Qua M kẻ đường thẳng song song ON cắt đường thẳng AB tại E.. Thay vào a,b vào pt rồi giải tiếp..[r]
(1)ĐỀ THI HSG TỈNH HÀ TĨNH LỚP 9
Bài 1: Cho phương trình
3
1
x m x m
x
x (*)
a) Giải phương trình m =
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Bài 2: a) Cho a, b, c Z thỏa mãn điều kiện
2
2 2
1 1 1 a b c a b c Chứng minh a3 + b3 + c3 chia hết cho 3
b) Giải phương trình x3 + ax2 + bx + = 0, biết a, b, c số hữu tỉ + 2 là
nghiệm phương trình
Bài 3: Cho x, y N* thỏa mãn x + y = 2011
Tìm GTNN GTLN biểu thức P =
2
x x y y y x
Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, dây cung MN = R di chuyển nửa đường tròn Qua M kẻ đường thẳng song song ON cắt đường thẳng AB E Qua N kẻ đường thẳng song song OM cắt đường thẳng AB F
a) CMR: MNE NFM
b) Gọi K giao điểm EN FM Hãy xác định vị trí dây MN để chu vi tam giác MKN lớn
Bài 5: Cho a, b, c > abc =
Chứng minh
3 3
a b c
1 b c c a a b HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài Lời giải tóm tắt: ĐKXĐ: x
Đặt
x t
x phương trình (*) trở thành
2
t t t m 0 a) m = (Tự giải)
b) Với t = x2 – x – = phương trình ln có nghiệm dương (vì ac < 0)
Để phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt phương trình t2 + t + – m =
phải có nghiệm kép khác Hay m = 11
4 Bài : Lời giải tóm tắt:
a) ĐK: a, b, c Từ gt suy a + b + c = Mà a3 + b3 + c3 – (a + b + c) = a(a – 1)(a + 1) + b(b – )(b + 1) + c(c – 1)(c + 1) chia hết cho a + b + c = chia hết a3 + b3 + c3
chia hết cho
b) Vì + 2 nghiệm phương trình nên ta có
2 2a b 3a b 0 a, b số hữu tỉ nên
2a b 3a b
a
(2)Bài 3:Lời giải tóm tắt:
Cách 1: Vì x, y N* nên 1 x y 2009
2 2
1 x y 2009
Mà (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy = 20112 – 4xy Do –xy =
2
1
x y 4044121
Vậy P = 20113 - 6031xy = 20113 + 6031
2
1
x y 4044121
Ta có 20113 + 6031.
2
1
1 4044121
4 P 20113 + 6031.
2
1
2009 4044121
Hay 2035205401 P 8120605021
Vậy GTNN P 2035205401 Dấu “=” xảy x = 1006 y = 1005 x = 1005 y = 1006 GTLN P 8120605021 Dấu “=” xảy x = 2010 y = x = y = 2010
Cách 2: P = 20113 - 6031xy theo ta có
x, y 2010 Ta chứng minh 2010 xy 1005 1006 Thật
xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x2 – 2010 = 2010x – x2 + x – 2010
= (2010 – x)(x – 1) (vì x, y 2010) Ta có xy 2010 Do P 8120605021
Mặt khác 1005.1006 – xy = 1005 1006 – x(2011 – x) = … = (1005 – x)(1006 – x) Ta có 1005.1006 – xy Do 2035205401 P
Bài 4: Lời giải tóm tắt:
a) Dễ dàng chứng minh EMN FNM 120 Mặt khác EMO ONF
ME MO ME MN
NO NF MN NF (vì MON đều) b) MNE NFM MNE NFM FMO
mà
0 0 0
MKN 180 MNE NMF 180 FMO NMF 180 60 120
không đổi
K thuộc cung trịn chứa góc 1200 dựng đoạn thẳng MN = R khơng đổi Từ suy ra
K điểm cung MKN hay MK = NK Kéo dài EM FN cắt I ta chứng minh MN vị trí cho AM = MN = NB = R
Bài 5:Lời giải tóm tắt: Áp dụng BĐT CauChy ta có
3
3
a b c a b c 3a
3
1 b c 8 b c 8
tương tự cộng lại
3 3
a b c a b c
1 b c c a a b Mà a b c 3 abc3 3