Chøng minh tø gi¸c MNCK lµ h×nh b×nh hµnh... Chøng minh tø gi¸c MNCK lµ h×nh b×nh hµnh.[r]
(1)Trường THCS Tuyên Quang Đề thi học sinh giỏi vịng trường (2009-2010) Mơn : Tốn :8 Thời gian : 120 Phút
Bµi : a) (1đ) Cho x, y thỏa x + y =1 Tính giá trị biểu thức A = x3 + y3 + 3xy
b) (1đ) Rút gọn biểu thức sau (a +b+c )2 + (a+b-c)2 – 2(a+b)2
Bµi 2:(3 đ) a) Ph©n tÝch biĨu thøc sau nh©n tư: A = x2 + 4x + 3
B = 4x4 + 4x2y2 - 8y4 C = x3 ( x2 – 7)2 – 36x
b) Dựa vào kết C hÃy chứng minh biÓu thøc: n3 – (n2 – 7) – 36n
lu«n lu«n chia hÕt cho với số nguyên n Bài 3: (1đ) Chứng minh r»ng nÕu: x
2
−yz
x(1−yz)=
y2−xz
y(1−xz)
víi x y ; xyz ; yz ; xz th× : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
Bài 4: (2đ) a) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất: x2 + x + 1
b) Tìm giá trị lớn biểu thức: P(x)= + x - x2
Bài 5: (2đ) Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC M, K N lần lợt là trung điểm AH, CD BH
a Chứng minh tứ giác MNCK hình bình hành b Chứng minh BM MK
-Hết đề
thi -Đáp án đề Toán Bài : a) A = (x+y)(x2- xy + y2) +3xy
=x2 –xy +y2 + 3xy 0,5đ
= x2 +2xy +y2
=(x+y)2
(2)=(a+b)2 +2(a+b)c +c2 +(a+b)2 - 2(a+b)c +c2 – 2(a+b)2 = 2c2 0,5 Bài 2: (3) a) Phân tích biểu thøc sau nh©n tư:
A= (x2+x) +( 3x+3) = x(x+1) + 3(x+1) = (x+1)(x+3) 0,5đ B =(4x4 + 4x2y2 + y4 ) – 9y4
=(2x2 +y2)2 - ( 3y2)2 0,5đ =(2x2+ 4y2 ) (2x2 – 2y2)
= ( x2 +2y2) (x2 – y2)
=4 ( x2 +2y2) (x- y) ( x+y) 0,5đ C= x3 (x2 – 7)2 – 36x = x[x2(x4-14x2 + 49) – 36]
= x(x6-14x4 + 49x2 – 36) = x[(x6- 9x4) – (5x4 - 45x2) + (4x2 - 36)
= x[ x4(x2- 9) – 5x2(x2 - 9) + 4(x2 - 9)] 0,5®
= x(x2- 9)( x4– 5x2+ 4) = x(x2- 9)( x4– 4x2 - x2+ 4) = x(x2- 9)( x4– 4x2 - x2+
4)
= x(x2- 9)[x2( x2– 4) - (x2- 4)] = x(x2- 9)(x2 – 4)(x2-1)
= x(x+3) (x-3) (x+2) (x-2) (x+1) (x-1) 0,5® b) Theo kÕt qu¶ C ta cã: n3 (n2 – 7)2 – 36n
= n(n+3) (n-3) (n+2) (n-2) (n+1) (n-1) hay xếp theo thứ tự tăng dần nhân tử nh sau:
(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)
Đây tích sè nguyªn liªn tiÕp, sè nguyªn liªn tiÕp bao giê còng cã mét sè chia hÕt cho 7, nên tích chia hết cho 7, tức biểu thøc n3 (n2 – 7)2 – 36n chia hÕt cho
7 (đpcm) 0,5đ Bài 3: (1đ) x
2−yz
x(1−yz)=
y2−xz
y(1−xz)
Ta biến đổi từ ra:
⇒ (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz) 0,5® ⇔ x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2
⇔ x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0
⇔ xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = ⇔ xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) =
⇔ (x -y) [xy−xyz(x+y+z)+xz+yz] =
Do x - y nªn xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) =
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm) 0,5đ Bài 4: (2đ)
a) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất: x2 + x + 1
Biến đổi biểu thức thành: x2 +2 x
2 + (
2 )2 +
(3)= (x +
2 )2 +
4 Do (x +
2 )2 không âm nên nhỏ (x +
2 )2 =
tøc lµ x= -
2 biểu thức có giá trị nhỏ
4 0,5đ
b) Tìm giá trị lớn biểu thức: P(x)= 2+x-x2
Biến đổi: P(x)= 2+x-x2 = - (x2 –x -2) P(x)= - (x2 –x + -
1 -2)
P(x)= - [(x2 –x + ) -
1 -2]
P(x)= - [(x – )2 -
9
4 ] 0,5®
Vì biểu thức biến đổi mang dấu (-) nên P(x) lớn [(x – )2 -
9
4 ] nhá
nhÊt tøc lµ x=
2 , lúc P(x)=
4 0,5đ
Bài 5: (2đ) Vẽ hình 0.5 đ
a Chứng minh tứ giác MNCK hình bình hành 0,75đ Xét tam giác AHB có:
NH = NB (gt)
MH = MA (gt) Suy MN đờng trung bình nên MN//AB
MN =AB/2 mµ AB = CD
AB //CD nªn MN//CK CK=CD MN =CK Suy tứ giác MNCK hình bình hành
b Chng minh BM MK 0,75 Kéo dài MN cắt BC E ta thấy MN//CD CD BC nên ME BC Xét tam giác MBC có BH ME đờng cao, nên N trực tâm, CN BM mà CN//KM nên BM MK (đpcm)
-Hết đáp
¸n -B C
A M
D N
K H