- Khối chóp có các mặt bên tạo với đáy 1 góc bằng nhau ( các mặt bên nghiêng đều trên đáy): Chân đường cao trùng vào tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy. - Khối chóp có hai mặt[r]
(1)a 3a C' B' A' C B A
Chủ đề KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH
Các kiến thức bản
cần nhớ
Các dạng tốn cần ơn tập
Bài tập minh hoạ
(Xây dựng tập từ nhận biết ® thơng hiểu ® vận dụng) 1 Khối
lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt, khối đa diện Phân chia lắp ghép khối đa diện Phép đối xứng qua mặt phẳng và
sự bằng
nhau hai khối đa diện.
2 Khối đa diện đều, loại khối đa diện (tứ diện đều, lập phương, bát diện đều,
thập nhị diện đều nhị thập diện đều) Tính đối xứng qua mặt phẳng của khối tứ diện đều, bát diện và hình lập
1. Tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp
Một số ý:
- Chú trọng rèn cho học sinh kỹ vẽ hình khơng gian
- Hệ thống lại cho học sinh cơng thức tính diện tích tứ giác tam giác đặc biệt
- Phân loại khối chóp, khối lăng trụ thường gặp để xác định đường cao, từ tính thể tích chúng
- Nhắc lại khái niệm góc khơng gian, khoảng cách đối tượng KG
Loại 1: Các khối đa diện thường gặp
Loại 2: Khối chóp,
Bài 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vng cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ
Lời giải: Ta có
ABC
vng cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng
AA' AB
2 2
AA'B
AA'
A'B AB
8a
AA' 2a 2
Vậy V = B.h = SABC AA' =
a 2
3Bài 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a
đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ này.
Lời giải:
ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2
BD 3a
ABCD hình vng3a
AB
2
Suy B = SABCD =
2
9a
4
(2)phương. Phép vị tự trong không gian
3 Thể tích khối đa diện Thể tích khối hộp chữ nhật Cơng thức thể tích khối lăng trụ, khối chóp khối chóp cụt
khối lăng trụ có chiều cao cho trước, tìm hình dạng diện tích đáy từ tính thể tích
Loại 3: Khối chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy
Loại 4: Khối chóp có hai mặt bên vng góc với mặt đáy
Loại 5: Khối chóp có cạnh xuất phát từ đỉnh, vng góc với đơi
Loại 6: Hình chóp có cạnh bên hợp với mặt đáy góc
Bài 3: Lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ
Lời giải:
Gọi I trung điểm BC Ta có
ABC nên AB3 &
AI
2
AI BC
A 'I BC(dl3 )
A'BC A'BC
2S
1
S
BC.A 'I
A 'I
4
2
BC
AA ' (ABC)
AA ' AI
.2
A 'AI
AA '
A 'I
AI
2
Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'=
8 3
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300
Tính thể tích tổng diên tích mặt bên lăng trụ Giải:
Ta có ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên ta có:
DD' (ABCD)
DD' BD
BD hình chiếu BD' ABCD Vậy góc [BD';(ABCD)] = DBD' 30
0
a 6
BDD'
DD' BD.tan 30
3
Vậy V = SABCD.DD' =
3
a 6
3
S = 4SADD'A' =2
(3)CHÚ Ý
Để giải tốt những
bài tốn khối
chóp, việc đầu
tiên phải vẽ hình
trực quan, muốn
vậy cần cho học
sinh khắc sâu
cách xác định
đường cao
một số trường
hợp thường gặp
đó là:
- Khối chóp có
1 cạnh bên vng
góc với đáy:
Đường cao khối
chóp
cạnh bên vng
góc ấy.
- Khối chóp có
một mặt bên
vng góc với
đáy: Đường cao
hình chóp
là đường cao
mặt bên vng
góc kẻ từ đỉnh
hình chóp.
600
Tính thể tích lăng trụ.
Lời giải:
Ta có
A'A (ABC)& BC AB
BC A'B
Vậygóc[(A 'BC),(ABC)] ABA ' 60
o0
ABA'
AA' AB.tan 60
a 3
SABC =
2
1
BA.BC
a
2
2
Vậy V = SABC.AA' =
3
a 3
2
Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
b) Tính diện tích mặt trụ trịn xoay ngoại tiếp hình trụ
Giải
a) Ta có V B h , B diện tích đáy lăng trụ, h chiều cao lăng trụ
Vì tam giác ABC đều, có cạnh a nên
2 3
a B
h = AA’ = a
3 3
a V
(4)- Khối chóp
đều: Chân đường
cao trùng vào tâm
của đáy.
- Khối chóp có
các cạnh bên tạo
với đáy góc
bằng (
cạnh bên nghiêng
đều đáy):
Chân đường cao
trùng vào tâm
đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy.
- Khối chóp có
các mặt bên tạo
với đáy góc
bằng (
mặt bên nghiêng
đều đáy):
Chân đường cao
trùng vào tâm
đường tròn nội
tiếp đa giác đáy.
- Khối chóp có
hai mặt bên
vng góc với
đáy: Đường cao
hình chóp đoạn
thẳng nằm
b) Diện tích xung quanh mặt trụ tính theo cơng thức Sxq 2 r l
r bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC
2 3
3
a a
r
, l =AA’ =a nên diện tích cần tìm
2
3
2
3
xq
a a
S a
(đvdt)
Bài 7: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân B với AC = a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 60o.
1) Chứng minh mặt bên tam giác vuông 2)Tính thể tích hình chóp
Lời giải:
1)
SA (ABC)
SA AB &SA AC
màBC AB
BC SB
( đl ). Vậy mặt bên chóp tam giác vng2) Ta có
SA (ABC)
AB
hình chiếu SB (ABC).Vậy góc[SB,(ABC)] = SBA
60
o.ABC
vuông cân nên BA = BC =a
2
SABC =
2
1
BA.BC
a
2
4
o
a 6
SAB SA AB.t an60
2
Vậy
2
ABC
1
1 a a a 6
V
3
S
.SA
3 2
24
(5)
giao tuyến
hai mặt bên
vng góc
Tính thể tích hình chóp
Lời giải: Mlà trung điểm BC,vì tam giác ABC nên AM BC SABC (đl3) góc[(SBC);(ABC)] =
SMA 60
o.Ta có V = ABC
1
B.h
1
S
.SA
3
3
o
3a
SAM
SA AMtan60
2
Vậy V =
3 ABC
1
B.h
1
S
.SA
a 3
3
3
8
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o.
1) Tính thể tích hình chóp SABCD
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
Lời giải: 1)Ta có
SA (ABC)
CD AD
CD SD
( đl ).(1)Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o
SAD
vuông nên SA = AD.tan60o =a 3
Vậy2
ABCD a
1
1
a 3
V
3
S
.SA
3
a 3
3
2) Ta dựng AH SD,vì CD(SAD) (do (1) ) nên CD AH
AH (SCD)
Vậy AH khoảng cách từ A đến (SCD)
2 2 2
1
1
1
1
1
4
SAD
AH
SA
AD
3a
a
3a
AH =
a 3
2
(6)a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Chứng minh trung điểm I cạnh BC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài giải
a) Áp dụng công thức
V Bh
B = a2, h = SA = a
3
V a
( đvtt)
b) Trong tam giác vng SAC, có AI trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên AI = IS = IC.(1)
BC AB BC SA BC SB SBC vuông B, IB trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên IB = IS = IC (2)
Tương tự ta có ID = IS = IC(3) Từ (1), (2), (3) ta có I cách tất đỉnh hình chóp nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a SA (ABC) Tam giác ABC vuông cân B, AB a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
c) Gọi I H trung điểm SC SB Tính thể tích khối chóp S.AIH
(7)a)
3
1
1
2 ,
2
V B h
a
B S a a a h SA a V
#ABC
b) Gọi I trung điểm SC
SA AC nên A thuộc mặt cầu đường kính SC
BC SA BC Ab nên BC SB B thuộc mặt cầu đường kính SC Như tâm mặt cầu trung điểm I
SC cịn bán kính mặt cầu
SC R
Ta có
2
2 2
2 2
4 2
AC a a a
SC SA AC a a a R a
c) Áp dụng công thức
3
1
4
S AIH
S AIH S ACB
S ACB
V SI SH a
V V
V SC SB
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a
Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáyABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB
(8)Lời giải:
1) Gọi H trung điểm AB
SAB
SH AB
mà
(SAB) (ABCD)
SH (ABCD)
Vậy H chân đường cao khối chóp2) Ta có tam giác SAB nên SA =
a 3
2
suy
3 ABCD
1
a 3
V
3
S
.SH
6
Bài 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có
BC = a Mặt bên (SAC) vng góc với đáy, mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy góc 450.
a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC
b) Tính thể tích khối chóp SABC
.
Lời giải:
a) Kẻ SH BC mp(SAC)mp(ABC) nên SHmp(ABC) Gọi I, J hình chiếu H AB BC SIAB, SJ BC, theo giả thiết
SIH SJH 45
o Ta có:
SHI
SHJ
HI
HJ
nên BH đường phân giác
ABC
ừ suy H trung điểm ACb) HI = HJ = SH =
2
a
VSABC=
3
.
12
1
a
3SH
S
ABC
(9)1) Chứng minh SABCD chóp tứ giác 2) Tính thể tích khối chóp SABCD
Lời giải: Dựng SO (ABCD)
Ta có SA = SB = SC = SD nênOA = OB = OC = OD ABCD là hình thoi có đường trịn ngoại tiếp nên ABCD hình vng
Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên
ASC
vuông S2
a OS
3
1 2
3 ABCD
a a
V S SO a
Vậy
3
a 2
V
6
Bài 15: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC Lời giải:
a) Gọi O tâm
ABC
DO(ABC)1
.
3
ABCV
S
DO
2
3
4
ABCa
S
,
2
3
3
3
a
OC
CI
2 2DO DC OC
6
3
a
2
1
3
6
2
.
3 4
3
12
a
a
a
V
b) Kẻ MH// DO, kc từ M đến mp(ABC)
1
6
2
6
(10)2
1
3 24
MABC ABC
a a a
V S MH
Vậy
3
a 2
V
24
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng góc đáy Góc SC đáy
60
M trung điểm SB1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp MBCD
Lời giải: a)Ta có
1
.
3
ABCDV
S
SA
+ SABCD (2 )a 4a2
+
SAC c SA AC
ó :
tan
C
2
a
6
2
1
8
6
4 6
3
3
a
V
a a
b) Kẻ
MH
/ /
SA
MH
(
DBC
)
Ta có:1
MH SA
,
1
2
BCD ABCDS
S
3 D
1
2
6
4
3
MBC
a
V
V
(11)Bài 17: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp.
Lời giải:
Hạ SH(ABC), kẽ HEAB, HFBC, HJAC suy SEAB, SFBC, SJAC Ta có
O
SEH SFH SJH 60
SAH
SFH
SJH
nên HE=HF = HJ = r ( r bán kính đường trịn ngọai tiếp ABC) Ta có SABC = p(p a)(p b)(p c)
với p =
a
c
b
a
9
2
Nên SABC =
9
.
4
.
3
.
2
a
2Mặt khác SABC = p.r
3
6
2
a
p
S
r
Tam giác vuông SHE: SH = r.tan 600 a
a
2
6
Vậy VSABC =
3 2.2 2 8 3
6
a a
a
Bài 18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
AB a
3
, AD = a, AA’ = a, O giao điểm AC BDa) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V
(12)
ABD c DB
ó :
AB
2
AD
2
2
a
* Khối OA’B’C’D’ có đáy đường cao giống khối hộp nên:
' ' ' '
1
3
3
3
OA B C D
a
V
V
b) M trung điểm BC
OM
( ' ')
BB C
2
' ' ' '
1
1
3
3
.
.
.
3
3 2
2
12
O BB C BB C
a a
a
V
S
OM
c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Ta có : ' '
'
3
'
OBB COBB
V
C H
S
2
ó :
2
ABD c DB
AB
AD
a
2 '
1
2
OBBS
a
'
2a 3
C H
Bài 19(THPT PB-2008-lần 1): Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC
a) Chứng minh SA vng góc với BC b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a
Bài 20: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Tính thể tích khối chóp, biết: a) Cạnh đáy 2cm, cạnh bên 2cm
b) Cạnh đáy 2cm, cạnh bên hợp với đáy góc 600. c) Cạnh đáy 2cm, mặt bên hợp với đáy góc 600.
(13)đáy, cạnh bên SB a
a) Tính thể tích khối chóp S ABCD
b) Chứng minh trung điểm cạnh bên SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Bài 22( THPT PB-2007-lần 1): Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vuông đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S ABC
Bài 23: (THPT PB-2007- lần 2): Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA = AC Tính thể tích khối chóp S ABCD
Bài 24: (THPT PB- 2008 - lần 2): Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy tam giác ABC vng đỉnh B, đường thẳng SA vng góc với với mặt phẳng (ABC) Biết AB = a; BC = a SA = 3a
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
b) Gọi I trung điểm cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a
Bài 25 (THPT 2009): Cho hình chóp S ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết BAC· = 1200, tính thể tích khối chóp S ABC theo a.
Bài 26 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C có cạnh bên cạnh đáy a a) Tính thể tích khối lăng trụ theo a
b) Tính thể tích khối chóp A' ABC theo a
Bài 27: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AB // CD), AB = a, DC = 2a, ADC· = 600, mặt bên (SAD) vuông góc với đáy, SA = SD = AD Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a