Đang tải... (xem toàn văn)
C ũng như đại số hóa, đây l à m ột tư tưởng quan trọng khi giải phương tr ình nói chung,. phương tr ình l ượng giác nói riêng.[r]
(1)PHẠM HỒNG PHONG
Phân loại chi tiết
Hệ thống ví dụ phong phú
Bài tập có đáp số đầy đủ
Trích dẫn tất thi năm 2002 - 2012
(2)Bản quền thuộc ThS Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng
Tài liệu download miễn phí violet.vn
(3)Mục lục
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung phương trình lượng giác 1
Loại 1. Các phương trình lượng giác 1
Loại 2. Phương trình bậc sin cos 13
Chủ đề 2.Đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác 23
Loại 1. Một số phép đặt ẩn phụ đơn giản 23
Loại 2. Phép đặt ẩn phụ cho phương trình đối xứng gần đối xứng sin, cos 33 Loại 3. Phép đặt ẩn phụ x 2 ttan 41
Loại 4. Phép đại số hóa t = tanx 47
(4)(5)1
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung phương trình lượng
giác
Loại 1.Các phương trình lượng giác bản
A.Tóm tắt lý thuyết
1.Phương trình sin xm 1
* Điều kiện có nghiệm: 1 có nghiệm m 1;1
* Công thức nghiệm: Với m 1;1, ta có 1 x arcsin m 2k
x arcsin m 2k
(k)
Trong đó, arcsin m nghiệm thuộc đoạn
2 2;
phương trình sin xm (
Hình 1)
Ta thấy với m 1;1, giá trị arcsin m
luôn tồn
y=sinx
-1 1
-π 2
π
2 arcsinm
O m y
x
Hình
2.Phương trình cos xm 2
* Điều kiện có nghiệm: 2 có nghiệm m 1;1
(6)2
Trong đó, arccos m nghiệm thuộc đoạn
0; phương trình sin xm (Hình 2) Ta thấy với m 1;1, giá trị arccos m
luôn tồn
π
y=cosx
-1 1
π
2 arccosm O
m y
x
Hình
3.Phương trình tan xm 3
Với m, ta có 3 xarctan m k (k)
Trong đó, arctan m nghiệm thuộc khoảng
2 2;
phương trình tan xm (Hình 3)
Ta thấy với m, giá trị arctan m tồn
y=tanx
arctanm -π
2
π
2 O
m y
x
Hình
(7)3 Với m, ta có 4 xarc cot m k (k)
Trong đó, arc cot m nghiệm thuộc khoảng 0; phương
trình cot xm (Hình 4)
Ta thấy với m, giá trị arc cot m tồn
π
2 π
O
y=cotx
arccotm m
y
x
Hình
5.Ngồi phương trình kể trên, phương trình sau có cách giải gần giống phương trình bản:
+) sin f x sin g x
f x g x 2k
f x g x 2k
(k);
+) cosf x cosg x f x g x 2k (k)
+) tan f x tan g x
2
f x g x k f x k
(8)4
B.Một số ví dụ
Ví dụ 1.GPT: 2cos x sin x2 2 1
Giải
1 2 sin x 2 sin x2
2sin x sin x2 0
sin x sin x 1 0
1
2 sin x 0 sin x
6 5 6
x k
x 2k
x 2k
, (k)
Ví dụ 2.GPT: sin 2xcos x0 1
Giải
1 2sin x cos xcos x0
cos x sin x 1 0
1
2 cos x 0 sin x
2 6 7
6
x k
x 2k
x 2k
, (k)
Ví dụ 3.GPT: sin x2 cos 2x2 1 1
Giải
1 cos 2x2 1 sin x2
(9)5
cos 2x cos x
cos 2x cos x 2 3
2 2x x 2k
2x x 2k
2k 3 x 2k x 2k 3
x ( 2k
3
2k k k ) 3 cos 2xcos x
2x x 2k
2x x 2k
2k 3 3 x x 2k Vậy nghiệm 1 là: 2k
3
x , 2k
3 3
x , x 2k (k)
Ví dụ 4.GPT: sin 3x sin5xcosx
2 2
1
Giải
1 1
2
sin 3x sin 3xsin 2x
sin 3xsin 2x
3x 2x 2k
3x 2x 2k
2k 5 5 x 2k
x
(k)
Ví dụ 5.GPT: sin 3x cos 4x cos 3x sin 4x 1
Giải
(10)6
sin 7xsin 3x
7x 3x 2k
7x 3x 2k
k 2
k 10 5 x
x
(k)
Ví dụ 6.GPT: sin 4x sin 7xcos 3x cos 6x 1
Giải
1 1 1
2 cos11x cos 3x 2 cos 9x cos 3x
cos11x cos 9x cos11xcos 9x
11x 9x 2k
11x 9x 2k
k 20 10
2 x
x k
(k)
Ví dụ 7.GPT: 1 tan x
2 3
cos x
1
1
Giải
1 1 tan x
2 3
cos x
1 0
2 tan x
3
tan x 0
1
3 tan x tan x 0
(11)7
1
3
tan x 0 tan x 6 x k
x k
(k)
Ví dụ 8.GPT: 2sin x sin x 12
2 cos x 3 0
1
Giải
Điều kiện để 1 có nghĩa: 2cos x 30 3
2
cos x
6
x 2k (k)
Ta có 1 2sin x sin x 12 0 1
2 sin x 1 sin x 2 6 7 6 x 2k x 2k x 2k
(k)
Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện
biểu diễn điểm trắng, giá trị thỏa mãn
1 2 sin x 1 sin x
được biểu diễn điểm đen
họ nghiệm 1
2 2k
, 7 6 2k
(k)
y
x
π
2+2kπ
7π
6+2kπ
-π
6+2kπ
π
6+2kπ -1
-1 1
1 O
Chú ý: Khi biểu diễn họ 2k
n
x (k, n*, n số) đường tròn lượng giác ta được:
+) Một điểm trường hợp n1
+) Hai điểm đối xứng qua gốc tọa độ trường hợp n2 Hai điểm
điểm biểu diễn giá trị 2k
n
(12)8 +) n điểm cách trường hợp n3 n điểm điểm biểu diễn giá
trị 2k
n
với k0, 1, …, n 1 y
x -1
-1 1
1 O
n2
y
x -1
-1 1
1 O
n3
y
x -1
-1 1
1 O
n4
Ví dụ 9.Giải phương trình 1 sin x 2 cos x2 cos x 0 1 Giải
Điều kiện để 1 có nghĩa: cos x0
1
2 1 sin x 2cos x 0
cos x 0
2 3
Ta thấy 2 1 sin x 2 sin x 2 0
2sin x2 5sin x30
1 2
sin x 3 1 sin x
vô nghiệm
6
7 6
x 2k
x 2k
3 cos x0
2
(13)9 Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm 2 3
đường tròn lượng giác (điểm đen) bỏ điểm vi phạm điều kiện (điểm khoanh trắng), ta họ nghiệm
của 1 là:
2 k
,
6 2k
(k)
-π 2+2kπ
y
x
π
2+2kπ
7π
6+2kπ
-π
6+2kπ -1
-1 1
1 O
Ví dụ 10.Giải phương trình 1
2 8 cos x
sin x
1
Giải
Điều kiện để 1 có nghĩa: cos x0
2
x k 2
Ta có 1 1 2
2 8cos x sin x 0
sin x
3 4
4
2 2
8 sin x cos x 1 cos x 0 cos x 0
2sin 2x2 1
cos 4x0
2
4x k
k
8 4
(14)10 Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm 4 đường
tròn lượng giác (điểm đen) bỏ điểm vi phạm hai điều kiện 2 , 3 (điểm khoanh trắng), ta họ nghiệm 1 là:
8 2k
, 3 8 2k
, 5 8 2k
, 7 8 2k
(k)
-7π
8 +2kπ -5π
8 +2kπ
-3π
8 +2kπ -π
8+2kπ 7π
8+2kπ 5π
8+2kπ
3π
8+2kπ
π
8+2kπ y
x -1
-1 1
1 O
Chú ý: Họ nghiệm 2k
n
x (k) thực tập hợp 2k n k
Ta có
2k 2 2
n k 2k k n 2k k n n 2k k
nói cách khác 2k
n
x
2 n
2 n
x 2k
x 2k
x n 1 2k
(15)11
C.Bài tập
Bài 1.Giải phương trình sau 1) sin x 3 cos x0
2) 1
4
sin x cos x
3) sin 3x cos 2xsin 2x cos x 4) cos x cos x 2 3 cosx 0
2
5) 2sin x 4sin x 3 3 sin xsin 2x0 6) sin x sin 2x cos x cos 2x 0 7) sin x sin 2x cos xcos 2x0
Bài 2.Giải phương trình sau 1) cos x cos 7x
cos 6x sin x 4
2) 1 1 2
sin xcos x sin 2x
3) 1 1 2
sin xcos x sin 2x
4) sin 2x tan 2x tan x 1 5) sin 2xtan x sin 2x tan 2x
6)
2 x 2 3 cos x 2sin
2 4 2cos x 1 1
7) 2 cos 2x 1
2 cos x2
(16)12
D.Đáp số
Bài 1 1)
3 k
(k) 2)
12 k
, 5 6 k
(k)
3) k, k
8 4
(k) 4) 4k
5
, 4k 7
(k)
5) k, k
8 2
,
4 k
(k) 6) 2k, 2k 6 3
(k)
7) 2k, 2k
3 3
(k)
Bài 2 1) k, k
5
(k) 2)
12 2k
, 7
12 2k
(k)
3)
12 2k
, 7 12 2k
(k) 4) k
8 2
(k)
5) x k (k) 6) 4
3 2k
(k)
7)
4 k
(17)13
Loại 2.Phương trình bậc sin và cos
A.Tóm tắt lý thuyết
* Phương trình bậc sin x, cos x phương trình có dạng:
A sin xB cos xC, 1
trong đó, A B số khơng đồng thời 0 (A2B2 0)
* Cách giải: chia hai vế 1 cho A2B2, ta phương trình tương đương:
2 2 2 2 2 2
A B C
sin x co
B B A B
s x A A Vì 2 2
2 2 2 2
A B
1
A B A B
nên tồn 0;2 để:
2 2 2 2 A cos A B B sin A B
Do đó:
2 2 C 1 sin x cos cos x sin
A B 2 2 C sin x A B
2
Ta thấy 2 phương trình có dạngcơ sin f x m
* Chú ý:
+) Từ cách giải suy điều kiện có nghiệm phương trình 1 : 1 có nghiệm A2 B2C2 0
+) Nếu chọn 0;2 để:
2 2 2 2 cos A B sin A B B A
1
(18)14 Nếu chọn 0;2 để:
2 2
2 2
cos
A B
sin
A B
A
B
1
2 2 C sin x
A B
Nếu chọn 0;2 để:
2 2
2 2
cos
A B
sin
A B
B
A
1
2 2 C cos x
A B
Trong trường hợp, việc chọn phù hợp giúp q trình tính tốn bớt phức tạp
+) Một số công thức hay sử dụng:
4 4
sin xcos x 2 sin x 2 cos x ,
3
4 4
sin x cos x 2 sin x 2 cos x ,
3 6
sin x 3 cos x2 sin x 2 cos x ,
5
3 6
sin x 3 cos x 2 sin x 2 cos x ,
6 3
3 sin xcos x2 sin x 2 cos x ,
2
6 3
(19)15
B.Một số ví dụ
Ví dụ 1.GPT: sin x 3 cos x 1 0 1
Giải
Ta có 1 1 3 1
2sin x 2 cos x 2
3 3 6
sin x coscos x sin sin
3 6
sin x sin
3 6
5
3 6
x 2k
x 2k
2
7 6
x 2k
x 2k
(k)
Ví dụ 2.GPT: 2 sin x cos x sin x cos x 0 1
Giải
Ta có 1 1
2
sin 2x sin x cos x
3 3
4 4
sin 2xsin x cos cos x sin
3
4 sin 2xsin x
3 4 4
2x x 2k
2x x 2k
3 4
2k 12 3
x 2k
x
(k)
Nhận xét: Phương trình ví dụ khơng phải phương trình bậc Việc giải phương trình
này liên quan đến việc rút gọn biểu thức 1 2 sin x cos x
(20)16
Ví dụ 3.GPT: 3 sin x cos 2x 1 2 cos x
1
Giải
Điều kiện để 1 có nghĩa: cos x0
2
x k 2
Ta có 1 2 sin x cos xcos 2x 1 3 sin 2x cos 2x 1
3 1 1
2 sin 2x2cos 2x 2
6 6 6
sin 2x coscos 2x sin sin
6 6
sin 2x sin
6 6
7
6 6
2x 2k
2x 2k
2
3 x k
x k
(k) (thỏa mãn 2 )
Ví dụ 4.[ĐHD07] GPT x x2
2 2
sin cos 3 cos x2 1
Giải
Ta có x x2 2 x 2 x x x
2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos 2 sin cos 1 sin x Do
1 sin x 3 cos x1
1 3 1
2sin x 2 cos x 2
1
3 3 2
sin x coscos x sin
1
(21)17
3 6
5
3 6
x 2k
x 2k
6
2
x 2k
x 2k
(k)
Ví dụ 5.[ĐHD09] GPT 3 cos 5x2sin 3x cos 2x sin x 0 1 Giải
Ta có 2sin 3x cos 2xsin 5xsin x Do
1 3 cos 5x sin 5x 2 sin x
3 1
2 cos 5x2sin 5xsin x
2 2
3 3
sin 5x cos cos 5x sin sin x
2
3
sin 5x sin x
2 3 2
3
5x x 2k
5x x 2k
k
6 2
k 18 3
x x
(k)
Ví dụ 6.[ĐHA09] GPT
1 sin x cos x
1 sin x sin x 3
1
(22)18
Đk:
1 2 sin x sin x 1
6 7 6 2 x 2k x 2k x 2k
Ta có 1 2sin x sin x sin x1 sin x 2 sin xcos 2x Do
1 cos x sin 2x 3 sin x cos 2x
sin 2x 3 cos 2xcos x 3 sin x
1 3 1 3
2sin 2x 2 cos 2x 2cos x 2 sin x
3 3 6 6
sin 2x coscos 2x sin sin cos x cos sin x
3 6
sin 2x sin x
3 6
5
3 6
2x x 2k
2x x 2k
2k 18 3 2 x x 2k
(k)
Kết hợp với điều kiện để 1 có nghĩa ta có tập nghiệm 1 2k
18 3
(k)
Ví dụ 7.Cho phương trình 2 sin x cos x 1
sin x cos x 3 a 1
, (a tham số)
1) Giải phương trình 1
3
a 2) Tìm a để 1 có nghiệm
Giải
(23)19 Ta có 12 2232 4 0 2 vô nghiệm sin x2 cos x30 x
Do
1 2sin xcos x 1 a sin x 2 cos x3 2 a sin x 2a cos x 3a 1
1) 1
3
a : 1 trở thành 5 5
3sin x 3cos x0 tan x 1 x 4 k
(k)
2) Ta có 2 a 22a 1 23a 1 2 4a26a 4 2 a 23a2
Do 1 có nghiệm 2 a 23a20 a23a 2 0 1 a 2 2
(24)20
C.Bài tập
Giải phương trình sau
1) 2 sin x cos x cos x 3 cos 2x 2) sin x sin 2x 3 cos x cos 2x 3) 4 sin x cos x 4 4 3 sin 4x2
4) 8 sin x cos x 6 6 3 sin 2x cos 2x25 5) 4sin x 13 3 sin x 3 cos 3x
6)
4 4
sin 3x sin 2x sin x
7)
6
3 cos 2xsin 2x2 sin 2x 2 2
8) [ĐHB09] sin x cos x sin 2x 3 cos 3x2 cos 4x sin x 3 9) [ĐHB12] 2 cos x 3 sin x cos x cos x 3 sin x 1
10) 2 x 2 3
2 4
(25)21
D.Đáp số
1) Vô nghiệm. 2) 2k, 2 2k
9 3
(k).
3) k
12 2
, k
4 2
(k). 4) k
2
, k
8 2
(k)
5) 2k
18 3
, 2k 2 3
(k) 6) k 4 2
(k)
7) 5
12 k
(k) 8)
6 2k
, 2k
42 7
(k)
9) 2k
3
(k) 10) 5
18
, 17 18
, 5 6
(26)(27)23
Chủ đề 2. Đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác
Loại 1.Một số phép đặt ẩn phụ đơn giản
A.Nội dung phương pháp
Phần đề cập đến việc giải phương trình lượng giác cách thực phép đặt ẩn
phụ đơn giản: tsin x, x
2
tsin , tsin 2x, tcos x, x
2
tcos , tcos 2x, ttan x,
x 2
ttan , ttan 2x, … Ta thấy rằng, loại toán này, việc phát ẩn phụ đơn giản giải lượng lớn tốn giải phương trình lượng giác đề thi đại học
Các công thức sau cho ích cho việc phát ẩn phụ:
* Các công thức “quy sin”
cos x sin x 2 , 2n 2n 2
cos x 1 sin x ,
n 2n
2
1
cot x 1
sin x
, cos 2x 1 sin x2 ,
3 sin 3x3 sin x4sin x,
2
x x
sin cos 1 sin x
2 2
,
4 x 4 x 1 2
sin cos 1 sin x
2 2 2 ,
6 x 6 x 3 2
sin cos 1 sin x
2 2 4 ,
x x 2
tan cot
2 2 sin x,
sin 2x cos 2x 1 cos x sin x sin x * Các công thức “quy cos”
sin x cos x 2 , 2n 2n 2
sin x 1 cos x ,
n 2n
2
1
tan x 1
cos x
, cos 2x2 cos x 12 ,
3
cos 3x4 cos x3 cos x, sin2 x 1 cos x
2 2
(28)24
2 x 1 cos x cos
2 2
, sin4 x cos4 x 1 1cos x2
2 2 22 , 6 x 6 x 1 3 2
sin cos cos x
2 2 4 4 ,
x 1
tan tan x
(29)25
B.Các ví dụ
Ví dụ 1.[ĐHD06] GPT cos 3xcos 2xcos x 1 0 1 Giải
Ta có 1 4 cos x3 3 cos x 2cos x 12 cos x 1 0
4cos x3 2cos x2 4 cos x20
2cos x3 cos x2 2 cos x 1 0
Đặt tcos x t 1;1, phương trình trở thành 2t3t22t 1 0
t 1 t1 2t 1 0
1
2
t 1
t
+) t 1 cos x 1 sin x0 x k (k)
+) 1
2
t 1
2
cos x x 2 2k 3
(k)
Vậy 1 có họ nghiệm k, 2 k2 3
(k)
Ví dụ 2.[ĐHD02] Tìm nghiệm thuộc đoạn 0;14 phương trình
cos 3x4 cos 2x3 cos x 4 0 1 Giải
Ta có 1 4 cos x3 3 cos x 4 2cos x 12 3cos x 4 0
(30)26
cos x3 2cos x2 0
cos x cos x2 20
cos x0 (do cos x 2 1 0 x)
x k
2
(k)
Ta có k 0;14 2
k0;1;2;3
Vậy nghiệm thuộc đoạn 0;14
2
, 3
2
, 5
2
, 7
2
Ví dụ 3.GPT 2cos 2x 8 cos x 7 1 cos x
1
Giải
ĐK: cos x0
2
x k
Ta có 1 cos x cos 2x 8 cos x71 ( cos x0)
cos x 2 cos x 1 2 8 cos x71
4cos x3 8 cos x2 5 cos x 1 0
cos x 1 2 cos x 1 2 0
1
2 cos x 1 cos x
x 2k
x k2
3
(31)27 Ta thấy ví dụ trên, việc phát ẩn phụ đơn giản Sau ví dụ mà đó, ta
phải thực vài phép biến đổi trước phát ẩn phụ
Ví dụ 4.GPT 2cos 4x4 sin x cos x2 54 3 1 Giải
Ta có cos 4x 1 sin 2x2 , sin xcos x2 sin x2 cos x2 2 sin x cos x 1 sin 2x
Do 1 2 2sin 2x 2 4 sin 2x 5 3
4sin 2x2 4 sin 2x30
2 sin 2x 32 0
sin 2x 3 2
3
2 3
2x 2k
2x 2k
6
3
x k
x k
(k)
Ví dụ 5.[ĐHB06] GPT cot x sin x tan x tanx 4 2
1
Giải
ĐK:
x 2 sin x 0 cos x 0
cos 0
sin 2x x k 2
Ta có
x x x x
2 2 2 2
x x x
2 2 2
sin x sin cos x cos sin x sin cos
x 1
1 tan x tan 1
2 cos x cos cos x cos cos x cos cos x
cos x sin x cos x sin x2 2 2
sin x cos x sin x cos x sin 2x
x
cot x sin x tan x tan cot x tan x 2
(32)28
Do 1 2 4 sin 2x
sin 2x 1 2 (TMĐK) 2x 2k 6 5 2x 2k 6 x k 12 5 x k 12
(k)
Ví dụ 6.[ĐHA10] GPT
1 sin x cos 2x sin x
1 4
cos x
1 tan x 2
1
Giải
ĐK: cos x 0
sin x cos x 0 x k 2 x k 4
Ta thấy 1 tan x sin x cos x cos x
, sin x sin x cos x
4 2
Do
1 1 sin x cos 2x1
sin xcos 2x0
sin x1 2sin x 2 0 2sin x sin x 12 0
(33)29
x 2k
2
x 2k
6 7
x 2k
6
loại TMĐK
TMÑK
Vậy 1 có hai họ nghiệm x 2k 6
x 7 2k
6
(34)30
C.Bài tập
Bài 1. Giải phương trình sau
1) tan x cos x cos x2 sin x tan x tanx 2
2) [ĐHA06]
6 6
2 sin x cos x sin x cos x 0 2 2 sin x
3) sin 2x cos 2x tan x cot x cos x sin x
4) 3 tan x tan x 2sin x6cos x0 5) [ĐHB04] 5sin x23 sin x tan x 2 6) 8cos3 x cos 3x
3
7) [ĐHD05] sin x cos x sin 3x4 4 cos x 3 0
4 4 2
8)
4 4
sin x cos x 1 1
cot 2x
5sin 2x 2 8 sin 2x
9) 3cos 4x8 cos x6 2 cos x2 30 10) [ĐHB03] cot x tanx 4sin 2x 2
sin 2x
11) cos 2x cos x tan x 1 2 2 12) [ĐHA05] cos 3x cos 2x cos x2 2 0
13) sin x cos 2xcos x tan x 12 2 2 sin x3 0 14) [ĐHA02] 5 sin x cos 3x sin 3x cos 2x 3
1 sin 2x
, x0;2
Bài 2. Tính tổng nghiệm thuộc đoạn 1;70 phương trình
3 2
2
2
cos x cos x 1 cos 2x tan x
cos x
(35)31
Bài 3. Tìm m để phương trình 2 sin x cos x 4 4 cos 4x2 sin 2x m 0 có
nghiệm thuộc đoạn
2 0;
(36)32
D.Đáp số
Bài 1 1) 2k (k) 2) 2k 4
(k)
3) 2k
3
(k) 4) k
6
(k)
5) 2k
6
, 5 2k
6
(k) 6) k
6
, k, k
3
(k)
7) k
4
(k) 8) k
6
(k)
9) k
4 2
, k (k) 10) k
3
(k)
11) 2k
3
, 2k (k) 12) k
2
(k)
13) 2k
6
, 5 2k
6
(k) 14)
3
, 5
3
Bài 2 374
Bài 3 13
4
(37)33
Loại 2.Phép đặt ẩn phụ cho phương trình đối xứng và gần đối xứng
đối với sin, cos
A.Nội dung phương pháp
Đối với phương trình lượng giác chứa biểu thức: tổng tích sin cos (phương trình
đối xứng sin cos) hiệu tích sin cos (phương trình gần đối xứng sin
và cos) ta có quy tắc đại số hóa cụ thể sau:
Dạng 1: Xét phương trình dạng f sin x cos x;sin x.cos x0 1
Đặt
2
4 t 1
2
t 2; 2
t sin x cos x 2 sin x
sin x cos x
Nhờ phép đặt ẩn phụ nói 1 trở thành t2 1
2
f t; 0
Dạng 2: Xét phương trình dạng f sin x cos x;sin x.cos x0 2
Đặt
2
4 1 t
2
t 2; 2
t sin x cos x 2 sin x
sin x cos x
Nhờ phép đặt ẩn phụ nói 2 trở thành 1 t2
2
f t; 0
Dạng 3: Xét phương trình dạng f sin x cos x ;sin x.cos x 0 3
Đặt
4
t sin xcos x 2 sin x 2
t 2
1 t 0; 2
sin x cos x
Nhờ phép đặt ẩn phụ nói 3 trở thành t2 1
2
f t; 0
(38)34
Đặt
4
t sin x cos x 2 sin x
2 1 t
2 t 0; 2 sin x cos x
Nhờ phép đặt ẩn phụ nói 4 trở thành 1 t2
2
f t; 0
(39)35
B.Các ví dụ
Ví dụ 1.[ĐHA07] GPT 1 sin x cos x 2 1 cos x sin x 2 1 sin 2x 1 Giải
Ta có 1 sin xcos xsin x cos x sin x cos x sin xcos x2
Đặt
4 tsin xcos x 2 sin x
2 t 1
2
t 2; 2 2
sin x cos x
Với phép đặt ẩn phụ nói trên, phương trình cho trở thành
2 t 1
2
2
t .tt t2 1
2 t
t 1 0
2
t t 1 0
t 0 2
t 1 2
thỏa mãn thỏa mãn
+) t0
4
2 sin x 0
4
sin x 0 x k 4
x k
4
+) t1
4
2 sin x 1
4 1 sin x 2 x 2k 4 4 3 x 2k 4 4 x 2k x 2k 2
Vậy nghiệm 1 k 4
, 2k, 2k
2
(k)
Ví dụ 2.GPT sin x cos x 4sin 2x1 1
Giải
Đặt
4
t sin x cos x 2 sin x
2
t 0; 2 sin 2x 1 t
, 2 3
1 trở thành t4 t 21 t1 (thỏa mãn 2 ) 4
Thay 4 vào 3 ta sin 2x0 x k 2
(40)36 Vậy nghiệm 1 k
2
(k)
Ví dụ 3.GPT 1 tan x 2 sin x 1
Giải ĐK: cos x0 x k
2
(k)
Ta có 1 cos xsin x2 sin x cos x 2
Đặt t sin x cos x 2 sin x 4 2
t 2; 2 3
t 1
sin x cos x 2 ,
2 trở thành:
2
t t 2 2. 1
2
t 2 t 21 2t2 t 2 0
thoûa mãn thỏa mãn 1 2
t 2 3
t 3 Do
+) t 2
4
sin x 1
4 2
x 2k
4
x 2k
+) 1
2
t
4
1 sin x
2
4 6
7 4 6 x 2k x 2k 5 12 11 12 x 2k x 2k
Kết hợp ba họ nghiệm ta tập nghiệm 1 2k
4 3
x (k)
Để kết thúc cho việc trình bày ví dụ phần này, ta xét phương chứa tham số
(41)37
Đặt
4 2
t 2; 2
t sin x cos x 2 sin x
sin 2x 1 t
, 1 trở thành
2
1 t 4tm t24t 1 m 2
Xét hàm f t t24t1, t 2; 2 Ta thấy f nghịch biến 2; f nghịch
biến 2; 2, lại có f 24 21, f 2 4 21 TGT f
4 2 1;4 2 1
Do 1 có nghiệm 2 có nghiệm t 2; 2
4 2 1 m4 21
Ví dụ 5.Tìm m để phương trình
m sin xcos x 1 1 sin 2x 1
có nghiệm
2 x0;
Giải
Đặt
4
tsin xcos x 2 sin x 2 t2 1
2
sin x cos x , phương trình 1 trở thành
2
m t 1 t 1 m t t2 ( t 1)
2
t m
1 t
2
Ta thấy
2 x0;
3 4 4 4 x;
4 x 0;
2
max 2 sin x 2
, x 0; 4
2
min 2 sin x 1
(42)38 Xét hàm t2
1 t
f t
, t1; 2
Ta có
2 t 2t
2 1 t
f ' t 0
t 1; 2
f t đồng biến
1; 2
t 1; 2
max f t f 2 2 2 1
, 1
2 t 1; 2
min f t f 1
Vậy 1 có nghiệm
2 x0;
(43)39
C.Bài tập
Bài 1. Giải phương trình sau
1) 1 1
sin xcos x 2 sin 2x
2) 1 sin x3 cos x3 3sin 2x 2
3) sin 2x 12 sin x cos x120 4) 1 sin x 1 cos x 1
5)
4 sin 2x 2 sin x 1 6) 2 sin x cos xtan x cot x
7) sin xsin x2 sin x3 sin x4 cos xcos x2 cos x3 cos x4
Bài 2. Tìm m để phương trình sin x cos x sin 2xm có nghiệm
Bài 3. Tìm m để phương trình 2 sin x cos xsin x cos xm có nghiệm
2 x0;
(44)40
D.Đáp số
Bài 1 1)
4 2k
(k) 2)
2 2k
(k)
3) 2k 2
, 2k, (k) 4) 2k, 2k
2
(k)
5) k 4
, 2k
2
, 2k (k) 6)
4 2k
(k)
7)
4 k
, 2k,
2 2k
(k)
Bài 5
4
1 2 m
Bài 1 2
2
2m
(45)41
Loại 3.Phép đặt ẩn phụ x
2
t tan
A. Tóm tắt lý thuyết
* Nguyên tắc chung:Xét phương trình dạng
x x
2 2
f sin x;cos x;tan ;cot 0 1
+) Tìm nghiệm thỏa mãn x
2
cos 0 phương trình +) Tìm nghiệm thỏa mãn x
2
cos 0 phương trình:
Đặt x
2
ttan 2t
2 1 t
sin x
, 1 t
1 t 2 2
cos x
Nhờ phép đặt ẩn phụ trên, phương trình 1 trở thành
2t 1 t 2 1 t 1 t
2 1
2 t
f ; ;t; 0
2
Giải phương trình 2 để tìm t Ứng với giá trị t, giải phương trình x
2
ttan để tìm nghiệm
1
* Trường hợp đặc biệt (áp dụng cho phương trình bậc sin, cos):
Phương trình bậc sin x, cos x phương trình có dạng:
A sin xB cos xC, 3
trong đó, A B số khôngđồng thời 0 (A2B2 0)
Với cách đặt ẩn phụ trình bày phần nguyên tắc chung, từ 3 ta thu phương trình
2 2
2
2t 1 t
A B C
1 t 1 t
BC t 22AtBC0 4
(46)42
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1.GPT x
2
sin xcos xtan 1
Giải ĐK: x
2
cos 0 x
2 2 k
x 2k (k)
Đặt x
2
ttan 2t
2 1 t
sin x
, 1 t
1 t 2 2
cos x
Phương trình 1 trở thành
2
2 2
2t 1 t t
1 t 1 t
2t t 2t t 2
t3t2 t 1 0
t 1 Vậy 1 x
2
tan 1 x
2 4 k
2
x 2k (k)
Ví dụ 2.Tìm m để phương trình
2sin x 2m cosxm 1
có nghiệm
2 x0;
Giải
Đặt x
2
ttan
2t 2 1 t 2 1 t 2 1 t sin x cos x
, phương trình 1 trở thành
2
2t 1 t
2 2
1 t 1 t
2. 2 m m
4t2 m 1 t 2m 1 t2
(47)43
t22t 1 m 2
Ta thấy x
2 x 0;
2
min tan 0
, x
2 x 0;
2
max tan 1
Do đó, nghiệm t 2 cho nghiệm x 1
và t0;1
Hàm f t t22t nghịch biến ;2 nên nghịch biến 0;1
t 0;1
min f t f 1 1
,
t 0;1
max f t f 0 0
1 có nghiệm
2 x0;
2 có nghiệm t0;1 1 1 m0 1m2
Nhận xét: Bài tốn khơng giải cách chia hai vế phương trình cho
2 2
(48)44
C. Bài tập
Bài 1. Giải phương trình sau 1) 3sin xcos x2
2) x
2
4sin xcos x3tan
3) x
2
2sin xcos x 1 cot
Bài 2. Tìm m để phương trình 2sin xm cos x 1 m có nghiệm thuộc đoạn
2 2;
Bài 3. Tìm m để phương trình m2 sin x 2m cos x2 m 1 có nghiệm thuộc đoạn
2 2; 3
Bài 4. Tìm m để phương trình m sin xm cos x 32m có nghiệm thuộc đoạn 2
3 0;
(49)45
D. Đáp số
Bài
1) 3 6
2
x2 arctan 2k, 3 6
2
x2 arctan 2k (k)
2)
2
x 2k, 5 33
2
x2 arctan 2k, 5 33
2
x2 arctan 2k (k)
3)
2
x 2k, 1
2
x2 arctan 2k (k)
Bài 1 m3
Bài 4
3 m 0
(50)(51)47
Loại 4.Phép đại số hóa t = tanx
A.Nội dung phương pháp
Ý tưởng chung phương pháp là: chọn số n thích hợp (n*) cho sau chia hai vế phương trình cho cos xn ta thu phương trình có dạng f tan x 0 Quá trình thực nhờ việc sử dụng đẳng thức sin x
cos x tan x
2 1
2 cos x
tan x 1
B.Một số ví dụ
Ví dụ 1.Giải phương trình sin x2 2 sin x cos x3 cos x2 0 1
Giải
Thay cos x0 vào 1 ta có sin x2 0 sin x0 x (vì sin x, cos x khơng thể đồng thời 0) Do giá trị x mà cos x0 nghiệm 1 Chia hai vế 1 cho cos x2 ta phương trình tương đương
2
tan x2 tan x30 tan x 1
tan x 3
x 4 k
x arctan 3 k
(k)
Ví dụ 2. sin x tan x 12 3 sin x cos x sin x 3 1
Giải
Chia hai vế 1 cho cos x2 ta phương trình tương đương
tan x tan x 12 3 tan x3 tan x2 3 tan x 1 2 tan t3 tan x2 3 tan x30
(52)48
tan x 1 tan x 3 tan x 3
x k
4
x k
3
(k)
Ví dụ 3.Tìm m để phương trình sin x2 2 m sin x cos x m cos x 2 m 1 có nghiệm
Giải
* Thay cos x0 vào 1 ta có sin x2 m Do
+) m1 giá trị x làm cho cos x0 không nghiệm 1
+) m1 giá trị x làm cho cos x0 nghiệm 1 1 có nghiệm
* Khi cos x0, chia hai 1 cho cos x2 ta phương trình tương đương
2 1
2 cos x
2 tan x 1
tan x 2 m tan x m 1 m.
m tan x 2 2 m tan x 2m 1 0 2
Đặt ttan x, 2 trở thành m t 22 m t 2m 1 0 3
Ta biết m1 1 có nghiệm nên ta cần xét m1 Khi 3 phương trình bậc hai với ' m2 m2 1 có nghiệm 3 có nghiệm m2m20
2 m 1
(53)49
C.Bài tập
Bài 1. Giải phương trình sau 1) 6sin x2 sin x cos x cos x 2 2 2) sin 2x2 sin x2 2cos 2x
3) 2sin 2x2 3 sin 2x cos 2xcos 2x2 2 4) 2 sin x cos x 1
12
5) 4sin x cos x 4sin x cos x 2 sin 3 x cos x 1
2 2
6) 2 cos x2 2 sin x cos x 3 20 7) sin x tan x 12 3 sin x cos x sin x 3 8) sin xcos x4 sin x3 0
9) 2 cos3 x 3 cos x sin x 0 4
10) 3 sin3 x 2 sin x 4
11) cos 2x52 cos x sin xcos x
Bài 2. Tìm m để phương trình m cos x2 4 sin x cos xm20 có nghiệm thuộc khoảng
0;4
(54)50
D.Đáp số
Bài 1 1) 2) k
4
, k
2
(k)
3) k
4 2
, 1
3
1 k
arctan
2 2
(k, ) 4) k
4
, k
3
(k)
5) k
4
, 1
3
arctan k (k) 6) k 24
, 5 k
24
(k)
7) k
3
, k
3 2
(k) 8) k
4
(k)
9) k
2
, k
4
(k) 11) k, k
6
, k
3
(k)
11) 2k
2
, 2k (k)
Bài 2 1 m 8 3
(55)51
Chủ đề 3. Phương trình tích A.Nội dung phương pháp
Phần đề cập đến việc giải phương trình lượng giác cách đưa phương trình cần xét dạng phương trình tích Cũng đại số hóa, tư tưởng quan trọng giải phương trình nói chung,
phương trình lượng giác nói riêng
Sau số đẳng thức hay sử dụng phần
o 1 sin 2x sin xcos x2
o 1 sin 2x sin xcos x2
o cos 2xcos xsin x cos xsin x
o sin x cos x3 3 sin xcos x sin x cos x
o sin x cos x3 3 sin x cos x sin x cos x
o 1 tan x cos x sin x cos x
o 1 tan x cos x sin x cos x
o 1 cot x sin x cos x sin x
o 1 cot x sin x cos x sin x
(56)52
B.Một số ví dụ
Ví dụ 1.[ĐHD04] Giải phương trình 2 cos x 1 2 sin xcos xsin 2xsin x 1
Giải
Ta có sin 2x sin x sin x 2cos x 1 Do
1 2 cos x 1 2 sin xcos xsin x cos x 1
2 cos x 1 sin xcos x0 2 cos x 1 0
sin x cos x 0
1 2 cos x tan x 1
x 2k
3
tan x k
4
(k)
Ví dụ 2.[ĐHB05] Giải phương trình 1 sin x cos xsin 2xcos 2x0 1
Giải
Ta có: 1 sin 2x sin xcos x2, cos 2xcos xsin x cos xsin x
Do 1 sin xcos x sin xcos x2 cos xsin x cos x sin x 0
sin xcos x1sin x cos x cos x sin x 0
sin xcos x2cos x 1 0 sin x cos x 0
2 cos x 1 0
tan x 1 1 cos x
2
4
2 3
x k
x 2k
, (k)
Ví dụ 3.[ĐHB11] sin 2x cos xsin x cos xcos 2xsin xcos x 1
(57)53 Ta có 1 sin 2x cos xsin x cos xsin xcos 2xcos x0
sin x cos x cos x 1 2 2 cos x2 cos x 1 0
sin x 1 2 cos x cos x 12 0
sin x 1 cos x 1 2cos x 1 0
sin x 1 cos x 1
1 cos x 2 x 2k 2 x 2k x 2k 3
(k)
Ví dụ 4.Giải phương trình sin 5x cos x 2 cos3x 1
2 4 2 4 2
Giải
Ta có sin 5x cos x sin 5x sin x 2 cos3xsin x
2 4 2 4 2 4 2 4 2 4
Do 1 2cos3x sin x 2 0
2 4 2
3x cos 0 2 2 sin x 4 2 3x k 2 2 x 2k 4 4 3 x 2k 4 4 2k x 3 3 x 2k 2 x 2k
, (k)
Ví dụ 5.Giải phương trình tan 3 x sin x 2 1 2 1 cos x
(58)54
Ta có tan 3 x tan x cot x
2 2
Do điều kiện để phương trình có nghĩa là: sin x 0 cos x 1
cos x 1
sin x0 2
Ta có
1 cot x sin x 2 1 cos x
2 1 cos x cos x
cos x cos x sin x 2 sin x cos x
1 cos x cos x1 cos x 2sin x0 1 cos x 1 sin x 0
không thỏa mãn 2
thỏa mãn 2
cos x 1 ( )
1
sin x ( )
2 x 2k 6 5 x 2k 6
(k)
Ví dụ 6.Giải phương trình
2 4
4
2 sin 2x sin 3x
tan x 1 1
cos x
Giải
Đk: cos x0 Ta có 1 sin x cos x4 4 2 sin 2x sin 3x 2 Lại có sin x4 cos x4 1 1sin 2x2
2
Do phương trình nói tươngđương với
2 2
1
1 sin 2x 2 sin 2x sin 3x 2
2 sin 2x2 sin 3x 1 0
2
sin 3x 1 2
(do 2 sin 2x 2 1 x) sin 3x 1 2
(59)55
6
5 6
3x 2k
3x 2k
2k 18 3 5 2k 18 3
x x
(k)
Ví dụ 7.Giải phương trình sin x sin x cos x2 sin x cos x 20 1
Giải
Cách 1: 1 sin x sin x cos x2 2 sin xsin x cos x 20
sin x sin x cos xsin x sin xcos x20
sin x 1 sin xcos xsin x0
sin x cos x 2 2
sin x 1 3
2 sin xcos x 2, 1212 22 2 0 2 vô nghiệm
3 x k 2 2
(k)
Vậy nghiệm 1 2k 2
(k)
Cách 2: Ta có 1 sin x2 cos x sin x cos x 20 Coi 1 phương trình bậc hai sin x, ta có
cos x 12 4 cos x 2 cos x 32
Do 1
cos x 1 cos x 3 sin x
2
cos x 1 cos x 3 sin x
2
sin x cos x 2
sin x 1
(60)
56
Nhận xét: Đối với phương trình có dạng
2 2
a sin x b cos x c sin x cos x d sin x e cos x f 0 1 ,
với a, b số không đồng thời 0, việc đưa phương trình tích nói chung phức tạp Để giải phương trình dạng (phương trình bậc hai sin, cos) ta có cách làm khác
như sau: Coi 1 phương trình bậc hai cos x, giải cos x theo sin x; coi 1
(61)57
C.Bài tập
Giải phương trình sau
1) [ĐHB02] sin 3x2 cos 4x2 sin 5x cos 6x2 2 2) [ĐHA03] cot x 1 cos 2x sin x2 1sin 2x
1 tan x 2
3) [ĐHD03] sin2 x tan x cos2 2 x 0
2 4 2
4) [ĐHB07] 2sin 2x2 sin 7x 1 sinx
5) [ĐHB08] sin x3 3 cos x3 sin x cos x2 3 sin x cos x2 6) [ĐHD08] 2sin x cos 2x sin 2x 1 cos x
7) [ĐHB10] sin 2xcos 2x cos x 2 cos 2xsin x0 8) [ĐHA11]
2
1 sin 2x cos 2x
2 sin x sin 2x 1 cot x
9) [ĐHD11] sin 2x 2 cos x sin x 1 0
tan x 3
10) 2 sin x tan 2x2 2 3 cos x 1 2 0 11) 4sin x3 4 sin x2 3 sin 2x6 cos x0 12) 2sin x cos 2xsin 2x cos xsin 4x cos x 13) 1 tan x1 sin 2x 1 tanx 14) sin 2x sin x 1 1 2 cot 2x
2sin x sin 2x
15) sin 3x 32 cos 3x 1
16) 3 cos x2 sin x cos x2 sin x2 1 3 cos x 40 17) sin 2xcos 2x3 sin x cos x 20
18) [ĐHD10] sin 2x cos 2x 3 sin xcos x 1 0 19) [ĐHA12] 3 sin 2xcos 2x2cos x 1
(62)58
D.Hướng dẫn đáp số 1) k
9
, k 2
(k) 2)
4 k
(k)
3) 2k,
4 k
(k) 4) k
8 4
, 2k 18 3
, 5 2k 18 3
(k)
5) k
4 2
,
3 k
(k) 6) 2
3 2k
,
4 k
(k)
7) k
4 2
(k) 8) k
2
, 2k
4
, (k)
9) 2k 3
(k) 10) k
6 2
(k)
11) 2k 2
, 2 2k
3
(k) 12) k, k
3
(k)
13) k 4
, k (k) 14) k
4 2
(k)
15) 2k
6 3
, 2 2k
9 3
(k) 16) 5 2k
6
(k)
17) 2k 6
, 5 2k
6
, 2k
2
, 2k (k)
18) 2k 6
, 5 2k
6
(k)
19) k 2
, 2k, 2 2k
3
(k) 20) k
4 2
, 7 2k
12
, 2k
12