SKKN kinh nghiệm hướng dẫn học sinh dùng phương pháp khoảng giải một số bất phương trình chứa căn bậc hai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH DÙNG PHƯƠNG PHÁP KHOẢNG GIẢI MỘT SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI Người thực hiện: Lại Việt Quang Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2018 MỤC LỤC Phần I Mở đầu Lý chọn đề tái Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Một số giải pháp 2.4 Hiệu sáng kiến III Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Phụ lục Trang 2 2 2 16 16 16 17 I MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong năm học 2016- 2017, phân công giảng dạy lớp 10 Lớp tơi phân cơng giảng dạy em có lực học khơng thật tốt, chủ yếu em có học lực trung bình trung bình khá; Vì q trình dạy học tơi thấy em chưa có nhiều kỹ năng, kỹ xảo giải tốn cịn thụ động sáng tạo trình học tập rèn luyện Trong chương trình Đại Số 10 nâng cao em học cách giải bất phương trình chứa ẩn dấu bặc hai Với cách hướng dẫn SGK sách tập phù hợp với bất phương trình đơn giản Cịn gặp số bất phương trình phức tạp việc giải em khó khăn hay mắc lỗi xét thiếu trường hợp việc kết hợp nghiệm gặp khó khăn, đặc biệt với em có lực học trung bình trung bình Tơi thấy bất cập cần khắc phục nhu cầu cấp thiết phải có cách làm đơn giản hơn, dễ hiểu hơn, tiết kiệm thời gian làm mà lại có hiệu cao em MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Với mong muốn giúp em có học lực yếu, trung bình, trung bình giải số dạng bất phương trình chứa bậc hai thường gặp cách nhẹ nhàng hơn, dễ làm so với cách truyền thống nên mạnh dạn chọn đề tài "Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh dùng phương pháp khoảng giải số bất phương trình chứa bậc hai" Qua nội dung đề tài mong em đặc biệt em có học lực yếu, trung bình, trung bình giải số bất phương trình vơ tỉ phương pháp khoảng đồng thời cải thiện cách làm, tăng thêm kỹ năng, kỹ xảo việc giải toán em ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Giải số bất phương trình chứa bậc hai phương pháp khoảng PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU + Nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết + Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin + Thống kê, xử lý số liệu + Tổng hợp kiến thức có II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Ta thấy giải phương trình chứa thức đơn giản nhiều so với giải bất phương trình chứa thức "dạng" Để làm vấn đề phải có kiến thức rộng hơn, tổng quát việc giải bất phương trình giải phương trình chứa thức Đối với sáng kiến "Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh dùng phương pháp khoảng giải số bất phương trình chứa bậc hai" Ta cần nắm vững số kiến thức sau: + Cách tìm tập xác định hàm số (hoặc điều kiện xác định hàm số) + Cách giải phương trình chứa bậc hai + Cách xét dấu hàm số + Lấy nghiệm bất phương trình Cụ thể: + Muốn tìm tập xác định hàm số ta cần nhớ kiến thức hàm số xác định nào? bậc chẵn hàm số có nghĩa biểu thức dấu bậc chẵn không âm; biểu thức mẫu hàm phân thức phải khác + Để giải phương trình chứa bậc hai ta phải nhớ số cơng thức biến đổi tương đương hệ thường dùng cách biến đổi tương đương để sau thử lại loại bỏ nghiệm ngoại lai Ví dụ như: A * A = B (khơng cần điều kiện B có A = B) * A B A B =B (không cần điều kiện A A =B2 0) A B * A + B = C A0;B0 (A B)2 C (khơng cần điều kiện C C = ( A + B )2 0) Sau giải xong ta cần kết hợp với điều kiện có tập xác định hàm số để loại nghiệm không cần thiết Việc làm giống ta giải phương trình vơ tỉ lâu + Cách xác định dấu hàm số bước quan trọng Để làm tốt ta cần ghi nhớ kiến thức sau: * Nếu hàm số y = f(x) xác định, liên tục khoảng K phương trình f(x) = vô nghiệm khoảng K (tức hàm số f(x) không cắt trục hồnh khoảng K) với x K, f(x) mang dấu (cùng dương âm) f(x) nhị thức bậc nhât bậc hai hàm đa thức dựa vào dấu hệ số a bậc cao (a dương f(x) dương, a âm f(x) âm) với phương trình chứa bậc hai việc không đơn giản bất phương trình chứa nhiều thức dạng tích dạng phân số, để làm việc xin mẹo sau mà nghĩ thuận tiện em có máy tính cầm tay cơng cụ hữu ích tiện dụng biết f(x) mang dấu khoảng K muốn biết f(x) âm hay dương ta việc lấy điểm x0 khoảng K thay vào f(x) f(x0) dương kết luận f(x) dương khoảng K ngược lại f(x0) âm f(x) âm khoảng K * Nếu hàm số y = f(x) xác định, liên tục khoảng K phương trình f(x) = có nghiệm khoảng K = (a; b) (tức hàm số f(x) có cắt trục hồnh) ta nhớ quy tắc xét dấu sau: f(x) = có nghiệm x 1, x2, , xm khác K với x1 < x2 < < xm khoảng (a; x1), (x1; x2), (xm; b) mang dấu Muốn xác định dấu khoảng ta cần xác định dấu khoảng suy khoảng khác cách ghi nhớ: phương trình có n nghiệm "phân biệt" (tính nghiệm làm cho mẫu số 0) khoảng lân cận khoảng dương khoảng âm, lân cận khoảng âm khoảng dương; phương trình có "nghiệm kép" điểm x0 khoảng lân cận bên phải bên trái điểm x0 mang dấu + Sau xác định dấu f(x) muốn lấy nghiệm bất phương trình cho cần dựa vào yêu cầu toán như: f(x) > 0; f(x) ; f(x) < 0; f(x) để suy nghiệm bất phương trình cho Kết luận: Nêu tập nghiệm bất phương trình cho 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Trong q trình giảng dạy tơi thấy gặp tốn giải bất phương trình chứa bậc hai em chưa biết phân loại định hình cách giải, lúng túng đặt điều kiện biến đổi, bất phương trình loại có nhiều dạng khó Bây tơt xin điểm qua số ví dụ cách em hay làm từ rút đúc kinh nghiệm để giải toán Trước hết ta cần nắm vững số công thức biến đổi tương đương mà ta hay gặp làm tập: + f (x) g(x) g(x) (khơng cần đk f(x) > f(x) > g(x)) f (x) g(x) g(x) + f (x) g(x) f (x) g(x) 2(x) f (x) g + f (x) g(x) f(x) g(x) (x) f(x) g h(x) + f(x) g ( x )h ( x ) g(x) f(x) ( f(x) h(x) g ( x )) h(x) + f ( x )g ( x ) h ( x )g ( x ) f(x) ( Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: Giải: Cách giải em hay dùng g(x) x2 h ( x ))2 x 12 x (1) Bất phương trình (1) x x 12 x x 2 x 12 ( x 4) x Giải hệ bất phương trình Từ có đáp số: - x < - + Nhận xét: + Ta nhận thấy sử dụng phương pháp phải giải tổng cộng bất phương trình Một việc làm tương đối dài dịng + Mặt khác giải bất phương trình số em hay quên xét thiếu trường hợp x + < + Sau giải trường hợp em phải lấy nghiệm chung hệ bất phương trình việc lấy nghiệm số em hay lúng túng kết hợp sai Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: x 61x x (2) Giải: Cách giải em hay dùng: 4x 2 Bất phương trình (2) 5x 5x 61x 61x (4 x 2) x 0; 4; 11 Nhận xét: + Cách giải phải giải hệ bất phương trình gồm bất phương trình + Khi giải số em hay quên điều kiện 4x + > Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: x x (3) x Giải: Cách giải em hay dùng: Bất phương trình (3) x 2x x x x ( x x 3) x 2x x (3*) x ( ; 0) [1; 2] Nhận xét: + Ta thấy cách giải ta phải giải bất phương trình tích: x( x 2x 3) việc dẫn đến phải giải trường hợp: x x x 2x 0 x 2x 0 mà giải trường hợp không đơn giản + Cũng nhiều em không giải (3*) sau chuyển hết biểu thức sang vế trái, quy đồng lên dùng phương pháp thương dương nên tử mẫu mang dấu từ xét trường hợp dương âm + Khi giải bất phương trình dạng (3) nhiều em sau quy đồng lên bỏ mẫu số (giống em làm giải phương trình) em làm khơng em phép bỏ mẫu số sau quy đồng trường hợp mẫu số ln dương âm tập xác định bất phương trình cho ln phải để ý dấu bất phương trình thay đổi ta nhân chia hai vế bất phương trình với số dương số âm 3(4 x2 9) Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau: x (4) 3x2 Giải: Cách giải em hay dùng: 3x Bất phương trình (4) 3x (2 x 3)[3(2 x 3) 3 x 3] x 3(2 x 3) x 3x x x [ 3(2 x 3) x 3 ; 1) (1; ] 2 Nhận xét: + Ta thấy cách giải ta phải giải hệ bất phương trình tích có: (2 x 3)[3(2 x 3) x 3] từ phải xét hai trường hợp : 2x 3(2 x 3) 2x 3x 3(2 x 3) trình khơng đơn giản Ví dụ 5: Giải bất phương trình: x 3x2 x 0mà việc giải bất phương (5) Giải: Cách giải em hay dùng: Điều kiện bất phương trình (5) là: x -5 + TH1: Nếu -5 x < bất phương trình (5) ln vế trái dương vế phải âm + TH2: Nếu x x x > Khi bất phương trình cho tương + Nếu < đương với x x khơng có x thõa mãn x x bất phương trình cho tương đương + Nếu x 35 với - x > x < x (3 x ) Kết hợp x x < Kết hợp ta có -5 x < x 35 35 Nhận xét: + Bài ta đặt điều kiện bình phương vế (mục đích làm giá trị tuyệt đối) giải khó khăn vất vả + Rất nhiều em xét thiếu trường hợp x < Ví dụ 6: Giải bất phương trình sau: (x + 4)(x + 1) - x x < (6) Giải: Cách giải em hay dùng: Giải bất phương trình (6): Đặt t = x x (t ) Khi bất phương trình (6) t2 + - 3t < t2 - 3t - < kết hợp đk ta t < x 5x 2 x 1 < x x x 2 KL: Vậy nghiệm bất phương trình cho là: x (1; 5) ( 5; ) Nhận xét: x + Rất nhiều em không nhận biểu thức x nên việc giải toán em gặp nhiều khó khăn + Bài tốn phải phân trường hợp nhỏ điều làm cho em có tư khơng tốt khơng biết cách định hướng làm + Ta thấy cách giải phức tạp phải sử dụng đến bất đẳng thức x x (9) Ví dụ 9: Giải bất phương trình : x Giải: Cách giải hay dùng: + ĐK: x x x x + Khi bất phương trình (9) x - x > ( x 2)( x 3) 4( x 2)( x 3) x [3; 12) (4 x ) Nhận xét: + Một số em không chuyển x sang vế phải mà giữ nguyên đặt điều kiện bình phương hai vế làm em phải giải bất phương trình phụ x x , ngồi em phải đặt nhiều điều kiện Một số giải pháp: Qua nghiên cứu rút đúc kinh nghiệm mạnh rạn đưa phương pháp khoảng giải số bất phương trình chứa bậc hai Trước hết ta cần nhớ lại số cơng thức biến đổi tương đương giải phương trình chứa bậc hai: * A = * A B =B A B A B (không cần điều kiện B A = B) (khơng cần điều kiện A A = B2) A B * A + B= C A0;B0 (A B)2 C (không cần điều kiện C ( A B)2 C) Ví dụ 1.1: Giải bất phương trình sau: x x 12 (Đây tốn ví dụ 1) Giải: x (1.1) Bây ta giải tốn ví dụ phương pháp khoảng sau: Xét hàm số: f(x) = x x 12 ( x 4) + TXĐ hàm số D = [-6; -2] + Giải phương trình: f(x) = x x 12 x x 2x = - + x x 12 ( x 4) + Xét dấu f(x) x -6 -4+ -2 f(x) + -2 + Từ bảng xét dấu f(x) ta thấy: f(x) > 0x x 12 x 4- x < - + + Vậy nghiệm bất phương trình cho là: - x ĐS: x [ 2; ) ( ;5 ) (ĐH Sư phạm Vinh 99) 2x - 2x + 3x - 5 ĐS: x ( ; Ví dụ 5.5: Giải bất phương trình: x x Giải: (Đây tốn ví dụ 5) x 5x Xét dấu hàm số f(x) = + TXĐ: x -5 x x + Giải phương trình f(x) = ) (1; )(2; ) (5.5) x x x x x x 35 + Xét dấu f(x): x - ////////////// - 35 + ////////////// + + Từ f(x) bảng xét dấu f(x) ta thấy : x f(x) > x-5 x < - 35 KL: Vậy nghiệm bất phương trình cho là: -5 35 x< Nhận xét: + Nếu đặt điều kiện cho x bình phương hai vế, khai triển ta phải giải tốn khó nhiều ta sử dụng tính chất: A2 = B2 A = B + So với cách giải ví dụ khơng phải xét trường hợp gây khó khăn cho em Bài tập tương tự: Bài 5: Giải bất phương trình sau 12 a) b) 1x x x2 x x ĐS: x ( ; 0] (ĐH Mỹ thuật công nghiệp 99) ĐS: x (0; ) Ví dụ 6.6: Giải bất phương trình sau: (x + 4)(x + 1) - x x < Giải: (Đây tốn ví dụ 6) Xét hàm số f(x) = (x + 4)(x + 1) - x x - + TXĐ: x 17 x (6.6) 17 + Giải phương trình f(x) = (x + 4)(x + 1) - x x = Đặt t = x x (t ) ta có: t2 - 3t - = t = Với t = x x =4 x = -7 x = + Xét dấu f(x) x - -7 17 //////////// 17 2 f(x) + -4 ////////////// -4 Từ bảng xét dấu f(x) ta thấy: f(x) < (x + 4)(x + 1) - x x < 6x ( 7; - + + 17 ] [ 17 ; 2) 2 17] [ 17 ; 2) 2 KL: Vậy nghiệm bất phương trình cho là: x ( 7; Nhận xét: + So với cách giải ví dụ cách làm dễ ràng nhiều + Tương tự ví dụ cần ý đến dấu hàm số xét dấu khoảng hàm số Bài tập tương tự: Bài 6: Giải bất phương trình sau 2 (ĐH Y Hà Nội 2001) 53 a) 2x + x -5x -6 >10x+15 ĐS: b) x x x x x ( ; (Khối B 2012) ĐS: x [0; Ví dụ 7.7: Giải bất phương trình sau: (x - 3) x Giải: (Đây tốn ví dụ 7) Xét hàm số f(x) = (x - 3) x2 - (x2 - 9) +TXĐ:D=R + Giải phương trình f(x) = (x - 3) x2 = x2 53 ) ( ; ) ][4; ) x - (7.7) -9 13 x x2 x x x + Xét dấu hàm số f(x): x - + f(x) + Từ bảng xét dấu f(x) ta thấy -9 f(x) (x - 3) x2 x x ( ; ][3; ) KL: Vậy nghiệm bất phương trình cho là: x (; ] [3; ) + Cách làm giúp ta tránh việc xét nhiều trường hợp ví dụ + Ta thấy rõ ví dụ việc dùng phương pháp khoảng để xét dấu hàm số f(x) thuận lợi việc giải bất phương trình Bài tập tương tự: Bài 7: Giải bất phương trình sau a) (x 2) x2 + x2- ĐS: x ( ; 0] [2; ) b) ( x x ) x x (Khối D 2002) ] x [3; ) ĐS: x ( ; Ví dụ 8.8: Giải bất phương trình sau: Giải: Xét hàm số f(x) = x1 11 x x x x + TXĐ: -1 x < x + Giải phương trình f(x) = x 1 x 11 x x x1 x x1 x 1 x x x x (8) x x ( x 1) x x x x x x = x x (x - 1) + x = x (**) Nếu -1 x < vế trái âm, vế phải (**) dương nên phương trình vơ nghiệm x 1 (đây nghiệm kép) Nếu x (**) x= x + Xét dấu hàm số f(x): x - ///////////////- /////////////1 + f(x) /////////////// - //////////////0 + + 14 + Từ bảng xét dấu f(x) ta có: 1 x x (1; f(x) > x x x x 5) ( ; ) 2 Vậy nghiệm bất phương trình cho là: x (1; 5) ( 5; ) 2 Nhận xét: + Rõ ràng so với cách giải ví dụ cách làm giúp thuận lợi nhiều việc giải bất phương trình Bài tập tương tự: Bài 8: Giải bất phương trình sau a) ĐS: x ( ; 2] [0; ) x -1 2x x +2x b) x 2( x x (Khối A 2010) x 1) ĐS: x = (9.9) Ví dụ 9.9: Giải bất phương trình : x x 2x Giải: x x Xét hàm số f(x) = x + TXĐ: x x + Giải phương trình f(x) = x 4-x=2 ( x 2)( x 3) + Xét dấu hàm số f(x) x (4 x ) x x 4( x 2)( x 3) x x = 12 12 - //////////// x x + f(x) //////////// + + Từ bảng xét dấu hàm số f(x) ta thấy: f(x) > 0x x 2x 3x [3; - 12 ) Vậy nghiệm bất phương trình cho là: x [3; Nhận xét: 12 ) + Khi giải phương trình f(x) = em nên chuyển x x sang vế trái bình phương hai vế ta tránh việc đặt thêm điều kiện tốn, ngồi tránh nghiệm ngoại lai có Bài tập tương tự: Bài 9: Giải bất phương trình sau 15 a) x2 3x x2 2x2 9x (ĐH Bách Khoa HN 2000) ĐS: x = - 1; x = - b) x x x (Khối A 2005) ĐS: x [2; 10) Ở số dạng bất phương trình chứa bậc hai mà em thường gặp thơi, cịn nhiều dạng bất phương trình khác Vì em hồn tồn sử dụng phương pháp để giải tốn liên quan đến bất phương trình 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Đề tài kiểm nghiệm năm học vừa qua Tôi thấy sáng kiến phù hợp em có lực học yếu, trung bình trung bình Áp dụng cho em thấy rõ tiến rõ rệt cải thiện kỹ giải bất phương trình vơ tỉ em lên nhiều Và nhiều em khơng cịn cảm thấy sợ phải giải bất phương trình vơ tỉ nữa, em có hứng thú học toán Kết cụ thể lớp 10A5(sĩ số 38) lớp 10A4 (sĩ số 42) năm học 2016- 2017 sau: Lớp 10A5 Lớp 10A4 6x Điểm Điểm từ đến 6,5 Điểm từ 6,5 đển Điểm số lượng tỉ lệ % số lượng tỉ lệ % số lượng tỉ lệ % số lượng tỉ lệ % Trước áp dụng Sau áp dụng 13,2% 22 57,9% 21% 7,9% 2,6% 13 34,2% 18 47,4% 15,8% Trước áp dụng 7,15% 25 59,53% 10 23,8% 9,52% Sau áp dụng 2,38% 19,05% 24 57,14% 21,43% III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Bất phương trình chứa bậc hai nội dung khó phức tạp em có lực học yếu, trung bình trung bình nên học phần em ngại học Thầy cô giáo khó trình bày cho em dễ hiểu dễ trình bày Khi Tơi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp khoảng để giải bất phương trình chứa bậc hai so với cách giải lâu em có hứng thú, thích học lên nhiều thấy rõ tiến học tập tốn em em làm tập có phương pháp, đường lối rõ ràng dễ sử dụng Mặc dù cố gắng tìm tịi nghiên cứu cịn 16 thiếu sót hạn chế mong đồng nghiệp bổ sung góp ý cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn Tôi nghĩ khả áp dụng sáng kiến vào thực tế khả thi phù hợp nhiều học sinh có lực học yếu, trung bình trung bình 3.2 Kiến nghị: Đối với nhà trường theo tơi tùy thuộc vào lực học em, lớp linh hoạt đổi phương pháp dạy học cho phù hợp với lực học em mà đảm bảo chất lượng dạy học Đối với sở giáo dục đào tạo xem xét số sáng kiến kinh nghiệm hay mà lại phù hợp với đối tượng học sinh phổ biến đến trường để Thầy có điều kiện tiếp cận học hỏi kinh nghiệm giảng dạy cho em cho đạt kết tốt XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày21 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Lại Việt Quang 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao - Nhà xuất giáo dục Sách tập đại số 10 nâng cao - Nhà xuất giáo dục Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn - Trần Phương, Lê Hồng Đức Các đề thi đại học năm PHỤ LỤC 18 ... quát việc giải bất phương trình giải phương trình chứa thức Đối với sáng kiến "Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh dùng phương pháp khoảng giải số bất phương trình chứa bậc hai" Ta cần nắm vững số kiến... phương hai vế làm em phải giải bất phương trình phụ x x , em phải đặt nhiều điều kiện Một số giải pháp: Qua nghiên cứu rút đúc kinh nghiệm mạnh rạn đưa phương pháp khoảng giải số bất phương trình. .. bình giải số dạng bất phương trình chứa bậc hai thường gặp cách nhẹ nhàng hơn, dễ làm so với cách truyền thống nên mạnh dạn chọn đề tài "Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh dùng phương pháp khoảng giải