1 ⋮ + + n
víi n ∈ N Gi¶i Ta cã: 24 ≡ (mod) ⇒ 24n+1 ≡ (mod 10) ⇒ 24n+1 = 10q + (q ∈ N)
⇒ 224n+1 =210q+2
Theo định lý Fermat ta có: 210 ≡ (mod 11) ⇒ 210q ≡ (mod 11)
7 2
7
224n+1 + = 10q+2 +
≡ 4+7 (mod 11) ≡ (mod 11) VËy 2 7 11
1 ⋮ + + n
víi n ∈ N (§PCM)
(16)TRNG THCS TH TRN Vì nghiệp giáo dục Bµi 1: CMR 2 319
2
⋮
+
+
n
víi n ∈ N Bµi 2: CMR víi ∀ n ≥ ta cã
52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1 ⋮ 38 Bµi 3: Cho sè p > 3, p ∈ (P)
CMR 3p - 2p - ⋮ 42p
Bài 4: CMR với số nguyên tố p có dạng 2n - n (n ∈ N) chia hết cho p
H−íng dÉn - Đáp số
Bài 1: Làm tơng tự nh VD3
Bµi 2: Ta thÊy 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1
Mặt khác 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1 = 2n(52n-1.10 + 6n-1) V× 25 ≡ (mod 19) ⇒ 5n-1 ≡ 6n-1 (mod 19)
⇒ 25n-1.10 + 6n-1 ≡ 6n-1.19 (mod 19) (mod 19) Bài 3: Đặt A = 3p - 2p - (p lỴ)
DƠ dµng CM A ⋮ vµ A ⋮ ⇒ A ⋮ NÕu p = ⇒ A = 37 - 27 - ⋮ 49 ⇒ A ⋮ 7p NÕu p ≠ ⇒ (p, 7) =
Theo định lý Fermat ta có: A = (3p - 3) - (2p - 2) ⋮ p Đặt p = 3q + r (q ∈ N; r = 1, 2) ⇒ A = (33q+1 - 3) - (23q+r - 2)
= 3r.27q - 2r.8q - = 7k + 3r(-1)q - 2r - (k N) với r = 1, q phải chẵn (vì p lẻ)
A = 7k - - - = 7k - 14
VËy A ⋮ mµ A ⋮ p, (p, 7) = ⇒ A ⋮ 7p Mµ (7, 6) = 1; A ⋮
⇒ A ⋮ 42p
Bài 4: Nếu P = ⇒ 22 - = ⋮ Nếu n > Theo định lý Fermat ta có: 2p-1 ≡ (mod p)
⇒ 2m(p-1) ≡ (mod p) (m ∈ N) XÐt A = 2m(p-1) + m - mp A ⋮ p ⇒ m = kq -
Nh− p > ⇒ p có dạng 2n - n N = (kp - 1)(p - 1), k ∈ N chia hết cho p
8 Phơng pháp 8:sửdụng nguyên lý Đirichlet
(17)TRNG THCS TH TRN Vì nghiệp giáo dôc VÝ dô 1: CMR: Trong n + sè nguyªn bÊt kú cã sè cã hiƯu chia hÕt cho n Gi¶i
Lấy n + số nguyên cho chia cho n đ−ợc n + số d− nhận số sau: 0; 1; 2; …; n -
⇒ cã Ýt nhÊt sè d− cã cïng sè d− chia cho n Gi¶ sư = nq1 + r ≤ r < n
aj = nq2 + r a1; q2 ∈ N ⇒ aj - aj = n(q1 - q2) ⋮ n
VËy n +1 sè nguyªn bÊt kú cã sè cã hiƯu chia hÕt cho n
Nếu tổng tổng chia hết cho n nh số d chia tổng cho n ta đợc n sè d− lµ 1; 2; …; n -
Vậy theo nguyên lý Đirichlet tồn nhÊt tỉng mµ chi cho n cã cïng sè d− ⇒ (theo VD1) hiƯu cïadr tỉng nµy chia hÕt cho n (ĐPCM)
Bài tập tơng tự
Bài 1: CMR: Tồn n N cho 17n - ⋮ 25
Bµi 2: CMR: Tồn bội số 1993 chứa toàn số
Bài 3: CMR: Với 17 số nguyên bÊt kú bao giê cịng tån t¹i tỉng số chia hết cho Bài 4: Có hay không sè cã d¹ng
19931993 1993000 00 ⋮ 1994
Hớng dẫn - Đáp số
Bài 1: XÐt d·y sè 17, 172, …, 1725 (t−¬ng tù VD2) Bài 2: Ta có 1994 số nguyên chứa toàn bé sè lµ:
1 11 111 …
1 sè 1994
11
111 …
Khi chia cho 1993 th× cã 1993 số d theo nguyên lý Đirichlet có nhÊt sè cã cïng sè d−
Giả sử
ai = 1993q + r ≤ r < 1993 aj = 1993k + r i > j; q, k ∈ N ⇒ aj - aj = 1993(q - k)
) (
1993 0
00 11
111… … = q − k
0 sè i sè 1994 j -i
) (
1993 10
. 11
111… j = q − k
1 sè 1994 j -i
(18)TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp gi¸o dơc
1 sè 1994
11
111 … ⋮ 1993 (ĐPCM)
Bài 3: Xét dÃy số gồm 17 số nguyên a1, a2, , a17
Chia số cho ta đợc 17 số d phải có số d thuộc tập hợp{0; 1; 2; 3; 4}
NÕu 17 sè trªn cã sè chia cho cã cïng sè d− th× tỉng cđa chóng sÏ chia hÕt cho
Nếu 17 số số có cïng sè d− chia cho ⇒ tån t¹i sè cã sè d− kh¸c ⇒ tỉng c¸c sè d− lµ: + + + + = 10 ⋮ 10
VËy tỉng cđa sè nµy chia hÕt cho Bµi 4: XÐt d·y sè a1 = 1993, a2 = 19931993, …
a1994 =
1993 sè 1994
1993
1993 …
®em chia cho 1994 ⇒ cã 1994 sè d− thuéc tËp {1; 2; …; 1993} theo nguyªn lý Đirichlet có số hạng có sè d−
Gi¶ sư: = 1993 … 1993 (i sè 1993) aj = 1993 … 1993 (j sè 1993) ⇒ aj - aj ⋮ 1994 ≤ i < j ≤ 1994 ⇒ 1993 1993 .10 ni ⋮1993
1993 sè i -j
…
9 Ph−¬ng pháp 9:phơng pháp phản chứng
Để CM A(n) p (hoặc A(n) p ) + Giả sử: A(n) p (hoặc A(n) p ) + CM giả sử sai
+ Kết luận: A(n) p (hc A(n) ⋮ p )
VÝ dơ 1: CMR n2 + 3n + ⋮ 121 víi ∀ n N
Giả sử tồn n N cho n2 + 3n + ⋮ 121 ⇒ 4n2 + 12n + 20 ⋮ 121 (v× (n, 121) = 1)
⇒ (2n + 3)2 + 11 ⋮ 121 (1) ⇒ (2n + 3)2 11
Vì 11 số nguyên tố ⇒ 2n + ⋮ 11 ⇒ (2n + 3)2 ⋮ 121 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ 11 ⋮ 121 v« lý
(19)TRƯỜNG THCS TH TRN Vì nghiệp giáo dục Ví dụ 2: CMR n2 - ⋮ n víi ∀ n N*
Giải Xét tập hợp số tự nhiên N*
Giả sử n 1, n ∈ N* cho n2 - ⋮ n
Gọi d −ớc số chung nhỏ khác n ⇒ d ∈ (p) theo định lý Format ta có 2d-1 ≡ (mod d) ⇒ m < d
ta chøng minh m\n
Gi¶ sư n = mq + r (0 ≤ r < m)
Theo gi¶ sư n2 - ⋮ n ⇒ nmq+r - ⋮ n
⇒ 2r(nmq - 1) + (2r - 1) ⋮ n ⇒ 2r - d r < m mà m N, m nhá nhÊt kh¸c cã tÝnh chÊt (1)
⇒ r = ⇒ m\n mµ m < d có tính chất (1) nên điều giả sử lµ sai VËy n2 - ⋮ n víi ∀ n N*
Bài tập tơng tự
Bài 1: Có tồn n N cho n2 + n + 49 không? Bài 2: CMR: n2 + n + ⋮ víi ∀ n ∈ N*
Bµi 3: CMR: 4n2 - 4n + 18 ⋮ 289 víi ∀ n ∈ N
Hớng dẫn - Đáp số
Bi 1: Giả sử tồn n ∈ N để n2 + n + ⋮ 49 ⇒ 4n2 + 4n + ⋮ 49
⇒ (2n + 1)2 + ⋮ 49 (1) ⇒ (2n + 1)2 ⋮
Vì số nguyên tố 2n + ⋮ ⇒ (2n + 1)2 ⋮ 49 (2) Tõ (1); (2) ⇒ ⋮ 49 vô lý
Bài 2: Giả sử tồn n2 + n + ⋮ víi ∀ n ⇒ (n + 2)(n - 1) + ⋮ (1)
vì số nguyên tố
− +
3
3
⋮ ⋮
n n
⇒ (n + 2)(n - 1) ⋮ (2) Tõ (1) (2) vô lý
Bi 3: Giả sử ∃ n ∈ N để 4n2 - 4n + 18 ⋮ 289 ⇒ (2n - 1)2 + 17 ⋮ 172
⇒ (2n - 1) ⋮ 17
(20)TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp gi¸o dơc
Mơc lơc
Néi dung Trang
A – Më ®Çu
B – Néi dung
Phần I: Tóm tắt lý thuyết
Phần II: Các phơng pháp giải toán chia hết
1 Phơng pháp sử dụng dấu hiệu chia hết
2 Phơng pháp sử dông tÝnh chÊt chia hÕt
(21)TRNG THCS TH TRN Vì nghiệp giáo dục
4 Phơng pháp sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử 10
5 Phng pháp biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng tng 11
6 Phơng pháp quy nạp toán häc 13
7 Ph−ơng pháp sử dụng đồng d thc 14
8 Phơng pháp sử dụng nguyên lý Đirichlet 16