Download Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh môn toán khối 9

Qua M kẻ đường thẳng song song ON cắt đường thẳng AB tại E.. Thay vào a,b vào pt rồi giải tiếp..[r]

ĐỀ THI HSG TỈNH HÀ TĨNH LỚP 9

Bài 1: Cho phương trình





 

       

 

3

1

x m x m

x

x (*)

a) Giải phương trình m =

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Bài 2: a) Cho a, b, c  Z thỏa mãn điều kiện

 

    

 

 

2

2 2

1 1 1 a b c a b c Chứng minh a3 + b3 + c3 chia hết cho 3

b) Giải phương trình x3 + ax2 + bx + = 0, biết a, b, c số hữu tỉ + 2 là

nghiệm phương trình

Bài 3: Cho x, y  N* thỏa mãn x + y = 2011

Tìm GTNN GTLN biểu thức P =















2

x x y y y x

Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, dây cung MN = R di chuyển nửa đường tròn Qua M kẻ đường thẳng song song ON cắt đường thẳng AB E Qua N kẻ đường thẳng song song OM cắt đường thẳng AB F

a) CMR: MNE NFM

b) Gọi K giao điểm EN FM Hãy xác định vị trí dây MN để chu vi tam giác MKN lớn

Bài 5: Cho a, b, c > abc =

Chứng minh



 

 

 

 

 



  

     

3 3

a b c

1 b c c a a b HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài Lời giải tóm tắt: ĐKXĐ: x 

Đặt  

x t

x phương trình (*) trở thành









2

t t   t m 0 a) m = (Tự giải)

b) Với t =  x2 – x – = phương trình ln có nghiệm dương (vì ac < 0)

Để phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt phương trình t2 + t + – m =

phải có nghiệm kép khác Hay m = 11

4 Bài : Lời giải tóm tắt:

a) ĐK: a, b, c  Từ gt suy a + b + c = Mà a3 + b3 + c3 – (a + b + c) = a(a – 1)(a + 1) + b(b – )(b + 1) + c(c – 1)(c + 1) chia hết cho a + b + c = chia hết a3 + b3 + c3

chia hết cho

b) Vì + 2 nghiệm phương trình nên ta có



 

 

  





2 2a b 3a b 0 a, b số hữu tỉ nên   

 

   

2a b 3a b 

  

 

a

Bài 3:Lời giải tóm tắt:

Cách 1: Vì x, y  N* nên 1 x y 2009  









2 2

1 x y 2009

Mà (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy = 20112 – 4xy Do –xy =





   

 

2

1

x y 4044121

Vậy P = 20113 - 6031xy = 20113 + 6031





   

 

2

1

x y 4044121

Ta có 20113 + 6031.







2

1

1 4044121

4  P  20113 + 6031.







2

1

2009 4044121

Hay 2035205401  P  8120605021

Vậy GTNN P 2035205401 Dấu “=” xảy x = 1006 y = 1005 x = 1005 y = 1006 GTLN P 8120605021 Dấu “=” xảy x = 2010 y = x = y = 2010

Cách 2: P = 20113 - 6031xy theo ta có

 x, y  2010 Ta chứng minh 2010  xy  1005 1006 Thật

xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x2 – 2010 = 2010x – x2 + x – 2010

= (2010 – x)(x – 1)  (vì  x, y  2010) Ta có xy  2010 Do P  8120605021

Mặt khác 1005.1006 – xy = 1005 1006 – x(2011 – x) = … = (1005 – x)(1006 – x)  Ta có 1005.1006 – xy  Do 2035205401  P

Bài 4: Lời giải tóm tắt:

a) Dễ dàng chứng minh EMN FNM 120   Mặt khác EMO  ONF 

  

ME MO ME MN

NO NF MN NF (vì MON đều) b) MNE  NFM  MNE NFM FMO  

mà

  0



 



 0



 



 0 

MKN 180 MNE NMF 180 FMO NMF 180 60 120

không đổi

K thuộc cung trịn chứa góc 1200 dựng đoạn thẳng MN = R khơng đổi Từ suy ra

K điểm cung MKN hay MK = NK Kéo dài EM FN cắt I ta chứng minh MN vị trí cho AM = MN = NB = R

Bài 5:Lời giải tóm tắt: Áp dụng BĐT CauChy ta có



 





 



   

   

   

3

3

a b c a b c 3a

3

1 b c 8 b c 8

tương tự cộng lại



 

 

 

 

 



 

   

     

3 3

a b c a b c

1 b c c a a b Mà a b c  3 abc3 3