bài giảng môn xác suất thống kê 2016

Đồn Vương Ngun Bài giảng XSTK Đại học BÀI GIẢNG XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ĐẠI HỌC (Số đvhp: – số tiết: 30) Biên soạn: Đồn Vương Ngun PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương Xác suất Biến cố Chương Biến ngẫu nhiên Chương Phân phối Xác suất thơng dụng – Vector ngẫu nhiên rời rạc Chương Định lý giới hạn Xác suất PHẦN II LÝ THUYẾT THỐNG KÊ (Statistical theory) Chương Mẫu thống kê Ước lượng tham số Chương Kiểm định Giả thuyết Thống kê Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Thống kê Đinh Ngọc Thanh – Giáo trình Xác suất Thống kê – ĐH Tơn Đức Thắng Tp.HCM Đặng Hùng Thắng – Bài tập Xác suất; Thống kê – NXB Giáo dục Lê Sĩ Đồng – Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Giáo dục Đào Hữu Hồ – Xác suất Thống kê – NXB Khoa học & Kỹ thuật Đậu Thế Cấp – Xác suất Thống kê – Lý thuyết tập – NXB Giáo dục Phạm Xn Kiều – Giáo trình Xác suất Thống kê – NXB Giáo dục Nguyễn Cao Văn – Giáo trình Lý thuyết Xác suất & Thống kê – NXB Ktế Quốc dân Nguyễn Đức Phương – Xác suất & Thống kê – Lưu hành nội 10 F.M.Dekking – A modern introduction to Probability and Statistics – Springer Publication (2005) …………………………………………………………………… LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Biến cố ngẫu nhiên Bài Xác suất biến cố Bài Cơng thức tính xác suất Bài BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.1 Hiện tượng ngẫu nhiên Người ta chia tượng xảy đời sống hàng thành hai loại: tất nhiên ngẫu nhiên • Những tượng mà thực điều kiện cho kết gọi tượng tất nhiên Chẳng hạn, đun nước điều kiện bình thường đến 1000C nước bốc hơi; người nhảy khỏi máy bay bay người rơi xuống tất nhiên • Những tượng mà cho dù thực điều kiện cho kết khác gọi tượng ngẫu nhiên Chẳng hạn, gieo hạt lúa điều kiện bình thường Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-1014 Đồn Vương Ngun Bài giảng XSTK Đại học hạt lúa nảy mầm khơng nảy mầm Hiện tượng ngẫu nhiên đối tượng khảo sát lý thuyết xác suất 1.2 Phép thử biến cố • Để quan sát tượng ngẫu nhiên, người ta cho tượng xuất nhiều lần Việc thực quan sát tượng ngẫu nhiên đó, để xem tượng có xảy hay khơng gọi phép thử (test) • Khi thực phép thử, ta khơng thể dự đốn kết xảy Tuy nhiên, ta liệt kê tất kết xảy Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi khơng gian mẫu phép thử đó, ký hiệu Ω Mỗi phần tử ω ∈ Ω gọi biến cố sơ cấp Mỗi tập A ⊂ Ω gọi biến cố VD Xét sinh viên thi hết mơn XSTK, hành động sinh viên phép thử • Tập hợp tất điểm số: Ω = {0; 0, 5; 1; 1, 5; ; 9, 5; 10} mà sinh viên đạt khơng gian mẫu • Các biến cố sơ cấp phần tử: ω1 = ∈ Ω , ω2 = 0, ∈ Ω ,…, ω21 = 10 ∈ Ω • Các biến cố tập Ω : A = {4; 4, 5; ; 10} , B = {0; 0, 5; ; 3, 5} ,… • Các biến cố A , B phát biểu lại là: A : “sinh viên thi đạt mơn XSTK”; B : “sinh viên thi hỏng mơn XSTK” • Trong phép thử, biến cố mà chắn xảy gọi biến cố chắn, ký hiệu Ω Biến cố khơng thể xảy gọi biến cố rỗng, ký hiệu ∅ VD Từ nhóm có nam nữ, ta chọn ngẫu nhiên người • Biến cố “chọn nam” chắn • Biến cố “chọn người nữ” rỗng 1.3 Quan hệ biến cố 1.3.1 Quan hệ tương đương Trong phép thử • Biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy B xảy ra, ký hiệu A⊂B • Hai biến cố A B gọi tương đương với A ⊂ B B ⊂ A , ký hiệu A=B VD Cho trước hộp hộp có q Ơng X mở hộp Gọi Ai : “hộp mở lần thứ i có q” ( i = 1, 2, ); B : “Ơng X mở hộp có q”; C : “Ơng X mở hộp có q”; D : “Ơng X mở hộp có q” Khi đó, ta có: Ai ⊂ B , B ⊄ C , C ⊂ B B = D Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-1014 Đồn Vương Ngun Bài giảng XSTK Đại học 1.3.2 Tổng tích hai biến cố • Tổng hai biến cố A B biến cố, biến cố xảy A xảy hay B xảy phép thử (ít hai biến cố xảy ra), ký hiệu A ∪ B hay A + B • Tích hai biến cố A B biến cố, biến cố xảy A B xảy phép thử, ký hiệu A ∩ B hay AB VD Một người thợ săn bắn viên đạn vào thú thú chết bị trúng viên đạn Gọi Ai : “viên đạn thứ i trúng thú” ( i = 1, 2); A : “con thú bị trúng đạn”; B : “con thú bị chết” Khi đó, ta có: A = A1 ∪ A2 B = A1 ∩ A2 VD Xét phép thử gieo hai hạt lúa Gọi N i : “hạt lúa thứ i nảy mầm”; K i : “hạt lúa thứ i khơng nảy mầm” ( i = 1, 2); A : “có hạt lúa nảy mầm” Khi đó, khơng gian mẫu phép thử Ω = {K 1K ; N 1K ; K1N ; N 1N } Các biến cố tích sau biến cố sơ cấp: ω1 = K 1K , ω2 = N 1K , ω3 = K 1N , ω4 = N 1N Biến cố A khơng phải sơ cấp A = N 1K ∪ K1N 1.3.3 Biến cố đối lập Trong phép thử, biến cố A gọi biến cố đối lập (hay biến cố bù) biến cố A A xảy A khơng xảy ngược lại, A khơng xảy A xảy Vậy ta có A = Ω\A VD Từ lơ hàng chứa 12 phẩm phế phẩm, người ta chọn ngẫu nhiên 15 sản phẩm Gọi Ai : “chọn i phẩm”, i = 9;10;11;12 Khơng gian mẫu Ω = A9 ∪ A10 ∪ A11 ∪ A12 Biến cố đối lập A10 A10 = Ω \ A10 = A9 ∪ A11 ∪ A12 1.4 Hệ đầy đủ biến cố 1.4.1 Hai biến cố xung khắc Hai biến cố A B gọi xung khắc với phép thử A B khơng xảy VD Hai sinh viên A B thi mơn XSTK Gọi A : “sinh viên A thi đỗ”; B : “chỉ có sinh viên B thi đỗ”; C : “chỉ có sinh viên thi đỗ” Khi đó, A B xung khắc; B C khơng xung khắc Chú ý A B xung khắc khơng đối lập Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-1014 Đồn Vương Ngun Bài giảng XSTK Đại học 1.4.2 Hệ đầy đủ biến cố Trong phép thử, họ gồm n biến cố {Ai } , i = 1, n gọi hệ đầy đủ có biến cố Ai , i0 ∈ {1; 2; ; n } họ xảy Nghĩa là: 1) Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i ≠ j ; 2) A1 ∪ A2 ∪ ∪ An = Ω VD Trộn lẫn bao lúa vào bốc hạt Gọi Ai : “hạt lúa bốc bao thứ i ”, i = 1, Khi đó, hệ {A1; A2 ; A3 ; A4 } đầy đủ Chú ý Trong phép thử, hệ {A; A} đầy đủ với biến cố A tùy ý BÀI XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.1 Khái niệm xác suất Quan sát biến cố phép thử, khơng thể khẳng định biến cố có xảy hay khơng người ta đốn khả xảy biến cố hay nhiều Khả xảy khách quan biến cố gọi xác suất (probability) biến cố Xác suất biến cố A , ký hiệu P (A) , định nghĩa nhiều dạng sau: dạng cổ điển; dạng thống kê; dạng tiên đề Kolmogorov; dạng hình học 2.2 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển Xét phép thử với khơng gian mẫu Ω = {ω1; ; ωn } biến cố A ⊂ Ω có k phần tử Nếu n biến cố sơ cấp có khả xảy (đồng khả năng) xác suất biến cố A định nghĩa P (A) = Số trường hợp A xảy k = Số trường hợp xảy n VD Một cơng ty cần tuyển nhân viên Có người nữ người nam nộp đơn ngẫu nhiên (khả trúng tuyển nhau) Tính xác suất để: 1) hai người trúng tuyển nữ; 2) có người nữ trúng tuyển Giải Gọi A : “cả hai người trúng tuyển nữ”; B : “có người nữ trúng tuyển” ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-1014 Đồn Vương Ngun Bài giảng XSTK Đại học VD Từ hộp chứa 86 sản phẩm tốt 14 phế phẩm người ta chọn ngẫu nhiên 25 sản phẩm Tính xác suất chọn được: 1) 25 sản phẩm tốt; 2) 20 sản phẩm tốt Giải Gọi A : “chọn 25 sản phẩm tốt”, B : “chọn 20 sản phẩm tốt” ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… VD Trong vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim 9%; mắc bệnh huyết áp 12%; mắc bệnh tim huyết áp 7% Chọn ngẫu nhiên người vùng Tính xác suất để người khơng mắc bệnh tim khơng mắc bệnh huyết áp? Giải Gọi A : “người chọn khơng mắc hai bệnh trên” ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… 2.3 Định nghĩa xác suất dạng thống kê Nếu thực phép thử n lần (đủ lớn), ta thấy có k lần biến cố A xuất xác suất biến cố A theo nghĩa thống kê k P (A) ≈ n VD • Pearson gieo đồng tiền cân đối, đồng chất 12.000 lần thấy có 6.019 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5016); gieo 24.000 lần thấy có 12.012 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5005) • Laplace nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái London, Petecbua Berlin 10 năm đưa tần suất sinh bé gái 21/43 • Cramer nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái Thụy Điển năm 1935 kết có 42.591 bé gái sinh tổng số 88.273 trẻ sơ sinh, tần suất 0,4825 2.4 Định nghĩa xác suất dạng hình học (tham khảo) Cho miền Ω Gọi độ đo Ω độ dài, diện tích, thể tích (ứng với Ω đường cong, miền phẳng, khối) Xét điểm M rơi ngẫu nhiên vào miền Ω Gọi A : “điểm M rơi vào miền S ⊂ Ω ”, ta có: độ đo S P (A) = độ đo Ω VD Tìm xác suất điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp tam giác có cạnh cm Giải Gọi A : “điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp” Diện tích tam giác: dt (Ω) = Bán kính hình tròn: r = 22 = cm 3 = cm 3   π π  ⇒ dt(S ) = π   = ⇒ P (A) = = 0, 6046   3 Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-1014 Đồn Vương Ngun Bài giảng XSTK Đại học VD Hai người bạn hẹn gặp địa điểm xác định khoảng từ 7h đến 8h Mỗi người đến (và chắn đến) điểm hẹn cách độc lập, khơng gặp người đợi 30 phút đến khơng đợi Tìm xác suất để hai người gặp Giải Chọn mốc thời gian 7h Gọi x , y (giờ) thời gian tương ứng người đến điểm hẹn, ta có: ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ Suy Ω hình vng có cạnh đơn vị Từ điều kiện, ta có: x − y ≤ 0, x − y − 0, ≤ x − y ≤ 0, ⇔  ⇔  x − y ≥ −0, x − y + 0, ≥   Suy ra, miền gặp gặp hai người S : {0 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 1, x − y − 0, ≤ 0, x − y + 0, ≥ 0} Vậy p = dt(S ) = = 75% dt(Ω) 2.5 Tính chất xác suất 1) ≤ P (A) ≤ , biến cố A ; 3) P (Ω) = ; 2) P (∅) = ; 4) Nếu A ⊂ B P (A) ≤ P (B ) BÀI CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1 Cơng thức cộng xác suất Xét phép thử, ta có cơng thức cộng xác suất sau • Nếu A B hai biến cố tùy ý P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ) • Nếu A B hai biến cố xung khắc P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) • Nếu họ {Ai } (i = 1, , n ) xung khắc đơi P (A1 ∪ A2 ∪ ∪ An ) =P (A1 )+P (A2 )+ +P (An ) VD Một nhóm có 30 nhà đầu tư loại, có 13 nhà đầu tư vàng, 17 nhà đầu tư chứng khốn 10 nhà đầu tư vàng lẫn chứng khốn Một đối tác gặp ngẫu nhiên nhà đầu tư nhóm Tìm xác suất để người gặp nhà đầu tư vàng hay chứng khốn? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… Đặc biệt P (A) = − P (A); P (A) = P (A.B ) + P (A.B ) Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-1014 Đồn Vương Ngun Bài giảng XSTK Đại học VD Một hộp phấn có 10 viên có viên màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên phấn Tính xác suất để lấy viên phấn màu đỏ ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… 3.2 Xác suất có điều kiện Xét phép thử: có người A , B C thi tuyển vào cơng ty Gọi A : “ A thi đỗ”; B : “ B thi đỗ”; C : “C thi đỗ”; H : “có người thi đỗ” Khi đó, khơng gian mẫu Ω {ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC } ; H = {ABC , ABC , ABC } ⇒ P (H ) = 8 Lúc này, biến cố “2 người thi đỗ có A ” AH = {ABC , ABC } P (AH ) = Bây giờ, ta xét phép thử là: A , B , C thi tuyển vào cơng ty biết thêm thơng tin có người thi đỗ Khơng gian mẫu trở thành H A trở thành AH P (AH ) Gọi A H : “ A thi đỗ biết có người thi đỗ” ta P A H = = P (H ) Ta có: A = {ABC , ABC , ABC , ABC } ⇒ P (A) = ( ) 3.2.1 Định nghĩa xác suất có điều kiện Trong phép thử, xét hai biến cố A B với P (B ) > Xác suất biến cố A sau biến cố B xảy gọi xác suất A với điều kiện B , ký hiệu cơng thức tính P (A ∩ B ) P AB = P (B ) ( ) VD Từ hộp chứa bi đỏ bi xanh người ta bốc ngẫu nhiên bi Gọi A : “bốc bi đỏ”; B : “bốc bi xanh” Hãy tính P (A | B ), P (B | A) ? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Nhận xét Khi tính P (A | B ) với điều kiện B xảy ra, nghĩa ta hạn chế khơng gian mẫu Ω xuống B hạn chế A xuống A ∩ B Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-1014 Đồn Vương Ngun Bài giảng XSTK Đại học Tính chất 1) ≤ P A B ≤ , ∀A ⊂ Ω ; ( ) ( ) ( ) 2) A ⊂ C P A B ≤ P C B ; ( ) ( ) 3) P A B = − P A B 3.2.2 Cơng thức nhân xác suất 3.2.2.1 Sự độc lập hai biến cố Trong phép thử, hai biến cố A B gọi độc lập B có xảy hay khơng khơng ảnh hưởng đến khả xảy A ngược lại Chú ý Nếu A B độc lập với cặp biến cố : A B , A B , A B độc lập với 3.2.2.2 Cơng thức nhân Trong phép thử, ta có: • Nếu A B hai biến cố độc lập P (A ∩ B ) = P (A)P (B ) • Nếu A B hai biến cố khơng độc lập (phụ thuộc) ( ) ( ) P (A ∩ B ) = P (B )P A B = P (A)P B A • Nếu n biến cố Ai (i = 1, , n ) phụ thuộc ( ) ( P (A1A2 An ) = P (A1 ) P A2 A1 P An A1 An −1 ) VD Một người có bóng đèn có bóng bị hỏng Người thử ngẫu nhiên bóng đèn (khơng hồn lại) chọn bóng tốt Tính xác suất để người thử đến lần thứ ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Một sinh viên học hệ niên chế thi lại lần lần thi thứ bị rớt (2 lần thi độc lập) Biết xác suất để sinh viên thi đỗ lần lần tương ứng 60%, 80% Tính xác suất sinh viên thi đỗ? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… VD Có hai người A B đặt lệnh (độc lập) để mua cổ phiếu cơng ty với xác suất mua tương ứng 0,8 0,7 Biết có người mua được, xác suất để người A mua cổ phiếu là: 19 12 40 10 ; B ; C ; D A 47 19 47 19 Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-1014 Đồn Vương Ngun Bài giảng XSTK Đại học ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… VD 7* Ơng A bắn viên đạn vào mục tiêu mục tiêu bị phá hủy bị trúng viên đạn Xác suất viên đạn thứ trúng mục tiêu 0,8 Nếu viên thứ trúng mục tiêu xác suất viên thứ hai trúng 0,7 Nếu viên thứ khơng trúng xác suất viên thứ hai trúng mục tiêu 0,3 Biết ơng A bắn trúng, tính xác suất để mục tiêu bị phá hủy ? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD 8* Trong dịp tết, ơng A đem bán mai lớn mai nhỏ Xác suất bán mai lớn 0,9 Nếu bán mai lớn xác suất bán mai nhỏ 0,7 Nếu mai lớn khơng bán xác suất bán mai nhỏ 0,2 Biết ơng A bán mai, xác suất để ơng A bán hai mai là: A 0,6342; B 0,6848; C 0,4796; D 0,8791 VD Hai người A B chơi trò chơi sau: Cả hai ln phiên lấy lần viên bi từ hộp đựng bi trắng bi đen (bi lấy khơng trả lại hộp) Người lấy bi trắng trước thắng Giả sử A lấy trước, tính xác suất A thắng ? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 3.2.3 Cơng thức xác suất đầy đủ Bayes 3.2.3.1 Cơng thức xác suất đầy đủ Xét họ n biến cố {Ai } ( i = 1, 2, , n ) đầy đủ B biến cố phép thử, ta có ( ) ( ) n ( P (B ) = P (A1 )P B A1 + + P (An )P B An = ∑ P (Ai )P B Ai i =1 ) Chứng minh P (B ) = P (B ∩ Ω) = P B ∩ (A1 ∪ A2 ∪ ∪ An ) = P (BA1 ∪ BA2 ∪ ∪ BAn )   = P (A1B ) + P (A2B ) + + P (An B ) = P (A1 )P B A1 + + P (An )P B An ■ ( Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page ) ( ) 01-09-1014 Đồn Vương Ngun Bài giảng XSTK Đại học VD 10 Một cửa hàng bán hai loại bóng đèn kích cỡ gồm: 70 bóng màu trắng với tỉ lệ bóng hỏng 1%, 30 bóng màu vàng với tỉ lệ hỏng 2% Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên bóng đèn từ cửa hàng Tính xác suất để người mua bóng đèn tốt ? Giải Gọi B : “khách chọn bóng đèn tốt”, A1 : “khách chọn bóng đèn màu trắng”, A2 : “khách chọn bóng đèn màu vàng” Suy hệ {A1, A2 } đầy đủ Ta có: P (B ) = P (A1 )P (B | A1 ) + P (A2 )P (B | A2 ) = 70 30 0, 99 + 0, 98 = 0, 987 70 + 30 70 + 30 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… VD 11 Chuồng thỏ I có thỏ trắng thỏ đen, chuồng II có thỏ trắng thỏ đen Quan sát thấy có thỏ chạy từ chuồng I sang chuồng II, sau có thỏ chạy từ chuồng II Tính xác suất để thỏ chạy từ chuồng II thỏ trắng ? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD 12* Có kho bia chất lượng chứa thùng giống (24 lon/thùng) gồm loại: loại I để lẫn thùng lon q hạn sử dụng loại II để lẫn thùng lon q hạn Biết số thùng bia loại I 1,5 lần số thùng bia loại II Chọn ngẫu nhiên thùng kho từ thùng lấy 10 lon Tính xác suất chọn phải lon bia q hạn sử dụng ? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… 3.2.3.2 Cơng thức Bayes Xét họ n biến cố {Ai } ( i = 1, 2, , n ) đầy đủ B biến cố phép thử Khi đó, xác suất để biến cố Ai xảy sau B xảy ( ) P Ai B = ( P (Ai )P B Ai ) P (B ) VD 13 Xét tiếp VD 10 Giả sử khách hàng chọn mua bóng đèn tốt Tính xác suất để người mua bóng đèn màu vàng ? Giải Đặt tên biến cố VD 10, ta có: ( ) P A2 B = ( P (A2 )P B A2 P (B ) ) = 0, 3.0, 98 = 14 0, 987 47 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 10 01-09-1014 Đồn Vương Ngun Bài giảng XSTK Đại học Trường hợp Cỡ mẫu nx , ny > 30 σx2 , σy2 chưa biết Ta thay σx2 , σy2 trường hợp sx2 , sy2 Trường hợp Cỡ mẫu nx , ny ≤ 30 , σx2 , σy2 biết X , Y có phân phối chuẩn Ta làm trường hợp Trường hợp Cỡ mẫu nx , ny ≤ 30 , σx2 , σy2 chưa biết X , Y có phân phối chuẩn • Tính phương sai chung hai mẫu s = x −y • Tính giá trị thống kê t = (nx − 1)sx2 + (ny − 1)sy2 n x + ny − 1 s + nx ny n +ny −2 tra bảng C • Từ α    → tαx/2 so sánh với t VD Người ta tiến hành bón hai loại phân X , Y cho cà chua Với 60 bón phân X thu trung bình 32,2 độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh 8,5 quả; 72 bón phân Y thu trung bình 28,4 độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh 9,3 Với mức ý nghĩa 5%, cho biết kết luận hai loại phân bón ? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Để so sánh mức lương trung bình nhân viên nữ X (USD/giờ) nam Y (USD/giờ) cơng ty đa quốc gia, người ta tiến hành khảo sát ngẫu nhiên 100 nữ 75 nam có kết quả: x = 7,23 , sx = 1, 64 y = 8, 06 , sy = 1, 85 Với mức ý nghĩa 3%, kiểm định giả thuyết H : “mức lương trung bình nữ nam cơng ty nhau” có giá trị thống kê kết luận là: A z = 4, 0957 ; mức lương TB nữ, nam nhau; B z = 4, 0957 ; mức lương TB nữ thấp nam; C z = 3, 0819 ; mức lương TB nữ, nam nhau; D z = 3, 0819 ; mức lương TB nữ thấp nam VD Tuổi thọ (năm) pin biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Một cơng ty sản xuất thử nghiệm 10 pin loại X 12 pin loại Y có kết quả: x = 4, , sx = 1,1 y = 4, , sy = 0, Với mức ý nghĩa 8%, ta kết luận tuổi thọ trung bình loại pin X cao loại pin Y khơng ? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 54 01-09-1014 Đồn Vương Ngun Bài giảng XSTK Đại học ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Tuổi thọ (tháng) thiết bị biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Người ta kiểm tra ngẫu nhiên tuổi thọ 15 thiết bị loại A , có kết quả: 114; 78; 96; 137; 78; 103; 126; 86; 99; 114; 72; 104; 73; 86; 117 Kiểm tra tuổi thọ 17 thiết bị loại B thấy có trung bình 84 tháng độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 19 tháng Kiểm định giả thuyết H : “tuổi thọ trung bình thiết bị loại A B với mức ý nghĩa 3%” có giá trị thống kê kết luận là: A t = 2,1616 ; tuổi thọ trung bình loại thiết bị nhau; B t = 2,1616 ; tuổi thọ trung bình loại thiết bị A lớn hơn; C t = 2, 4616 ; tuổi thọ trung bình loại thiết bị nhau; D t = 2, 4616 ; tuổi thọ trung bình loại thiết bị A lớn 3.2 So sánh hai tỉ lệ hai tổng thể Xét hai tổng thể X ,Y Giả sử ta cần so sánh hai tỉ lệ tương ứng px py tính chất A đó, ta đặt giả thuyết H : px = py Việc chấp nhận hay bác bỏ H ta làm kiểm định so sánh tỉ lệ với số • Từ mẫu ta tính fx = mx nx • Tính giá trị thống kê z = , fy = my ny p0 = fx − fy 1   p0q  +  ny   nx m x + my n x + ny , so sánh với z α/2 • Kết luận: Nếu z ≤ z α/2 ta chấp nhận H ⇒ px = py Nếu z > z α/2 fx < fy ta bác bỏ H ⇒ px < py Nếu z > z α/2 fx > fy ta bác bỏ H ⇒ px > py VD Từ hai tổng thể X Y người ta tiến hành kiểm tra mẫu có kích thước nx = 1000 , ny = 1200 tính chất A fx = 0, 27 fy = 0, Với mức ý nghĩa 9%, so sánh tỉ lệ px , py hai tổng thể ? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Kiểm tra 120 sản phẩm kho I thấy có phế phẩm; 200 sản phẩm kho II thấy có 24 phế phẩm Hỏi chất lượng hàng hai kho có khác khơng với: Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 55 01-09-1014 Đồn Vương Ngun Bài giảng XSTK Đại học 1) mức ý nghĩa 5%; 2) mức ý nghĩa 3% ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Một cơng ty điện tử nghiên cứu thị trường sở thích xem tivi cư dân thành phố Hỏi 400 người quận X có 270 người xem tivi ngày; 600 người quận Y có 450 người xem tivi ngày Kiểm định giả thuyết H : “tỉ lệ cư dân xem tivi ngày quận X Y nhau”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận là: A 0,96%; B 2,84%; C 4,06%; D 6,14% VD Trước bầu cử, người ta thăm dò 1000 cử tri thấy có 400 người nói bỏ phiếu cho ơng A Một tuần sau (vẫn chưa bầu cử), người ta tổ chức thăm dò khác thấy có 680 số 1500 cử tri hỏi bỏ phiếu cho ơng A Kiểm định giả thuyết H : “tỉ lệ cử tri ủng hộ ơng A hai lần nhau”, với mức ý nghĩa 5% có giá trị thống kê kết luận là: A t = 2, 6356 ; cử tri ngày ủng hộ ơng A ; B t = 2, 6356 ; cử tri ủng hộ ơng A khơng thay đổi; C t = 2,1349 ; cử tri ngày ủng hộ ơng A ; D t = 2,1349 ; cử tri ủng hộ ơng A khơng thay đổi 3.3 So sánh hai trung bình dạng vector (X, Y) (tham khảo) • Đặt d = Y − X giả thuyết H : µd = |d | n ( n số cặp có mẫu) sd • Tùy vào n phương sai, ta xét trường hợp giống so sánh trung bình với số • Tính giá trị thống kê t = VD Giả sử người ta dùng thuốc A cho 10 người Đo nhịp tim/phút trước sau dùng thuốc người, có bảng kết Người Trước: X Sau: Y d 70 76 77 75 -2 78 78 72 77 5 81 85 78 81 73 76 74 74 79 85 10 80 80 Với mức ý nghĩa 5%, thuốc A có làm thay đổi nhịp tim trước dùng so với sau dùng hay khơng ? Giải Đặt d = Y − X giả thuyết H : µd = Do n = 10 , phương sai chưa biết nên tốn TH4 Từ bảng số liệu, ta tính được: d = 2, ; sd = 2, 8382 C Mức ý nghĩa α = 0, 05 → t0,05 = 2, 262 Thống kê t = |d | 2, n = 10 = 2, 7855 sd 2, 8382 Vì t > t0,05 nên ta bác bỏ H Vậy thuốc A làm thay đổi nhịp tim Chú ý Sai số dùng máy tính bỏ túi khơng tránh khỏi Do đó, sinh viên nên chọn đáp án gần với kết làm trắc nghiệm Hết Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 56 01-09-1014 Đoàn Vương Nguyên Bài tập Trắc nghiệm Xác suất MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM XÁC SUẤT I XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Câu Có sinh viên A , B C thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); C : “sinh viên C thi đỗ” Biến cố AC là: A Sinh viên C thi đỗ; C Có sinh viên thi đỗ; B Chỉ có sinh viên C thi đỗ; D Sinh viên C thi khơng đỗ Câu Có sinh viên A , B C thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); A : “sinh viên A thi đỗ” Biến cố A2A là: A Sinh viên A thi hỏng; C Có sinh viên thi đỗ; B Chỉ có sinh viên A thi đỗ; D Chỉ có sinh viên A thi hỏng Câu Có sinh viên A , B C thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); B : “sinh viên B thi đỗ” Biến cố A1B là: A Sinh viên B thi hỏng; C Sinh viên A C thi đỗ; B Chỉ có sinh viên thi đỗ; D Chỉ có sinh viên A C thi đỗ Câu Có sinh viên A , B C thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); C : “sinh viên C thi đỗ” Biến cố A0C là: A Sinh viên C thi hỏng; C Có sinh viên thi đỗ; B Chỉ có sinh viênC thi hỏng; D Cả sinh viên thi hỏng Câu Có sinh viên A , B C thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); B : “sinh viên B thi đỗ” Biến cố A0B là: A Sinh viên B thi hỏng; C Sinh viên A C thi đỗ; B Có sinh viên thi đỗ; D Sinh viên A C thi đỗ Câu Có sinh viên A , B C thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); B : “sinh viên B thi đỗ” Hãy chọn đáp án ? A A0B ⊂ A1B ; B A1B ⊂ A2 ; C A0B = A1B ; D A3B ⊂ A3 Câu Có sinh viên A1 , A2 , A3 thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” ( i = 1, 2, ); H : “có sinh viên thi hỏng” Hãy chọn đáp án ? A A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; B A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; C A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; D A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 Trang 57 Đoàn Vương Nguyên Bài tập Trắc nghiệm Xác suất Câu Có sinh viên A1 , A2 , A3 thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” ( i = 1, 2, ); H : “2 sinh viên thi hỏng có A1 ” Hãy chọn đáp án ? B H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; A A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ⊂ H ; C H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; D H ⊂ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 Câu Có sinh viên A1 , A2 , A3 thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” ( i = 1, 2, ); H : “có sinh viên thi hỏng” Hãy chọn đáp án ? A P A1A2A3 H ≥ P A1A2 H ; B P A1A2 H = P A1A2A3 H ; ( ) ( ) C P (A A H ) ≥ P (A A A H ) ; 2 ( ) ( ) D A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 Câu 10 Có sinh viên A1 , A2 , A3 thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” ( i = 1, 2, ); H : “có sinh viên thi hỏng” Hãy chọn đáp án ? B A2A3 ⊂ H ; C A1A2A3 ⊂ H ; D A1A2A3 = H A A1 = H ; Câu 11 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu Xác suất chọn màu đỏ, vàng xanh là: A 0,2857 ; B 0,1793 ; C 0,1097 ; D 0, 0973 Câu 12 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu Xác suất chọn màu xanh là: A 0,2894 ; B 0, 4762 ; C 0, 0952 ; D 0, 0476 Câu 13 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu thấy có màu xanh Xác suất chọn màu đỏ là: A 40% ; B 50% ; C 60% ; D 80% Câu 14 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu thấy có màu xanh Xác suất chọn màu đỏ là: A 40% ; B 70% ; C 26% ; D 28% Câu 15 Một cầu thủ ném bóng vào rỗ cách độc lập với xác suất vào rỗ tương ứng 0,7; 0,8; 0,9 Biết có bóng vào rỗ Xác suất để bóng thứ vào rỗ là: A 0, 5437 ; B 0, 5473 ; C 0, 4753 ; D 0, 4573 Câu 16 Một cầu thủ ném bóng vào rỗ cách độc lập với xác suất vào rỗ tương ứng 0,7; 0,8; 0,9 Biết bóng thứ vào rỗ Xác suất để có bóng vào rỗ là: A 20% ; B 24% ; C 26% ; D 28% Câu 17 Một xạ thủ bắn viên đạn vào thú thú chết bị trúng viên đạn Xác suất viên đạn thứ trúng thú 0,8 Nếu viên thứ trúng thú xác suất trúng viên thứ hai 0,7 trượt xác suất trúng viên thứ hai 0,1 Biết thú sống Xác suất để viên thứ hai trúng thú là: B 0, 0741 ; C 0, 0455 ; D 0, 0271 A 0, 0714 ; Trang 58 Đoàn Vương Nguyên Bài tập Trắc nghiệm Xác suất Câu 18 Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng 1%, 2%, 3% Xác suất để chọn ngẫu nhiên bịnh nhân bị bịnh Mũi phải mổ từ trung tâm là: A 0, 008 ; B 0, 021 ; C 0, 312 ; D 0, 381 Câu 19 Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng 1%, 2%, 3% Xác suất để chọn ngẫu nhiên bịnh nhân phải mổ từ trung tâm là: B 0, 021 ; C 0, 312 ; D 0, 381 A 0, 008 ; Câu 20 Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng 1%, 2%, 3% Chọn ngẫu nhiên bịnh nhân từ trung tâm người bị mổ Xác suất để người chọn bị bịnh Mũi là: A 0, 008 ; B 0, 021 ; C 0, 312 ; D 0, 381 II BIẾN NGẪU NHIÊN Câu Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X –1 0,10 0,45 0,05 0,25 0,15 P Giá trị P [(−1 < X ≤ 2) ∪ (X = 5)] là: A 0,9; B 0,8; C 0,7; D 0,6 Câu Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X P 0,15 0,25 0,40 0,20 Giá trị kỳ vọng X là: A 2,6; B 2,8; C 2,65; D 1,97 Câu Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X 0,15 0,25 0,40 0,20 P Giá trị phương sai X là: A 5,3; B 7,0225; C 7,95 ; D 0,9275 Câu Một kiện hàng có sản phẩm tốt phế phẩm Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng sản phẩm Gọi X số phế phẩm sản phẩm chọn Bảng phân phối xác suất X là: A) B) X X 1 P 15 P 15 3 15 15 C) D) 2 X X P P 15 15 15 Câu Cho BNN rời rạc X có hàm phân phối xác suất: 0 x ≤1  F (x ) = 0,19 < x ≤  < x 1  Bảng phân phối xác suất X là: Trang 59 Đoàn Vương Nguyên Bài tập Trắc nghiệm Xác suất B) A) 0 X P 0,19 0,81 X P C) 0,19 0,51 0,3 D) X P 0,29 0,71 X P 0,19 0,81 Câu Lơ hàng I có sản phẩm tốt phế phẩm, lơ hàng II có sản phẩm tốt phế phẩm Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng I sản phẩm bỏ vào lơ hàng II, sau từ lơ hàng II chọn ngẫu nhiên sản phẩm Gọi X số sản phẩm tốt chọn từ lơ hàng II Bảng phân phối xác suất X là: A) B) 2 X X 11 30 11 30 P 50 P 50 50 50 50 50 D) C) X X 11 30 30 11 P 50 P 50 50 50 50 50 Câu Kiện hàng I có sản phẩm tốt phế phẩm, kiện hàng II có sản phẩm tốt phế phẩm Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng I sản phẩm từ kiện hàng II sản phẩm Gọi X số phế phẩm chọn Hàm phân phối xác suất F (x ) = P (X < x ) X là: 0, 0, x