1. Trang chủ
  2. » Cao đẳng - Đại học

chuyen de phuong phap ham so giai phuong trinh

11 18 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 11
Dung lượng 876,19 KB

Nội dung

Tìm tất cả các giá trị của tham số a, để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt... Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất.[r]

(1)

Chuyên đề I: Ứng Dụng Đạo Hàm Trong Các Bài Toán Đại Số I.Các vài toán liên quan đến nghiệm pt-bpt:

Định lí 1: Số nghiệm pt f(x)=g(x) số giao điểm hai đồ thị y=f(x) y=g(x)

Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) lt D mmin ( )x Df x , MMx Dax ( )f x pt: f(x)=k có

nghiệm m k M 

Định lí 3: Bất phương trình f x( )g x( )nghiệm x thuộc D

( ) ( )

x D x D

Min f x Max g x

 

Các ví dụ:

Bài 1:Tìm m để pt sau có nghiệm: x2  x 1 x2  x 1 m (HSG Nghệ an 2005)

Lời giải: Xét hàm số f x( ) x2 x  1 x2  x1 có tập xác định D=R  

 

 

    

   

      

   

           

   

2

2

2

2

2

'( ) '

2

(2 1) 1 (1)

1 [( - )1 3] [( 1) 3] 0 thay vào (1)ta thấy không

2 2

thỏa mãn Vậy f'(x)=0 vô nghiệm, mà f'(0)=1>0,

x x

f x f x

x x x x

x x x x x x

x x x x x

 

    

 

 

    

  

2

x + x +

f'(x)>0 x

Mặt khác: Lim ( ) = Lim 1; Lim ( )

1

Vậy pt cho có nghiệm -1

x

R x

f x f x

x x x x

m

Bài 2:Tìm tất giá trị a để pt: ax2  1 cosx có nghiệm

0;

x  

 

(Đề thi HSG tỉnh Hải Dương Lớp 12 năm 2005) Giải: Ta thấy để pt có nghiệm a0

 

 

  

      

 

     

    

      

   

2

2

2

sin

cos 2 sin

Khi pt =a -2 Xét hàm số ( ) với t 0;

cos -.cos sin

ta có '( ) = với t 0; ( ) ngb 0;

4

t

x

x a f t t

t

x x

t t tgt

t t t

f t f t

(2)

 

  

 

        

     

         

2

2

0

2

sin

2 2 2

Maø f( )= vaø ( ) ( ) 1 (0; )

4

2

8

Vậy pt cho có nghiệm (0; )

2

t

x

Lim f t f t x

x

x a a

Bài 3: Cho phương trình x6 3x5  6x4  ax3  6x2 3x 1 0 Tìm tất giá trị tham số a, để phương trình có nghiệm phân biệt (HSG Nam Định 2004) Giải: Vì x 0khơng phải nghiệm pt Chia hai vế pt cho x3 ta được

      

         

      



3

3

2

2

1 1

( ) 3( ) 6( ) a=0 (1) Đặt t= ta thu pt ( 3) 3( 2) (1')

Từ cách đặt t ta có: (2)pt có = - Từ ta có *Nếu pt

x x x x

x x

x x

t t t t a t t t a

x tx t t

t

 

cho có nghiệm

*Nếu với giá trị cho tương ứng hai giá trị x

Nên pt (1) có hai nghiệm phân biệt pt(1') có hai nghiệm t= (1') có

t t

  

  

  

        

1nghiệm thỏa mãn

2

1: Nếu (1') có hai nghiệm t= vô nghiệm 22

: (1') có nghiệm

Xét hàm số ( ) với 2, ta có '( ) 3(

t t

a TH

a

TH t

f t t t t t f t t t t )(t3)

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng bt ta thấy pt(1’) có nghiệm t 2       

2 a 22 a 16

f(t) f’(t)

x -3 -2

0 - +

2 22

(3)

Bài 4:Cho hàm số y  x  (x a x b )(  ) với a,b hai số thực dương khác cho trước.Cmr với số thực s0;1 đếu tồn số thực

     

 

1

0 : ( )

2 s s s

a b

f

( HSG QG bảng A năm 2006)

Giải: Trước hết ta cos BĐT :

 

( )

2

s s

s

a b a b

(1) ta cm (1) hàm số BĐT Bécnuli

Áp dụng BĐT Cơsi (1) ta có :

1

( )

2

s s

s

a b a b

ab    

(*) (do a b )

Mặt khác ta có:

2 ( )( )

'( )

2 ( )( )

x a b x a x b

f x

x a x b

    

  ta dễ dàng cm f’(x) >0

x>0 suy f(x) đồng biến với x>0 nên

( ) ( ) ( )

2 x

x

a b Lim f x ab f x Lim f x

  

   

(**) Vì f(x) liên tục x>0 nên từ (*) (**) ta có điều phải cm

Bài tập:

Tìm m để pt sau có nghiệm thuộc  [0; ]

4

       

(4 )sinm x 3(2m 1)sinx 2(m 2)sin cosx x (4m 3)cosx

2.Tìm m để số nghiệm pt: 15x2 2(6m21)x 3m42m20không nhiều số nghiệm pt: (3m 1) 122 x 2x3 6x(36m 9) 28m 0,25 (HSG Nghệ an 1998) Tìm tất giá trị a để bpt: ln(1x) x ax2 nghiệm  x

a)Cmr a >0 số cho bpt: ax  1 x với x0 a e

(4)

II.Giải pt phương pháp hàm số:

Định lí 1:Nếu hàm số y=f(x) ln đb (hoặc ln ngb) số nghiệm pt : f(x)=k Không nhiều f(x)=f(y) x=y

Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) đb (hoặc ngb) hàm số y=g(x) ngb (hoặc ln đb) D số nghiệm D pt: f(x)=g(x) không nhiều một

Định lí 3:Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n pt f( )k ( ) 0x có m nghiệm, đó pt f(k1)( ) 0xcó nhiều m+1 nghiệm

Các ví dụ:

Bài 1:Giải pt:3 (2x  9x23) (4 x2)( 1 x x2 1) 0 (Olympic 30-4 ĐBSCL 2000)

Giải: Ta thấy pt có nghiệm

1 ( ;0)

2

  2

2

3 (2 ( ) 3) (2 1)(2 (2 1) 3) (2 3) (2 3) (1)

pt x x x x

u u v v

         

     

Với u=-3x, v=2x+1; u,v>0 Xét hàm số f t( ) 2 tt4 3t2 với t>0

Ta có

3

4

2

'( ) 0 ( ) ( )

3

t t

f t t f u f v u v

t t

        

(1) u=v  -3x=2x+1

1

x  

nghiệm pt

Bài 2: Giải pt:

 

 

   

 

2

osx=2 với - ; 2 tg x

e c x

(HSG Lớp 12 Nam Định 2006)

Giải: Xét hàm số :

 

 

    

 

2

( ) osx với - ; 2 tg x

f x e c x

, ta có

  

 

  

 

 

2

2 tg

2

1 2e os

'( ) sin sin

cos os

x

tg x c x

f x tgx e x x

x c x

Vì 2etg x2  2 cos3x 0

Nên dấu f’(x) dấu sinx Từ ta có f x( )f(0) 2 Vậy pt cho có nghiệm x=0

(5)

Giải: Xét hàm số : f x( ) 2003 x 2005x  4006x  Ta có: f x'( ) 2003 ln2003 2005 ln2005 4006 xx

     

 

2

''( ) 2003 ln 2003 2005 ln 2005 "( ) vô nghiệm f'(x)=0 có nhiều nghiệm f(x)=0 có nhiều hai nghiệm

x x

f x x f x

Mà ta thấy f(1)=f(0)=0 nên pt cho có hai nghiệm x=0 x=1 Bài 4: Giải pt: 3x   1 x log (1 )3  x (TH&TT)

Giải: Đk: x>-1/2

 3x   1 log (1 )3   3x log 33 x  1 log (1 )3 

pt x x x x x (1)

Xét hàm số: f t( ) t log3t ta có f(t) hàm đồng biến nên

         

(1) f(3 )x f(1 )x 3x 2x 3x 2x (2)

Xét hàm số: f x( ) 3 x  2x 1 f x'( ) ln3 2 x   f x"( ) ln 0 x

f x( ) 0 có nhiều hai nghiệm, mà f(0)=f(1)=0 nên pt cho có hai nghiệm

x=0 x=1

Bài 5: Giải hệ pt:

 

   

  

sinx-siny=3x-3y (1) x+y= (2)

5

, (3)

x y

Giải: Từ (2) (3) ta có :

 

, (0; )

x y

(1) sinx-3x=siny-3y Xét hàm số f(t)=sint-3t với t(0; )5 ta có f(t) hàm nghịch

biến nên f(x)=f(y) x=y thay vào (2) ta có

  

10

x y

nghiệm hệ

Bài 6: Giải hệ:

  

  

    

 

(1) 1 (2)

tgx tgy y x

y x y

(30-4 MOĐBSCL 2005)

Giải: Đk:

   

 

 

1

y

x y (*)

(6)

             

 

 

 

         

        

 

1 8 4

8

3

3 8

9 48 64 16 128 64 64

y y y y y y y y

y y

y y y

y y y y y

Vậy x y 8 nghiệm hệ cho

HỆ HOÁN VỊ VỊNG QUANH:

Định nghĩa:Là hệ có dạng:

 

 

  

 

1

2

1

( ) ( ) ( ) ( )

( )n ( )

f x g x

f x g x

f x g x (I)

Định lí 1: Nếu f,g hàm tăng giảm A ( , , , )x x1 xn nghiệm hệ A x1x2   xn

Định lí 2:Nếu f,g khác tính đơn điệu A ( , , , )x x1 xn nghiệm hệ A thì x1x2   xnnếu n lẻ

  

 

  

1

2

n n

x x x

x x x nếu n chẵn

Bài 7:Giải hệ:

      

 

     

 

     

 

3

3

3

3 ln( 1) 3 ln( 1) 3 ln( 1)

x x x x y

y y y y z

z z z z x

Giải:Ta giả sử (x,y,z) no hệ Xét hàm số      

3

( ) 3 ln( 1)

f t t t t t

ta có:

   

 

2

2

2

'( ) 3

2

t

f t t

t t nên f(t) hàm đồng biến

Ta giả sử: x=Max{x,y,z} y f x ( )f y( ) z z f y ( )f z( )x

(7)

Bài 8:Giải hệ:

    

 

   

 

   

 

2

3

3

3

2 log (6 ) log (6 ) log (6 )

x x y x

y y z y

z z x z

(HSG QG Bảng A năm 2006)

Giải: Hệ

  

  

 

 

      

 

  

 

  

  

3 2

3 2

3 2

log (6 )

2 ( ) ( )

log (6 ) ( ) ( )

2 ( ) ( ) log (6 )

2

x y

x x f y g x

y

z f z g y

y y f x g z

z x

z z

Trong

3 2

( ) log (6 ) ; ( )

2

t

f t t g t

t t

  

  với t  ( ;6)

Ta có f(t) hàm nghịch biến,  

3

6

'( ) ( ;6)

2

t

g t t

t t

      

 

g(t) hàm đb Nên ta có (x,y,z) nghiệm hệ x=y=z thay vào hệ ta có:

3 2

log (6 )

2

x x

x x

 

  pt có nghiệm x=3 Vậy nghiệm hệ cho x=y=z=3

Bài tập:

2

3 10 10

3

2 cosx osx

3

3

3

81 2 ; 81sin os

256

3 (x-1)(x+2)=(x 2) ; osx; (1 )(2 ) 3.4 x

6 (HSG QG 2006)

x x c x x

x x x x x c x

e xe c x

x x y

y y y z

z z z x

       

      

    

 

   

 

   

 

(8)

2

1 2

2

2 3

2

1 1

4 ax ax

4 ax n

x x x

x x x

x x x

   

  

   

  

8 Tìm m để pt sau có nghiệm:

6

2

2

) 12 ( ); b) 3+x (3 )(6 ) cos sin

) cot ( cotgx)+3=0; d) os sin

a x x x m x x x x x m

x x

c tg x g x m tgx m tg x

c x x

+ + = - + - + - - + - =

+

+ + + =

-III Các toán cực tri- chứng minh BĐT:

Bài 1: Cho số thực a,b,c,d thoả mãn: a2+b2=1; c-d=3 Cmr:

4

F ac bd cd    

(HSG Nghệ an 2005)

Giải: ta có: F  (a2b2)(c2 d2)  cd  2d2 6d  9 d2  3df d( )

Ta có

2

2

3

1 2( )

2

'( ) (2 3)

2

d

f d d

d d

  

 

 

2

2

3

1 2( )

2 0

2

d

d d

  

  nên

3 ( ) ( )

2

f df   

ta có đpcm

Bài 2: Cho 0 x y z 1.:3x2y z 4.Tìm gtln F 3x22y2z2(TH&TT) Giải: Từ gt ta có:

4

y z x  

(9)

2 2

1 1

( ) (4 ( 2) 10 16 16) ( ) (9 12 20) ( )

3 3

y

Ff yzz y  yy f   yy  g y

Ta xét

2

1

3  y (vì y<2/3 Max khơng xảy ra),

2 ( ) ( ) 16

3

g yg

16

F

 

dấu “=” có

2

;

3

z y x

Vậy

16

Max F

Bài 3: Cho x  y z 0.CMR:

x z y x y z zyx  y zx

Giải: Xét hàm số : ( )

x z y x y z f x

z y x y z x

 

       

  Với đk cho x  y z

Ta có: 2

1 1

'( ) ( ) ( y z ) ( )( )

f x y z

z y x x yz x

        

f(x) hàm đồng biến

( ) ( ) f x f y

    đpcm

Bài 4:Cho a>b>c>0 CMR: a b3 2b c3 2c a3 a b2 3b c2 3c a2

Giải: Xét hàm số:  

3 3 2 3

( )

f aa bb cc aa bb cc a

Ta có : f a'( ) 3 a b2 22ac3 2ab3 3a c2 2 Tiếp tục lấy đạo hàm:

2 3 2

"( ) 6 2 2( )[3 ( ) - ]

f aabaccbb ca b c b  cbc  a>b>c>0

'( ) f a

 hàm đb f a'( )f b'( )b42bc3 3b c2 20 (ta cm nhờ Cơsi)

Như f'(a) >0 nên f(a) đồng biến f(a)>f(b)=0 ta có đpcm

Bài 5:Cho x y z o, ,  Cmr: x4y4z4xyz x y z(   )xy x( 2y2)yz y( 2z2)zx z( 2x2)

Giải: Khơng tính tổng qt ta giả sử: x y z  Xét hàm số

4 4 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f xxyzxyz x y z   xy xyyz yzzx zx

Ta có : f x'( ) 4 x3 (x y z2  )xyz yz x y z (   ) ( y3z3) f x"( ) 12 x2 (x y z ) 2 yz

"( ) f x

  (do x y z  )  f x'( )f y'( )z y z2  3z y z2(  ) 0 nên f(x) hàm đb

4 2 2

( ) ( ) ( )

f x f y z z y y z z z y

         đpcm

Bài 6: Cho n,k số nguyên dương n7;2 k n Cmr: kn 2nk (HSG QG bảng B 96-97)

Giải : Bđt n k kln  lnnln 2 n k kln  lnn ln

Xét hàm số f x( )n x x nln  ln  ln 2 với x[2; -1]n '( ) ln '( ) ln

n n

f x n f x x

x n

      

2

2

ln

n

n

e n n

n     Xét hàm số g x( )exx2 g x'( )ex 2xg x"( )ex 0

7

'( ) '(7) 14 ( ) (7) 49

g x g e g x g e

         

(10)

* f(2) 0  2n1n2 ta dễ dàng cm quy nạp đạo hàm

*

1

( 1) ( 1)n n 2(1 ) t

f n n n t t

t

         

(*) t=n-1 Ta có

1

(1 )t e 2(1 )t t

t t

       

(*) Vậy ta có đpcm

Bài 7: Cho 0a b c  .CMR:

2

2 2 ( )

3

( )

a b c c a

b c c a a b a c a

   

   

Giải:Đặt

b

a  c

x

a  ĐK : 1  x Khi bđt cần cm trở thành

2

2

2 2 ( 1)

1 (2 )

1 1

x x x x x x

x x

x x x x

                        

Xét hàm số

2 ( 1)

( ) (2 )

1

x x x

f x x x

x

 

 

     

  với 1  x

Ta có: 2

2(2 1) 2x+1

'( ) 2 ( 1)[ ]

1 ( ) +1 ( )

x f x x

x x                

   1  x

Như hàm f(x) đồng biến

2

( ) ( ) 3

f x f   

    

Nhưng

3

2 2

1 1

'( ) 3

f      

  

         

( ) ( ) (1) f x ff

    đpcm

Bài 8: cho a,b,c>0 Cmr:

3

a b c

a b b c c a     

Giải: Đặt , ,

b c a

x y z xyz

a b c

    

và bđt cho

1 1

1 x y z

   

  

Giả sử z 1 xy1 nên ta có:

1 2

1 1

z xyxyz

   

2

1 1 2

( )

1 1 1 1

z t

f t

x y z z z t t

       

       với tz1

Ta có: 2 2

2 2(1 )

'( ) ( ) (1)

2

(1 ) (1 ) (1 )

t t

f t f t f t

t t t

         

   đpcm

Nhận xét:Từ toán ta dễ dàng giải toán sau: Cho a,b,c>0 Cmr:

3 3

( ) ( ) ( )

8

a b c

a b  b c  c a  (chọn đội tuyển thi IMO 2005)

Bài tập áp dụng: 1

          

(11)

2. Cho x y R,  và 2x y 2.Tìm gtnn Px2(y 3)2  x2(y1)2

(HSG QG Bảng B năm 1998)

Ngày đăng: 27/05/2021, 21:26

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w