Hình chiếu vuông góc của ñiểm B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Gọi M là trung ñiểm của ñoạn thẳng A’C’, I là giao ñiểm của A[r]
(1)CHUYÊN ðỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ TỌA ðỘ VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN
Chun đề đề cấp đến tốn liên quan đến tọa ñộ ñiểm tọa ñộ véc tơ KG Các tốn thường gặp chia thành hai loại:
Loại 1: Các tốn mà đầu cho dạng HHGT khơng gian, ta giải cách sử dụng công cụ phép tính tọa độ khơng gian
Loại 2: Các tốn đầu cho dạng HHKG thơng thường Ta tọa độ hóa tốn cách chọn hệ trục tọa độ thích hợp, chuyển tốn sang giải PP tọa độ khơng gian A Lý thuyết:
1 Hệ tọa ựộ đêcac vng góc khơng gian:
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với đơi chung ñiểm gốc O Gọi i j k, ,
vectơ ựơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ tọa ựộ đêcac vng góc Oxyz ựơn giản hệ tọa ựộ Oxyz
Chú ý: i2 = j2 =k2 =1
i j i k = =k j =0 2 Tọa ñộ vectơ:
a) ðịnh nghĩa: u =
(
x y z; ;)
⇔ =u xi y j zk+ +b) Tính chất: Cho a=( ; ; ),a a a1 2 3 b=( ; ; ),b b b1 2 3 k∈R
• a b± = (a1±b a1; 2±b a2; 3±b3)
• ka = (ka ka ka1; 2; 3)
• 12 12
3
a b
a b a b
a b = = ⇔ = =
• 0=( ; ; ),0 0 i =( ; ; ),1 0 j =( ; ; ),0 k=( ; ; )0
• a
phương b b( ≠0)
⇔ a kb k= ( ∈R)
1
3
1
2 2
1
3
0
a kb a
a a
a kb b b b
b b b
a kb , ( , , ) = ⇔ = ⇔ = = ≠ =
• a b.=a b1 1 +a b2 2+a b3 3 • a⊥b ⇔ a b1 1+a b2 2+a b3 3=0
• 2 2
1
a =a +a +a • 2
1 2
a = a +a +a
• 1 2 3
2 2 2
1 3
a b a b a b a b
a b
a b a a a b b b
cos( , )
. + + = = + + + +
(với a b, ≠0
) 3 Tọa ñộ ñiểm:
a) ðịnh nghĩa: M x y z( ; ; )⇔OM =( ; ; )x y z (x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y =
•••• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = b) Tính chất: Cho A x( ;A yA; zA), ( ;B xB yB;zB)
• AB=(xB−x yA; B−y zA; B−zA) • 2
B A B A B A
AB = (x −x ) +(y −y ) +(z −z )
• Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1):
1 1
A B A B A B
x kx y ky z kz M
k ; k ; k
− − −
− − −
• Toạ ñộ trung ñiểm M ñoạn thẳng AB:
2 2
A B A B A B
x x y y z z
M + ; + ; +
(2)• Toạ ñộ trọng tâm G tam giác ABC:
3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G + + ; + + ; + +
• Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD:
4 4
A B C D A B C D A B C C
x x x x y y y y z z z z
G + + + ; + + + ; + + +
4 Tích có hướng hai vectơ: (Chương trình nâng cao) a) ðịnh nghĩa: Cho a=( ,a a a1 2, )3 , b=( , , )b b b1 2 3
[ ]
3 1(
)
2 3 1 2
2 3 1
a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
, = ∧ = ; ; = − ; − ; −
Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b) Tính chất:
• i j, =k; j k,=i;
[ ]
k i, =j •[ , ]a b ⊥ a; [ , ]a b ⊥ b• [ , ]a b =a b .sin ,
(
a b)
• a b, phương ⇔ [ , ]a b = c) Ứng dụng tích có hướng:• ðiều kiện ñồng phẳng ba vectơ: a b, c
ñồng phẳng ⇔[ , ].a b c =0
• Diện tích hình bình hành ABCD: S▱ABCD = AB AD,
• Diện tích tam giác ABC:
2 ABC
S∆ = AB AC,
• Thể tích khối hộp ABCD.A′′′′B′′′′C′′′′D′′′′: VABCD A B C D ' ' ' ' = [ AB AD AA, ] '
• Thể tích tứ diện ABCD:
6 ABCD
V = [AB AC AD , ]
Chú ý: – Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng ñể chứng minh hai đường thẳng vng góc,
tính góc hai đường thẳng
– Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – khơng đồng phẳng, chứng minh vectơ phương
[ ]
[ ]
0 a b a b
a b phương a b a b c đồng phẳng a b c
,
, , ,
⊥ ⇔ =
⇔ =
⇔ =
B Các dạng tập
(3)Bài: (KA-06) Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với (0; 0; 0), (1; 0; 0), (0;1; 0), '(0; 0;1)
A B D A Gọi M N trung điểm AB CD Tính khoảng cách hai ñường A’C MN
Bài: (KA-04) Trong khơng gian Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc O Biết (2; 0; 0), (0;1; 0), (0; 0; 2)A B S Gọi M trung ñiểm SC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM
Bài: (KA-03) Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc hệ trục, ( ; 0; 0),B a D(0; ; 0),a A'(0; 0; )b (a>0,b>0) Gọi M trung ñiểm CC’ Xác ñịnh tỉ số a
b để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vng góc với
Bài: (KD-04) Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA B C1 1 1 Biết
1
( ; 0; 0), ( ; 0; 0), (0;1; 0), ( ; 0; ) ( , 0)
A a B −a C B −a b a b>
a) Tính khoảng cách hai đường thẳng B C1 AC1theo a,b
b) Cho a,b thay ñổi thỏa mãn a+b=4 Tìm a,b ñể khoảng cách hai ñường thẳng B C1 AC1 lớn
Bài: Trong khơng gian cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với tọa ñộ ñỉnh sau: A’(0;0;0), B’(a;0;0), D’(0;b;0); A(0;0;c) ( a,b,c>0) Gọi P, Q, R, S trung ñiểm cạnh AB, B’C’, C’D’, DD’ Tìm mối liên hệ a,b,c ñể PR vuông với QS
Bài: (KB-03) Trong không gian Oxyz cho A
(
2; 0; ,) (
B 0; 0;8)
và ñiểm C cho AC(0; 6; 0)
Tính khoảng cách từ trung điểm I BC ñến ñường thẳng OA
Bài: (TK 03) Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD
vớiA
(
2;3; ,) (
B 6; 1; , − −)
C(
− −1; 4;3 ,)
D(
1; 6; 5−)
Tính góc hai đường thẳng AB CD Tìm tọa độ M thuộc đường thẳng CD cho tam giác AMB có chu vi nhỏBài:(KB 03) Trong không gian Oxyz cho A
(
2; 0; ,) (
B 0; 0;8)
và ñiểm C cho AC(0; 6; 0)
Tính khoảng cách từ trung ñiểm I BC ñến ñường thẳng OA
Bài: (TK 03) Trong KG Oxyz cho tứ diện OABC với A(0; 0;a 3), B a( ; 0; 0) C(0;a 3; 0) (a>0) Gọi M trung ñiểm BC Tính (d AB OM, )
Bài: (CðSPMG TW 06) Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD với A(7; 4;3), B(1;1;1), (2; 1; 2)
C − , D( 1;3;1)− Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD B Các toán cho dạng hình học khơng gian thơng thường
Giải tốn phương pháp “tọa độ hóa” ta tiến hành theo bước sau:
Lập hệ trục tọa độ thích hợp
Tìm tọa ñộ ñiểm, véc tơ cần thiết
Sử dụng cơng thức biết ñể tính ñại lượng theo yêu cầu ñầu
Chú ý: việc chọn hệ trục tọa ñộ đóng vai trị quan trọng, phép tính tốn đơn giản hay phức tạp phụ thuộc chủ yếu vào bước
Bài 1: (KD-08) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên
'
AA =a Gọi M trung ñiểm cạnh BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C
Bài 2: (KB-08) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA=a, SB=a mp(SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung ñiểm cạnh AB,BC Tính theo a cosin góc tạo hai ñường SM, DN
(4)Bài 4: (KD-07) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang,
90 ,o , 2
ABC=BAD= BA=BC=a AD= a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA=a Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H ñến mp(SCD)
Bài 5: (KB-07) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm ñối xứng D qua trung ñiểm SA, M trung ñiểm AE, N trung ñiểm BC Chứng minh:
MN ⊥BD tính theo a khoảng cách hai ñường thẳng MN AC
Bài 6: (KB-06) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2, SA=a SA⊥(ABCD) Gọi M N trung ñiểm AD SC Chứng minh: (SAC)⊥(SMB) Bài 7: (KA-07) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M,N,P trung ñiểm cạnh SB,BC,CD Chứng minh rằng: AM ⊥BP
Bài 8: (KB-02) Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách A B1 B D1
b) Gọi M,N,P trung ñiểm cạnh BB CD A D1, , 1 1 Tính góc hai đường thẳng MP C N1
Bài: (TK 02) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA⊥(ABCD SA), =a Gọi E trung điểm CD Tính theo a khoảng cách từ S đến BE
Bài: (ðHVH 06) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA⊥(ABCD), SA=a Tính khoảng cách hai đường thẳng BD SC
Bài: (DB KD 07) Cho lăng trụ ñứng ABCA B C1 1 có tất cạnh ñều a M trung ñiểm
1
AA CM: BM ⊥B C1 tính khoảng cách hai ñường thẳng BM B C1
CHỦ ðỀ 2: TÍNH VÀ DIỆN TÍCH TAM GIÁC VÀ THỂ TÍCH KHỐI ðA DIỆN BẰNG PHÉP TÍNH TỌA ðỘ TRONG KHƠNG GIAN
A Các tốn cho dạng hình học giải tích khơng gian
Bài 1: (KA-03) Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc hệ trục, ( ; 0; 0), (0; ; 0), '(0; 0; )B a D a A b (a>0,b>0) Gọi M trung điểm CC’ Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a,b
Bài 2: (KA-04) Trong khơng gian Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc O Biết (2; 0; 0), (0;1; 0), (0; 0; 2)A B S Gọi M trung ñiểm SC Giả sử mp(ABM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Bài 3: (TN-03) Trong khơng gian Oxyz cho A(2;4;-1), B(1;4;-1), C(2;4;3), D(2;2;-1) a) Chứng minh AB⊥ AC AC, ⊥ AD AD, ⊥AB
b) Tính thể tích khối tứ diện ABCD
Bài: (CðTCKT 06) Trong KG Oxyz cho ñiểm A(1; 2; 3), (0;1;1), ( 1; 1; 0)− B C − − Tính diện tích tam giác ABC
B Các tốn cho dạng hình học thơng thường
Bài 1: (KB-06) Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2, SA=a SA⊥(ABCD) Gọi M N trung ñiểm AD SC; I giao ñiểm BM AC Tính thể tích khối tứ diện ANIB
Bài 2: (KD-09) Cho hình lăng trụ đứngABCA B C' ' ' có đáy ABC tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M trung ñiểm ñoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC
(5)Bài: (TK 03) Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC) tam giác ABC vuông A, AD=a, AC=b, AB=c Tính diện tích S tam giác BCD theo a,b,c chứng minh: 2S≥ abc a b c( + + )
Bài: (TK 03) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng B, AB=a, BC=2a, cạnh SA vng góc với đáy, SA=2a Gọi M trung ñiểm SC Chứng minh tam giác AMB cân M tính diện tích tam giác AMB theo a
Bài: (KB 06) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2, SA=a
( )
SA⊥ ABCD Gọi M N trung ñiểm AD SC; I giao ñiểm BM AC CMR: (SAC)⊥(SMB) tính thể tích khối tứ diện ANIB
Bài: (CðYT I 06) Cho hình chóp SABC, đáy ABC tam giác vng B, cạnh SA vng góc với đáy, góc ACB=60 ,o BC=a SA, =a Gọi M trung ñiểm cạnh SB Chứng minh rằng:
(SAB)⊥(SBC) tính thể tích tứ diện M.ABC
Bài: (KA 07) Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác ñều nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M,N,P trung ñiểm cạnh SB,BC,CD Chứng minh rằng: AM ⊥BP tính thể tích khối tứ diện CMNP
Bài: (DB KD 07) Cho lăng trụ ñứng ABCA B C1 1có ñáy ABC tam giác vuông, AB=AC=a,
1
AA =a Gọi M,N trung ñiểm AA1 BC1 Chứng minh MN đường vng góc chung AA1 BC1 Tính thể tích tứ diện MA BC1 1
Bài: (DB KB 07) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với đáy Cho AB=a, SA=a Gọi H,K hình chiếu A SB, SD Chứng minh rằng:
( )
SC⊥ AHK tính thể tích hình chóp OAHK
Bài: (DB KB 08) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA=a SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD tính cosin góc hai đường thẳng SB,AC
Bài: (KA 08) Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vng A, AB=a, AC =a hình chiếu vng góc đỉnh A’ mp(ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA’ B’C’
Bài: (KB 09) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA B C' ' ' có B’B =a, góc đường thẳng BB’ mp(ABC) 60o; Tam giác ABC vuông C BAC=60o Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a
Bài: (KD 09) Cho hình lăng trụ đứngABCA B C' ' ' có đáy ABC tam giác vng tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M trung ñiểm ñoạn thẳng A’C’, I giao ñiểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ ñiểm A ñến mp(IBC)
CHỦ ðỀ 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ CỦA VÉC TƠ Bài : Trong khơng gian cho điểm A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2) Chứng minh ñiểm ñồng phẳng
Bài : Trong khơng gian cho điểm A(2;4;-1), B(1;4;-1), C(2;4;3), D(2;2;-1) a) Chứng minh ABCD tứ diện
b) Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M khơng gian cho đại lượng MA2+MB2+MC2+MD2 đạt
GTNN tính giá trị
Bài : Cho ba ñiểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2) a) Chứng minh: A,B,C đỉnh tam giác b) Tính diện tích tam giác độ dài trung tuyến AM c) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A tam giác ABC Bài : Cho ñiểm A(1;0;1), B(0;0;2), C(0;1;1), D(-2;1;0)
a) Chứng minh: A,B,C,D ñỉnh tứ diện
(6)c) Tính thể tích tứ diện ABCD khoảng cách từ A ñến mp(BCD) Bài :Cho tam giác ABC có A(-2;0;1), B(0;-1;1), C(0;0;-1)
a) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tính bán kính đường trịn b) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC
Bài : Cho tam giác ABC có A(0;0;2), B(0;1;0), C(1;2;3)
a) Tìm tọa độ S thuộc Oy để tứ diện SABC tích b) Tìm tọa độ hình chiếu H O mp(ABC)
CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI Dùng phương pháp tọa ñộ ñể giải toán sau:
Bài 1: (KA-07) Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác ñều nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M,N,P trung ñiểm cạnh SB,BC,CD CMR: AM ⊥BP tính thể tích khối tứ diện CMNP ðS:
3 3
96 a Bài 2: Cho kình hộp đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy hình vng cạnh a, cạnh bên AA’=h Tìm thể tích tư diện BDD’C’ ðS:
2
6 a h Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, cạnh SA vng góc với đáy, cạnh SB tạo với mp đáy góc 60o Trên cạnh SA lấy ñiểm M cho
3 a
AM = Mặt
phẳng (BCM) cắt SD N Tìm thể tích khối chóp S.BCNM ðS:
3
10
27 a Bài 4: (HV-06) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA⊥(ABCD), SA=a Tính khoảng cách hai đường thẳng BD SC ðS:
6 a Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mp(ABCD) SA=a Gọi E trung điểm CD Tính theo a khoảng cách từ ñiểm S ñến ñường thẳng BE ðS:
5 a Bài 6: Trong KG cho tứ diện OABC với (0; 0;A a 3); ( ; 0; 0), (0;B a C a 3; 0) (a>0) Gọi M trung điểm BC Tìm khoảng cách hai ñường thẳng AB OM ðS: 15
5 a Bài 7: (CðSP TN-06) Cho hình vng ABCD cạnh a Qua trung điểm I cạnh AB dựng đường thẳng d vng góc với mp(ABCD) Trên d lấy S cho
2 a SI = a) Tính diện tích tam giác SCD
b) Tính thể tích khối chóp S.ACD c) Tính khoảng cách từ C đến mp(SAD)
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I, cạnh a ñường chéo BD=a
Cạnh
2 a
SC= vng góc với mặt phẳng (ABCD) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SBD) vng góc với