Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là một phương trình bậc 4, có dạng gần đối xứng.[r]
(1)BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP
Bài 1/299 Tìm miền xác định của các phương trình sau: a,
1 2 x
R b,
1 2
x
x
x x R.
c, 1
x
x
x R.
d,
2
3 x
x x x
x
R.
e, 3 x x 2 x Q, R.
Giải:
a, S , 0 0, b, MXĐ:
2
0
x x
x x
Nên S , 0 0, 2 2, c, MXĐ:
1
1
x x
x x
Nên S 1, 1 d, MXĐ:
2
0
1
0
5
5
3
3
3 x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x
Nên S [1, 3) (3, 5]
e, S
Bài Tìm miền xác định của các phương trình
a)
x −1¿2 ¿ ¿ √¿
x −2 x2
+1=
¿
Q;
b) √x −2=
√2x+1 Q;
c) √x+1+√x+2=√x+3 R;
(2)Lời giải
a)
x −1¿2 ¿ ¿ √¿
x −2 x2
+1=
¿
Q
TXĐ: D = R \ {1} b) √x −2=
√2x+1 Q
Điều kiện:
¿
x −2≥0 2x+1≥0
⇔
¿x ≥2
x ≥−1
¿{
¿
TXĐ: D = (2; +∞ )
c) √x+1+√x+2=√x+3 R
Điều kiện:
¿
x+1≥0 x+2≥0 x+3≥0
⇒
¿x ≥ −1
x ≥−2 x ≥−3 ⇒x ≥ −1
¿{ {
¿
TXĐ: D = ¿
d) √(x2+1)(− x2+2x −1)=1 R
Điều kiện: (x2+1)(− x2+2x −1)≥0 ⇔ − x2+2x −1≥0 ( x2+1≥1 )
x −⇔1−¿2≥0
¿ ⇔ x = ( vì (x – 1)
2 0)
TXĐ: D = {1}
(3)1 x2=9 và x2+xx +3=9+
x x+3 ;
2 x2
=9 và x2+xx +2=9+
x x+2 ;
3 x2
=0 và x = 0;
4 x+1 x=
1
x và x = 0;
(4)Lời giải
1.+) x2=9 (1)
TXĐ: D = R Giải (1): x2
=9 ⇒x=±3
+) x2
+ x x+3=9+
x
x+3 (2)
TXĐ: D = R \ {3} Giải (2): x2+ x
x+3=9+ x
x+3 ⇒x
2
(x+3)+x=9(x+3)+x ⇔x3+3x2+x=10x+27 ⇔x3+3x2−9x −27=0
⇔x2(x+3)−9(x+3)=0 ⇔(x2−9)(x+3)=0 ⇔x=±3
Vậy phương trình (1) tương đương với phương trình (2) x2
=9 và x2+xx +2=9+
x x+2
+) x2=9 (1)
TXĐ: D = R Giải (1):
x2=9 ⇒x=±3
+) x2+ x
x −2=9+ x
x −2 (2)
TXĐ: D = R \ {2} Giải (2): x2
+ x x −2=9+
x x −2
⇒x2(x −2)+x=9(x −2)+x⇔x3−2x2+x=10x −18
⇔x3−2x2−9x+18=0⇔x2(x −2)−9(x −2)=0⇔(x2−9)(x −2)=0
⇔ x=±3
¿
x=2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
(5)3 x2
=0 và x =
+) x2=0 (1)
TXĐ: D = R +) x = (2)
TXĐ: D = R
Vì cả phương trình (1) và (2) đều có chung tập nghiệm nên phương trình tương đương
4 x+1 x=
1
x và x =
+) x+1 x=
1 x (1)
TXĐ: D = R\ {0} Giải (1): x+1
x= x
⇔x2
+1=1⇔x2=0⇔x=0
+) x = (2)
TXĐ: D = R
5 x + = và (x + 3)(x - 2) = 2(x - 2) +) x + = (1)
TXĐ: D = R Giải (1):
x + = ⇒x=−1 +) (x+3)(x+2) = 2(x - 2) (2)
TXĐ: D = R Giải (2):
(x+3)(x-2) = 2(x-2) ⇔ (x-2)(x+1) =
⇔ x=2
¿
x=−1
(6)Vậy phương trình (1) không tương đương với phương trình (2) (x+1)(x2+4) = 2(x2 + 4) và x + = 2
+) (x+1)(x2+4) = 2(x2 + 4) (1)
TXD: D = R +) x + = (2) TXĐ: D = R Giải (1):
(x+1)(x2+4) = 2(x2 + 4) ⇔(x −1)(x2+4)=0
⇒x=1
Giải (2): x + = ⇒x=1
Vậy phương trình (1) tương đương với phương trình (2)
Bài 4/ 300 Các phương trình sau có tương đương khơng? Nếu không, thì tìm điều kiện để chúng tương đương
1, f x( ) 1 và loga f x( ) ( a0, a1)
2, f x( )g x( ) và loga f x( ) log ag x( ) (a0, a1)
3, log2x2 0 và 2log2 x0
4, log3 x 0 và
log x
Giải:
1, Ta có:
*) f x( ) 1
*) loga f x( ) 0 f x( ) 1
Vậy phương trình đã cho tương đương 2, Ta có:
*) f x( )g x( )
*) loga f x( ) log ag x( ) (a0, a1)
Hai phương trình chỉ tương đương nếu các nghiệm của phương trình
( ) ( )
f x g x khơng có nghiệm nào làm cho f x( ) 0 .
3, Hai phương trình đã cho không tương đương, điều kiện là x0
4,
1
3 3
1
log log log
2
x x x
(7)Bài Xét hai phương trình: f(x) = (1) và f(x) g(x) = (2)
Cho ví dụ trường số K nào cho: 1) (1)⇔(2) ;
2) (1)⇒(2) , đảo lại không đúng;
3) (2)⇒(1) , đảo lại không đúng
Lời giải
1) (1)⇔(2)
f(x) = (x – 1) và f(x) g(x) = (x – 1)(x2 + 1) f(x) = (x3 – 1) và f(x) g(x) = (x3 – 1)(x2 + 1) f(x) = (x2 – 4) và f(x) g(x) = (x2 – 1)(x2 + 2) f(x) = x và f(x) g(x) = x(x2 + 5)
2) (1)⇒(2) , đảo lại không đúng
f(x) = (x – 1) và f(x) g(x) = (x – 1)(x + 1) f(x) = (x3 – 1) và f(x) g(x) = (x3 – 1)(x+ 2) f(x) = (x2 – 4) và f(x) g(x) = (x2 – 1)(x2 - 4) f(x) = x và f(x) g(x) = x(x + 5)
3) (2)⇒(1) , đảo lại không đúng
f(x) = (x – 1) và f(x) g(x) = (x – 1) x −x+11
f(x) = (x3 – 1) và f(x) g(x) = (x3 – 1)(x+ 2) x3−1 f(x) = (x2 – 4) và f(x) g(x) = (x2 – 1)
x2−4 f(x) = x và f(x) g(x) = x x
2−1
x
Bài 6/300 Giải và biện luận các phương trình:
2
2 2 2
) ( 1) ; ) 2( ) ( 1) 3;
) ( ) ( ); ) ( ) ( )
a m x x m b mx x m m
c a ax b a b x a d a ax b a b x a
(8)Giải:
2 2
2
2 ) ( 1)
( 1) (1 )
a m x x m m x m x m
m x x m m
m x m m
+) Nếu m21 0 m1, phương trình có nghiệm là:
(1 ) (1 )
1 (1 )(1 )
m m m m m
x
m m m m
+) Nếu m21 0 m1, ta có
Với m1 thì 0.x1(1 1) 0 phương trình có vơ số nghiệm
Với m1 thì 0.x1(1 1) 2 phương trình vô nghiệm.
2
2
) 2( ) ( 1) 2 ( 1)
( 2) 4 ( 2)
b mx x m m mx x m m
m x m m m
+) Nếu m 2 m2, phương trình có nghiệm là:
( 2)
2
m
x m
m
+) Nếu m 2 m2, ta có:
0.x ( 2) 4( 2) 0 , phương trình có vơ số nghiệm.
2 2 2
2 2
) ( ) ( )
( ) ( )
c a ax b a b x a a x ab a b x ab
a b x a a b
+) Nếu a b2 0 ab, phương trình có nghiệm là: 2
2
( )
a a b
x a
a b
+) Nếu a b2 0 ab, ta có:
Với a b 0.x a 3 a3 0, phương trình có vơ số nghiệm.
Với ab 0.x0, phương trinh có vơ số nghiệm.
2 2 2 2 2
3 2 2
3 2 2
) ( ) ( ) ( 4 )
(4 )
(4 )
d a ax b a b x a a a x abx b a b x ab
a x a b b x ab a
a x a b b x ab a
+) Với a0 a3 0, phương trình trở thành:
3 2 2
2
0 (4.0 ) 3.0 0
0
x b b x b
bx x
Bài 7/300 Giải và biện luận các phương trình sau
1
,
1 x m x a
x x m
(9)ĐK:
1 x x m
2
2
(1) ( ) ( 1) 2( 1)( ) ( 1)
x m x x x m
x m
Với m = 1: phương trình có vơ số nghiệm Với m1: phương trìn vô nghiệm
b,
( 1)
1 1
a x x b b x
x x x
(2)
ĐK: x1
(2) ( )(1 ) ( )( 1) ( 1)
( 2)
a x x x b x b x
a x a
Nếu a = 2: phương trình vô số nghiệm Nếu a2: phương trình vô nghiệm
c,
2
1 ( 1)
1 1
ax b a x
x x x
(3)
ĐK: x1
2 (3) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)
( 1)
ax x b x a x
a b x a b
Nếu
0 a b a b
thì phương trình có nghiệm
1 a b x
a b
Nếu
0 a b a b
thì phương trình vô nghiệm. Bài 8 Giải phương trình:
a) 14x + = 10x + |3x+5| ; b) |x+3|+|x −1|=3x −5 Lời giải
a) 14x + = 10x + |3x+5| (1)
Ta có: |3x+5|
3x+5 x≥-3
¿
−(3x+5) x<-3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
TH1: Nếu x ≥−3
(10)14x + = 10x + 5(3x+5) ⇔11x=−2 ⇔x=−
11 (TM)
TH2: nếu x<−3
5 (1) thành:
14x + = 10x - 5(3x + 5) ⇔19x=−18⇔x=−18 19(TM)
Kết luận: Phương trình có nghiệm phân biệt: x=−
11 và x=− 18 19
b) |x+3|+|x −1|=3x −5 Đặt f(x) = |x+3|+|x −1|
x − ∞ -
+∞
|x+3| - x – x + x +3 |x −1| - x - - x – x +
f(x) - 2x - 2x +
|x+3|+|x −1|=3x −5 x=1
5 x=
2 x =
Nghiệm x=1
5 Vô nghiệm x =
Kết luận:
x < -3 phương trình có nghiệm nhất: x=1 ;
−3≤ x<1 phương trình vô nghiệm;
x ≥1 Phương trình có nghiệm nhất: x =
Bài 9 Với điều kiện nào của m thì các phương trình sau vô nghiệm? a) (m + 1)2x + – m = (7m – 5)x
b) xx+m
+1+ x −2
(11)Lời giải
a) (m + 1)2x + – m = (7m – 5)x
⇔ (m2 – 5m + 6)x = m – 1
(m 2)(m 3)x m
Phương trình vô nghiệm và chỉ
(m−2)(m−3)=0 m−1≠0
⇔ m=2
¿
m=3
¿ ¿m≠1
¿
⇔
¿
m=2
¿
m=3
¿ ¿ ¿{
¿ ¿ ¿ ¿
b) xx+m
+1+ x −2
x =2 (2)
Điều kiện:
¿
x+1≠0 x ≠0
⇔
¿x ≠ −1
x ≠0
¿{
¿
(2) ⇔ 2x2+(m −1)x −2
x(x+1) =2 ⇔
2x2
+(m −1)x −2−2x(x+1) x(x+1) =0
⇔ (m−3)x −2
x(x+1) =0 ⇒ (m – 3)x – =
(12)2
m−3=−1
¿
2 m−3=0
¿
⇔m=1
¿ ¿
Vậy với m = m = thì phương trình vô nghiệm
Bài 10/301 Với điều kiện nào của tham số thì phương trình sau có vơ số nghiệm?
2
) 3; ) ;
) ( 1) (2 1)
a m x x m m b m x mx m m
c x a x b x
Giải:
2 2
) ( 9) ( 1)( 3)
a m x x m m m x m m m m
Do phương trình có vơ số nghiệm
2
3
1
9
3
( 1)( 3)
3
m
m m
m
m
m m m
m m
3
) ( ) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)
b m x mx m m m m x m m m m
m m m x m m
Phương trình có vơ số nghiệm
0
1
( 1)( 1)
1
( 1)
1
1 m
m m
m m m
m m
m m
m m
m
) ( 1) (2 1) 2
( 1)
c x a x b x ax a xb b x
a b x a b
Phương trình có vơ số nghiệm
2 1
2
a b a
a b b
Bài 11/301 Với điều kiện nào của m thì các phương trình sau có nghiệm?
2
) ( 1) 2,
a m x x m với x0.
2
(2 1) (2 3) )
4
m x m x m
b
x x
(13)Giải:
2 2
2
) ( 1) 4
( 4)
( 2)( 2) ( 1)( 2)
a m x x m m x m x m
m x m m
m m x m m
+) Nếu
2 ( 2)( 2)
2 m m m m
Với m2 ta có 0.x0, phương trình có nghiệm với x0
Với m2 ta có 0.x12, phương trình vơ nghiệm.
+) Nếu
2 ( 2)( 2)
2 m m m m
thì phương trình có nghiệm nhất m x m
, với
1 0 2 m m x m m 2
(2 1) (2 3) )
4
m x m x m
b
x x
ĐK: 4 x2 0 2x2
Ta có:
2 2
2
(2 1) (2 3) (2 1) (2 3)
0
4 4
2
0
2
5
m x m x m m x m x m
x x x x
x m x x m m x
Với điều kiện
2 4
4
1 x x m m
Vậy với 1m9 phương trình có nghiệm.
Bài 12 Với giá trị nào của k thì phương trình sau có nghiệm kép? (k1)x2 2(k1)x k 4
Lời giải
Phương trình nếu có nghiệm kép
1
' ( 1) ( 1)( 4) k
k k k
(14)Vậy k5 thì phương trình đã cho có nghiệm kép
Bài 13. Với giá trị nào của kthì phương trình sau có nghiệm gấp đôi
nghiệm kia?
x2 (2k1)x k 2 2 Lời giải
Nếu phương trình có nghiệm x x1, 2, giả sử x1 x2thì:
1
1
2
2
0 (2 1) 4( 2)
x x
x x
k k
2
7
4
2
k k
x x
x x
Theo định lí vi-et ta có
2 1
2
2
3
2 2 1
2
3 k x
x x k k
x x k k
x
Mà x1 2x2
2
3
2
2
k k
k
(k 4)2 0 k4
Vậy k4thì phương trình có nghiệm gấpđơi nghiệm kia.
Bài 14/301 Cho phương trình x2 px q 0 Lập phương trình bậc hai có các
nghiệm bằng x12x22 và
3
1
x x Trong x x1, 2 là nghiệm của phương trình
đã cho Giải:
2 0 (*)
x px q
Do x x1, là nghiệm của phương trình (*) nên theo Vi-ét ta có:
1
x x p
x x q
Ta có:
2 2
2
1 2 2
x x x x x x p qX
3 3
3
1 2 2 3
x x x x x x x x p q p p qpX
Theo định lý Vi-ét đảo X X1, là nghiệm của phương trình bậc hai
(15)Ta có:
1 2
X X q pq
1 2
X X p q p pq
Vậy phương trình cần tìm có dạng:
2 3 2 2 3
X pq q X p q p pq
Bài 15 Giải và biện luận các phương trình sau : a) x2(m1)x m 0 ;
b) (m 3)x2 mx m 0 ;
c)
2
1
a x
bx a x
(16)Lời giải :
a) x2(m1)x m 0
Đây là phương trình bậc hai, ta xét:
2
(m 1) 4m (m 1)
0 (m1)2 0 m1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1;
x x m
0 (m1)2 0 m1 thì phương trình có nghiệm kép
1
m x x
0 (m1)2 0vơ lí
Vậy m1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 1;x2 m
m1 thì phương trình có nghiệm kép
1
m x x
b) (m 3)x2 mx m 0 (*)
Xét m 0 m3phương trình (*) trở thành 3x 0 x1
m 0 m3phương trình (*) là phương trình bậc hai
Có m2 4(m 3)(m 6)3(m212m24)
3(m 3)( m 3)
0 3 m 6 3thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
6
6 m
m
thì phương trình có nghiệm kép
6
6 m
m
thì phương trình vô nghiệm
Vậy m3thì phương trình có nghiệm x1
(17)
6 m
m
thì phương trình có nghiệm kép
6 m
m
thì phương trình vô nghiệm
c)
2
1
a x
bx a x
(**)
ĐK x a
Với ĐK (**) tương đương với
2
(a x ) (1 bx a x)( )
2
2
( )
0
(**)
2
x bx abx a a b x
bx abx a a b
Xét (**)
b = thì phương trình (**) trở thành 4a 0 a0 phương trình (**)
có vơ số nghiệm
b0, phương trình (**) là phương trình bậc hai có
2 2
' a b b a a b(4 ) 4ab
0
' 0
0
a b ab
a b
phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt
0
' 0
0 a ab
b
phương trình (**) có nghiệm kép
0
' 0
0
a b ab
a b
phương trình (**) vô nghiệm
Vậy
0 a b
(18)
0 a b
thì phương trình có nghiệm kép
0 0 a b a b
thì phương trình có hai nghiệm phân biêt
0 0 a b a b
thì phương trình vô nghiệm
Bài 16. Gọi x x1, 2là nghiệm của phương trình 2x2 5x 0 Không giải
phương trình: a) Tính
1
1 2
2
; ; (2 )(2 )
x x
A B x x C x x x x
x x
b) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là 2x1x2 và 2x2x1 Lời giải
a) Phương trình có hai nghiệm x x1, 2thì phương trình có dạng
1 2
( )
X x x X x x
Theo định lí vi-ét ta có :
1 2
5 x x x x
2
1 2
2 1
( )
x x x x x x
A
x x x x
2
( 5) 2( ) 16
3 3
2
2
1 ( 2)
Bx x B x x 2
1 2
( )
B x x x x
2 ( 5)2 4( 3) 11 11
2
B B
(19)2
1 2
5 2( )
C x x x x
Cx x1 22(x1x2)2
2
3
2.( 5)
C
17
3
C
b) Phương trình bậc hai cần tìm có các nghiệm là 2x1x2 và 2x2x1 nên
gọi S 2x1x22x2x13(x1x2) 5 và 2
1 2 1 2
17
(2 )(2 ) 2( )
3
P x x x x x x x x
Phương trình cần tìm là
2 0 3 5 17 0
3
X SX P hayX X
Vậy phương trình bậc hai là
2 17
3
3
X X
Bài 17/302 Xác định m để phương trình:
2 2( 2) 3 0
mx m x m
a) có hai nghiệm trái dấu;
b) có hai nghiệm dương phân biệt; c) có đúng nghiệm âm
Giải:
a) Phương trình có nghiệm trái dấu và chỉ khi:
1
3
c m 0
x x m
a m
b) Với m0, phương trình trở thành
3 2( 2) ( 3)
4
x x
(loại) Với m0, ta có: ' (m 2)2 m m( 3)m4
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt và chỉ khi:
'
4
0 0
0
3 3 4
3 m
m m
c m m
x x
m
a m
Bài 18. Tìm giá trị của a cho cả hai nghiệm của phương trình
2 6 2 2 9
x ax a a đều lớn 3 Lời giải
(20)- Phương trình có hai nghiệm đều lớn
' 2
6 2 a b a a 1 a a a
- Phương trình có hai nghiệm đều lớn
2
' 2 2 0
9 2
6 6 a c a a a a b a 1 a a a a
Vậy phương trình có hai nghiệm đều lớn a >
Bài 19 (Tr.302) Gọi x x1, là nghiệm phương trình 2x2 3ax 0 (*) khơng
giải phương trình hãy tính 13 23 1 x x * Lời giải
Ta có: A
2
3
1 1 2
1
3
3
1 1 2 1 2
1 x x x x x x x x
x x x x x x
1 2
3
3
x x x x x x
x x
Từ phương trình (*), theo Vi-ét, ta có:
1 2 a x x x x 2
3 3 9
3 3
2 2 4
1
a a a a
A
2 3 9 12
3 12 27 36
2 4 8
a a
a a a a
(21)Vậy
3 27 36
8
a a
A
Bài 20(Tr.302) Xét phương trình
(x a x b )( ) ( x b x c )( ) ( x c x a )( ) 0 , với a<b<c.
a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Hãy so sánh các nghiệm với a,b,c
* Lời giải
a) Ta có:
(x a x b )( ) ( x b x c )( ) ( x c x a )( ) 0
2 2
2
( ) ( ) ( )
3 2( )
x a b x ab x b c x bc x c a x ac x a b c x ab bc ca
Ta có: '
(a b c) 3(ab bc ca)
2
2 2
2 2
2 2
( ) 3( )
2 2 3( )
1
( ) ( ) ( )
2
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca
a b c ab bc ca
a b b c c a
Với a<b<c, suy ' 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
Vậy phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt b) Gọi f(x)= (x a x b )( ) ( x b x c )( ) ( x c x a )( )
Với a<b<c, ta có: f(a)=(a-b)(a-c)>0 f(b)=(b-c)(b-c)<0 f(c)=(c-a)(c-b)>0 Có f(b)<0 f(x) có nghiệm x1<b<x2
f(a)>0 ax x1, 2 mà a<b nên a x 1 b x2
f(c)>0 cx x1, 2 mà c>b nên a x 1 b x2c
Vậy các nghiệm của phương trình với a,b,c là: a x 1 b x2c
Bài 21 (Tr.302)
Xét phương trình: x2 + px + q = 0
a) Xác định p và q để phương trình có nghiệm p và q b) Tìm điều kiện của p và q để phương trình có nghiệm âm
Giải
a) Phương trình có nghiệm khi:
Δ ⇔ p2 – 4q 0 ⇔ p2 4q
(22)¿
p2+p2+q=0 q2+pq+q=0
¿{
¿
⇔
¿
q=−2p2 4p4−2p3−2p2=0
¿{
¿
Giải phương trình 4p4 – 2p3 – 2p2 = (1)
(1) ⇔ 2p2 (2p2 – p - 1) = 0 ⇔ 2p2 (2p +1 )(p - 1) = 0
⇔
p=0
¿
p=1
¿
p=−1
¿ ¿ ¿ ¿
*) p = ⇔ q = (t/m) *) p = ⇔ q = -2 (t/m)
*) p = - 12 ⇔ q = - 12 (t/m) Vậy phương trình có nghiệm khi:
p = q = p = 1, q = -2 p = q = - 12 b) Phương trình có nghiệm khi:
Δ ⇔ p2 – 4q 0 ⇔ p2 4q
Gọi nghiệm của phương trình là x ❑1 , x ❑2 Phương trình có nghiệm âm tức là:
¿ x1+x2<0
x1.x2>0
¿{ ¿
⇔
¿
− p<0 q>0
¿{
¿
⇔
¿
p>0 q>0
¿{
¿
Vậy phương trình có nghiệm âm khi:
¿
p2≥4q
p>0 q>0
¿{ {
¿
Bài 22 (Tr.302)
Xác định m để phương trình x2 – mx – m – = có nghiệm thỏa mãn
hệ thức x ❑1 + 2x ❑2 = -1.
Giải
Gọi nghiệm của phương trình là: x ❑1 , x ❑2 Theo bài ta có:
(23)¿
x1+x2=m
x1.x2=−m−5
¿{
¿
(2) Thay (1) vào (2) ta được:
¿
−1−2x2+x2=m
(−1−2x2)x2=−m−5
¿{
¿
⇔
¿
x2=−(1+m) − x2−2x22=− m−5
¿{
¿
⇔
x2=−(1+m) 1+m¿2=−m −5
¿ ¿ ¿{
1+m −2¿
⇔
¿
x2=−(1+m) −2m2−3m−1=− m−5
¿{
¿
⇔
¿
x2=−(1+m) m2+m−2=0
¿{
¿
⇔
x2=−(1+m)
m=1
¿
m=−2
¿ ¿ ¿
{
¿ ¿ ¿
*) m = thì:
¿
x1=3
x2=−2
¿{
¿
(t/m) *) m= -2 thì:
¿ x1=−3
x2=1
¿{ ¿
(t/m)
Vậy có giá trị cần tìm của m là và -2
Bài 23/302 Xác định a cho hai phương trình:
2 1 0
x ax và x2 x a
có nghiệm thực chung Giải:
Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình đã cho
Ta có: x02ax0 1 và
0 0
x x a
Hai phương trình đã cho có nghiệm thực chung:
2
0 0 ( 1)
x ax x x a a x a
Nếu a1 0 a1 thì 0.x0 0 phương trình có vơ số nghiệm.
Nếu a1 0 a1 phương trình có nghiệm
1 1 a x
a
(24)Kết luận: Với a1 phương trình có vơ số nghiệm.
Với a1 và x0 1 phương trình có nghiệm Bài 24 (Tr.303) Giải phương trình:
a) x6 – 7x3 + = 0;
b) x8 + x4 – = 0;
c) x10 + x5 – = 0; Giải
a) Đặt x3 = t
Ta có:
x6 – 7x3 + = ⇔ t2 – 7t + = 0
⇔
t=1
¿
t=6
¿ ¿ ¿ ¿
*) Với t = thì x3 =
⇒
x1=1
¿
x2=−1 2+
√3 i
¿
x3=−1 2−√
3 i
¿ ¿ ¿ ¿
*) Với t = thì x3 = 6
⇒
x1=√36
¿
x2=√36(−1 2+√
3 i)
¿
x3=√3 6(−1 2−
√3 i)
¿ ¿ ¿ ¿
Vậy phương trình đã cho có nghiệm b) Đặt x4 = t
Ta có:
(25)⇔
t=1
¿
t=−2
¿ ¿ ¿ ¿
*) Với t = thì x4 = 1 ⇒
x1=1
¿
x2=i
¿
x3=−1
¿
x4=−i
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
*) Với t = -2 thì x4 = -2 ⇒ x1=√42(√2
2 +
❑
√2 i)
¿
x2=
√2(−√2 +
√2 i)
¿
x3=√42(−√2 −
√2 i)
¿
x4=4√2(√2 −
√2 i)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy phương trình đã cho có nghiệm c) Đặt x5 = t
Ta có: x10 + x5 – = ⇔ t2 + t – = ⇔
t=2
¿
t=−3
¿ ¿ ¿ ¿
*) Với t = thì x5 = 2 ⇒x=√52(cos2kΠ
5 +isin 2kΠ
5 ) (với k = 0,4 )
*) Với t = - thì x5 = -3
⇒x=√53(cos(2k+1)Π +isin
(2k+1)Π
(26)Vậy phương trình đã cho có 10 nghiệm
Bài 25 (Tr.303) Giải phương trình: a) x3 + = 0;
b) x6 + x4 + x2 = 0 Giải
a) Ta có:
x3 + = ⇔ x3 = -7
⇔ x1=1
2+
√3 i
¿
x2=−1
¿
x3=1 2−
√3 i
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
b) Ta có:
x6 + x4 + x2 = ⇔ x2(x3 +x2 + 1) = 0
⇔ x2=0
¿
x3+x2+1=0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
⇔ x1,2=0
¿
x3=
1 2+i
√3
¿
x4=−1 2−i√
3
¿
x5=−1 2+i
√3
¿
x6=1 2− i
√3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
(27)a) x4 + 5x3 - 12x2 + 5x + = 0
b) 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + = 0
c) 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x + = 0 * Lời giải
a) x4 + 5x3 - 12x2 + 5x + = 0
x = không là nghiệm của phương trình Ta chia hai vế của phương trình cho x2
Phương trình đã cho trở thành:
⇔x2
+5x −12+5 x+
1 x2=0 ⇔(x2+1
x)+5(x+
x)−12=0
Đặt t=x+1 x⇒x
2
+ x2=t
2−2 ⇒t2−2+5t −12=0
t1=2
¿
t2=−7
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
⇔t2+5t −14=0 Δ=25+4 14=81
⇒
¿
x3=−7+3√5
¿
x4=−7−3√5
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
¿
t1=2⇒x+
1
x=2⇒x
2
−2x+1=0⇒xx=x2=1 t1=−7⇒x+
1 x=−7 ⇒x2
+7x+1=0 Δ=45
⇒
¿
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: {1;−7+3√5
2 ;
−7−3√5
2 }
(28)x = không là nghiệm của phương trình Ta chia hai vế của phương trình cho x2
Phương trình đã cho trở thành: 6x2+5x −38+5
x+
x2=0 ⇔6(x
+1
x)+5(x+
x)−38=0
Đặt t=x+1 x⇒x
2
+ x2=t
2
−2 ⇒6t2−12+5t −38=0
⇔6t2
+5t −50=0
Δ=1225
⇒ t1=5
2
¿
t2=10
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
t1=
5 2⇒x+
1 x=
5 2⇒2x
2
−5x+2=0
⇒ x1=2
¿
x2=1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
t1=10 ⇒x+
1 x=
10 ⇒3x
2−10x
+3=0
⇒ x1=3
¿
x2=1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: {13;1
2;2;3} c) 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x + = 0
x = không là nghiệm của phương trình Ta chia hai vế của phương trình cho x2
(29)6x2
+7x −36−7 x+
6 x2=0 ⇔6(x2+1
x)+7(x −
x)−36=0
Đặt t=x −1 x⇒x
2
+ x2=t
2
+2 ⇒6t2
+12+7t −36=0 ⇔6t2+7t −24=0
⇒ t1=3
2
¿
t2=−8
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
t1=3 2⇒x −
1 x=
3 2⇒2x
2
−3x −2=0
⇒ x1=2
¿
x2=−1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
t1=−8 ⇒x −
1 x=
−8 ⇒3x
2
+8x −3=0
⇒ x1=−3
¿
x2=1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: {−3;−1
2 ; 32}
Bài 27 (Tr.303): Tìm điều kiện của a, b, c, d, e để phương trình ax4+bx3+cx2+dx+e=0(a ≠0, b ≠0)
Có thể đưa về giải phương trình bậc hai bằng cách chia cả hai vế cho x2.
(30)ax2
+bx+c+d x+
e x2=0 ⇔a(x2+ e
ax)+b(x+ d
bx )+c=0 (1)
Đặt x+ d
bx=t⇒(x+ d bx)
2
=t2⇒x2+2d bx +
d2 b2x2=t
2
⇒x2− d2
b2x2=t
2−2d
b
Nếu thì ae=d
2
b2 phương trình (1) trở thành:
a(t2−2d
b )+bt+c=0⇔at
2
+bt+c −2 ad b =0
Vậy với ae=d
2
b2 thì thỏa mãn điều kiện đề bài
Bài 28/303 Giải phương trình:
4
4
4
) 21 74 105 50 0; ) 12 16 0; ) 13 14 24
a x x x x
b x x x x
c x x x x
Giải:
4 3
2
) 21 74 105 50 ( 1)(2 19 55 50) ( 1)( 2)(2 15 25)
5 ( 1)( 2)( 5)( )
2
2 5
a x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
4 2
2 2
2
) 12 16 4 12 16
( 4) 4( 4) ( 4)( 4)
( 1)( 4)( 2)( 2)
4 2
b x x x x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x
x x x x
(31)4 3
3 2
2
) 13 14 24 ( 1)( 10 24)
( 1)( 4 24) ( 1)[ ( 4) ( 4) 6( 4)] ( 1)( 4)( 6)
( 1)( 4)( 3)( 2)
4
2
c x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Bài 29/303 Giải các phương trình sau:
a,
2
1
1
(1)
3 3
x x
x x x x x
ĐK: x x 2 1 (1)
3 3
2
3
1
x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
Do điều kiện là x1 Vậy phương trình có nghiệm là
2 x
b,
6
7 10
x
x x x x
(2)
ĐK: x x
6 3( 5) 2( 2)
(2)
( 2)( 5) ( 2)( 5) 15
7 10 10
7
x x x
x x x x x
x x x
x x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
(32)c,
1
3
1
1 14
1
x x
x x
x x
x
(3)
ĐK:
1 14 x x
Ta có:
2
(1 ) (1 )
(3)
(1 )(1 ) 14 (1 )(1 )
2 (1 ) 14
2 (1 ) 14 28 3
5
x x x
x x x x
x x x x
x x x
x
x x x
x x
x
Vậy phương trình có nghiệm x5
d,
2
0 ( 2) ( 2)
x
x x x x x
(4)
ĐK:
2 x x
2
2 ( 4)( 2)
(4)
( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)
2 ( 2)
10 41
2
x x x x
x x x x x x x x x
x x x x
x x x
Vậy phương trình có nghiệm là
1 41 x Bài 30 Giải và biện luận các phương trình
a) 2
4a x a
x a x x a x x a
TXĐ:D R \ 0, a a,
2
4ax x a x a
x x a x a x x a x a x x a x a
(33)
2
2
4
2
ax x a x a
x a x a a
2
2
1
a a a
x a L
x a
Để x2 là nghiệm của phương trình thì
1 1
1 1
1
a a
a a
a
a a
Vậy với
1 a a
thì phương trình có nghiệm x 1 a
Với
1 a a
thì phương trình vô nghiệm
b)
2 2
2
x a a
x a x a x a 1
TXĐ:D R \a a,
2
2 2
1
ax 24 25
x x a a x a a
x a
a a a
2
x a
x a
Với a0 thì x x1, 2D phương trình có nghiệm phân biệt
a0thì phương trình vô nghiệm
c)
x a x b x b x a
1
TXĐ:D R \b a,
2
2
1
2
x a x a x b x a x b
ax a ab b
(34)Với a0thì phương trình trở thành 0xb2
Nếu b0 thì phương trình vô số nghiệm.
Nếu b0 hayb a thì phương trìnhvơ nghiệm.
Với a0thì phương trình có nghiệm là
2 2
2 a ab b x
a
Để x là nghiệm của phương trình thì
2
2 2
2
2
2
2 a ab b
b a b a b
a
a b
a ab b a b
a a
2 2
0
a b a b
a b a b
Vậy
a b
a b
thì phương trình có nghiệm.
d)
2
2
2
x a x b x a x b
1
TXĐ: \ 2,
a b D R
1 2x a 2x b 2x a 2x b 2x a 2x b a b x ab
Nếu a b 0 ab
Nếu ab c 0thì phương trình có vơ số nghiệm
Nếu
0, 0,
a b
a b
thì phương trình vô nghiệm.
Nếu
0 a b ab
thì phương trình có nghiệm là
ab x
a b
Bài 31 Giải các phương trình sau
(35)2
2
4
4
5 4
0( )
4
6( )
5 4 0( )
x x
x
x x x x x
x tm
x x
x tm
x x x x x VN
Vậy phương trình có nghiệm x0,x6.
b) x2 x1 0 Phương trình đã cho :
2 2
5 1 eu
5 1
4
5
1
5
6
x x n x
x x neu x
x x
x x neux
x
x x neux
x
Vậy phương trình có các nghiệm là
1 x x x
c) x22x 8 x21 1
Ta thấy x22x 8 x12 7 x R
Nên 2 2
1
2
1 2 7 ô nghiêm
x
x x x
x x x x x v
Vậy x
là nghiệm của phương trình d) 1 x 1 x x2
Ta có
2
2
1
2
x x x x R
Phương trình đã cho :
2
2
1 0
2
1 2( ô ý)
x x x x x x
x
x x x x v l
(36)Vậy phương trình có nghiệm là
0 x x
Bài 32/304 Giải các phương trình sau:
2
2
2
2
) 3 0; ) ;
1
) 0; ) ;
2
1
) 3; )
( 2)
) 1;
a x x e x x x
x
b x x f x
x
x x
c x x g
x x
d x x
Giải:
) 3
a x x
x
3
2
3x1 3x 3x1 3x1
2x 3 2 x 2 x 2x
Phương trình x 5x x2
Nghiệm x2
5
x x2
Từ bảng ta suy nghiệm của phương trình là: x2 và
4 x
2
)
b x x
x
6
3 6
2 3x
3x 3x2 2 3x 3x2 2 3x2
6 x
6
x 6 x2 6 x2 6 x2 6 x2
Phương trình
2x 4 4x2 2x2 4x2 2x24
Nghiệm Vô nghiệm x Vô nghiệm x Vô nghiệm
Từ bảng ta suy nghiệm của phương trình là: x
) 3
c x x
x 0 3
2 x 2x 2x 2x
3
x 3 x 3 x x
Phương trình x 3 3x 3 x 3
Nghiệm x6 x2 x0
(37)2
) 1
d x x
x 1 0 1
2 1
x x2 1
1 x2 1 x2 x21
x x x x x
Phương trình x2 1 x 1
1 x2 x1 1 x2 x x2 1 x
Nghiệm
2 x x
0 x x
0 x x
1 x x
Suy nghiệm của phương trình là: x1, x2 và x0. )
7
e x x x
x x x
x
2
3
2
7 2 x 2x 2x 2x 2x
5 3 x 3x 3x 3x 5 3x
2
x 2 x x2 x2 x2
Phương trình 2x0 0x0 6x10 0 2x 0
Nghiệm x0 Vô nghiệm
3
x x2
Suy nghiệm của phương trình là: x0, x
và x2. 1
) x
f x
x
ĐK: x2
x
2
x 2 x x
Phương trình 1
0
x
x x
2 1
0
x
x x
Nghiệm
2
x
2 x
Nghiệm của phương trình là:
1 x
và
1 x
2 1 1
)
( 2)
x x
g
x x
ĐK: x0 và x2
x
1
1
x x1 x1 x1
(38)Phương trình 1 1 ( 2)
x x
x x
2 1 1
2 ( 2)
x x
x x
2 1 1
2 ( 2)
x x
x x
Nghiệm
3
x x1 x5
Nghiệm của phương trình là:
1 x
, x1 và x5. Bài 33 Giải và biện luận các phương trình sau a) x2 x m x2 x
ĐK x2 x 4 x ⇔ x 4,5
TH1: Với x2 x m x2 x
Khi pt có nghiệm
2 2
2 m x
m x
với điều kiện 30m2
TH2:Với x2 x m x 2 x
Khi pt có nghiệm
2 m x
với điều kiện 8m6
Kết luận: Với 30m2 phương trình có nghiệm là
2 2
2 m x
m x
Với 8m6 phương trình có nghiệm là
2 m x
Với các TH lại phương trình vô nghiệm
b) a x2 x1 b Lập bảng xét dấu:
x 2 1
2
x x x2 x2
1
x 1 x 1 x x1
PT 2ax a b 3a b 2ax b a
(39)Với a0,b0 PT có vơ số nghiệm
Với 0,
b a
a
PT vô nghiệm Với 0,
b a
a
PT vô nghiệm Với 0,
b a
a
PT có nghiệm x 2,1
Bài 34 Tìm k để phương trình sau có nghiệm phân biệt:
x −1¿2=2|x − k|,(1)
¿
Giải:
Với k=1 thì pt(1) x −1¿2⇔=2|x −1|
¿
⇔
x −1¿2=2(x −1)
¿
x −1¿2=2(1− x)
¿
x2−4x+3=0
¿
x2−1=0
¿
x=1
¿
x=3
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
không thỏa mãn
Với k ≠1 pt(1) x −1¿2⇔=2|x − k|
¿
⇔
x −1¿2=2(x − k)
¿
x −1¿2=2(k − x)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
(*)
(40)(*)
⇔
x2−4x+1−2k=0,(1')
¿
x2−2k+1=0,(2')
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
+) (1’) <=> x2−4x
+2k+1=0 Δ=4−2k −1=3−2k
Để pt (1’) có nghiệm thì -2k > => k<3
+) (2’) <=> x2 -2k +1 =0 Để pt có nghiệm thì 2k -1 >0 => k>1
Vậy với k ≠1 và 12<k<3
2 thì pt(1) có nghiệm
Bài 35 Tìm a để phương trình sau có nghiệm nhất: ax2 – 2(a – 1)x + = |ax−2|
Tìm a để phương trình có nghiệm nhất: ax2 – 2(a – 1)x + = |ax – 2| (1)
+ a = 0, ta có: 2x + = hay x =
+ a 0, ta có :
2
2
2 ax - 2(a-1)x + = ax - voi x
a ax - 2(a-1)x + = - ax voi x <
a
2
2
2 ax - (a - 2)x + = voi x
5 ax - (3a - 2)x = voi x <
5
Để phương trình có nghiệm thì
2
(a - 2) - 16 = (3a - 2) =
a = 20 ± 96
a =
Vậy với a = và a =
2
3 thì pt có nghiệm x = 0
(41)Bài 36/305 Giải các phương trình sau R bằng cách đưa về giải phương trình bậc hai:
2 2 2
4
2 2
) ( 1)( 2) 12; ) ( ) 2( ) 24 0; ) ( 1)( 3)( 5)( 7) 9; ) ( 5) ( 3)
) ( ) 10( ) 24 0;
a x x x x d x x x x
b x x x x e x x
c x x x x
Giải:
2
) ( 1)( 2) 12 a x x x x
Đặt: y x 2 x 1, phương trình trở thành:
( 1) 12
3 12
4 y y
y y y
y
+) Với y3, suy ra:
2 1 3
2 x x x
x
+) Với y4, suy ra: x2 x x2 x
Ta thấy
2
2
1 1
5
2 4 19 19
4 4
x x x x
x
Vậy phương trình có nghiệm là: x1 và x2.
2
) ( 1)( 3)( 5)( 7) [( 1)( 7)][( 3)( 5)]
( 7)( 15)
b x x x x
x x x x
x x x x
Đặt y x 28x7, ta có:
2
( 8) 9
9 y
y y y y
y
+) Với y1, ta có:
2 8 7 1 10
4 10 x x
+) Với y9, ta có: x28x 7 x28x16 0 x4 (bội 2)
Vậy phương trình có nghiệm là: x 4 10 và x4 (bội 2)
2 2
) ( ) 10( ) 24 c x x x x
Đặt tx2 5x , ta được:
2 10 24 0
6 t
t t
t
(42)Với t 4, ta có:
2 5 4 5 4 0
4 x
x x x x
x
Với t 6, ta có:
2 5 6 5 6 0
3 x
x x x x
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x1, x4, x2, x3.
2 2
) ( ) 2( ) 24 d x x x x
Đặt tx25x , ta được:
2 2 24 0
6 t t t
t
Với t 4, ta có:
2 5 4 5 4 0
4 x
x x x x
x
Với t6, ta có:
2 5 6 5 6 0
6 x
x x x x
x
Vậy phương trình có nghiệm là: x1, x4, x6
4
4
) ( 5) ( 3) ( 5) ( 3)
e x x
x x
2
2
2 2
( 5) ( 3)
( 5) ( 5) ( 3) ( 3)
x x
x x x x
2
2
3
( 1)( 1) ( 5) ( 1)( 1) ( 3) ( 4) ( 6)( 10 26) ( 2)( 10)
4
2 24 108 176
x x x x x x
x x x x x x x
x
x x x
2
( 4)( 22)
x
x x x
x
Vậy phương trình có nghiệm là: x4.
Bài 36 Giải các phương trình sau R bằng cách đưa về giải phương trình bậc hai:
a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12
b) (x + 1)(x + 3)(x + 5)( x+ 7) = c) (x2 – 5x)2 + 10(x2 – 5x) + 24 = 0
d) (x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) – 24 = 0
e) (x + 5)4 + (x + 3)4 = 2 Lời giải
(43)Ta có: x2 + x + = x2 + 2. x +
1 +
3
4 = (x -
2 )2 +
3 , ∀ x R
Đặt x2 + x + = t, (với t
4 ) (1) trở thành:
t(t + 1) = 12 ⇔ t2 + 2. t +
1 =
49
⇔ (t + 12 )2 =
(72)
2 ⇔
t+1 2=
7
¿
t+1 2=−
7
¿ ¿ ¿ ¿
⇔
t=3
¿
t=−4 (loai)
¿ ¿ ¿ ¿
Với t = thì x2 + x + = 3 ⇔ (x +
2 )2 = ( 2)
2
⇔
x+1 2=
3
¿
x+1 2=−
3
¿ ¿ ¿ ¿
⇔
x=1
¿
x=−2
¿ ¿ ¿ ¿
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: x = 1; x = - b) (x + 1)(x + 3)(x + 5)( x+ 7) =
⇔ [(x + 1)(x + 7)][(x + 3)(x + 5) = ⇔ (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) = (2)
Ta có: x2 + 8x + = x2 + 2.4x + 16 – = (x – 4)2 – - với ∀ x R
Đặt x2 + 8x + = t, (với t - 9), (2) trở thành:
t(t + 8) =
(44)⇔ (t + 4)2 = 52
⇔
t+4=5
¿
t+4=−5
¿ ¿ ¿ ¿
⇔
t=1
¿
t=−9
¿ ¿ ¿ ¿
Với t = 1, thì x2 + 8x + = - 1
⇔ (x + 4)2 = 2√2¿2
¿ ⇔
x+4=2√2
¿
x+4=−2√2
¿ ¿ ¿ ¿
⇔
x=2√2−4
¿
x=−2√2−4
¿ ¿ ¿ ¿
Với t = - thì x2 + 8x + = - 9
⇔ (x + 4)2 = ⇔ x = - 4
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là: x = 2√2−4 ; x = −2√2−4 ; x =
-
c) (x2 – 5x)2 + 10(x2 – 5x) + 24 = 0 (3)
Đặt x2 – 5x = t, (3) trỏ thành:
t2 + 10t + 24 = 0
⇔ t2 + 2.5t + 25 – = 0
⇔ (t + 5)2 = ⇔
t+5=1
¿
t+5=−1
¿
⇔
¿
t=−4
¿
t=−6
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Với t = - thì x2 – 5x = - ⇔ x2 – 2.
2 x + 25
(45)⇔ (x - 52 )2 =
(32)
2 ⇔
x −5 2=
3
¿
x −5 2=−
3
¿
⇔
¿
x=4
¿
x=1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Với t = - thì x2 – 5x = - 6 ⇔ x2 – 2.
2 x + 25
4 =
⇔ (x - 52 )2 =
(12)
2 ⇔
x −5 2=
1
¿
x −5 2=−
1
¿
⇔
¿
x=3
¿
x=2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là: x = 1; x = 2; x = 3; x = d) (x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) – 24 = 0 (4)
Đặt x2 + 5x = t, (4) trở thành:
(46)⇔ (t – 1)2 = 52 ⇔
t −1=5
¿
t −1=−5
¿
⇔
¿
t=6
¿
t=−4
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Với t = - thì x2 + 5x = - 4
⇔ x2 + 2. x +
25 =
9
⇔ (x + 52 )2 =
(32)
2
⇔
x+5 2=
3
¿
x+5 2=−
3
¿
⇔
¿
x=−1
¿
x=−4
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Với t = thì x2 + 5x = 6
⇔ x2 + 2. x +
25 =
(47)⇔ (x + 52 )2 =
(72)
2 ⇔
x+5 2=
7
¿
x+5 2=−
7
¿
⇔
¿
x=1
¿
x=−6
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
(48)Bài 37 Giải các phương trình sau R a) 3(x+3
x −2)
2
+168(x −3 x+2)
2
−46x
2
−9 x2−4=0
b)
x+1¿2 ¿
x+2¿2 ¿ ¿ ¿
2
¿
Lời giải
a) 3(x+3 x −2)
2
+168(x −3 x+2)
2
−46x
2
−9 x2−4=0 Điều kiện: x ≠ ±2
Chia cả hai vế của (1) cho x2−9
x2−4 (1) ⇔3 ( x+2
x −3) x+3 x −2+168(
x −2 x+3)(
x −3
x+2)−46=0
Đặt t=( x+2 x −3)
x+3
x −2 thay vào phương trình ta có:
Phương trình nghiệm t : 3t+168
t −46=0 ⇔ 3t2+168−46t=0 ⇔ t = 6; t =
với t = thay trả lại ta có: t=( x+2 x −3)
x+3 x −2=6 ⇔ −5x2
+35x −30=0 ⇔x1=1; x2=6 với t = thay trả lại ta có: t=( x+2
x −3) x+3 x −2=
28
⇔ −25x2
+155x −150=0 ⇔x3=
6
5; x4=5
Kết luận: phương trình đã cho có nghiệm x1=1; x2=6 ; x3=6
(49)b)
x+1¿2 ¿
x+2¿2 ¿ ¿ ¿
1
¿
(2)
Cộng vào vế của phương trình (2) biểu thức −2 1+x
1 x+2
Ta có (2)
x+1¿2 ¿
x+2¿2 ¿ ¿ ¿
⇔1¿
1+x− x+2¿
2
=13 36 −2
1 x+1
1 x+2 ⇔¿
⇔
(1+x)(x+2)= 13 36 −2
1 (x+1)(x+2)
Đặt t =
(1+x)(x+2) với đk: x ≠ -1; x ≠ -2;
Ta có: t2 = - 2t ⇔36t2−13
+72t=0 ⇔
t=1
¿
t=−13
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Trả lại nghiệm x ta có:
Với t =
(1+x)(x+2)=
⇔− x2−3x+4=0⇔ x=4
¿
x=1
(50)Với t =
(1+x)(x+2)= −13
6 ⇔13x2+39x+32=0
Phương trình 13x2+39x+32=0 vô nghiệm
Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là x = -4; x = Bài 38/305 Giải các phương trình sau:
2
3
) 0; ) 0;
) 18 28 0; )
a x x c x x
b x x x d x x
Giải:
2 2
2
2
2
) 3 9
( 3) ( 3) 3( 3) ( 3)( 3)
3 3
3 3
2
a x x x x x x x
x x x x x
x x x
x
x x
x
i x
3 2
2
2
2
) 18 28 14 28
( 7) ( 7) 4( 7) ( 7)( 4)
7
7
b x x x x x x x x
x x x x x
x x x
x
x x
x
x i
3 2
2
) 2 4
( 2) ( 2) 2( 2)
c x x x x x x x
x x x x x
2
2
( 2)( 2)
2 2
1
x x x
x
x x
x x
3
) d x x
(51)3
3
1 1
3
1 ( 4) 1 ( 4)
2 27 27
9 687 687
18 18
x u v
2
2 1
x uv
Với
2
1 3
;
2 i 2 i
3 1
x u v
Với
2
1 3
;
2 i 2 i
Bài 39 Giải các phương trình sau: a) x3 – 4x2 – 4x – = 0
b) x3 + 8x2 + 15x + 18 = 0
(52)Lời giải
a) x3 – 4x2 – 4x – = 0
⇔ (x – 5)(x2 + x + 1)2 = ⇔
x=5
¿
x2
+x+1=0 (1)
¿ ¿ ¿ ¿
Giải (1): Δ = – = - = 3i2 nên (1) có hai nghiệm là: x=−1±i√3
2
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là: x = 5; x=−1±i√3
b) x3 + 8x2 + 15x + 18 = 0
⇔ (x + 6)(x2 + 2x + 3) = ⇔
x=−6
¿
x2
+2x+3=0 (2)
¿ ¿ ¿ ¿
Giải (2): Δ' = – = - = 2i2 nên (2) có hai nghiệm là: x=−1± i√2
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là: x = - 6; x = −1−i√2 ; x =
−1+i√2
c) x3 – 7x + = 0
⇔ (x – 2)(x2 + 2x – 3) = 0
⇔ (x – 1)(x – 2)(x + 3) = ⇔
x=−3
¿
x=1
¿
x=2
¿ ¿ ¿ ¿
(53)Bài 40 Giải các phương trình sau: a) x4 – 2x3 + 2x2 + 4x – = 0
b) x4 + 2x3 – 2x2 + 6x – 15 = 0
c) x4 – 4x3 + 3x2 + 2x – = 0
d) x4 – 3x3 + x2 + 4x – = 0 Lời giải
a) x4 – 2x3 + 2x2 + 4x – = 0 (1) ⇔ x4 – 2x3 + 4x2 +2x2 + 4x – = 0
⇔ x2(x2 – 2x +4) - 2(x2 – 2x + 4) = 0
⇔ (x2 – 2)(x2 – 2x + 4) = 0
⇔
x2−2
=0
¿
x2−2x+4=0
¿
⇔
¿
x=±√2
¿
x2−2x+4=0 (1)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Giải (1): Δ' = – = - = 3i2 nên (1) có hai nghiệm là: x = 1± i√3
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là: x = ±√2 ; x = 1± i√3
b) x4 + 2x3 – 2x2 + 6x – 15 = 0 x + 3x + 2x + 6x - 5x - 15 = x(x +3) + 2x(x + 3) - 5(x + 3) = (x + 3)(x + 2x - 5) =
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là: x = −1±√6 ; x = ± i √3
c) x4 – 4x3 + 3x2 + 2x – = 0
(54) (x - 2x + 2)(x - 2x - 3) = ⇔ x = 1±√5
2 ; x =
3±√5
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là: x = 1±√5
2 ; x =
3±√5
d) x4 – 3x3 + x2 + 4x – = 0 x + 3x - 3x - 9x - 2x - =
x(x + 3) - 3x(x + 3) - 2(x + 3) = (x + 3)(x - 3x - 2) =
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là: x = 1± i x = 1±√13
2
Bài 41/306 Giải phương trình
a, 2
3
2
x x x x xx x (1)
Ta có: phương trình (1) tương đương phương trình sau
2
3
(x1)(x2) x x( 1) x x( 3)
(*)
ĐK:
0 x x x x
Khi đó:
2
(*) ( 1)( 3) ( 2)( 3) 3( 2)( 1) 13 19
0 19 13
x x x x x x x
x x
x x
Do điều kiện là x0 nên phương trình đã cho có nghiệm là: 19 13 x
b, 2
2
4 8
x x
x x x x (2)
(55)2 (2)
8 6
4x 4x
x x
Đặt:
8 t x
x
ta
2
3 6
2( 6) 3( 3) ( 3)( 6)
12( 6) 18( 3) ( 3)( 6) (33 )
0 33
t t
t t
t t
t t t t
t t
t t
Với t 0 ta có:
2
4x 8 x 2 x 2i
Với t=33 ta có
2
8
4 33 1
4 x
x x
x
Vậy phương trình có nghiệm là
1 8,
4 x x
và x 2i
c,
1 20
1 3
x x
x x x x
Phương trình đã cho tương đương với
1 20
1 ( 3)( 1)
x x
x x x x
(*)
ĐK:
1 x x
Khi đó:
(*) ( 1)( 3) ( 2)( 1) 20 21
3
x x x x
x x
Vậy phương trình có nghiệm x3
Bài 41/306 Giải các phương trình sau bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử
(56)3
2
4 (4 4)
( 1) 4( 1) ( 1)( 1)( 4)
1
4
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
b,
4
3
2
2
2
3 ( ) (3 )
( 1) ( 1)
( 1)( 1) ( 1) ( 1)[ ( 1) ] ( 1) ( 1)
( 1) 0
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
Vậy phương trình có nghiệm x = và x = (bội 3) c,
4 2
2 2
2 2
2
2
16 16
[(4 ) 2.4 1] (4 1)
(4 )(4 ) (4 )
(4 )
x x x x x
x x x
x x
x x x x
x x
x x
Ta có
2
(4x 1 ) 0x có nghiệm là 1,2
1
i x
2
(4x 1 ) 0x có nghiệm là 1,2
1
i x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 1,2
1
i x
và 1,2
1
i x
Bài 42. Giải các hệ phương trình
¿ a{ x
2
- 3xy + y2=−1
3x2 - xy
+3y2= 13 ¿⇔{
3x2 - 9xy + 3y2=−3 (1)
3x2 - xy
(57)Lấy (2) trừ (1) ta có: 8xy = 16 ⇔ x = y
Thay x =2
y vào x2 – 3xy + y2 = -1 ta
(2 y)
2
+ (2
y).y − y
2
=−1 ⇔
y2 -6 +y
2
=−1
¿
⇔ - 5y2+y4= ⇔(y2−1
)(y2−4)=0 y=±1
y=±2 y2=1 y2=4 ⇔¿
⇔¿
+ Với y = -2 thì x = -1 + Với y = -1 thì x = -2 + Với y = thì x = + Với y = thì x =
Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm: (-1, -2), (-2, -1), (1, 2), (2, 1)
b¿ { y
2
- 3xy = x2−4 xy
+y2=1 (II)
Nhận thấy x = 0, y = không là nghiệm của hpt đã cho Với x 0, y Đặt x = yt thì hệ (II) trở thành
{ y
−3 ty2=4 y2t2−4 ty2+y2=1⇔{
(1−3t)y2=4 (t2−4t+1)y2=1
Lấy (1) chia (2) ta có:
t=3 t=1 1−3t
t2−4t+1=4⇔1−3t=4(t
2
−4t+1)⇔¿
(58)+ Với t = thì x = 3y Thay x = 3y vào y2 -3xy = ta được:
y2 - y2 = ⇔ -8y2
=4⇔y2=−2 (vô lý)
+ Với t=1
4 thì x= − y
4 Thayx= − y
4 vào y
2−3 xy
=4 ta y2−3
(− y4 ).y=4⇔4y
2
+3y2=16⇔y2=16
7 ⇔ y = ±4√7
7 Vì y =±4√7
7 nên x =∓
√7
Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm: ( √7, −
4
√7),(−
√7,
(59)¿
x+y¿2−4(x+y)=45
¿
x − y¿2−2(x − y)=
¿ ⇔{[(x+y)-10] [(x+y)+6]=0
[(x − y)+1] [(x − y)-3]=0
¿
x+y=10 x+y=-6
¿
x-y=-1 x-y=3
{x=9
2 y=11
2
{x=13 y=7
{x=-7 y=-5
{x=-3 y=-9
{x+y=10 x − y=-1
{x+y=10 x − y=3
{x+y=-6 x − y=-1
{x+y=-6 x − y=3
⇔ ¿
¿ ¿ ¿
(60)¿
(x+y)+xy+1=0
¿
xy=−1−(x+y) (1) x+y¿2−2 xy−(x+y)−22=0 (2)
¿
x+y¿2−2 xy−(x+y)−22=0
¿ ¿
d{ x+y+xy+1=0 x2
+y2− x − y=22⇔¿
Thay (1) vào (2) ta được:
(x + y)2 + + 2(x + y) – (x + y) – 22 =
⇔ (x + y)2 + (x + y) – 20 = ⇔{ x+y=4 x+y=−5
+Với x+y=4 thế vào (1) ta xy = -5
{x=5 y=-1
{x=-1 y=5 ⇒{x+y=4
xy=5 ⇔¿
+Với x + y = -5 thế vào (1) ta xy=4
{x=-4 y=-1
{x=-1 y=-4 ⇒{x+y=−5
xy=4 ⇔¿
Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm: (-4, -1), (-1, -4)
Bài 43
a) 2
x y z xy xz yz x y z 14
b)
x y z xy xz yz 17 xyz 10
(61)c)
xy 12 x y
yz 18 y z
xz 36 x z 13
d)
4 2
2
x x y y 481 x xy y 37
Giải
a) 2
x y z xy xz yz x y z 14
2
x y z (1) xy xz yz (2) x y z xy yz xz 14 (3)
Thế (1) và (2) vào (3) ta được:
2
6 2.(yz yz) 14 36 4yz 14 14 yz 2 (*)
Ta có (2) x(y z) yz 7 x(y z) 9 (1) y z x
Thay y z x vào x(y z) 9 ta
2
x(6 x) 9 x 6x 0 (x 3) 0 x 3
Thay x = vào y z x ta y + z = (**) Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình
y z yz
y z y z
x = 3
(62)b)
x y z xy xz yz 17 xyz 10
(1)
Theo định lí viet đảo x, y, z là nghiệm của phương trình bậc ba có dạng Ax2 + Bx + C =
ta có: B
8 A
, C
17 A ,
D 10 A
Chọn A = nên có B = -8, C = 17, D = -10 (1) trở thành
3
x 8x 17x 10 0 (x – 5) (x – 1) (x – 2) = 0 x = 1, 2, 5
y = z =
c)
xy 12 x y
yz 18 y z
xz 36 x z 13
(3)
Dễ thấy x = y = z = không là nghiệm của (3) Với x 0, y 0, z ta có
xy 12 x y
yz 18 y z
xz 36 x z 13
1 x y 12 1 y z 18 1 13 x z 36
1 x 1 y 1 z
x y z
(63)Vậy hệ phương trình đã cho có cặp nghiệm (x, y, z) = (4, 6, 9)
d)
4 2
2
x x y y 481 x xy y 37
2 2 2
2
(x y ) x y 481 (x y) xy 37
2 2
2
[(x y) 2xy] (xy) 481 (x y) xy 37
2 2
2
[(x y) 2xy] (xy) 481 (1) (x y) xy 37 (2)
Thế (2) vào (1) ta có:
2
[37+xy 2xy] (xy) 481 [37 xy] (xy)2 481
2 2
(xy) 74xy 37 (xy) 481
74xy888 xy 12
Thay xy 12 vào (x y) xy 37 ta có
2
(x y) 12 37 (x y) 25 (x y) 52
x y x y
Với x y 5 ta có hệ
x y xy 12
hệ vô nghiệm
Với x y 5 ta có hệ
x y xy 12
hệ vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm Bài 44/306 Giải các phương trình sau: a, x22x4 2 x
Ta có
2
2
2
2
2
2 2
x x x
x
x x x
x x x
x x
Với
2 2 4 2 1
2
2
x
x x x
x x
(64)Với
2
2
2
x x x x
x
x x
Vậy phương trình có nghiệm x = -1 x = -2 Bài 45/307 Giải các phương trình sau:
3 3
2
) 2; ) 1
) 5;
a x x c x x x
b x x x x
Giải:
)
a x x
ĐK:
7
1
1
1
x x
x x
x
Với điều kiện trên, phương trình đã cho trở thành:
2
2
3 (3 7)( 1) 4 (3 7)( 1)
2 (3 7)( 1) (3 7)( 1) (2 2) 2
1
1
3
3
1
x x x x
x x x
x x x
x x x
x
x
x
x x
x
x x
x
Vậy phương trình có nghiệm là: x1; x3.
2
)
b x x x x
ĐK:
2
5 x x
x x
(65) 2 2 2 2 2 2
5
5
5
10 24
10 24
100( 5) (24 ) 24
2 51 436 1076
538 24
51
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x x x
Vậy phương trình có nghiệm là:
538 2;
51 x x
Bài 46/307 Giải các phương trình sau:
4
2
2 2
) 47 35 4;
4
) 16 6;
2
) 16 2
a x x
x x
b x x
c x x x x x x
Giải: 4
) 16
2
x x
b x x
ĐK:
4
4
16 x x x x 2 4 16
4 2 16 12
4 16 12
x x
x x
x x x x
x x x x
Đặt 2 2 4 4
u x u x
u v x
(66) 2 2 2 12
2 12 2 12 2 2 12
u v x uv
u v x uv
u v uv x uv
x uv x uv
Đặt t2x2uv
2
2
( 12) 24 144
25 144 16
9
t t t t t
t t t t Suy ra:
2 16 16 12 4 4 (*)
2 9 12 4 4 3 (**)
x uv u v x x
x uv u v x x
2 2
(*) 4 16 16
2 16 16 16 16 80 16 8
x x x
x x x x x x x x x x (**) (loại).
Vậy phương trình có nghiệm là: x5.
2 2
) 16 2
c x x x x x x
ĐK:
2 2
3 16 2
x x x x x x Khi đó:
2 2
2 2
3 16 2
3( ) 16 2
x x x x x x
x x x x x x
Đặt t x22x (t0) t2 x22x
Ta được:
2 2 2
2
3 16 16 16 4( 4)
2 16
t t t t t t t t
t t 0 16
(67)Với t 0 ta có:
2 2 0
2 x x x x
Vậy phương trình có nghiệm là: x0; x2.
Bài 46/307 Giải các phương trình sau
3
, 12 a x x
Đặt
3
3
5 7
5 12 12
u x u x
v x v x Ta có: 3 1
( ) ( ) 19
19 2 u v
u v u v
u v u v uv uv
u v u v u v Với
3 27
4
2 12
u x x v x Với
2
3
3 12 27
u x x v x
Vậy phương trình có nghiệm S = {-3, 4} b, 39 x 1 7 x 1
Đặt:
3
3
9
7
7
u x u x
v x v x Ta có: 3
4
4
16
u v u v u
uv v u v
9
0
7
x x x
(68)Đặt: 3 3 24 24 5
u x u x
v x v x Ta có: 3 1
( ) ( ) 19
19 2 u v
u v u v
u v u v uv uv
u v u v u v Với
3 24 27
9
2 5 8
u x x v x Với
2 24
1225
3 5 27
u x x v x
Vậy phương trình có nghiệm S = {9, 1225} Bài 47 Giải các phương trình sau
Giải
a) 5x 7 5x 12 1 Đặt u = 5x 7 , v= 3 5x 12 Có u + v = (1)
3
u v 5x 5x 12 5
3
3
u v u v 3uv u v 5
1 3uv
3uv6 uv2 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ u v u v
uv u v 3 3 x
5x 5x
x 5x 12
5x 12
1 x 5x
5x 5
5x 12 11
5x 12 x 5
(69)KL: Vậy phương trình đã cho vô nghiệm b) 9 x 1 7 x 4
Bài 49 Giải và biện luận các phương trình a, x2 2mx 1 m
b,
1
2
x x x a
Giải:
a, x2 2mx 1 m
x2 2mx 1 m 2(1)
Dk: m 2
(1) x2 2mx 1 (m 2)2
` x2 2mx m 4m 0
Ta có:
Vậy phương trình có nghiệm phân biệt:
2
1
x m m m
2
2
x m m m
Kết luân: Với m < thì phương trình vô nghiệm
Với m 2 phương trình có nghiệm phân biệt:
2
1
x m m m
x2 m 2m2 4m3
b,
1
2
(70)ĐK:
1 x
Ta có:
1 1
2 4
x x x
(1) x +
1
4
x
= a
2
1
4
x a
x a a
Vậy
1
x
thì phương trình vô nghiệm
1
x
(71)BÀI TẬP THỰC HÀNH GIẢI TOÁN Bài 1/307 Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
xy yz zx x y z
ay bx bz cy cx az a b c
ĐK 2
0 0
0 ay bx
bz cy cx az
a b c
Trong hai phương trình đầu
xy yz zx
ay bx bz cy cx az biểu thị mối quan hệ của
x, y, z với vai trị
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2 2
2 2
ay bx bz cy cx az a b c
xy yz zx x y z
Nếu x, y, z là nghiệm thì xyz0
Xét hệ phương trình:
ay bx bz cy cx az
xy yz zx
Rút gọn các phân thức ta được:
a b b c c a
x y y z z x
ta có:
a b c t
x y z hay ; ;
a b c
t t t
x y z
để tìm x, y, z ta phải tìm giá trị của t giải phương trình:
2 2
2 2
xy x y z
ay bx a b c
tìm t.
ta có:
2 2
2
2 2
1
2
a b a b c
t t t
t
ab ba a b c t t
t t
Suy nghiệm của hệ là: , , 2 2, ,
a b c x y z
Bài 2/307 Giải hệ phương trình:
4 (1)
2 2 3 2 (2)
x y
x y x y x y x y
(72)*) Phân tích:
Trước tiên ta tìm điều kiện để phương trình (2) xác định
2 2
(2 )(2 ) x y
x y
x y x y
Ta nhận thấy phương trình (1) nếu ta biểu diễn x theo y thế vào phương trình thứ (2) để tìm x, y thì phức tạp Vì phương trình (2) biểu thức chứa dấu
Nhận xét: Nếu đặt u 2x2 ;y v 2x 3y (u0, v0) Khi phương trình (2) trở thành: 2(u v ) 3 uv
mà
2
2 2
2
4
2
u x y
u v x y
v x y
Từ ta có hệ:
2 5 2( )
0, u v
u v uv
u v
*) Lời giải:
ĐK
2 2
(2 )(2 ) x y
x y
x y x y
Đặt
2
2 2
2 ( 0) 2
4
2
2 ( 0)
u x y u u x y
u v x y
v x y
v x y v
từ ta có hệ:
2 2( )
5 0, u v uv u v
u v
mà u2v2 (u v )2 2uv (u v )2 5 2uv
ta có:
2
2
2( ) 4( ) 9( ) 4(5 ) 9( ) 9( ) 20
2
u v uv u v uv
uv uv
uv uv uv
2
(u v) 2.2
(73)2
1
2( )
2 2
1 v u
u v
u v u v
uv uv v v v
u
thỏa mãn
Với
3 2
2 2 4 5
1 2 3 1 3
5 y x y
u x y x y
v x y x y x y
x Với 2
2 2 5
1 2 3 2 2 11
10 y x y
u x y x y
v x y x y x y
x
Vậy phương trình có hai cặp nghiệm:
7 11
, , ; ,
5 10 x y
*) Khai thác toán:
1 Giải hệ phương trình:
3
3 4
x y
x y x y x y x y
2 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
2
1
4
x y m
x y m m
Bài 3/308 Giải hệ phương trình:
8 (1)
17 (2)
10 (3)
x y z xy yz zx xyz
*) Phân tích tốn:
Ta nhận thấy từ phương trình (1) ta có thể biểu diễn ẩn theo ẩn lại Giải sử: x y 8 z
Ở phương trình thứ (3) với x y z, , 0 ta có thể biểu diễn ẩn theo ẩn
còn lại Ta có:
10 xy
z
Từ thay vào phương trình (2) để giải
*) Lời giải:
(74)8
17 17
10 10
( 0)
x y z x y z
xy yz zx xy yz zx
xyz xy z z 10
( ) 17 10
(8 ) 17
10 17
z x y z
z z
z
z z z
z z z
thỏa mãn
Với 10 y x x y z xy y x Với 5 y x x y z xy y x Với 2 y x x y z xy y x
Vậy ta tìm các cặp nghiệm:
x y z, , 5, 2, ; 2, 5, ; 5, 1, ; 1, 5, ; 2, 1, ; 1, 2, 5
*) Khai thác toán:
1 Giải hệ sau:
3 3 2 2
x y y y
y z z z
z x x x
2 Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện:
6 11 x y z
xy yz zx
(75)Hướng dẫn: Từ hệ ta có:
6
11 (6 )
x y z
xy z z
x, y là các nghiệm của
phương trình: x2 (6 z x) 11 z(6 z) 0
tính x và tìm điều kiện 0, từ suy GTLN, GTNN của z Do x, y, z bình đẳng, suy GTLN, GTNN của x, y
Bài 4/308 Giải hệ phương trình
12
5 18
* 26 13 xy x y
yz y z
zx z x
Lời giải
12 1 5
5 12 12 12
18 1 5
5 18 18 18
26 1 1 5 1
13 2 12 18
xy x y
x y xy y x x y
yz y z
y z yz z y z y
zx z x
z x zx x z y y
1 1 72
12 12 23
1 1 72
18 18
72
2 72
13
36
x
x y x y
y
z y z y
z y
y
(76)¿
x1=1 2(x2+
n x2) x2=1
2(x3+
n x3) xn=1
2(x1+
n x1)
¿{{ {
¿
với n Z+
Giải:
x2=
1 2(x2+
n
x2)⇔2x1x2=x22+n>0 với n Z+
Suy x1.x2 > x1 , x2 dấu
Tương tự ta có x2 , x3 dấu; xn-1 , xn dấu;
Nếu x1 , x2, , xn > giả sử x1 x2 . xn
Suy xn - x1 2(x1+
n x1)−
1 2(x2) Bài /308 Giải các phương trình a) x x3( 3 7) (1)
* Lời giải
Đặt tx3, phương trình (1) trở thành:
( 7) 8
1 t t t t
t t
Với t 1 x3 1 x1
Với t 8 x3 8 x2
Vậy nghiệm của phương trình là
1 x x
* Khai thác bài toán
b) x44x314x2 4x 1 (2)
(77)Đây là phương trình bậc 4, có dạng gần đối xứng Do ta chia cả hai vế của phương trình cho x2 đểhạ bậc phương trình và giải
* Lời giải
Chia cả hai vế của (2) cho x2 ta được:
2
2
4 14
1
4 14
1
4 12
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Đặt
1 t x
x
, ta được:
2 4 12 0 t t t
t
Với
2
1
2 : 2
1 x
t x x x
x x
Với
2 10
1
6 : 6
3 10 x
t x x x
x x
Vậy phương trình có nghiệm: 1 2;1 2; 3 10; 3 10
Bài 7/309 Giải hệ phương trình:
2 2
8
x y x y
x y xy
Phân tích: Đây là phương trình không mẫu mực, ta nghĩ đến việc biến đổi phương trình để có thể đặt ẩn phụ Nhận thấy rằng nếu chia cả vế cho x2 ta làm cho phương trình xuất nhiều nhân tử
chung, từ giải bài toán thơng qua phương trình tích Lời giải:
2 2
8
x y x y
x y xy
(78)2
2
2
2
1
1
7
y y
x x x x
y y
x x x
Trừ vế của phương trình ta
2
1 y y xx x x
2 y y
x x x x
2
1
1
(1 )
0
1
1
y y
x x
y
x x
y x
x y x
Với y = 1, thế vào hai phương trình của hệ ta
2
6 x x
2 x x
Với x = 1, thế vào hai phương trình của hệ ta y = -2, y=
Kết luận: Vậy phương trình có các cặp nghiêm (x,y) là (1,-2), (1,3), (-2,1), (3,1)
Khai thác bài toán:
Cũng bằng phương pháp đặt nhân tử chung, quy phương trình về phương trình tích, có thể tham khảo thêm số ví dụ sau:
(79)4 2
2
418 37 x x y y x xy y
Bài 8/309 Giải hệ phương trình
2
(*)
x y x y
* Phân tích bài toán
Đậy là hệ gồm hai phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Để giải hệ phương trình này, ta nghĩ đến việc phá dấu giá trị tuyệt đối
Ta có:
2, 2
2, 3, 3
3,
x x x x x y y y y y
Từ xét khoảng giá trị của x và giải hệ phương trình bậc hai ẩn * Lời giải
Với x y
ta có:
22
2 3
(*)
2 5
3 x
x y x y
x y x y
y Với x y
ta có:
2
(*)
2 5 1
x y x y x
x y x y y
Với x y
ta có:
34
2 13 3
(*)
2 5
3 x
x y x y
x y x y
y Với x y
ta có:
2 8
(*)
2 5
x y x y x
x y x y y
(80)Vậy nghiệm của phương trình (*) là:
22 x y
;
4 x y
;
34 x y
;
8 x y
Bài 9/309 Giải phương trình:
2 2 8 7 0
x y x y
*) Phân tích:
Ta có VT của phương trình có thể biến đổi về dạng A2 B2 mà
2 0
0 A
A B
B
nên ta có cách giải sau.
*) Lời giải:
2
2
2
2
2
2 16
1
1
4
x y x y
x x y y
x y
x x
x y
Vậy phương trình có nghiệm x1 và x4.
*) Khai thác bài toán:
Bằng cách giải tương tự, ta có bài toán sau: Giải phương trình:
2
2
2
x y x y
2 Giải phương trình: 2x28y2 2x4y 1
Bài 10/309 Giải phương trình:
4
(x3) (x5) 2
*) Phân tích:
Ta thấy phương trình có bậc là nếu khai triển biểu thức VT thì gặp nhiều khó khăn Ta tìm cách đưa phương trình đã cho về dạng bản đã biết cách giải bằng cách đặt ẩn phụ
*) Lời giải: Đặt
3
4
2
y x x x y
Thay vào phương trình đã cho, ta được:
4
1
y y
Khai triển và rút gọn ta được:
4
(81)Đặt ty2, t0 phương trình
2 0
2 t t t
t
Với t0 y2 0 x4
Do t0 nên t 2 loại.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x4
*) Khai thác bài toán:
Với cách giải tương tự ta có:
1 Giải phương trình: (x1)4(x3)4 16