Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải phương trình chứa căn thức bậc hai trong chương trình đại số 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẨN HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Người thực hiện: Lê Hoài Nam Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Xuân Lập SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THỌ XN - NĂM 2021 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Toán học mơn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính logic đồng thời mơn tốn cịn cơng cụ hỗ trợ cho môn học khác Với phân môn số học môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả suy luận logic, phát triển tư sáng tạo cho học sinh Đặc biệt rèn luyện cho học sinh khá, giỏi nâng cao lực tư duy, tính độc lập, sáng tạo linh hoạt cách tìm lời giải tập học sinh Việc bồi dưỡng học sinh giỏi không đơn cung cấp cho em kiến thức thông qua việc làm tập làm nhiều tập khó mà giáo viên phải biết rèn luyện khả sáng tạo, phân môn số học phải biết rèn luyện lực tư phán đốn logic Vì thế, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy theo phương pháp dạy học (PPDH) giáo viên (GV) cần có đầu tư, làm việc suy nghĩ nhiều thực nghiêm túc Qua công tác giảng dạy trường tơi nhận thấy việc học tốn nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi tốn nói riêng, muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học tập giải tốn thân người thầy cần phải có nhiều phương pháp nhiều cách giải Trước tập cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời phải gợi ý cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Dạy toán dạy hoạt động toán cho học sinh, giải tập hình thức chủ yếu, dạy học giải tập có vị trí vơ quan trọng Trong số tốn đề cập chương trình Đại số bậc THCS, tơi nhận thấy tập "Giải phương trình" chiếm thời lượng lớn, xun suốt chương trình học Điều khẳng định vai trị vị trí phương trình đối tượng nghiên cứu trung tâm mơn Đại số Thực tế giảng dạy tập: "Giải phương trình" đặc biệt "phương trình chứa thức bậc hai" lớp năm học qua, nhận thấy rằng: 1, Học sinh lúng túng giải tốn chứa thức bậc hai, có em biết giải cách bình phương hai vế, cịn có em cảm thấy sợ gặp trường hợp khác không xác định hướng giải cho toán 2, Học sinh thường mắc phải sai lầm giải khơng tìm điều kiện xác định cho tốn, khơng kiểm tra giá trị tìm với điều kiện ban đầu, Với mong muốn giúp em có phương pháp giải dạng tập "Giải phương trình chứa thức bậc hai", khắc phục sai lầm thường gặp giải phương trình, tơi mạnh dạn chọn đề tài: "Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải phương trình chứa thức bậc hai chương trình đại số 9" 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Đề tài có tác dụng giúp cho học sinh học chuyên đề "giải phương trình chứa thức bậc hai" tốt hơn, tránh sai sót làm tập Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học mơn Tốn, giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo làm công cụ giải tập chun đề "giải phương trình vơ tỉ" sau - Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp giải phương trình chứa thức bậc hai - Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phương pháp để xác định xác hướng giải thành cơng tập "phương trình chứa thức bậc hai" chương trình Tốn THCS - Gây hứng thú cho học sinh làm tập SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải số tập hay khó phương trình chứa thức bậc hai, đặc biệt kỳ thi häc sinh giỏi, thi vào THPT 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Tập trung nghiên cứu việc "Hướng dẫn học sinh giải phương trình chứa thức bậc hai chương trình đại số 9" - Một số phương trình chứa bậc hai cách giải 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp điều tra - Phương pháp vấn đáp - Phương pháp suy luận - Phương pháp tìm tịi - Phương pháp đàm thoại - Phương pháp thống kê xử lí liệu: Sau điều tra, khảo sát thực tế học sinh làm tốn giải phương trình chứa thức bậc hai chưa áp dụng đề tài, từ so sánh với kết học sinh giải toán áp dụng đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận: Trong việc thực mục tiêu giáo dục nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi coi nhiệm vụ trọng tâm, địi hỏi q trình cơng phu gian khó Học sinh khá, giỏi khẳng định chất lượng mũi nhọn đơn vị giáo dục thước đo trí tuệ danh dự cho giáo dục Làm tốt nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên, nhà trường thực tốt nhiệm vụ bồi dưỡng nhân tài, tạo nguồn cho cấp học cao đóng góp cho đất nước hiền tài tương lai Khi giảng dạy môn Đại số lớp 9, gặp tốn phương trình chứa thức bậc hai có tập đơn giản khơng phải học sinh giải Thực tế cho thấy phương trình chứa thức bậc hai dạng tốn khó học sinh cấp THCS, kể học sinh giỏi gặp khó khăn mắc phải sai lầm giải dạng toán Điều mong muốn để học sinh không sợ, không mắc sai lầm giải phương trình chứa thức bậc hai "hóa giải" dạng tập này, giúp em có phương pháp giải chung hiệu Chính thế, tơi mạnh dạn đưa phương pháp giải phương trình chứa thức bậc hai cho học sinh với hy vọng em bớt khó khăn học dạng toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm "Giải phương trình chứa thức bậc hai" dạng khó, đa số em khơng làm khơng nghĩ cách giải Hơn em lại lười suy nghĩ nên gặp dạng tốn em lúng túng khơng xác định cách giải, giải thường mò mẫm dẫn đến thiếu điều kiện, biến đổi không tương đương, giải khơng chặt chẽ Chính phận học sinh khơng giải dạng tốn ngày nhiều Trước áp dụng đề tài, tiến hành khảo sát nhóm học sinh có học lực giỏi lớp 9A, năm học 2019 - 2020 Thời gian khảo sát: Tháng 11 năm năm 2019 Nội dung khảo sát: Yêu cầu học sinh giải tập sau: x +1 = x – Giải phương trình sau: a, b, x + x + = 3x + c, x2 - x − = d, x − − x + = x − Kết khảo sát học sinh có học lực khá, giỏi lớp 9A năm học 2019-2020: điểm - 10 điểm - điểm - điểm Số HS SL % SL % Sl % SL % 0% 11% 33% 56% Từ kết cho thấy phương trình chứa thức bậc hai dạng toán mà kể học sinh giỏi gặp khó khăn, mắc phải sai lầm giải, khơng tìm hướng để giải Làm để học sinh giải phương trình chứa bậc hai thành thạo, để em khơng cịn sợ khơng mắc sai lầm giải phương trình chứa thức bậc hai Từ mong muốn đó, tơi mạnh dạn đưa đề tài: "Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải phương trình chứa thức bậc hai chương trình đại số 9" với hy vọng giúp học sinh bớt khó khăn học dạng tốn 2.3 Các giải pháp biện pháp tổ chức thực * Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Để giải tốt vấn đề nêu trên, yêu cầu học sinh cần nắm vững kiến thức liên quan cần sử dụng để giải dạng tập + Khái niệm phương trình chứa thức bậc hai: Phương trình chứa thức bậc hai phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Ví dụ: − x = x – + Các bước giải phương trình chứa thức bậc hai: + Tìm điều kiện xác định + Biến đổi đưa phương trình dạng học + Giải phương trình vừa tìm + So sánh kết với tập xác định kết luận + Kiến thức đẳng thức, phép biến đổi bậc hai, số phương pháp giải phương trình, bất đẳng thức, + Các phương phương pháp giải phương trình chứa thức bậc hai thường gặp - Phương pháp nâng lên luỹ thừa - Phương pháp đưa phương trình dạng A2 +B2 = - Phương pháp đưa phương trình dạng A2 =B2 (tức A2-B2 =0) - Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối - Phương pháp đặt nhân tử chung - Phương pháp dùng biểu thức liên hợp - Phương pháp dùng bất đẳng thức * Áp dụng dạy số phương pháp giải phương trình chứa thức bậc hai cho học sinh giỏi lớp lưu ý số sai lầm HS thường mắc phải Phương pháp nâng lên luỹ thừa: Tôi nhận thấy vận dụng phương pháp rèn luyện để trở thành kỹ yếu tố cần thiết phải hình thành cho HS Phương pháp nâng lên luỹ tha cú th dng vo gii phơng trình cha thức bậc hai c¸c dạng sau: a Áp dng gii phơng trình dng: f ( x) = g ( x) (1) Cách giải - Tìm ĐKXĐ f ( x) ≥ - ĐK g ( x) ≥ bình phương hai vế phương trình (1) ta f ( x) = g ( x) (*) - Giải phương trình (*) chọn nghiệm thích hợp kết luận nghiệm phương trình (1) Ví dụ 1: Giải phương trình x + = x – (1) (Sách tập Toán 9) Học sinh giải sau: ĐKXĐ: x ≥ −1 Ta có x + = x – x + = ( x − 1) ⇔ x + = x − 2x + ⇔ x − x = ⇔ x( x − 3) = ⇔ x = x = ⇔ Vậy phương trình (1) có nghiệm x=0 x=3 Tơi yêu cầu học sinh: 1.Tìm lỗi sai lời giải (Học sinh khơng tìm được) Tơi tiếp tục u cầu: 2.Thay giá trị tìm ẩn vào phương trình Lúc học sinh phát lời giải tốn sai có giá trị x= không thỏa mãn Vậy nguyên nhân sai đâu ? Giá trị vế trái phương trình nào? (học sinh xác định không âm) Giá trị vế phải phương trình phải nào? (học sinh xác định không âm) Tôi khẳng định phải có điều kiện cho vế phải phương trình: x −1 ≥ ⇔ x ≥ Học sinh mắc sai lầm phương trình tr×nh đặt điều kiện cho biểu thức dấu bình phương vế, tơi lưu ý HS: "Trước bình phương vế phương trình phải đặt điều kiện để hai vế phương trình khơng âm" Tơi u cầu học sinh giải lại phương trình kết lời giải xác Nghiệm phương trình (1) x = (vì x = loại) Tiếp tục yêu cầu học sinh tự khẳng định việc nắm bắt việc giải ví dụ x − = x − (1) Ví dụ 2: Giải phương trình : - Điều kiện xác định : x ≥ (*) - Bình phương vế phương trình (1) ta : x − = ( x − 2) ⇔ x − = x − x + ⇔ x − x + = (2) Phơng trình (2) cú nghim l: x1 = 3; x = Kết hợp với điều kiện (*) phương trình ta có nghiệm phương trình x1 = 3; x = ®· cho : Phương trình (1) cịn giải theo cách khác không? (Học sinh băn khoăn) Hãy quan sát nhân tử chung có vế phương trình? Lúc học sinh nhận biết phương trình đưa phương trình tích Ta có : x − = x − ⇔ x − − ( x − 2) = ⇔ x − (1 − x − ) = GV khẳng định cách giải tìm hiểu thêm b Áp dụng giải phương trình dạng : f ( x) + g ( x) = h( x) Cách giải: - Tìm điều kiện xác định phương trình  f ( x) ≥   g ( x) ≥ h ( x ) ≥  - Áp dụng phương pháp nâng lên luỹ thừa để khử dấu căn: Ví dụ: Giải phương trình : x+3 = 5− x−2 (1) Học sinh tiến hành bình phương hai vế phương trình (1), có em tìm khơng tìm ĐKXĐ dẫn đến khơng dám bình phương vế Nguyên nhân mắc phải sai lầm chưa biến đổi phương trình (1) phương trình x + + x − = nên việc tìm tập xác định khơng chặt chẽ phức tạp Từ tình HS thấy cần phải biến đổi phương trình (1) phương trình (2) tìm điều kiện xác định cho phương trình, thực nâng lên luỹ thừa Tơi u cầu học sinh thực hành giải ví dụ x + ≥  x ≥ −3 ⇔ ⇔x≥2 x − ≥ x ≥ - ĐKXĐ phương trình  Phương trình (1) ⇔ x + + x − = ⇔ x + + x − + ( x + 3)( x − 2) = 25 ⇔ ( x + 3)( x − 3) = 24 − x ⇔ ( x + 3)( x − 2) = 12 − x (3) Điều kiện phương trình (3) là: 12 − x ≥ ⇔ x ≤ 12 Điều kiện tồn nghiệm phương trình (1) là: ≤ x ≤ 12 Bình phương vế phương trình (3) ta : x + x − = 144 − 24 x + x ⇔ 25 x − 150 ⇔ x = ( chọn ) Vậy nghiệm phương trình (1) x = Hiệu nhận học sinh tự giải xác điều kiện phương trình (3) thấy cần thiết phải đưa phương trình dạng f ( x ) + h( x ) = g ( x ) c Áp dụng giải phương trình dạng : Cách giải : - Điều kiện xác định  f ( x) ≥  h ( x ) ≥  g ( x) ≥  - Vận dụng phương pháp nâng lên luỹ thừa Từ yêu cầu hai ví dụ giải phương trình sau: x + = 10 − x + x − Ví dụ: Giải phương trình : (1) - Điều kiện xác định : x + ≥  10 − x ≥ x − ≥   x ≥ −1   x ≤ 10 x ≥  ⇔ ⇔ ≤ x ≤ 10 (2) - Bình phương hai vế phương trình (1)ta được: x + = 10 − x + x − + (10 − x)( x − 5) ⇔ (10 − x)( x − 5) = x − (3) ĐK x ≥ Bình phương hai vế phương trình (3) ta được: 4(-x2 + 15x - 50) = x2 - 8x + 16 ⇔ 5x2 - 68x + 216 = Giải phương trình (4) ta nghiệm: x1 = (4) 34 + 19 34 − 19 ; x2 = 5 Thỏa mãn điều kiện nghiệm phương trình (1) Vậy nghiệm phương trình (1) là: x1 = 34 + 19 ; x2 = 34 − 19 Với giải học sinh nắm cách giải, khắc phục lỗi trình bày xong cịn chi tiết chưa xử lí điều kiện ẩn x : ≤ x ≤ 10 thỏa mãn để hai vế phương trình (3) không âm Do cần kiểm tra điều kiện xác định thỏa mãn để hai vế phương trình (3) khơng âm bình phương hai vế phương trình (3) Tơi lưu ý học sinh: có phương điều kiện xác định thỏa mãn để hai vế phương trình (3) khơng âm cần kiểm tra tiếp tục bình phương hai vế phương trình (3) Như vậy, lời giải khơng dài dịng, giảm nhầm lẫn thời gian Lời giải bổ sung Rõ ràng điều kiện ≤ x ≤ 10 hai vế phương trình (3) khơng âm Bình phương vế phương trình (3) ta được: ⇔ 5x2 - 68x + 216 = Từ học sinh khắc sâu vấn đề lô gic cần lưu tâm giải tốn d) Áp dụng giải phương trình dạng: f (x) + h(x) = g (x) + r (x) Cách giải:  f ( x) ≥ h ( x ) ≥  + Điều kiện tập xác định:   g ( x) ≥ r ( x ) ≥ + Vận dụng phương pháp nâng lên luỹ thừa Ví dụ: Giải phương trình : x + x + - x +1 - x + = Giải Phương trình (1) ⇔ x + x + = x + + x + (1) x ≥ x + ≥  - Điều kiện xác định :  x + ≥  x + ≥ ⇔ x ≥ (2) - Bình phương vế ta phương trình : x + x - x + x + = -2 Để lời giải chặt chẽ tránh sai sót ta biến đổi phương trình dạng: x + x + = x + 5x + Kiểm tra điều kiện x ≥ hai vế phương trình khơng âm chưa? Học sinh thường bỏ qua điều dẫn đến lời giải dài dòng, phức tạp Dễ thấy với x ≥ hai vế phương trình khơng âm, ta tiếp tục bình phương vế phương trình, phương trình : x + x = -x (3) Điều kiện để phương trình (3) có nghiệm x ≤ (4) Kết hợp điều kiện (2) (4) ta suy nghiệm phương trình x = Học sinh thường khơng nhìn điều mà lại tiếp tục bình phương vế phương trình (3) Như lời giải dài dịng khơng cần thiết Tóm lại, phương pháp nâng lên luỹ thừa thường sử dụng vào giải số dạng phương trình chứa thức bậc hai quen thuộc nêu Song trình giảng dạy tơi ý đến việc tìm điều kiện tồn thức, vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan sử dụng phương pháp Đồng thời học sinh cần rèn luyện để có kĩ vận dụng biến đổi số cách giải khác Bài tập vận dụng: Giải phương trình sau: a, x − + x − = b, 3x + + − x = Phương pháp đưa phương trình dạng A2 +B2 = Cách giải: - Biến đổi đưa phương trình dạng A2 +B2 = A = B = - Để có A2 +B2 = ⇔  Giới thiệu cách giải với học sinh yêu cầu em nhớ lại đẳng thức bình phương tổng, hiệu vận dụng thành thạo Ví dụ: Giải phương trình sau: x + x + = 3x + - ĐKXĐ: x ≥ −4 ( ⇔ x + x + + x + − x + + = ⇔ ( x + 1) + − x + x + = ⇔ ⇔ x = −1  3x + = ) =0 Vậy: Phương trình có nghiệm x = -1 Từ ví dụ ta thấy đưa phương trình dạng A +B2 = học sinh cần có kĩ biến đổi để đưa biểu thức đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu Học sinh có kĩ đẳng thức, cách giải em dễ phát hiện, dễ biến đổi, dễ làm Do định hướng yêu cầu học sinh quan sát xem đưa phương trình dạng tổng bình phương khơng khơng đưa chọn cách giải khác Bài tập vận dụng: Giải phương trình sau: a, x − x + 26 = x + b, x + − x + = x + + Phương pháp đưa phương trình dạng A2 = B2 (tức A2 - B2 =0) Ngoài phương pháp nêu giải phương trình chứa thức bậc hai tơi yêu cầu học sinh biến đổi hai vế dạng bình phương chuyển phương trình tích, Ví dụ 1: Giải phương trình : 4x2 + 8x = x + (1) - Điều kiện xác định : x ≥ −3 Tôi yêu cầu học sinh biến đổi đưa hai vế phương trình dạng bình phương tổng hiệu cụ thể sau: - Cộng hai vế phương trình (1) với biểu thức 2x +6 ⇔ x + 10 x + (1) 1 = 2x + + 2x + + 4 ⇔  x +  =  + x +  2  2  2 Trường hợp 1: Xét pt: x + = + x + ⇔ x + = x + (2) Điều kiện xác định phương trình (2): x ≥ −1 Bình phương hai vế phương trình (2) ta được: ⇔ x + 3x − = − + 17 , thỏa mãn phương trình (2) Trường hợp 2: Xét pt: x + = − − x + 2 ⇔ x + = − x + (3) Điều kiện xác định phương trình (3) x ≤ 1,5 ⇔x= Bình phương hai vế phương trình (3) ta được: ⇔ x + 10 x + = − − 13 , thỏa mãn phương trình (3) − + 17 − − 13 Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = , x2 = 4 ⇔x= Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 + x + 2008 - 2008 = GV yêu cầu học sinh biến đổi tương tự ví dụ Ta phải quan tâm vế phải trước, để đưa vế phải bình phương cần cộng thêm gì? (Cần cộng thêm biểu thức x2 + ) Ta biến đổi phương trình cho dạng: x4 = - x + 2008 + 2008 ⇔ x4 + x2 + ⇔ (x2 + = x2 + 2008 x + 2008 + ) = ( x + 2008 - )2 2 1 = x + 2008 2 1 - Xét x2 + = − x + 2008 + 2 - Xét x2 + Bài toán quay toán quen thuộc học sinh tự giải Cách giải dễ nhận thấy, dễ biến đổi Do hướng dẫn học sinh tơi quan sát xem đưa phương trình dạng A = B2 khơng khơng đưa chọn cách giải khác Bài tập vận dụng: Giải phương trình sau: a, x − 10 x − 12 = x + b, x + − x = 2 x − + Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Khi áp dụng cách giải yêu cầu học sinh phải biến đổi biểu thức dấu dạng bình phương tổng bình phương hiệu sau áp dụng đẳng thức A = A Khi tốn trở tốn giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối học Ví dụ : Giải phương trình x − x + 16 + x − 10 x + 25 = (1) Cần biến đổi hai biểu thức dấu dạng bình phương cụ thể Khi ta có: x − x + 16 + x − 10 x + 25 = ⇔ ( x − 4) + ( x − 5) = Biểu thức dấu không âm, thức xác định với giá trị biến điều kiện xác định phương trình gì? Học sinh xác định: Điều kiện xác định phương trình x ∈ R Phương trình (1) ⇔ x − + x − = (2) Lập bảng xét dấu vế trái phương trình (2) x x-4 + | + x -5 | + VT = |x - 4| + |x - 5| - x + - x | x - + - x | x - + x - + Với x 5 phương trình (2) ⇔ x – + x – = ⇔ 2x = 14 ⇔ x = (chọn) Vậy phương trình (1) có nghiệm x1 = , x2 = Phương pháp phù hợp với phương trình mà biểu thức dấu có dạng bình phương tổng hay hiệu giúp cho học sinh tìm tập nghiệm phương trình cách nhanh, gọn xác Bài tập vận dụng: Giải phương trình sau: a, − − x + 2x + = b, 3x + + 3x − + 3x + − 3x − = 3x + + Phương pháp đặt nhân tử chung: Đối với phương pháp đặt nhân tử chung hướng dẫn học sinh biến đổi đưa phương trình tích A.B=0 Từ giải phương trình A=0 B=0 Ví dụ : Giải phương trình sau: x + + 2012 x + = 2012 + ( x + 9)( x + 6) Bài toán với xuất thức: x + ; x + ; ( x + 9)( x + 6) từ học sinh nghĩ đến việc nhóm nhân tử chung đưa phương trình tích cụ thể là: ĐK: x ≥ −6 Phương trình cho tương đương với: ( x + − 2012)( x + − 1) = Giải phương trình: x + − 2012 = ta x = 4048135 Giải phương trình: x + − = ta x = -5 Vậy phương trình có nghiệm là: x = 4048135; x = -5 Thơng qua ví dụ tơi hướng dẫn học sinh thông thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung em cần nhìn nhận nhân tử chung để biến đổi từ đưa toán dạng đơn giản, dễ biến đổi sai sót Cách giải hay gặp cần phải luyện nhiều để có kĩ tốt Bài tập vận dụng: Giải phương trình sau: a, x + + x + = + x + 13x + 42 b, x + + x + = + x + x + 12 + Phương pháp đặt ẩn phụ: Sai lầm học sinh gặp phương trình phức tạp, phương trình khơng quen thuộc hoang mang, khơng tự tin tìm hướng tiếp Song dùng phương pháp đặt ẩn phụ chuyển phương trình phức tạp phương trình đơn giản, từ phương trình khơng có cách biến đổi phương trình có cách biến đổi dễ dàng Cụ thể sau: Ví dụ 1: Giải phương trình : x + + − x - ( x + 1)(3 − x) = (1) x + ≥ 3 − x ≥ - Điều kiện xác định :  ⇔ −1 ≤ x ≤ - Đặt ẩn phụ : x + + − x = t (2) Điều kiện : t ≥ Học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiện cho ẩn phụ t, cần ý điều kiện t điều kiện có nghiệm phương trình (1) Tơi phát huy tính sáng tạo học sinh cách đặt câu hỏi: lại đặt ẩn phụ ? Với điều kiện ẩn x ẩn t ta bình phương vế (2): t2 = x +1 + - x + ( x + 1)(3 − x) ⇔ t2 = + ( x + 1)(3 − x) ⇔ ( x + 1)(3 − x) = t2 − (3) Thay (2) (3) vào phương trình (1) ta phương trình: t2 - 2t = ⇔ t(t - 2) = ⇔ t = t = - Với t = phương trình (1) vơ nghiệm - Với t = 2, ta có : x + + − x = (4) 10 Với điều kiện xác định phương trình (1) ta bình phương vế phương trình (4), ta được: + ( x + 1)(3 − x) = ⇔ ( x + 1)(3 − x) = ⇔ (x + 1)(3 – x) = ⇔ x= -1 x = (thoã mãn điều kiện (1)) Vậy nghiệm phương trình cho : x1 = -1, x2 = Ví dụ 2: Giải phương trình 2x 1 + + =2 1+ x 2x ĐKXĐ: x>0 x 0) suy = Đặt t = 1+ x 2x t Ta phương trình t + = ⇔ t − 2t + = ⇔ (t − 1) = ⇔ t = (Thỏa mãn) t 2x = ⇔ x = (thỏa mãn ĐKXĐ) Theo cách đặt ta được: 1+ x Ta có: Vậy: Phương trình có nghiệm x=1 Ví dụ 3: Giải phương trình: x + x + = ( x + 4) x + Đặt t = x + ( t > 0) t + x = ( x + 4)t (*) Khi phương trình trở thành: ⇔ t + x − tx − 4t = ⇔ (t − x)(t − 4) = ⇔ t = x t = Với t = x ⇔ x = x + Phương trình vơ nghiệm Với t = ⇔ x + = ⇔ x = x = −3 Vậy: Phương trình cho có nghiệm x=3 x=-3 Với cách đặt học sinh băn khoăn sau đặt ẩn phụ mà khơng chuyển hết ẩn ban đầu ví dụ 1, ví dụ khơng giải tiếp Nhưng tơi hướng dẫn học sinh tìm biểu thức để đặt yêu cầu giải phương trình sau đặt ẩn phụ phương trình (*) Lúc tìm giá trị ẩn phụ từ tìm giá trị ẩn ban đầu, học sinh thấy điều lí thú tốn "Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn" ví dụ giải thành cơng phương trình chứa Qua ví dụ học sinh nhận hướng giải đặt "một ẩn phụ" cho tốn có trường đặt "ẩn phụ hồn tồn" đặt "ẩn phụ khơng hồn tồn" học sinh giải thành cơng, qua tơi cảm nhận học sinh vui, hào hứng, tự tin giải phương trình chứa Tơi tiếp tục u cầu học sinh tìm hiểu thêm ví dụ sau: Ví dụ 4: Giải phương trình x + − 3x = x − (1) Ví dụ học sinh có tỏ lúng túng, định hướng cách đặt ẩn bằng" hai ẩn phụ": a = 3x , b = x + (a,b ≥ ) Khi a − b = x − thay vào phương trình cho Sau u cầu học sinh phải hoàn chỉnh lời giải cho kết sau: ĐK: x ≥ Đặt a = 3x , b = x + (a,b ≥ ) Khi a − b = x − 11 Thay vào phương trình ta b − a = a − b ⇔ (a − b)(a + b + 1) = Mà a + b + > nên a = b Do (1) ⇔ 3x = x + ⇔ 3x = x + ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình là: x = 2 Trong ví dụ tơi định hướng học sinh đặt ẩn phụ cách đặt "hai ẩn phụ" yêu cầu học sinh từ cách đặt toán phải liên hệ để có cách đặt hợp lí cho sau Đảm bảo phương trình sau đặt ẩn phụ phải giải Do lưu ý đến học sinh sau đặt hai ẩn phụ có lợi gì? Học sinh nhận thấy cách đặt cho lời giải đơn giản ngắn gọn, dễ biến đổi Quan trọng học sinh sau tiếp cận phương pháp đặt ẩn phụ, học sinh chuyển phương trình phức tạp phương trình đơn giản, phương trình khơng quen thuộc phương trình quen cảm thấy tự tin, khơng hoang mang lo sợ mà bình tĩnh tìm hướng tiếp Tơi lưu ý phương pháp giải vận dụng nhiều kì thi học sinh giỏi kì thi vào THPT Bài tập vận dụng: Giải phương trình sau: a, x + + 3x + = x − b, x + x + − x + = x − + Phương pháp dùng biểu thức liên hợp Phương pháp dùng biểu thức liên hợp gọi phương pháp khử thức tử, thường dùng là: A− B = A− B A+ B A+ B = (1); A− B A− B (2) Trong công thức (1) (2), nhân chia vế trái với biểu thức liên hợp nó, ta vế phải Mục đích việc khử thức tử nhằm làm xuất nhân tử chung, phương trình đưa phương trình tích đơn giản Cụ thể sau: Ví dụ 1: Giải phương trình: x + x + = 3x + −4 ĐK: x ≥ ⇔ ( x + 1)( x + 4) + = x + ⇔ ( x + 1)( x + 4) = 2( 3x + − 1) 2(3 x + − 1) ⇔ ( x + 1)( x + 4) = 3x + + 6( x + 1) ⇔ ( x + 1)( x + 4) = 3x + + - Rõ ràng x=-1 thỏa mãn phương trình - Với x ≠ −1 ta có x + = + 3x + (2) + Với x > -1 (2) có vế trái lớn 3, vế phải nhỏ 3, phương trình vơ nghiệm 12 + Với − ≤ x < −1 (2) có vế trái nhỏ 3, vế phải lớn 3, phương trình vơ nghiệm Vậy: Phương trình có nghiệm x=-1 Ví dụ 2: Giải phương trình x − − x + = x − (2 x − 1) − ( x + 1) (1) ĐKXĐ: x ≥ Nhân chia vế trái (1) với biểu thức liên hợp được: 2x − + x + ⇔ ( x − 2)( x−2 = 2( x − 2) ⇔ 2x − + x + 2x − + x + = 2( x − 2) − 2) = Với x=2 thỏa mãn phương trình nên x=2 nghiệm của phương trình Với x ≠ ta có Do x ≥ nên 2x − + x + =2 (2) x + > Phương trình (2) có vế trái nhỏ 1, vế phải nên vơ nghiệm Vậy: Phương trình có nghiệm x=2 Trong hai ví dụ học sinh thường gặp khó khăn giải phương trình (2), chủ yếu cách giải thường sử dụng đánh giá hai vế có tập giá trị rời khoảng giá trị ẩn từ suy phương trình (2) vơ nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: x + 3x + = 27 x + 19 (1) PT (1) ⇔ 3x + + x − 27 x − 19 = ⇔ ( x + − 4) + x − 27 x − 15 = ĐKXĐ: x ≥ − ⇔ ( x + − 4)( 3x + + 4) + ( x − 5)(6 x + 3) = 3x + + 3( x − 5) ⇔ + ( x − 5)(6 x + 3) = 3x + +   ⇔ ( x − 5)  + x + 3 =  3x + +  Ta thấy 6x+3=2(3x+1)+1với x thỏa mãn điều kiện, nên: + x + > với điều kiện 3x+1>0 3x + + PT ⇔ x − = ⇔ x = Vậy: Phương trình có nghiệm x=5 Trong cách giải học sinh thường mắc sai lầm giải phương trình (2) song cách giải thích học sinh giải nhiều có kĩ đánh giá tốt Tơi lưu ý với học sinh cách giải thường dùng để giải tốn giải phương trình chứa thức bậc hai kì thi học sinh giỏi, thi vào 10 Vì yêu cầu em cần luyện giải nhiều để nắm vững cách giải vận dụng linh hoạt 13 Bài tập vận dụng: Giải phương trình sau: a, x + 16 − x + = 3x − b, x + 10 − x + = x + + Phương pháp dùng bất đẳng thức Tìm hiểu cách giải phương trình phương pháp dùng đẳng thức khơi dậy cho học sinh tính tị mị, tích cực tìm hiểu niềm đam mê dạng toán x − - x − = 3x − (1) Ví dụ 1: Giải phương trình x − ≥  - Điều kiện xác định : 5 x − ≥ 3x − ≥  ⇔ x ≥1 Với điều kiện x ≥ ⇔ x < 5x ⇒ x − < x − Khi vế trái phương trình (1) số âm, vế phải số dương Vậy phương trình vơ nghiệm Học sinh thường mắc sai lầm gặp dạng tốn nhanh chóng bình phương vế phương trình sau tìm điều kiện xác định, lời giải dài dịng khó tìm nghiệm phương trình Vì dạy dạng toán giáo viên nên lưu ý học sinh phải nghỉ đến việc thử chứng tỏ tập giá trị vế phương trình rời nhau, từ rút kết luận nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình: x + x + = 3x + (1) ĐKXĐ: x≥ −4 Gọi vế trái (1) A, vế phải (1) B Ta có: B = 3x + = 1.(3x + 4) ≤ + (3x + 4) = 3x + A = x + x + = ( x + 1) + 3x + ≥ 3x + 3 x + = Phải có A = B = 3x+5 ⇔  ( x + 1) = ⇔ x = −1 ( Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy: Phương trình có nghiệm x = -1 Phương trình: x + x + = 3x + giải cách nào? Học sinh khẳng định phương trình: x + x + = 3x + giải nhiều cách: bình phương vế, dùng biểu thức liên hợp, dùng bất đẳng thức Song giải cần biết lựa chọn cách ngắn gọn, dễ biến đổi để giải Tôi khẳng định kết mà em đạt q trình học Song dạng tốn học sinh thường gặp khó khăn chọn bất đẳng thức để đánh giá, mà q trình thực tơi cho học sinh tiếp cận từ đơn giản đến phức tạp, từ bất đẳng thức thường xuyên gặp đến bất đẳng thức gặp Từ em có tự tin biến đổi giải xác gặp dạng toán Bài tập vận dụng: Giải phương trình sau: a, x +8 −2 2− x =1 b, x − + − x = x − x + 18 14 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Qua trình áp dụng đề tài "Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải phương trình chứa thức bậc hai chương trình đại số 9" vào thực tiễn công tác giảng dạy năm học 2019-2020 Tơi thấy em hiểu rõ rèn luyện số kỹ quan trọng việc giải phương trình chứa thức bậc hai Học sinh u thích dạng tốn hơn, đồng thời kích thích trí tị mị tìm hiểu học sinh, em tích cực chủ động việc lĩnh hội kiến thức mơn học nói chung mơn Tốn nói riêng Từ việc giới thiệu cho học sinh hệ thống dạng tập phương trình chứa thức bậc hai từ dễ đến khó, phát huy tính tích cực, tư sáng tạo, say mê dạng toán học sinh, giúp học sinh hình thành kỹ giải phương trình chứa thức bậc hai thành thạo Đặc biệt em xác định dạng sử dụng phương pháp hợp lí để giải phương trình chứa thức bậc hai cách chủ động Sau thời gian áp dụng đề tài, nhóm học sinh lớp 9ATrường THCS Xuân Lập năm học 2019-2020, tiến hành khảo sát để kiểm nghiệm hiệu đề tài: Thời gian khảo sát: tháng năm 2020 ( Trước nghĩ tết nghĩ dịch covid – 19) Nội dung khảo sát: Giải phương trình sau: 5x + = x – a, b, x + x + = 3x + c, 5x2 -2x+1 = (4x-1) x + d, x + − − x = x − x + Kết thu được: điểm - 10 điểm - điểm - điểm Số HS SL % SL % Sl % SL % 22% 56% 22% 0% Thông qua việc khảo sát nhận thấy tiến vượt bậc em làm cụ thể là: + Tất em nắm tất phương pháp giải phương trình chứa thức bậc hai biết lựa chọn cách giải phù hợp + Tìm đủ điều kiện cần thiết cho phương trình + Có kĩ giải xác phương trình chứa thức bậc hai Đặc biệt kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện tham gia ôn thi đội tuyển cấp Tỉnh năm học 2019-2020, kết thi sau: Năm học 2019-2020 Tham gia ôn đội Lọt vào đội Số học sinh dự thi (khối 9) tuyển cấp tỉnh tuyển cấp tỉnh Cấp Huyện ( Năm 2020 dịch bệnh covid 19 bùng phát – không tổ chức thi HSG cấp tỉnh) Kết lần chứng tỏ hiệu đề tài mà nghiên cứu áp dụng trình giảng dạy 15 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Với đề tài "Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải phương trình chứa thức bậc hai chương trình đại số 9" cố gắng hệ thống số dạng Trong dạy tơi có đưa sở lý thuyết, phương pháp giải cho dạng tốn ví dụ Trong ví dụ có gợi ý, hướng dẫn học sinh cách giải ý cần thiết để gặp tập dạng em giải Trong q trình giảng dạy, tơi giúp học sinh tiếp cận với dạng tập đưa từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm giúp cho học sinh có kỹ giải phương trình chứa thức bậc hai chương trình tốn THCS Tơi tạo u thích, khơi dậy trí tị mị tìm hiểu khoa học niềm đam mê học sinh môn học Tôi hướng dẫn thật cụ thể cho học sinh nội dung theo dạng toán Sau tiết học lý thuyết, tiết luyện tập chun đề trọng tâm chương trình tốn THCS, nhận thấy học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức, đồng thời rèn luyện cho em kỹ giải tốn, việc áp dụng kiến thức học em gặp dạng tốn giải phương trình chứa thức bậc hai kỳ thi học sinh giỏi cấp khơng cịn khó khăn nữa, tiền đề để em tiếp tục học lên chương trình THPT Đề xuất Trong trình giảng dạy thực đề tài, cố gắng học hỏi, rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp, tham khảo tài liệu, trao đổi với học sinh để đề tài ngày hoàn thiện Hiệu đề tài nguồn động lực để thân phấn đấu Tuy nhiên, thời gian nghiên cứu đề tài không nhiều, việc thực nghiệm đề tài chưa phổ biến rộng nhiều đối tượng học sinh, mặt khác giai đoạn cuối đề tài học sinh phải nghĩ dịch bệnh covid 19 bùng phát thế, khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để đề tài ngày hồn chỉnh hơn, giúp tơi nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tơi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN Xuân lập, ngày 02 tháng 04 năm 2021 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Lê Hoài Nam 16 ... tập "Giải phương trình chứa thức bậc hai" , khắc phục sai lầm thường gặp giải phương trình, tơi mạnh dạn chọn đề tài: "Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải phương trình chứa thức bậc hai chương. .. trung nghiên cứu việc "Hướng dẫn học sinh giải phương trình chứa thức bậc hai chương trình đại số 9" - Một số phương trình chứa bậc hai cách giải 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên... kiến kinh nghiệm: Qua trình áp dụng đề tài "Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải phương trình chứa thức bậc hai chương trình đại số 9" vào thực tiễn cơng tác giảng dạy năm học 20 19- 2020