ác suất là một nhánh của toán học liên quan đến các mô tả bằng số về khả năng xảy ra một sự kiện, hoặc khả năng một mệnh đề là đúng. Xác suất của một sự kiện là một số trong khoảng từ 0 đến 1, trong đó, nói một cách đại khái, 0 biểu thị sự bất khả thi của sự kiện và 1 biểu thị sự chắc chắn. note 1 12 Xác suất của sự kiện càng cao thì khả năng xảy ra sự kiện càng cao. Một ví dụ đơn giản là tung đồng xu công bằng (không thiên vị). Vì đồng xu là công bằng, nên cả hai kết quả (sấp và ngửa) đều có thể xảy ra như nhau; xác suất của sấp bằng xác suất của ngửa; và vì không có kết quả nào khác có thể xảy ra, xác suất xảy ra sấp hoặc ngửa là 12 (cũng có thể được viết là 0,5 hoặc 50%).
Chương 1: Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất Lê Xuân Lý (1) Viện Toán ứng dụng Tin học, ĐHBK Hà Nội Hà Nội, tháng năm 2017 (1) Email: lexuanly@gmail.com Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Nội dung Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc nhân Giải tích kết hợp Sự kiện phép toán Phép thử kiện Quan hệ phép toán kiện Các định nghĩa xác suất Xác suất kiện Định nghĩa xác suất theo cổ điển Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa xác suất theo tần suất (theo thống kê) Một số cơng thức tính xác suất Cơng thức cộng xác suất Xác suất có điều kiện Công thức nhân xác suất Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Cơng thức xác suất đầy đủ Cơng thức Bayes Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ Có loại phương tiện để sinh viên học: phương tiện cá nhân phương tiện công cộng Phương tiện cá nhận: xe đạp, xe máy, xe hơi, Phương tiện cơng cộng: bus, taxi, xe ơm, xích lơ, Có cách sinh viên học? (sv chọn loại trên, không bồ chở) Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ Có loại phương tiện để sinh viên học: phương tiện cá nhân phương tiện công cộng Phương tiện cá nhận: xe đạp, xe máy, xe hơi, Phương tiện công cộng: bus, taxi, xe ơm, xích lơ, Có cách sinh viên học? (sv chọn loại trên, khơng bồ chở) Có cách phương tiện cá nhân cách phương tiện cơng cộng Có + = cách Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ Có loại lựa chọn mua bàn ăn: bàn gỗ, bàn sắt bàn inox Bàn gỗ: có kiểu, Bàn sắt có kiểu, Bàn inox có kiểu, Có cách mua bàn ăn Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ Có loại lựa chọn mua bàn ăn: bàn gỗ, bàn sắt bàn inox Bàn gỗ: có kiểu, Bàn sắt có kiểu, Bàn inox có kiểu, Có cách mua bàn ăn Có + + = 13 cách Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Chú ý 1.1 Một công việc chia làm k trường hợp: trường hợp thứ có n1 cách giải quyết, trường hợp thứ có n2 cách giải quyết, trường hợp thứ k có nk cách giải Khi có n1 + n2 + + nk cách giải công việc Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Quy tắc nhân Ví dụ Để bay từ Hà Nội tới London phải qua trạm dừng chân Hong Kong Có hãng hàng không phục vụ bay từ Hà Nội tới Hong Kong (Vietnam airline, Pacific Airline) có hãng hàng không phục vụ bay từ Hong Kong tới London (Air Hong Kong Limited, Cathay Pacific Airways, CR Airways, Hong Kong Airlines) Hỏi có cách bay từ Hà Nội đến London qua trạm dừng chân Hong Kong? Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Quy tắc nhân Ví dụ Để bay từ Hà Nội tới London phải qua trạm dừng chân Hong Kong Có hãng hàng khơng phục vụ bay từ Hà Nội tới Hong Kong (Vietnam airline, Pacific Airline) có hãng hàng khơng phục vụ bay từ Hong Kong tới London (Air Hong Kong Limited, Cathay Pacific Airways, CR Airways, Hong Kong Airlines) Hỏi có cách bay từ Hà Nội đến London qua trạm dừng chân Hong Kong? Để theo cách ta chia làm bước thực hiện: Bước 1: HN ⇒ HK: có cách chọn, Bước 2: HK ⇒ LĐ: có cách chọn, Số cách là: 2.4 = Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Quy tắc nhân Ví dụ Một người có áo,4 quần đơi giày Hỏi người có cách mặc đồ (gồm áo, quần đôi giày) Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Một số cơng thức tính xác suất Cơng thức Bernoulli Cơng thức Bernoulli Giải Phép thử tiến hành thí nghiệm A kiện thí nghiệm thành cơng Ta có p = P (A) = 0.4; q = − p = 0.6; n = Xác suất cần tính: p9 (6) = C96 p6 q = C96 (0.4)6 (0.6)3 = 0.0743 Gọi B kiện “có thí nghiệm thành cơng” Ta có B: “khơng có thí nghiệm thành cơng” Khi P (B) = − P B = − (0.6)9 = 0.9899 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 63 / 74 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Nội dung Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc nhân Giải tích kết hợp Sự kiện phép toán Phép thử kiện Quan hệ phép toán kiện Các định nghĩa xác suất Xác suất kiện Định nghĩa xác suất theo cổ điển Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa xác suất theo tần suất (theo thống kê) Một số cơng thức tính xác suất Cơng thức cộng xác suất Xác suất có điều kiện Cơng thức nhân xác suất Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ cơng thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Cơng thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 64 / 74 Công thức xác suất đầy đủ cơng thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Mục tiêu: Tính xác suất xảy kết H sau cơng đoạn Khó khăn: Kết cơng đoạn phụ thuộc vào kết công đoạn Các kết công đoạn chia làm n tập Ai , tập gồm số kết có ảnh hưởng giống đến khả xảy H Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 65 / 74 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Khái niệm nhóm đầy đủ Định nghĩa 5.1 Nhóm kiện A1 , A2 , , An (n ≥ 2) phép thử gọi nhóm đầy đủ thỏa mãn điều kiện: Ai Aj = ∅ ∀i = j; A1 + A2 + · · · An = Ω Tính chất: P (A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) = Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 66 / 74 Công thức xác suất đầy đủ cơng thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Khái niệm nhóm đầy đủ Định nghĩa 5.1 Nhóm kiện A1 , A2 , , An (n ≥ 2) phép thử gọi nhóm đầy đủ thỏa mãn điều kiện: Ai Aj = ∅ ∀i = j; A1 + A2 + · · · An = Ω Tính chất: P (A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) = Chú ý 5.1 Đối với kiện A ta có nhóm đầy đủ A, A Đối với kiện A B,một nhóm đầy đủ: AB, AB, AB, A.B Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 66 / 74 Công thức xác suất đầy đủ cơng thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Khái niệm nhóm đầy đủ Ví dụ 34 Xét phép thử gieo xúc xắc lần Gọi Ai : “Gieo mặt i chấm” với i = 1, 2, , Ta có nhóm đầy đủ A1 , A2 , , A6 Gọi A: “Gieo mặt chẵn” B: “Gieo mặt chấm chấm” C: “Gieo mặt chấm” Khi A, B, C nhóm đầy đủ Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 67 / 74 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Giả sử A1 , A2 , , An nhóm đầy đủ kiện Xét kiện H cho H xảy kiện A1 , A2 , , An xảy Nói cách khác H xảy kiện Ai xảy Khi ta có cơng thức xác suất đầy đủ n P (H) = (5.9) P (Ai ) P (H|Ai ) i=1 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 68 / 74 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Ví dụ 35 Xét lơ sản phẩm có số lượng lớn số sản phẩm phân xưởng I sản xuất chiếm 20%, phân xưởng II sản xuất chiếm 30%, phân xưởng III sản xuất chiếm 50% Xác suất phế phẩm phân xưởng I 0.001; phân xưởng II 0.005; phân xưởng III 0.006 Lấy ngẫu nhiên sản phẩm lô hàng Tìm xác suất để sản phẩm phế phẩm Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 69 / 74 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Giải Gọi H: “Sản phẩm lấy phế phẩm”; Ai : “Sản phẩm phân xưởng i sản xuất” i = 1, 2, Ta có {A1 , A2 , A3 } nhóm đầy đủ P (A1 ) = 0.2; P (A2 ) = 0.3; P (A3 ) = 0.5 P (H|A1 ) = 0.001; P (H|A2 ) = 0.005; P (H|A3 ) = 0.006 Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ ta có P (H) = P (A1 ) P (H|A1 ) + P (A2 ) P (H|A2 ) + P (A3 ) P (H|A3 ) = 0.2 × 0.001 + 0.3 × 0.005 + 0.5 × 0.006 = 0.0047 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 70 / 74 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Cơng thức xác suất đầy đủ Ví dụ 36 Có hai chuồng thỏ Chuồng thỏ thứ có thỏ trắng thỏ nâu Chuồng thỏ thứ hai có thỏ trắng thỏ nâu Bắt ngẫu nhiên thỏ từ chuồng thứ bỏ vào chuồng thứ hai sau bắt ngẫu nhiên thỏ từ chuồng thứ hai Tính xác suất bắt thỏ nâu từ chuồng thứ hai Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 71 / 74 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Cơng thức xác suất đầy đủ Ví dụ 36 Có hai chuồng thỏ Chuồng thỏ thứ có thỏ trắng thỏ nâu Chuồng thỏ thứ hai có thỏ trắng thỏ nâu Bắt ngẫu nhiên thỏ từ chuồng thứ bỏ vào chuồng thứ hai sau bắt ngẫu nhiên thỏ từ chuồng thứ hai Tính xác suất bắt thỏ nâu từ chuồng thứ hai Giải Gọi Ai : “Trong thỏ bắt từ chuồng có i thỏ nâu” , i = 0, 1, Ta có A0 , A1 , A2 lập thành nhóm đầy đủ Gọi H: “Bắt thỏ nâu từ chuồng hai” Ta có C1C1 C2 C32 = ; P (A1 ) = 3 = ; P (A2 ) = 32 = C6 C6 C6 5 P (H|A0 ) = = ; P (H|A1 ) = ; P (H|A2 ) = = 12 12 12 P (A0 ) = Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: P (H) = Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) i=0 1 1 + + = 5 12 12 Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 P (Ai ) P (H|Ai ) = 71 / 74 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức Bayes Công thức Bayes Trong công thức xác suất đầy đủ, H kiện kết quả, kiện Ai i = 1, n kiện nguyên nhân Nếu biết nguyên nhân xảy ta xác định xác suất xảy H Bây ngược lại, người ta biết kết xảy H, muốn tính xác suất để nguyên nhân thứ i xảy bao nhiêu, tức tính P (Ai |H) P (Ai ) gọi xác suất tiên nghiệm, P (Ai |H) gọi xác suất hậu nghiệm Ta có cơng thức Bayes: P (Ai |H) = Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) P (Ai )P (H|Ai ) , i = 1, 2, , n P (Aj ).P (H|Aj ) n j=1 Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 (5.10) 72 / 74 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức Bayes Công thức Bayes Chứng minh Theo công thức xác suất có điều kiện ta có: P (Ai |H) = P (Ai H) P (Ai ).P (H|Ai ) = P (H) P (H) n Mặt khác theo công thức xác suất đầy đủ: P (H) = P (Aj ).P (H|Aj ) Thay vào công j=1 thức ta có đpcm Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 73 / 74 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức Bayes Cơng thức Bayes Ví dụ 37 Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỷ lệ bóng đèn tốt 90% Trước xuất thị trường, bóng đèn qua kiểm tra chất lượng Vì kiểm tra khơng tuyệt đối hồn tồn nên bóng đèn tốt có xác suất 0.9 cơng nhận tốt, cịn bóng đèn hỏng có xác suất 0.95 bị loại bỏ Tính tỷ lệ bóng qua kiểm tra chất lượng Tính tỷ lệ bóng hỏng qua kiểm tra chất lượng Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 74 / 74 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức Bayes Công thức Bayes Ví dụ 37 Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỷ lệ bóng đèn tốt 90% Trước xuất thị trường, bóng đèn qua kiểm tra chất lượng Vì kiểm tra khơng tuyệt đối hồn tồn nên bóng đèn tốt có xác suất 0.9 cơng nhận tốt, cịn bóng đèn hỏng có xác suất 0.95 bị loại bỏ Tính tỷ lệ bóng qua kiểm tra chất lượng Tính tỷ lệ bóng hỏng qua kiểm tra chất lượng Giải Gọi A: “Bóng đèn thuộc loại tốt”; B: “Bóng đèn thuộc loại hỏng” Ta có A, B nhóm đầy đủ P (A) = 0.9; P (B) = 0.1 Gọi H: "Bóng qua kiểm tra chất lượng", ta có P (H|A) = 0.9; P (H|B) = 0.05 Theo công thức xác suất đầy đủ ta có P (H) = P (A).P (H|A) + P (B).P (H|B) = 0.9 × 0.9 + 0.1 × 0.05 = 0.815 Ta có P (B|H) = Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) P (B).P (H|B) 0.1 × 0.05 = = 0.0061 P (H) 0.815 Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 74 / 74 ... định nghĩa xác suất Xác suất kiện Định nghĩa xác suất theo cổ điển Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa xác suất theo tần suất (theo thống kê) Một số cơng thức tính xác suất Cơng... định nghĩa xác suất Xác suất kiện Định nghĩa xác suất theo cổ điển Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa xác suất theo tần suất (theo thống kê) Một số công thức tính xác suất Cơng... suất Cơng thức cộng xác suất Xác suất có điều kiện Cơng thức nhân xác suất Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ cơng thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Công thức