Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh SC và SB.Tính thể tích k/c S.ABC theo a, biết BM vuông góc với CN.. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một k[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ÔN CẤP TỐC 2012 SỐ 02 Mơn: Tốn- 0985.873.128
Thời gian làm bài: 180 phút PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y=x −1
x+1 (C)
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Gọi A B hai giao điểm đường thẳng : y=1
6x đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường phân giác góc phần tư thứ cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
Câu II (2,0 điểm)
Giải phương trình: cosx+cos 3x=1+√2 sin(2x+π
4)
Giải bất phương trình sau: (2+√x2−2x+5)(x+1)+4x√x2+1≤2x√x2−2x+5
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I= ∫
0 π
4 cos(x+π4)
sin 2x+2(sinx+cosx)+2 dx
Câu IV (1,0 điểm) Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi M N là trung điểm cạnh SC SB.Tính thể tích k/c S.ABC theo a, biết BM vng góc với CN Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm
¿
x3− y3
+3y2−3x −2=0
x2+√1− x2−3√2y − y2+m=0
¿{
¿
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
Cho điểm M(1;1) hai đường thẳng d1: 3x - y - = 0, d2: x + y - = Viết phương trình
đường thẳng d qua điểm M cắt d1, d2 tương ứng A, B cho 2MA - 3MB = 0.
Cho điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) mặt phẳng (): x + 2y + = Tìm tọa độ
của điểm M, biết M cách điểm A, B, C mặt phẳng ()
Câu VII.a (1,0 điểm) Trong số phức z thỏa mãn điều kiện |z+1−5i|=|z+3−i| Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất.
B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) có phương trình x2 25+
y2
16=1 Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) cho MF1 = 4MF2 (F1 F2 tiêu điểm bên trái bên phải (E))
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;-1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A cách gốc tọa độ O khoảng lớn .
Câu VII.b (1,0 điểm) Trong số phức z thỏa mãn điều kiện |z −2−4i|=|z −2i| .Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất.
- Hết
Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh:
(2)(3)I.
(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm) 2.(1,0 điểm)
Tọa độ A B nghiệm hệ phương trình ¿
y=1
6x
y=x −1
x+1
¿{
¿
⇒A(2;1
3), B(3; 2)
0,25
Dễ thấy A B nằm phía đường phân giác d: x - y = Gọi A’(a;b) điểm
đối xứng A qua d
Ta có:
¿
(a −2).1+(b −1
3).1=0
a+2
2 −
b+1
3 =0
⇔
¿a=1
3
b=2
¿{
¿
⇒A'(1
3;2) ⇒⃗A '
B=1
6(16;−9)
0,25
Phương trình tham số A’B :
¿
x=3+16t
y=1
2−9t
(t∈R)
¿{
¿
tđ M
¿
x − y=0
x=3+16t
y=1
2−9t
⇒M(7
5; 5) ¿{ { ¿ 0,5 II. (2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Ta có: cosx+cos 3x=1+√2 sin(2x+π
4)⇔2 cosxcos 2x=1+sin 2x+cos 2x
⇔2 cos2x
+2sinxcosx −2cosxcos 2x=0
0,25
⇔2 cosx(cosx+sinx −(cos2x −sin2x))=0⇔cosx(cosx+sinx)(1+sinx −cosx)=0 0,25 ⇔
cosx=0
¿ cosx+sinx=0
¿ cosx −sinx=1
¿
x=π
2+kπ ¿ tanx=−1
¿ cos(x+π
4)= √2 ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ ⇔
x=π
2+kπ ¿
x=−π
4+kπ ¿
x=k2π
¿
, k∈Z
¿ ¿ ¿
0,5
2 (1,0 điểm)
(4)
x2−2x
+¿5 2+√¿
¿
⇔¿
x2−2x
+¿5 2+√¿
¿
⇔¿
0,25
⇔(x+1)[2+√x 2−2x
+5+ 2x(3x −1)
2√x2
+1+√x2−2x+5]
≤0
⇔(x+1)(4√x2+1+2√x2−2x+5+2√(x2+1)(x2−2x+5)+7x2−4x+5)≤0
0,25
⇔x+1≤0⇔x ≤−1 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho T = ¿ 0,25
III.
(1,0 điểm) (1,0 điểm)
Ta có:
sinx+cosx¿2+2 sinx cosx+1
¿ ¿ cosx −sinx
¿
I=∫
0 π
4 cos(x+π 4)
sin 2x+2(sinx+cosx)+2 dx=
√2 ∫0
π
¿
0,25
¿√2 ∫0
π
d(cosx+sinx+1) (cosx+sinx+1)2
¿−√2
1
cosx+sinx+1∨0 π
¿ ¿−√2
2 ( √2+1−
1 2)=
3√2−4
0,75
IV.
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
Gọi I trung điểm BC G trọng tâm SBC
Vì tam giác SBC cân S nên tam giác BGC vuông cân G
0,25
Từ GB=¿ GC = √2
2 BC=
a√2
2 GI =
2a ⇒SI=3 GI= 2a
0,25 Xét tam giác vuông SHI (H chân đường cao hình chóp hạ từ A) ta có:
SH=√SI2−HI2 mà SI = 32a HI = a√3
6 ⇒SH=
a√78
0,25 Vậy VS.ABC =
3SH.SABC=a √26 24 0,25 V. (1,0 điểm) (1,0 điểm) Ta có: ¿
x3− y3
+3y2−3x −2=0
❑
(1)
x2+√1− x2−3√2y − y2+m=0
❑
(2)
¿{
¿ ĐK:
¿
−1≤ x ≤1 0≤ y ≤2
¿{
¿
(5)Ta có (1) y −1¿3−3(y −1)
❑
(3) ⇔x3−3x=¿
Hàm số f(t) = t3 - 3t có f’(t) = 3t2 - < với t (-1;1) Nên f(t) hàm số nghịch biến
đoạn [-1;1] Từ (3) ta có f(x) = f(y-1) với −1≤ x ≤1 và−1≤ y −1≤1 Do x = y - y = x +
0,25 Thay y = x + vào (2) ta x2−2√1− x2+m=0⇔m=− x2+2√1− x2
Dễ thấy hàm số g(t)=−t+2√1−t liên tục nghịch biến t 0,25
nên với x2 ta có 2≥ − x2
+2√1− x2≥−1
Vậy hệ cho có nghiệm −1≤ m≤2 0,25
VIa.
(2,0 điểm)
VIIa.
(1,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Ta có A d1 nên A(x1;3x1-5), B d2 nên B(x2;4-x2) 0,25
Vì A, B, M thẳng hàng 2MA = 3MB nên
2⃗MA=3⃗MB❑ (1)
¿
2⃗MA=−3⃗MB❑ (2)
¿ ¿ ¿ ¿
0,25
(1)
⇔
2(x1−1)=3(x2−1)
2(3x1−6)=3(3− x2) ⇔
¿x1=5
2
x2=2
⇒A(5
2;
2), B(2;2) ¿{
Suy d: x - y =
0,25
(2)⇔
2(x1−1)=−3(x2−1)
2(3x1−6)=−3(3− x2)
⇔
¿x1=1
x2=1
⇒A(1;−2), B(1;3)
¿{
Suy d: x - =
Vậy có d: x - y = d: x - =
0,25
2 (1,0 điểm)
Goi tọa độ điểm M(a;b;c) Ta có: MA2 = MB2 b −1¿
2
+c2
a −1¿2+b2+c2=a2+¿ ¿
a = b (1)
0,25
MB2 = MC2
c −2¿2
b −3¿2+¿
b −1¿2+c2=a2+¿
a2 +¿
b = - c (2)
0,25
d2(M, ()) = MA2
a −1¿2+b2+c2 ⇔(a+2b+2)
2
5 =¿
(3) Thay (1) (2) vào (3) ta
(6)6a2 - 52a + 46 =
⇔
a=1⇒b=1, c=2
¿
a=23
3 ⇒b= 23
3 , c=− 14
3 ¿
¿ ¿ ¿ ¿ Vậy M(1;1;2) M(23
3 ; 23
3 ;− 14
3 )
0,25
Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y R) Ta có |x+1+(y −5)i|=|x+3−(y+1)i| (1)
y −5¿2 ¿
y+1¿2
x+3¿2+¿ ¿
x+1¿2+¿ ¿
⇔√¿
⇔x+3y=4 Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (1)
đường thẳng x + 3y = Mặt khác
4−3y¿2+y2
¿ ¿
|z|=√x2+y2=√¿ Hay |z|=√2(√5y −
√5)
+8
5≥ 2√2
√5
Do |z|min⇔y=65⇒x=25 Vậy z=25+65i
0,25 0,25 0,25 0,25
VIb.
(2,0 điểm)
VIIb.
(1,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Ta có a2 = 25 a = 5, b2 = 16 b = c2 = a2 - b2 = 25 - 16 = c = 3 0,25
Gọi tọa độ điểm M (x;y) M (E) nên ta có MF1 + MF2 = 10 0,25
5MF2 = 10 MF2 = 0,25
hay 5−3x
5 =2 x = thay vào phương trình (E) y = Vậy M(5;0)
0,25
2 (1,0 điểm)
Ta có d(O ,(P))≤OA 0,25
Do O ,(P)¿max=OA
d¿ xảy ⇔OA⊥(P)
0,25 nên (P) cần tìm mặt phẳng qua A vng góc với OA Ta có ⃗OA=(2;−1;1) 0,25
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x - 2) - (y + 1) + (z - 1) = hay 2x - y + z - = 0,25
(1,0 điểm)
Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y R) Ta có
|x −2+(y −4)i|=|x+(y −2)i| (1)
y −4¿2 ¿
y −2¿2
x2+¿
x −2¿2+¿ ¿
⇔√¿
0,25
⇔y=− x+4 Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (1) đường thẳng x + y = Mặt khác |z|=√x2+y2=√x2+x2−8x+16=√2x2−8x+16
0,25
Hay |z|=√2(x −2)2+8≥2√2 0,25
Do |z|min⇔x=2⇒y=2 Vậy z=2+2i 0,25
(7)