Trong quá trình dạy học Toán, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, tôi thấy hằng đẳng thức tổng ba lập phương là một trong số những hằng đẳng thức nâng cao có rất nhiều ứng dụng; có thể giúp [r]
(1)A ĐẶT VẤN ĐỀ
I LỜI MỞ ĐẦU
Những đẳng thức đáng nhớ nội dung kiến thức quan trọng chương trình Đại số lớp Mỗi đẳng thức giúp học sinh giải lớp toán, nhiều tập khác nhau, giúp học sinh thực giải tốn nhanh hơn, xác
Để trở thành học sinh giỏi Tốn, ngồi u cầu kiến thức chương trình cần nắm vững, học sinh cịn phải biết tìm tịi, khai thác, vận dụng kiến thức nâng cao Đối với học sinh lớp 8, 9, giáo viên việc hướng dẫn em vận dụng nhuần nhuyễn bảy đẳng thức đáng nhớ, cần phải cung cấp thêm số đẳng thức tổng quát, số đẳng thức nâng cao, giúp em học sinh giỏi vận dụng để giải nhiều tốn khó, nhiều dạng tập Khai thác ứng dụng đẳng thức nâng cao nhằm bổ sung kiến thức mới, khơi dậy niềm say mê học tập, phát huy tính tích cực nhận thức phát triển kỹ tự học học sinh
Trong trình dạy học Tốn, bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn, tơi thấy đẳng thức tổng ba lập phương số đẳng thức nâng cao có nhiều ứng dụng; giúp học sinh vận dụng để giải số tốn phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình, rút gọn biểu thức, chứng minh bất đẳng thức, , giúp học sinh rèn luyện tư tốn học; sáng tạo q trình học tập, tiếp thu kiến thức Tôi xếp, phân loại ứng dụng đẳng thức tổng ba lập phương; từ hướng dẫn học sinh tự học để đạt kết cao Tôi xin trao đổi số kinh nghiệm nhỏ bạn
II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Trong chương trình phổ thơng, đẳng thức tổng ba lập phương sách giáo khoa chưa đề cập đến Trong sách tập Toán 8, đưa hai tập sau:
Bài 38: Cho a + b + c = Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc.
Bài 57: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3.
Trong nhiều sách nâng cao, sách tham khảo, đẳng thức tổng ba lập phương ứng dụng số tác giả quan tâm đưa vào với số lượng tập vài dạng
(2)bản nâng cao, việc tích luỹ phương pháp kỹ hữu hiệu khó giải tốn
Trong trường hợp đặc biệt, số học sinh có lực tiếp thu tốt, có khả tự học Khi nhu cầu hiểu biết học sinh lớn, thời gian hạn chế mà tài liệu tham khảo nhiều, học sinh thường lúng túng, nhiều thời gian để hệ thống dạng toán, phương pháp, kinh nghiệm vận dụng đẳng thức vào giải tốn, khơng có hướng dẫn chu đáo giáo viên
Do để đáp ứng nhu cầu bổ sung kiến thức, bổ sung đẳng thức có nhiều ứng dụng, bổ sung kinh nghiệm giải toán nhằm nâng cao chất lượng dạy học Tốn lớp 8, 9, địi hỏi người thầy phải giúp học sinh có tư liệu tự học tốt nhất, chủ đề nâng cao khai thác vận dụng đẳng thức nâng cao có đẳng thức tổng ba lập phương - đẳng thức đẹp
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1 Để giúp học sinh lớp 8, có kỹ giải thành thạo tập vận dụng đẳng thức tổng ba lập phương, trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm đẳng thức; giúp học sinh phân loại tập theo dạng toán bản, nâng cao Ở dạng toán, giáo viên cần đưa ví dụ cụ thể, hướng dẫn học sinh biết vận dụng đẳng thức tổng ba lập phương để giải Giáo viên đưa tập tương tự, tập vận dụng để học sinh tự giải
Hằng đẳng thức tổng ba lập phương sử dụng để giải nhiều tốn thuộc dạng sau:
1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử
1.2 Rút gọn biểu thức Tính giá trị biểu thức 1.3 Chứng minh đẳng thức
1.4 Trục thức mẫu
1.5 Giải phương trình Giải hệ phương trình 1.6 Chứng minh bất đẳng thức
1.7 Chứng minh chia hết 1.8 Các dạng khác
2 Tổ chức hướng dẫn học sinh chủ động, tích cực tìm tịi, sáng tạo nắm vững đẳng thức tổng ba lập phương, rèn luyện kỹ giải toán áp dụng đẳng thức tổng ba lập phương.
II BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN
(3)* Với A, B, C biểu thức tuỳ ý ta có đẳng thức sau: 1) A3 + B3 + C3 = (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) + 3ABC
2) A3 + B3 + C3 = (A + B + C)3 - 3(A + B)(B + C)(C + A).
Để chứng minh đẳng thức (1), ta chọn hai cách sau đây:
Cách 1: Ta có: (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA)
= A(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) + B(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) + + C(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) = A3 + AB2 + AC2 - A2B - ABC - A2C + A2B + B3 + BC2 - AB2 – B2C - - ABC + A2C + B2C + C3 - ABC - BC2 - AC2
= A3 + B3 + C3 – 3ABC.
Suy A3 + B3 + C3 = (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) + 3ABC
Cách 2: Ta có: A3 + B3 + C3- 3ABC = (A + B)3 - 3AB(A + B) + C3 - 3ABC = (A + B)3 + C3 – 3AB(A + B) - 3ABC
= (A + B + C)[(A + B)2 - (A + B)C + C2] - 3AB(A + B + C) = (A + B + C)(A2 + 2AB + B2 - AC - BC + C2 - 3ABC) = (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) Suy đpcm.
Để chứng minh đẳng thức (1), ta chọn hai cách sau:
Cách 1: Ta có: (A + B + C)3 - 3(A + B)(B + C)(C + A)
= (A + B)3 + 3(A + B)2C + 3(A + B)C2 + C3 - (3A + 3B)(BC + AB + C2 + AC) =A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 + 3A2C + 6ABC + 3B2C + C3 - 3ABC - 3A2B -
- 3AC2 - 3A2C – 3B2C – 3AB2 – 3BC2 – 3ABC = A3 + B3 + C3 Suy đpcm.
Cách 2: (A + B + C)3 - (A3 + B3 + C3)
= (A + B)3 + 3(A + B)2C + 3(A + B)C2 + C3 - (A3 + B3 + C3)
= A3 + B3 + 3AB(A + B) + 3(A + B)2C + 3(A + B)C2 + C3 - A3 - B3 - C3 = 3(A + B)AB(A B C C ) 2 = 3(A + B)(B + C)(C + A) Suy đpcm.
2 NHỮNG ỨNG DỤNG CỦa HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG BA LẬP PHƯƠNG
2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử Từ đẳng thức 1) 2) ta suy ra:
* A3 + B3 + C3 - 3ABC = (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) (1)
* Nếu A + B + C = A3 + B3 + C3 = 3ABC (2)
* (A + B + C)3 - A3 - B3 - C3 = 3(A + B)(B + C)(C + A) (3)
Chúng ta sử dụng (1), (2) (3) để phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức 8x3 + 64y3 + z3 - 24xyz thành nhân tử.
Hướng dẫn: 8x3 + 64y3 + z3 - 24xyz = (2x)3 + (4y)3 + z3 - 3.(2x).(4y).z = (2x + 4y + z)[(2x)2 + (4y)2 + z2 - (2x)(4y) - (2x)z - (4y)z]
= (2x + 4y + z)(4x2 + 16y2 + z2 - 8xy - 2xz - 4yz).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 thành nhân tử.
(4)Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x).
Với a = x2 + y2; b = z2 - x2; c = - y2 - z2 cho a + b + c = ta có tốn: Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử: (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3
Hướng dẫn: A = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 + (- y2 - z2)3 Đặt a = x2 + y2; b = z2 - x2; c = - y2 - z2 a + b + c = 0
A = a3 + b3 + c3 = 3abc = 3(x2 + y2)(z2 - x2)(- y2 - z2) = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x + z)(x - z)
Với a = x + y - z; b = x - y + z; c = - x + y + z cho a + b + c = ta có tốn: Phân tích thành nhân tử:
(x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (x - y + z)3 - (- x + y + z)3.
Bài tập vận dụng
Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) x3 - y3 - z3 - 3xyz 2) 125a3 + 8b3 + 27c3 - 90abc. 3) (x - y + z)3 - x3 + y3 - z3 4) (x + 2y - 3z)3 - x3 - 8y3 + 27z3. 5) (a + b)3 - (b + c)3 + (c - a)3 6) (x - y)5 + (y - z)5 + (z - x)5. 7) (a - b + c)3 - (a - b - c)3 - (c - a - b)3 - (a + b + c)3.
8) (3x2 - 2x + 1)3 + (x - x2 - 1)3 - (2x2 - x)3.
2.2 Rút gọn biểu thức Tính giá trị biểu thức Ví dụ 1: Cho xy + yz + zx = xyz
Tính giá trị biểu thức P = 2 xy yz zx z x y .
Hướng dẫn: Từ giả thiết: xy + yz + zx = xyz suy ra:
1 1
x yz . Xem
1 1
; ;
a b c
x y z
, ta có a + b + c = 0, áp dụng: a + b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc ta có:
1 1
x yz 3
1 1
x y z xyz
Ta có: P = 2
xy yz zx
z x y = 3
1 1
xyz
x y z
=
3
xyz
xyz Vậy P = 3.
Nhận xét: Ởbài toán sử dụng “điều kiện xi” để tính giá trị biểu thức Ta sử dụng “điều kiện ngược” để tính giá trị biểu thức
Ví dụ 2: Cho abc 0, a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức:
A = 1
a b c
b c a
.
Hướng dẫn: abc 0, a3 + b3 + c3 = 3abc a + b + c = a = b = c.
- Nếu a + b + c = A = a b b c c a c a b
b c a b c a
(5)Vậy A nhận hai giá trị -1
Ví dụ 3: Biết a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2, tính giá trị biểu thức:
A = 1
a b c
b c a
.
Hướng dẫn: Nếu đặt:
x ab y bc z ca
ta có:
1 Biểu thức A chuyển dạng: A = 1
z x y
y z x
.
2 Điều kiện giả thiết biến đổi dạng:
a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2 x3 + y3 + z3 = 3xyz
0
x y z x y z
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với x + y + z = 0, ta có: A = 1
z x y
y z x
=
y z z x x y xyz
y z x xyz
Trường hợp 2: Với x = y = z, ta có ngay: A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức:
A = x3 + (x - 1)3 - (2x - 1)3 - 3x(x - 1)(1 - 2x).
Hướng dẫn: Đặt a = x, b = x - 1, c = - 2x suy ra: a + b + c = Khi đó, biểu thức viết dạng:
S = x3 + (x - 1)3 + (1 - 2x)3 - 3x(x - 1)(1 - 2x)
= a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 0. Vậy, ta S =
Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức
A = 8(a + b + c)3 - (2a + b - c)3 - (2b + c - a)3 - (2c + a - b)3
Hướng dẫn: Đặt:
2
2 2( )
2
x a b c
y b c a x y z a b c z c a b
8(a + b + c)3 = (x + y + z)3.
Khi đó: A = (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) = 3(a + 3b)(b + 3c)(c + 3a)
Ví dụ 6: Biết a3 + b3 = 3ab - 1, tính giá trị biểu thức: A = a + b.
Hướng dẫn: Biến đổi giả thiết dạng: a3 + b3 = 3ab - a3 + b3 + 13 = 3.a.b.1
1 1
1 2
a b a b A
a b a b A
Ví dụ 7: Cho
2 1
x yz Tính giá trị biểu thức A = 2
2
xy yz zx z x y .
Hướng dẫn: Đặt
2 1
, ,
a b c
(6) a3 + b3 + c3 = 3abc 3
8 1
x y z xyz
Do đó: A = 2
4
2
xy yz zx
z x y = 3
8 1
2
xyz
x y z
= xyz
xyz .
Ví dụ 8: Cho số a, b, c khác đôi khác thoả mãn điều kiện: a3 + b3 + c3 = 3abc.
Tính giá trị biểu thức:
b c c a a b a b c
a b c b c c a a b
.
Hướng dẫn: Ta có a3 + b3 + c3 = 3abc
2 2
a b c a b b c c a
= 0
a b c 0 (do a, b, c đôi khác nhau).
Suy
a b c
b c c a a b =
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
a c a a b b b c a b c b c c a a b b c c a
=
2 2 2 3 3
( )( )( )
a b c a b c a b c abc
a b b c c a
=
9
( )( )( )
abc a b b c c a
Mặt khác
b c c a a b
a b c
=
( ) ( ) ( )
bc b c ca c a ab a b abc
=
( ) ( ) ( )
bc a b c a ca c a ab a b abc
=
(a b b c c a)( )( )
abc
Vậy
b c c a a b a b c
a b c b c c a a b
= 9.
Bài tập vận dụng
Bài 1: Biết a3 - b3 = 3ab + 1, tính giá trị biểu thức A = a - b. Bài 2: Cho a - b - c = Tính B =
3 3
2 2
3
( ) ( ) ( )
a b c abc
a b b c c a
.
Bài 3: Cho a, b, c khác thoả mãn a3 - b3 + c3 = - 3abc Tính:
A = 1
a b c
b c a
.
Bài 4: Cho a, b, c khác thoả mãn a3 + 8b3 + 27c3 = 18abc Tính: B =
2
1 1
2
a b c
b c a
.
Bài 5: Tính giá trị tổng a2011 + b2011 + c2011 biết a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 0.
Hướng dẫn: Theo giả thiết ta có c = - (a + b) nên:
(7)M = ab a b( )bc b c( )ac c a( )
1 1
( ) ( ) ( )
ab a b bc b c ca c a
.
Bài 7: Cho
1
x y z Tính N = 2
9
2
xy yz zx z x y . Bài 8: Cho
1 1
0
2x3yz Tính P = 2
6
4
xy yz zx z x y .
Bài 9: Cho
2 2
1 1
x y z a
x y z b
x y z c
Tính x3 + y3 + z3 theo a, b, c.
Hướng dẫn: Ta có: x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) x3 + y3 + z3 = 3xyz + a[b2 – (xy + yz + zx)] (1) Mặt khác a2 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx).
xy + yz + zx =
2 2 2 2
2
a x y z a b
(2) Từ
1 1
x y z c
1
xy yz zx
xyz c
xyz c xy yz zx ( )
2
a b xyz c
(theo (2)) (3) Thay (2), (3) vào (1) ta có: x3 + y3 + z3 =
2 2
3 ( ) (3 )
2
c a b a b a
Bài 10: Cho
2 2
3 3
1 1
a b c a b c a b c
Tính giá trị biểu thức P = a2010 + b2011 + c2012. 2.3 Chứng minh đẳng thức
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (x + y + z)(a + b + c) = ax + by + cz với x = a2 - bc, y = b2 - ac, z = c2 - ab.
Hướng dẫn: Ta có: (x + y + z)(a + b + c)
= (a2 - bc + b2 - ac + c2 - ab)(a + b + c) = a3 + b3 + c3 - 3abc. ax + by + cz = a(a2 - bc) + b(b2 - ac) + c(c2 - ab)
= a3 - abc + b3 - abc + c3 - abc = a3 + b3 + c3 - 3abc. Ví dụ 2: Biết x + y + z = 0, chứng minh rằng:
(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).
Hướng dẫn: Từ giả thiết x + y + z = suy ra: 3xyz = x3 + y3 + z3. Do đó: 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)
(8)= (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx =
2 2
1
2 x y z
(2) Thay (2) vào (1), ta được:
3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 +
1
2xyz(x2 + y2 + z2) 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2), đpcm.
Ví dụ 3: Giả sử hệ phương trình
ax by c bx cy a cx ay b
có nghiệm.
Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc.
Hướng dẫn: Giả sử (x; y) nghiệm hệ, cộng theo vế ba phương trình hệ ta được: ax + by + bx + cy + cx + ay = a + b + c
(a + b + c)(x + y - 1) =
0
a b c x y
- Với a + b + c = 0, ta dễ dàng suy đpcm
- Với x + y - = y 1 x, thay vào hệ, sau số biến đổi dẫn đến
a = b = c, theo đẳng thức suy đpcm
Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho a - b - c = Chứng minh a3 - b3 - c3 = 3abc. Bài 2: Cho a + b + c + d = Chứng minh rằng:
a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab - cd).
Bài 3: Cho 2a + b + c = Chứng minh rằng: 2a3 + b3 + c3 = 3a(a + b)(c - b) Bài 4: Cho a + b - c = Chứng minh 2(a5 + b5 - c5) = -5abc(a2 + b2 + c2). Bài 5: Cho x, y, z khác thoả mãn: (4x – 3y + 2z)2 = 16x2 + 9y2 + 4z2.
Chứng minh rằng: 3
1 1
64x 27y 8z 8xyz
Bài 6: Cho x, y thoả mãn:
ax by c cy bx a cx ay b
Chứng minh a3 - b3 + c3 = -3abc.
Bài 7: Cho x, y, z khác thoả mãn:
0 0
ax by cz bx cy az cx ay bz
Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc.
Bài 8: Cho x, y, z khác thoả mãn:
0 0
ax by cz az bx cy ay bz cx
Chứng minh a3 - b3 - c3 = 3abc.
(9)10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5).
Hướng dẫn:
Ta chứng minh: 2(x4 + y4 + z4) = (x2 + y2 + z2)2 x3 + y3 + z3 = 3xyz.
2[x7 + y7 + z7 + x3y3(x + y) + x3z3(x + z) + y3z3( y + z)] = 3xyz(x2 + y2 + z2)2 Từ đó: 2[x7 + y7 + z7 - x3y3z - x3z3y - y3z3x] = 3xyz(x2 + y2 + z2)2
Hay 2(x7 + y7 + z7) - 2xyz(x2y2 + x2z2 + y2z2) = 3xyz(x2 + y2 + z2)2 Nhưng x2y2 + x2z2 + y2z2 =
1
4(x2 + y2 + z2)2 (chứng minh dễ dàng). Vậy: 2(x7 + y7 + z7) =
7
2xyz(x2 + y2 + z2)2 (*) Chứng minh: x5 + y5 + z5 =
5
2xyz(x2 + y2 + z2) (**) Thay (**) vào đẳng thức (*) ta đpcm
Bài 10: Cho x, y, z số thực thỏa mãn:
y z 31 x3 z x 31 y3 x y 31 z3 0
Chứng minh rằng: (1 - x3)(1 - y3)(1 - z3) = (1 - xyz)3. 2.4 Trục thức mẫu
Ví dụ: Hãy thực trục thức mẫu cho biểu thức: A = 3
1
a b c .
Hướng dẫn: Áp dụng đẳng thức:
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
coi mẫu số A có dạng a + b + c Khi nhân tử mẫu A với (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca), tức
2 2
3 a b 3c ab 3bc 3ca
ta được: A =
3 3 3
3
a b c ab bc ca
a b c abc
=
2
3 3 3 3
2
3 3
3( )
( ) 3( )
a b c ab bc ca a b c a b c abc abc
a b c abc a b c a b c abc abc
=
3 3 3 2 3 2
3
3( )
( ) 27
a b c ab bc ca a b c a b c abc a b c
a b c abc
Bài tập vận dụng
Hãy thực phép trục thức mẫu cho biểu thức sau: a) A = 3
1
1 4 b) 3
1 2 4 c) C =
4 2 16
(10)Xuất phát từ đẳng thức thứ ta có: A3 + B3 + C3 = 3ABC
0
A B C A B C
Xuất phát từ đẳng thức thứ hai, ta có:
A3 + B3 + C3 = (A + B + C)3 (A + B)(B + C)(C + A) =
A B
B C
C A
Từ đó, ta giải phương trình có dạng A3 + B3 + C3 = 3ABC hoặc A3 + B3 + C3 = (A + B + C)3 có dạng A3 + B3 + C3 = (với A + B + C = 0) nhiều phương trình đưa dạng để giải
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
a) x3 - 3x + = b) x3 + 16 = 12x.
Hướng dẫn: a) Viết lại phương trình dạng: x3 + 13 + 13 = 3.1.1.x
1
1 1
x x
x x
b) Viết lại phương trình dạng: x3 + 23 + 23 = 3.2.2.x
2
2 2
x x
x x
Ví dụ 2: Giải phương trình: 54x3 - 9x + 2 0 (1)
Hướng dẫn: (1)
3 0
6 54
x x
Bây ta tìm cách viết vế trái phương trình dạng: x3 + a3 + b3 - 3abx,
như a, b thoả mãn hệ phương trình:
3
3 3
2 54 18
a b a b
Suy a3, b3 nghiệm phương trình:
2
3
2
0 54 18
t
t
Giải phương trình ta có t1 = t2 =
1
54 2, suy a = b = .
Khi đó: (1) (x + a + b)(x2 + a2 + b2 - ax - bx - ab) = 0. Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là:
2
;
3
x x
Ví dụ 3: Giải phương trình:
a)
3 3 3
2 ( 1) (1 )
x x x b) 3 x13 x 23 x 3 0
Hướng dẫn:
a) Nhận thấy phương trình có dạng A3 + B3 + C3 = 0, với A + B + C = 0. Sử dụng đẳng thức biến đổi phương trình dạng:
(11) (x - + x + + - 2x)
2 2
2 1 ( 2)( 1) ( 2)(1 ) ( 1)(1 )
x x x x x x x x x
+
+ 3(x 2)(x1)(1 ) 0 x
(x - 2)(x + 1)(1 - 2x) =
Phương trình có ba nghiệm x = 2, x = - x =
1 2.
b) Đặt a3 x1, b3 x 2, c3 x 3.
Khi đó, phương trình có dạng: a + b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) = 33 x13 x 23 x
x 23 (x1)(x 2)(x 3) (x - 2)3 = (x - 1)(x - 2)(x - 3) (x - 2)[(x - 2)2 - (x - 1)(x - 3)] = x - = x = 2 Thử lại, thấy x = thoả mãn Vậy phương trình có nghiệm x =
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
2 2
3 3
1
1
x y z x y z x y z
Hướng dẫn: Từ (1) (3) suy ra: (x + y + z)3 - (x3 + y3 + z3) = 0
(x + y)(y + z)(z + x) =
0 0
x y y z z x
Khi đó:
- Với x + y = 0, hệ có dạng: 2
1
0
1
z
x y x y
z x y
- Với y + z = 0, hệ có nghiệm (1; 0; 0) - Với z + x = 0, hệ có nghiệm (0; 1; 0)
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
3
3
3
( ) 14
( ) 21
( )
x y x y z xyz y z y z x xyz x z z x y xyz
Hướng dẫn: Cộng phương trình hệ vế theo vế, ta được:
2(x3 + y3 + z3) + x2(y + z) + y2(x + z) + z2(x + y) - 3xyz = (1) Ta có: x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
Do đó:
(1) (x3 + y3 + z3 - 3xyz) + x3 + x2(y + z) + y3 + y2(x + z) + z3 + z2(x + y) = 0 (x + y + z)( x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) + x2(x + y + z) + y2(x + y + z) +
+ z2(x + y + z) = 0
(12)=
2 2 2 2 2
1
0 2 x y y z z x x y z
Dấu “=” xảy chi x = y = z = (khơng thoả mãn hệ phương trình cho) suy 2x2 + 2y2 + 2z2 - xy - yz - zx > 0.
Do đó: (2) x + y + z = 0.
Với x + y + z = 0, hệ cho trở thành:
3 3
3 3
3 3
( ) 14
( ) 21 14
( ) 21
x y x x xyz x xyz
y z y y xyz y xyz
x z z z xyz z xyz
Suy ra: x3 - = y3 - = z3 + 27 = xyz + 6.
Do đó: (x - 1)(x2 + x + 1) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) = (z + 3)(z2 - 3z + 9).
Mà: x2 + x + =
2
1
0
2
x
; y2 + 2y + =
2
1
y ;
z2 - 3z + =
2
3 27
0
2
z
.
Suy ra: x >
2
0
y
x y z z
Vơ lí!
Lý luận tương tự, x <
2
0
y
x y z z
Vơ lí!
Hệ có nghiệm nhất: (1; 2; -3) Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải phương trình:
a) (x - 2)3 + (x - 4)3 + (x - 7)3 - 3(x - 2)(x - 4)(x - 7) = 0 b) (x2 + 3x - 4)3 + (2x2 - 5x + 3)3 = (3x2 - 2x - 1)3
c) 6x3 + 3x - = 0
Hướng dẫn: b) (x2 + 3x - 4)3 + (2x2 - 5x + 3)3 = (3x2 - 2x - 1)3 (x2 + 3x - 4)3 + (2x2 - 5x + 3)3 + (1 + 2x - 3x2)3 = 0
Vì (x2 + 3x - 4) + (2x2 - 5x + 3) + (1 + 2x - 3x2) = nên phương trình tương đương với: 3(x2 + 3x - 4)(2x2 - 5x + 3)(1 + 2x - 3x2) = 0
Bài 2: Giải phương trình: a) (x - 3)3 + (2x - 3)3 = 27(x - 2)3. b) (x - 3)3 + (x + 1)3 = 8(x - 1)3.
c) (ax + b)3 + (bx + a)3 = (a + b)3(x + 1)3 với ẩn x ab(a + b) 0. d) (3x - 2)3 - (x - 3)3 = (2x + 1)3
Hướng dẫn: b) (x - 3)3 + (x + 1)3 = 8(x - 1)3
(x - 3)3 + (x + 1)3 + (2 - 2x)3 = 3(x - 3)(x + 1)(2 - 2x) = Bài 3: Giải phương trình:
a) x 1 x 2 x 3 0 b)
3 3
2 3
x x x
(13)Hướng dẫn:
c) Đặt a = x24x3;b3 4x2 9x 3;c33x 2 ;x d2 33x2 2x2
Ta có a3 + b3 + c3 = d3 (1)
Phương trình cho trở thành a + b + c = d (a + b + c)3 = d3 a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) = d3
Kết hợp với (2) ta có (a + b)(b + c)(c + a) =
- Với a + b = 0, suy 5x2 – 5x = x = x = 1. - Với b + c = 0, suy 2x2 – 6x – =
3 11
x
x =
3 11
- Với c + a = 0, suy x2 – 7x – =
7 69 x 69
x
Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt:
7 69 69 11 11
0;1; ; ; :
2 2
x
Bài 4: Giải biện luận phương trình: ax3 + bx + c = với điều kiện:
3 0 27 c b a
a a .
Hướng dẫn: ax3 + bx + c =
3 0 3 0
3
b c c b
x x x x
a a a a
x3d3e3 3xde0
(với d3, e3 hai nghiệm phương trình:
3 27 c b X X a a )
x d e x d e
- Nếu 3 27 c b d e
a a tập nghiệm S = 2 ;d d .
- Nếu 3 27 c b d e
a a tập nghiệm S = d e; . Bài 5: Tìm nghiệm nguyên hệ phương trình:
3 3
2
( )
( 1) (2 3) (3 2) 18
x y z
I
x y z
Hướng dẫn: 3
( 1) (2 3) (3 2) ( )
( 1) (2 3) (3 2) 18
x y z
I
x y z
Hệ phương trình tương đương với:
( 1) (2 3) (3 2) ( )
( 1)(2 3)(3 2)
x y z
II
x y z
Vì x, y, z nguyên nên x - 1; 2y - 3; 3z - nguyên Do giá trị tuyệt đối số (x - 1), (2y - 3), (3z - 2) ước 6, nghĩa thuộc tập hợp 1; 2; 3; 6 .
(14)a) Với 3z - = 1, thay vào hệ (II) hệ:
( 1) (2 3) ( 1)(2 3)
x y
x y
Vậy (x - 1); (2y - 3) nghiệm phương trình t2 + t + = 0. Phương trình vơ nghiệm
b) Với 3z - = -2, thay vào hệ (II) hệ:
( 1) (2 3) ( 1)(2 3)
x y
x y
Vậy x - 1; 2y - nghiệm phương trình t2 - 2t - = 0. Phương trình có hai nghiệm t1 = -1; t2 =
Kết hợp với phương trình 3z - = -2 suy hệ phương trình (I) có hai nghiệm nguyên (x; y; z) (0; 3; 0); (4; 1; 0)
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: (x + y)3 = (x - 2)3 + (y + 2)3 + 6 Bài 7: Giải phương trình bậc ba (ẩn x): x3 - 3abx + (a3 + b3) = 0
Hướng dẫn: Ta có x3 - 3abx + (a3 + b3) = 0 (x + a + b)(x2 + a2 + b2 - ax - bx - ab) = 0
2
0
( )
x a b
x a b x a b ab
2 ( ) 2 0 1
x a b
x a b x a b ab
Phương trình (1) có: = (a + b)2 - 4(a2 + b2 - ab) = - 3(a - b)2
Do có nghiệm a = b, nghiệm x = a (nghiệm kép) 2.6 Chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 1: Cho a, b, c Chứng minh rằng: a + b + c 33 abc
(Bất đẳng thức Cô-si cho ba số khơng âm) Hướng dẫn: Ta có x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx =
2 2
1
2 x y y z z x 0
Đặt x = 3a, y3 b, z3c; x + y + z a, b, c 0.
Từ x3 + y3 + z3 – 3xyz hay a + b + c 33 abc.
Ví dụ 2: Chứng minh: (a3 + b3 + c3 - 3abc)2 (a2 + b2 + c2)3.
Hướng dẫn: Đặt a2 + b2 + c2 = p, ab + bc + ca = q, a3 + b3 + c3 - 3abc = m. Ta thâý rằng: p - q
m2 = (a + b + c)2(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)2 = (p + 2q)(p - q)2 Như thế: p3 - m2 = p3 - (p + 2q)(p - q)2 = 3pq2 - 2q3
= q2(3p - 2q) = q2(2p - 2q + p) p q 0,p0 Suy đpcm.
Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho x, y thoả mãn x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của biểu thức x6 + y6
Bài 2: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 a2 bc b ca c ab.
Hướng dẫn: (a3 + abc) + (b3 + abc) + (c3 + abc)
3 3 2
2 a abc b abc c abc a bc b ca c ab
(15)Mà a3 + b3 + c3 3abc (2)
(Vì (2)
2 2
1
( )
2 a b c a b b c c a
)
Cộng vế theo vế (1) (2), suy đpcm Bài 2: Cho x, y, z Chứng minh rằng:
x3 + y3 + z3 - 3xyz 4(x - y)(y - z)(z - x) (1)
Hướng dẫn: Ta có
(1) (x + y + z)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] - 8(x - y)(y - z)(z - x) 0 Đặt vế trái f(x; y; z) f đối xứng
Giả sử z = min{x ; y ; z}
Xét hiệu f(x ; y ; z) - f(x - z; y - z; 0) = 3z[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] 0. Suy f(x ; y ; z) f(x – z ; y – z ; 0)
Do ta cần chứng minh (1) trường hợp z = x, y
Khi bất đẳng thức (1) trở thành:
x3 + y3 + 4xy(x - y) (1’) Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có: y2 + 4x2 4xy y3 + 4x2y 4xy2 Kết hợp với x 0, suy (1’)
Vậy (1) chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z 2.7 Chứng minh chia hết
Ví dụ 1: Chứng minh 321 - 224 - 68 - chia hết cho 1930. Giải: Đặt A = 321 - 224 - 68 - = (37)3 - (28)3 - 38.28 - 1
= (37)3 - (28)3 - 13 - 3.37(-2)8.(-1) Áp dụng đẳng thức
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) a = 37, b = - 28, c = - 1, suy A chia hết cho 37 – 28 – = 1930. Ví dụ 2: Cho a + b + c = (a - b)(b - c)(c - a).
Chứng minh (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 chia hết cho 3.
Giải: Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ:
0
x a b
y b c x y z z c a
Khi đó: (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 = x3 + y3 + z3
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) + 3xyz = 3(a - b)(b - c)(c - a) = 3(a + b + c)
Từ đó, ta thấy (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 chia hết cho 3.
Nhận xét: Cũng với phương pháp cịn chứng minh tốn tổng quát sau:
1 Chứng minh với p số nguyên tố lẻ số:
(a + b + c)p + (a - b - c)p + (b - c - a)p + (c - a - b)p chia hết cho 8pabc. Chứng minh với p số nguyên tố lẻ số:
(16)Bài 1: Tìm m cho đa thức f(x) = x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho đa thức x + y + z
Giải: Giả sử phép chia f(x) cho x + y + z có thương q, đó: f(x) = (x + y + z).q với x, y, z
x3 + y3 + z3 + mxyz = (x + y + z).q với x (1) Chọn giá trị riêng x, y, z cho: x + y + z = 0, chẳng hạn x = 1, y = 1, z = - Ta được:
- Với x = 1, y = 1, z = - thì: (1) + - - 2m = m = - 3.
- Thử lại, với m = - 3, ta được:
x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx). Vậy với m = - thoả mãn điều kiện đầu
Bài 2: Cho x, y, z nguyên thoả mãn điều kiện x + y + z = (x - y)(y - z)(z - x) Chứng minh rằng: M = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 chia hết cho 81.
Hướng dẫn: Vì (x - y) + (y - z) + (z - x) = nên ta có:
(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) Xét ba số dư phép chia x, y, z cho
a) Nếu ba số dư khác (là 0, 1, 2) (x + y + z) chia hết cho Khi (x - y)(y - z)(z - x) không chia hết cho 3, trái với giả thiết
b) Nếu có hai số dư x + y + z không chia hết cho 3, trong ba hiệu: (x - y), (y - z), (z - x) chia hết cho 3, trái với giả thiết
c) Vậy trường hợp ba số x, y, z có số dư chia cho Lúc 3(x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 3.3.3.3 nên M chia hết cho 81
Bài 3: Cho x, y, z số nguyên khác Chứng minh x2 - yz = a, y2 - zx = b, z2 - xy = c tổng ax + by + cz chia hết cho tổng a + b + c.
Hướng dẫn: Ta có: ax = x3 - xyz, by = y3 - xyz, cz = z3 - 3xyz. Từ đó: ax + by + cz = x3 + y3 + z3 - 3xyz
= (x + y + z)(x2 - yz + y2 - xz + z2 - xy) = (x + y + z)(a + b + c). 2.8 Các dạng khác
Ví dụ 1: Chứng minh a, b, c số nguyên khác thoả mãn điều
kiện
a b c
b c a tích số abc lập phương số nguyên.
Hướng dẫn: Đặt
3 a; b; c
x y z
b c a
Từ giả thiết ta có:
x3 + y3 + z3 - 3xyz = hay (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = 0 Ta có hai trường hợp:
1) x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx =
2 2
0
x y y z z x
x y z
Từ dễ dàng suy a = b = c Do abc = a3, ta có đcm. 2) x + y + z = 0, tức
3 a b c
b c a
(17)3 2
3 2 1
0
abc b a b c a
a b c abc c b
Khử 3a b c2 2 hệ này, ta tính được:a b 3abc b c a ( ) (1) Do abc nên a - b = (1) a b c (không xảy x + y + z = 0).
Nếu a - b 0 (1)
3 abc b c a( ) abc b c a( )
a b a b
(2)
(2) chứng tỏ abc lập phương số hữu tỉ Nhưng abc nguyên nên lập phương số nguyên
Vậy trường hợp, abc lập phương số nguyên (đpcm) Ví dụ 2: Biết xn + yn + zn = an + bn + cn với n = 1, 2, 3, chứng minh nó với số tự nhiên n
Hướng dẫn: Từ giả thiết biểu thức với n = 1, 2, 3, ta có: x + y + z = a + b + c (1)
x2 + y2 + z2 = a2 + b2 + z2 (2) x3 + y3 + z3 = a3 + b3 + z3 (3) Khi đó: (1) (x + y + z)2 = (a + b + c)2
x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) xy + yz + zx = ab + bc + ca (4)
(3) (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) + 3xyz = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab + bc + ca) + 3abc xyz = abc (5)
Từ (1), (4), (5) suy x, y, z nghiệm phương trình: t3 - (a + b + c)t2 + (ab + bc + ca)t - abc = 0
(t - a)(t - b)(t - c) =
t a t b t c
Như vậy, ta thấy (x, y, z) hoán vị (a, b, c), đó:
xn + yn + zn = an + bn + cn với số tự nhiên n. Ví dụ 3: Sai đâu?
Trong sách có tốn: “Chứng minh abc
a + b + c =
1 1
a b c
6 6
3 3
a b c
abc a b c
” với hướng dẫn sau:
Ta có: a3 + b3 + c3 - 3abc
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = (vì a + b + c = 0) a3 + b3 + c3 = 3abc (1)
Từ
1 1
0 ab bc ca
a b c
(18)Mặt khác a6 + b6 + c6 = 3a2b2c2 (2) Từ (1) (2) suy ra:
6 6
3 3
a b c
abc a b c
(đpcm)
Hướng dẫn: Điều “không ổn” giả thiết toán Thật vậy, từ a + b + c =
1 1
a b c suy ac = b2, bc = a2, bc = c2
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca = a = b = c = 0. Mâu thuẫn với
1 1
a b c Chứng tỏ không tồn a, b, c thoả mãn giả thiết hay giả thiết tốn phi lí
Bài tập vận dụng
Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ vng góc Oxy, tìm tập hợp điểm A(x; y) cho x3 - y3 = 3xy + (1)
Hướng dẫn: (1) x3 - y3 - = 3xy
1
x y x y
Vậy tập hợp A đường thẳng x - y - = điểm A0(-1; 1)
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c thoả mãn a3 + b3 + c3 = 3abc Hỏi tam giác ABC tam giác gì?
Bài 3: Sai đâu? Sửa cho đúng. Đề bài: Chứng tỏ ta có:
2 2
x yz y zx z xy
a b c
suy được:
2 2
a bc b ca c ab
x y z
Sau lời giải toán số sách:
Cách 1: Đặt
2 2
x yz y zx z xy
a b c
= k Suy
2 2
; ;
x yz y zx z xy
a b c
k k k
Dẫn đến:
2
2 2
2 3
2
3
x yz y zx z xy
k k k
a bc x y z xyz
x x k
Tương tự ta có:
2 3
2
b ca c ab x y z xyz
y z k
Từ dẫn đến điều phải chứng minh
Cách 2: Từ giả thiết có: 2
a b c
x yz y zx z xy Suy ra:
2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
a b c
(19)= ( )( ) ( )( ) ( )( )
ab bc ab
x yz y zx y zx z xy x yz z xy Nên:
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
a bc b ac c ab
x yz y zx z xy y zx x yz z xy z xy x yz y zx
Suy ra:
2 2
3 3 3 3 3
( ) ( ) ( )
a bc b ac c ab
x x y z xyz y x y z xyz z x y z xyz
Nhân vế theo vế đẳng thức với (x3 + y3 + z3 - 3xyz) ta có điều cần chứng minh
Nhưng cần cho x = y = z = a = 1, b = 2, c = chẳng hạn thấy giả thiết mà kết luận:
2 5 1 7
; ;
3 3
a bc b ca c ab
x y
phân số khác Em có ý kiến đề lời giải trên?
Hướng dẫn:
2
x yz k a
suy a =
2
x yz k
với k 0 Giả thiết toán phải đảm bảox2 yz0; y2 zx0; z2 xy0.
Cũng phải có giả thiết cách viết được:
2 2
a b c
x yz y zx z xy
Nếu không thêm giả thiết tốn ban đầu sai (đã có phần thí dụ x = y = z = a = 1; b = 2; c = 3)
Cả hai lời giải đề cho thêm giả thiết
Bài 4: Tìm cơng thức tính nhanh tổng sau theo số tự nhiên k: S = 1.2.3 + 3.4.7 + 7.8.15 + + (2k - 1)2k(2k+1 - 1)
Hướng dẫn: Vì (2k - 1) + 2k + (1 - 2k+1) = nên ta có:
(2k - 1)3 + (2k)3 - (2k + 1 - 1)3 = - 3(2k - 1)2k(2k+1 - 1)
Ta có: -3S = (-3).1.2.3 + (-3).3.4.7 + (-3).7.8.15 + + (-3)(2k - 1)2k(2k+1 - 1) - 3S = (1 + 23 - 33) + (33 + 43 - 73) + (73 + 83 - 153) + + (2k - 1)3 +
+ 23k - (2k+1 - 1)3
- 3S = + 23 + 43 + 83 + + 23k - (2k+1 - 1)3 (1) 24S = - 23 - 43 - 83 - 163 - - 23k+3 + 8(2k+1 - 1)3 (2) Cộng theo vế (1) (2) được:
21S = - 23k+3 + 7(2k+1 - 1)3 hay S =
1
2
2 (2 1)
k
k k
S =
1
2
(2 1)(2 1)(2 1)
k k k
C KẾT LUẬN
(20)Khi nghiên cứu xong đề tài tơi có tư liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8, Chúng giảng dạy chuyên đề với đối tượng học sinh giỏi thấy việc áp dụng vào giảng dạy có hiệu Trong trình dạy học, giáo viên đưa dạng tập phù hợp với chương trình tiết học với chủ đề tự chọn buổi dạy học bồi dưỡng Tuỳ đối tượng học sinh mà chọn cho phù hợp Và việc in ấn tài liệu cho học sinh tham khảo, giáo viên tổ chức cho học sinh tích cực, chủ động tự học để nắm vững nội dung chuyên đề Chúng thấy rằng, em học sinh hứng thú thầy cung cấp tư liệu hướng dẫn tự học Đa số em giỏi tiếp thu nội dung chuyên đề cách dễ dàng; em biết khai thác sâu toán, biết xâu chuỗi toán, biết vận dụng kiến thức bản, nâng cao để giải nhiều tốn khó, để học tốt nội dung kiến thức khác chương trình học; giúp em thêm tự tin, dành kết cao trình học tập kỳ thi học sinh giỏi cấp
Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy tốn, tơi ln trọng hướng em tìm ứng dụng đẳng thức nâng cao, phương pháp giải, cách giải khác cho toán, giúp học sinh xâu chuỗi tốn Từ khơi dậy lịng say mê, niềm cảm hứng với nét độc đáo, niềm tin, niềm tự hào tự trang bị kiến thức cách hệ thống khoa học
2 Những học kinh nghiệm
- Qua đề tài nhận thấy muốn dạy cho học sinh hiểu vận dụng vấn đề đó, trước hết người thầy phải hiểu vấn đề cách sâu sắc Vì vậy, người thầy phải khơng ngừng nâng cao trình độ cho thân, phải ln học hỏi, tìm tịi, đào sâu suy nghĩ toán, phân dạng toán, xâu chuỗi toán Giáo viên cần chủ động phát toán bản, đẳng thức có nhiều ứng dụng tập hợp ứng dụng đó, viết thành tư liệu dành cho học sinh tham khảo Đó phương pháp học mang lại hiệu cao công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
- Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh có kỹ thường xuyên lưu ý; liên hệ toán “mới” với toán biết, giúp học sinh phát rằng, tốn khơng cịn em nhanh chóng xếp loại tốn, từ định hướng phương pháp giải
- Nên cấu tạo tập toán đa dạng phong phú (với mục đích vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kiểm tra lực toán học, ) để phù hợp với phương pháp dạy học đổi theo hướng tích cực, độc lập, sáng tạo
(21)Trên tơi trình bày số ứng dụng đẳng thức tổng ba lập phương với mong muốn đóng góp phần nhỏ vào trình đổi nội dung, phương pháp dạy học tốn trường Trung học sở nhằm giúp học sinh đạt kết cao học tập Có thể đề tài cịn có hạn chế, thiếu sót, mong đóng gớp ý kiến quý thầy cô bạn để đề tài hồn thiện có tác dụng
Tôi xin chân thành cảm ơn!
(22)Sở giáo dục đào tạo hố
Phịng giáo dục đào tạo thọ xn
s¸ng kiÕn kinh nghiƯm
khai thác ứng dụng của hằng đẳng thức tổng ba lập phơng
Họ tên tác giả: Đỗ Trí Khởi Chøc vơ: Phã HiƯu trëng
Đơn vị công tác: Trờng THCS Lam Sơn SKKN môn: Toán
Năm học 2010 - 2011
C H
I
B O
Ä
G I
A Ù
O D
U Ï
C
H I E Ä P H O Ø A
T H
C S D
A Ï
Y
T O
Á T
H O Ï C
(23)