khoi da dien

- Khối chóp có các mặt bên tạo với đáy 1 góc bằng nhau ( các mặt bên nghiêng đều trên đáy): Chân đường cao trùng vào tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy. - Khối chóp có hai mặt[r]

a 3a C' B' A' C B A

Chủ đề KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH

Các kiến thức bản

cần nhớ

Các dạng tốn cần ơn tập

Bài tập minh hoạ

(Xây dựng tập từ nhận biết ® thơng hiểu ® vận dụng) 1 Khối

lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt, khối đa diện Phân chia lắp ghép khối đa diện Phép đối xứng qua mặt phẳng và

sự bằng

nhau hai khối đa diện.

2 Khối đa diện đều, loại khối đa diện (tứ diện đều, lập phương, bát diện đều,

thập nhị diện đều nhị thập diện đều) Tính đối xứng qua mặt phẳng của khối tứ diện đều, bát diện và hình lập

1. Tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp

Một số ý:

- Chú trọng rèn cho học sinh kỹ vẽ hình khơng gian

- Hệ thống lại cho học sinh cơng thức tính diện tích tứ giác tam giác đặc biệt

- Phân loại khối chóp, khối lăng trụ thường gặp để xác định đường cao, từ tính thể tích chúng

- Nhắc lại khái niệm góc khơng gian, khoảng cách đối tượng KG

Loại 1: Các khối đa diện thường gặp

Loại 2: Khối chóp,

Bài 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vng cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ

Lời giải: Ta có

ABC vng cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng  AA' AB

2 2

AA'B AA' A'B AB 8a

  AA' 2a 2

Vậy V = B.h = SABC AA' = a 23

Bài 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ này.

Lời giải:

ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2  BD 3a ABCD hình vng

3a AB

2

 

Suy B = SABCD =

2

9a 4

phương. Phép vị tự trong không gian

3 Thể tích khối đa diện Thể tích khối hộp chữ nhật Cơng thức thể tích khối lăng trụ, khối chóp khối chóp cụt

khối lăng trụ có chiều cao cho trước, tìm hình dạng diện tích đáy từ tính thể tích

Loại 3: Khối chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy

Loại 4: Khối chóp có hai mặt bên vng góc với mặt đáy

Loại 5: Khối chóp có cạnh xuất phát từ đỉnh, vng góc với đơi

Loại 6: Hình chóp có cạnh bên hợp với mặt đáy góc

Bài 3: Lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ

Lời giải:

Gọi I trung điểm BC Ta có

ABC nên AB

3 &

AI 2 AI BC

A 'I BC(dl3 ) 

 

  

A'BC A'BC

2S 1

S BC.A 'I A 'I 4

2 BC

   

AA ' (ABC)  AA ' AI .

2

A 'AI AA ' A 'I  AI 2



Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= 8 3

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300

Tính thể tích tổng diên tích mặt bên lăng trụ Giải:

Ta có ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên ta có:

DD' (ABCD)  DD' BD BD hình chiếu BD' ABCD Vậy góc [BD';(ABCD)] = DBD' 30

0 a 6

BDD' DD' BD.tan 30

3

  



Vậy V = SABCD.DD' =

3

a 6

3 S = 4SADD'A' =

2

CHÚ Ý

Để giải tốt những bài tốn khối chóp, việc đầu tiên phải vẽ hình trực quan, muốn vậy cần cho học sinh khắc sâu cách xác định đường cao một số trường hợp thường gặp đó là:

- Khối chóp có 1 cạnh bên vng góc với đáy: Đường cao khối chóp cạnh bên vng góc ấy.

- Khối chóp có một mặt bên vng góc với đáy: Đường cao hình chóp là đường cao mặt bên vng góc kẻ từ đỉnh hình chóp.

600 Tính thể tích lăng trụ.

Lời giải:

Ta có A'A (ABC)& BC AB   BC A'B Vậy góc[(A 'BC),(ABC)] ABA ' 60  o

0

ABA' AA' AB.tan 60 a 3 

SABC =

2

1BA.BC a

2 2

Vậy V = SABC.AA' =

3

a 3 2

Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

b) Tính diện tích mặt trụ trịn xoay ngoại tiếp hình trụ

Giải

a) Ta có V B h , B diện tích đáy lăng trụ, h chiều cao lăng trụ

Vì tam giác ABC đều, có cạnh a nên

2 3

a B

h = AA’ = a



3 3

a V 

- Khối chóp đều: Chân đường cao trùng vào tâm của đáy.

- Khối chóp có các cạnh bên tạo với đáy góc bằng ( cạnh bên nghiêng đều đáy): Chân đường cao trùng vào tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. - Khối chóp có các mặt bên tạo với đáy góc bằng ( mặt bên nghiêng đều đáy): Chân đường cao trùng vào tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy. - Khối chóp có hai mặt bên vng góc với đáy: Đường cao hình chóp đoạn thẳng nằm

b) Diện tích xung quanh mặt trụ tính theo cơng thức Sxq 2  r l

r bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC 

2 3

3

a a

r 

, l =AA’ =a nên diện tích cần tìm

2

3

2

3

xq

a a

S   a 

(đvdt)

Bài 7: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân B với AC = a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 60o.

1) Chứng minh mặt bên tam giác vuông 2)Tính thể tích hình chóp

Lời giải:

1) SA (ABC)  SA AB &SA AC  mà BC AB  BC SB ( đl ). Vậy mặt bên chóp tam giác vng

2) Ta cóSA (ABC)  AB hình chiếu SB (ABC).Vậy góc[SB,(ABC)] = SBA 60o.

ABC

 vuông cân nên BA = BC =

a 2

SABC =

2

1BA.BC a

2 4

o a 6

SAB SA AB.t an60   2



Vậy

2

ABC

1 1 a a a 6

V3S .SA3 2  24

giao tuyến hai mặt bên vng góc

Tính thể tích hình chóp

Lời giải: Mlà trung điểm BC,vì tam giác ABC nên AM BC  SABC (đl3) góc[(SBC);(ABC)] = SMA 60 o.

Ta có V = ABC

1B.h 1S .SA

3 3

o 3a

SAM SA AMtan60 2



Vậy V =

3 ABC

1B.h 1S .SA a 3

3 3  8

Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o.

1) Tính thể tích hình chóp SABCD

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

Lời giải: 1)Ta có SA (ABC) CD AD  CD SD ( đl ).(1)

Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o

SAD

 vuông nên SA = AD.tan60o = a 3 Vậy

2

ABCD a

1 1 a 3

V3S .SA3 a 3 3

2) Ta dựng AH SD,vì CD(SAD) (do (1) ) nên CD AH

AH (SCD)

Vậy AH khoảng cách từ A đến (SCD)

2 2 2

1 1 1 1 1 4

SAD

AH SA AD 3a a 3a

     



 AH =

a 3 2

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Chứng minh trung điểm I cạnh BC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài giải

a) Áp dụng công thức

V  Bh

B = a2, h = SA = a 

3

V  a

( đvtt)

b) Trong tam giác vng SAC, có AI trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên AI = IS = IC.(1)

BC  AB BC  SA  BC  SB  SBC vuông B, IB trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên IB = IS = IC (2)

Tương tự ta có ID = IS = IC(3) Từ (1), (2), (3) ta có I cách tất đỉnh hình chóp nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp

Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a SA (ABC) Tam giác ABC vuông cân B, AB a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

c) Gọi I H trung điểm SC SB Tính thể tích khối chóp S.AIH

a)

3

1

1

2 ,

2

V B h

a

B S a a a h SA a V



 #ABC      

b) Gọi I trung điểm SC

SA AC nên A thuộc mặt cầu đường kính SC

BC  SA BC  Ab nên BC  SB  B thuộc mặt cầu đường kính SC Như tâm mặt cầu trung điểm I

SC cịn bán kính mặt cầu

SC R

Ta có

2

2 2

2 2

4 2

AC a a a

SC SA AC a a a R a

  

      

c) Áp dụng công thức

3

1

4

S AIH

S AIH S ACB

S ACB

V SI SH a

V V

V SC SB    

Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a

Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáyABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB

Lời giải:

1) Gọi H trung điểm AB

SAB

  SH AB

mà (SAB) (ABCD)  SH (ABCD) Vậy H chân đường cao khối chóp

2) Ta có tam giác SAB nên SA =

a 3 2

suy

3 ABCD

1 a 3

V3S .SH 6

Bài 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có

BC = a Mặt bên (SAC) vng góc với đáy, mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy góc 450.

a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC

b) Tính thể tích khối chóp SABC.

Lời giải:

a) Kẻ SH BC mp(SAC)mp(ABC) nên SHmp(ABC) Gọi I, J hình chiếu H AB BC  SIAB, SJ BC, theo giả thiết SIH SJH 45  o Ta có: SHI SHJ  HI HJ nên BH đường phân giác ABCừ suy H trung điểm AC

b) HI = HJ = SH = 2

a

 VSABC=3 . 12

1 a3

SH SABC 

1) Chứng minh SABCD chóp tứ giác 2) Tính thể tích khối chóp SABCD

Lời giải: Dựng SO (ABCD)

Ta có SA = SB = SC = SD nênOA = OB = OC = OD ABCD là hình thoi có đường trịn ngoại tiếp nên ABCD hình vng

Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên ASCvuông S

2

a OS

 



3

1 2

3 ABCD

a a

V  S SO a 

Vậy

3

a 2

V 6

Bài 15: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD

b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC Lời giải:

a) Gọi O tâm ABC  DO(ABC)

1 . 3 ABC V  S DO

2 3

4 ABC

a

S 

,

2 3

3 3

a

OC  CI  2 2

DO DC  OC

6 3

a 

2

1 3 6 2

.

3 4 3 12

a a a

V

  

b) Kẻ MH// DO, kc từ M đến mp(ABC)

1 6

2 6

2

1

3 24

MABC ABC

a a a

V S MH

   

Vậy

3

a 2

V 24

Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng góc đáy Góc SC đáy 60 M trung điểm SB

1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp MBCD

Lời giải: a)Ta có

1

. 3 ABCD

V  S SA

+ SABCD (2 )a 4a2

+ SAC c SA ACó :  tanC 2a 6

2

1 8 6

4 6

3 3

a

V a a

  

b) Kẻ MH / /SA MH (DBC) Ta có:

1

MH  SA

, 1

2 BCD ABCD

S  S

3 D

1 2 6

4 3

MBC

a

V V

Bài 17: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp.

Lời giải:

Hạ SH(ABC), kẽ HEAB, HFBC, HJAC suy SEAB, SFBC, SJAC Ta có

   O

SEH SFH SJH 60    SAH SFH SJH nên HE

=HF = HJ = r ( r bán kính đường trịn ngọai tiếp ABC) Ta có SABC = p(p a)(p b)(p c)

với p = a

c b a

9 2 

 

Nên SABC = 9.4.3.2 a2

Mặt khác SABC = p.r 3 6 2 a p

S r   

Tam giác vuông SHE: SH = r.tan 600 a

a

2

6



Vậy VSABC =

3 2.2 2 8 3

6

a a

a 

Bài 18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a 3 , AD = a, AA’ = a, O giao điểm AC BD

a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’

c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Lời giải:

a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V

ABD c DBó :  AB2 AD2 2a

* Khối OA’B’C’D’ có đáy đường cao giống khối hộp nên:

' ' ' '

1 3

3 3

OA B C D

a

V V

  

b) M trung điểm BC  OM ( ' ')BB C

2

' ' ' '

1 1 3 3

. . .

3 3 2 2 12

O BB C BB C

a a a

V S OM

   

c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Ta có : ' '

'

3

' OBB C

OBB V C H

S 

2

ó : 2

ABD c DB AB AD a

   

2 '

1 2 OBB

S a

 

' 2a 3

C H

 

Bài 19(THPT PB-2008-lần 1): Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC

a) Chứng minh SA vng góc với BC b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a

Bài 20: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Tính thể tích khối chóp, biết: a) Cạnh đáy 2cm, cạnh bên 2cm

b) Cạnh đáy 2cm, cạnh bên hợp với đáy góc 600. c) Cạnh đáy 2cm, mặt bên hợp với đáy góc 600.

đáy, cạnh bên SB a

a) Tính thể tích khối chóp S ABCD

b) Chứng minh trung điểm cạnh bên SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Bài 22( THPT PB-2007-lần 1): Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vuông đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S ABC

Bài 23: (THPT PB-2007- lần 2): Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA = AC Tính thể tích khối chóp S ABCD

Bài 24: (THPT PB- 2008 - lần 2): Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy tam giác ABC vng đỉnh B, đường thẳng SA vng góc với với mặt phẳng (ABC) Biết AB = a; BC = a SA = 3a

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

b) Gọi I trung điểm cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a

Bài 25 (THPT 2009): Cho hình chóp S ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết BAC· = 1200, tính thể tích khối chóp S ABC theo a.

Bài 26 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C có cạnh bên cạnh đáy a a) Tính thể tích khối lăng trụ theo a

b) Tính thể tích khối chóp A' ABC theo a

Bài 27: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AB // CD), AB = a, DC = 2a, ADC· = 600, mặt bên (SAD) vuông góc với đáy, SA = SD = AD Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a