13 Cho Ox vaø Oy laø hai nöûa ñöôøng thaúng coá ñònh, moät tam giaùc caân ABC coù dieän tích khoâng ñoåi, goùc ôû ñænh A buø vôùi goùc xOy, hai ñaàu B vaø C cuûa caïnh ñaùy di ñoäng t[r]
(1)QUỸ TÍCH
I.DẠNG ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
Cho điểm A thuộc (O) Kẻ tiếp tuyến xAy lấy P di động xy Tìm Quỹ tích trung điểm M OP P di động xAy Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB, kẻ bán kính OC vng góc với AB Từ A vẽ dây lưu động AD cắt OC M
a/ CM: O, B, M, D thuộc đường trịn
b/ Tìm quỹ tích trung điểm I BM D di động cung BC Cho A cố định (O) Vẽ tiếp tuyến Ax lấy M di động Ax ,
vẽ tiếp tuyeán MB
a/ CM: O,B, M, A thuộc đường tròn
b/ Kẻ AP MB, BQ MA AP cắt BQ H CM: OBHA hình
thoi
c/ Cho I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB Tìm quỹ tích điểm I M di động Ax
Cho đường tròn tâm (O) C di động (O) A cố định (O) Tìm quỹ tích tâm M đường tròn ngoại tiếp tam giác OAC Cho nửa đường trịn tâm (O) đường kính AB Ax, By hai tiếp tuyến (O) M di động nửa tròn, Tiếp tuyến M cắt Ax , By A/, B/
a/ CM: A, A/, M, O B, B/, M, O thuộc đường tròn xác định
(2)b/ Tìm quỹ tích I, J M di động nửa đường tròn
Cho (O; R) cung AB = 900 Dây CD song song với AB (C, D
thuộc cung AB lớn) ABCD tứ giác lồi a/ Tứ giác ABCD hình gì? Vì sao?
b/ Định vị trí C, D để ABCD hình vng
c/ Tìm quỹ tích trung điểm I CD CD di động song song với AB
Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Vẽ góc xHy =
900 quay quanh H Hx cắt AB D, Hy cắt AC E
a/ CM: A, D, H, E thuộc đường trịn
b/ Tìm qũy tích tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE
Cho góc xOy = 900 điểm A cố định góc xOy, vẽ góc tAz
= 900 quay quanh A cho At cắt Ox P, Az cắt Oy Q
a/ CM: O,P, A, Q thuộc đường trịn b/ Tìm quỹ tích trung điểm M PQ
Cho góc xOy = 900 Lấy M Ox cố định N di động Oy
Tìm quỹ tích tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN
10 Cho goùc xOy = 900 A cố định góc xOy Vẽ tam giác
ABC vng A có B di động Ox C di động Oy Tìm quỹ tích trung điểm M BC
11 Cho tam giác ABC có N thuộc BC, kẻ ND song song AC ( D thuộc AB) NE song song AB ( E thuoäc AC)
(3)b/ Tìm quỹ tích giao điểm M AN DE N di động BC
12 Cho đoạn AB cố định C di động AB Vẽ phía
với AB hai hình vng ACDE CBFG Gọi O1 O2 tâm
hình vng, O1A cắt O2B K
a/ CM: tam giác AKB vuông cân
b/ CM : tứ giác O1KO2C hình chữ nhật
c/ Tìm quỹ tích trung điểm M O1O2
13 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Tiếp tuyến Ở C với nửa đường tròn cắt Ax By D E
a/ CM: DE = AD + BE vaø góc DOE = 900
b/ Tìm quỹ tích trung điểm I DE C chạy nửa đường trịn
14 Cho hình chữ nhật ABCD Một góc xAy = 900 quay quanh A, Tia
Ax cắt Bc E, Ay cắt CD F, G đỉnh thứ tư hình chữ nhật AEGF Tìm quỹ tích tâm O của hình chữ nhật AEGF
15 Cho hình vng ABCD có cạnh a, E điểm nằm giửa A B, Ce cắt AD I, đường thẳng vng góc với CI C cắt AB K
a/ CM: A C, K, I thuộc đường tròn tâm O CI = CK b/ Tìm quỹ tích tâm O trung điểm IK
16 Cho (O) hai đường kính AA/ BB/ vng góc với Lấy
một điểm M tùy ý cung nhỏ AB Đường thẳng A/M cắt BB/ I
(4)b/ Tìm quỹ tích điểm tâm O/ đường tròn qua điểm
M di động cung nhỏ AB
17 Cho hai điểm cố định A B Tìm quỹ tích tâm O đường trịn mà từ hai điểm A B vẽ hai tiếp tuyến AA/ = BB/ ( A/, B/ hai tiếp điểm)
18 Cho đoạn thẳng AB cố định điểm C AB Vẽ
phía AB dựng hình vuông ACDE CBFG Gọi O1 O2
là tâm hình vng Tìm quỹ tích trung điểm M O1O2 C
chạy A
19 Một điểm C chuyển động đoạn thẳng AB cho trước, dựng hai tam giác ACD BCE có cạnh AC BC nằm phía AB Tìm quỹ tích trung điểm DE
20 Tìm quỹ tích tâm đường trịn ln ln qua hai điểm cố định cho trước
21 Cho điểm A, B, C thẳng hàng AB = BC, Tìm quỹ tích điểm P mà PB phân giác góc APC
22 Từ đường trịn cho trước có hai điểm cố định A B dựng hai dây cung biến thiên AC BD có chiều dài Hai dây cung cắt hay ngồi đường trịn Tìm quỹ tích giao điểm
(5)1 Cho điểm A cố định thuộc đường thẳng d cố định Tìm quỹ tích điểm O tâm đường trịn ln tiếp xúc với d A
Cho tam giác ABC cố định, kẻ phân giác AD góc A Lấy M di động BC Kẻ Mx // AD cắt AC E AB F
a/ CM: tam giác AEF cân
b/ Tìm quỹ tích trung điểm P EF M di động BC Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Tiếp tuyến Ở C với nửa đường tròn cắt Ax By D E
a/ CM: DE = AD + BE góc DOE = 900
b/ Tìm quỹ tích trung điểm I DE C chạy nửa đường tròn
Cho hình chữ nhật ABCD Một góc xAy = 900 quay quanh A, Tia
Ax cắt Bc E, Ay cắt CD F, G đỉnh thứ tư hình chữ nhật AEGF
a/ Tìm quỹ tích tâm O của hình chữ nhật AEGF b/ Tìm quỹ tích điểm G
Cho hình vng ABCD có cạnh a, E điểm nằm giửa A B, Ce cắt AD I, đường thẳng vng góc với CI C cắt AB K
a/ CM: A C, K, I thuộc đường tròn tâm O CI = CK b/ Tìm quỹ tích tâm O trung điểm IK
c/ Từ E kẻ đường thẳng vng góc với IK M, E di động AB, Tìm quỹ tích tâm M
(6)Cho tam giác ABC cân A nội tiếp (O;R) M điểm cung nhỏ AC, AM cắt BC S
a/ CM:góc ASB = goùc ACM
b/ CM: tam giác ACM đồng dạng với tam giác ASC, đồng dạng tam giác BSM
c/ CM: M di động AM.AS khơng đổi đường trịn ngoại tiếp tam giác MSC ln ln tiếp xúc với AC
d/ CM: tâm K đường trịn ngoại tiếp tam giác MSC ln ln di động đường cố định
Cho hình vng ABCD Lấy M BC ngồi đoạn BC Đường vng góc với AM A cắt tia CD P Dựng hình chữ nhật AMNP
a/ CM: AMNP hình vuông
b/ Tìm qũy tích điểm N M di động
Cho (O) đường kính AB = 4cm Vẽ dây AN, AN lấy M cho AM.AN = Từ M kẻ MI vng góc với AB I
a/ CM: AM.AN = AI AB b/ Tính AI
c/ Tìm quỹ tích điểm M
Cho tam giác ABC có phân giác AI Tại điểm di
(7)10 Cho tam giác ABC cố định, kẻ phân giác AD góc A Lấy M di động BC Kẻ Mx // AD cắt AC E AB F.Tìm quỹ tích trung điểm P EF M di động BC
11 Cho hình chữ nhật ABCD Một góc xAy = 900 quay quanh A, Tia
Ax cắt Bc E, Ay cắt CD F, G đỉnh thứ tư hình chữ nhật AEGF Tìm quỹ tích điểm G
12 Cho (O) đường kính AB = 4cm Vẽ dây AN, AN lấy M cho AM.AN = Tìm quỹ tích điểm M
13 Cho góc vuông xOy, Ox lấy điểm A cố định A khác O, B di động Oy.Tìm quỹ tích điểm C cho tam giác ABC ( dựng tam giác OAD có đỉnh D bên góc xOy )
III DẠNG ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
Cho góc xOy = 900 A cố định Ox, B di động Oy Vẽ
hình vng ABCD có hai đường chéo cắt I a/ CM: A, O, I, B thuộc đường tròn
b/ Keû IH Ox, IK Oy CM : IH = IK
c/ Tìm quỹ tích điểm I B di động Oy
Cho hai đường thẳng cắt A Tìm quỹ tích tâm đường trịn ln ln tiếp xúc với hai đường tròn
(8)a/ CM : OE = OF
b/ CM : tứ giác MENF hình bình hành c/ Tìm quỹ tích trung điểm I MN
Cho hình vng ABCD Lấy M BC ngồi đoạn BC Đường vng góc với AM A cắt tia CD P Dựng hình chữ nhật AMNP
a/ CM: AMNP hình vuông
b/ Gọi O giao điểm hai đường chéo hình vng AMNP CM: tam giác CAN vng C
c/ Tìm qũy tích điểm N M di động
Cho điểm M di động góc vng xOy cố định Gọi A B chân đường vuông góc vẽ từ M đến Ox, Oy Qua M vẽ đường thẳng vng góc với AB hai phía điểm M lấy hai điểm I, J cho MI = MJ = AB( I điểm góc vng xOy)
a/ CM: góc AMJ = góc AOM b/ Tìm quỹ tích điểm I
c/ Tìm quỹ tích điểm J
Cho góc xOy = 900, tia Ox lấy đoạn cố định OA
trên tia Oy lấy điểm B di động Dựng hình vng ABCD với hai đường chéo cắt I Tìm quỹ tích điểm I B di động tia Oy
(9)Cho hình vng ABCD Lấy M BC ngồi đoạn BC Đường vng góc với AM A cắt tia CD P Dựng hình chữ nhật AMNP Tìm qũy tích điểm N M di động
Cho điểm M di động góc vng xOy cố định Gọi A B chân đường vng góc vẽ từ M đến Ox, Oy Qua M vẽ đường thẳng vng góc với AB hai phía điểm M lấy hai điểm I, J cho MI = MJ = AB( I điểm góc vng xOy) Tìm quỹ tích điểm I J
10 Cho Ox Oy hai nửa đường thẳng cố định vng góc với Một tam giác vng cân ABC có diện tích không đổi, hai đầu B C cạnh huyền di động Ox Oy, hai đỉnh A O nằm ngồi hai phía BC Tìm quỹ tích điểm A
11 Tìm quỹ tích tâm đường trịn ln ln tiếp xúc với hai đường thẳng cắt cho trước
12 Góc đỉnh tam giác cân góc hai đường thẳng cắt cố định Tìm quỹ tích trung điểm cạnh đáy tam giác cân
13 Cho Ox Oy hai nửa đường thẳng cố định, tam giác cân ABC có diện tích khơng đổi, góc đỉnh A bù với góc xOy, hai đầu B C cạnh đáy di động Ox Oy, hai điểm A O hai phía BC Tìm quỹ tích điểm A
(10)Tìm quỹ tích tâm O đường trịn bán kính 2cm luôn tiếp xúc với đường thẳng d cố định
Cho đường thẳng xy cố định điểm A cố định xy, kéo AB lấy BC = AB Kẻ AH CI vng góc với xy
a/ CM: AH = CI
b/ Tìm quỹ tích điểm C B chạy xy
Cho đường thẳng d1 d2 cố định song song với Tìm
quỹ tích đường trịn ln ln tiếp xúc với đường thẳng Cho hai đường thẳng p q song song cố định Cát tuyến xy cắt p
và q A B, kẻ MH p MK q
a/ CM : MH = MK
b/ Tìm quỹ tích trung điểm M AB xy chuyển động song song với
Cho đường thẳng d A cố định khơng thuộc d, đường trịn (O) di động qua A tiếp xúc với d B Gọi M trung điểm AB kẻ
AH d vaø MK d
a/ CM: MK = 12 AH
b/ Tìm quỹ tích M
Cho tam giác ABC có BC cố định đĩnh A di động đường
thẳng xy cố định song song với BC Kẻ AH BC GE BC với G
là trọng tâm tam giác ABC a/ Tính tỉ số EGAH
(11)Cho tam giác ABC cố định D di động BC kẻ đường cao AH tam giác ABC Tìm quỹ tích trung điểm I AD D di động BC
Cho hình bình hành ABCD cố định I điểm di động đường chéo AC Gọi M điểm đối xứng D qua I O giao điểm hai đường chéo hình bình hành
a/ CM : OI // MB
b/ Tìm quỹ tích điểm M I di động
Cho đường thẳng xy cố định điểm A cố định xy, kéo AB lấy BC = AB Tìm quỹ tích điểm C B chạy xy
10 Cho hai đường thẳng p q song song cố định Cát tuyến xy cắt p q A B, Tìm quỹ tích trung điểm M AB xy chuyển động song song với
11 Cho đường thẳng d A cố định khơng thuộc d, đường trịn (O) di động qua A tiếp xúc với d B Tìm quỹ tích hình chiếu M O xuống AB
12 Cho tam giác ABC có BC cố định đĩnh A di động đường thẳng xy cố định song song với BC Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC
(12)14 Tìm quỹ tích tâm đường trịn di động ln ln tiếp xúc với hai đường thẳng song song cho trước
15 Một điểm C chuyển động đoạn AB cho trước, dựng hai tam giác ACD BCE có cạnh AC BC nằm phía với AB Tìm quỹ tích trung điểm DE
16 Một tam giác biến thiên có đáy cố định diện tích khơng đổi Tìm quỹ tích đỉnh góc đối
17 Tìm quỹ tích trung điểm đọan thẳng có đầu điểm cố định, đầu thi di động đường thẳng cho trước 18 Tìm quỹ tích trung điểm đọan thẳng có hai đầu di động hai đường thẳng song song cho trước
V DẠNG ĐƯỜNG TRÒN
Cho điểm A di động (O) cố định, Gọi I trung điểm OA a/ CM: A di động (O) điểm I di động đường tròn cố định
b/ Trên tia đối tia AO lấy K cho AO = AK CM: A di động (O) K di động đường tròn cố định
Cho A di động (O;R) có đường kính BC cố định Gọi M, N hình chiếu O AB AC, I giao điểm AO MN
a/ CM: tứ giác AMON hình chữ nhật
(13)Cho A di động (O;R) đường kính CB cố định Trên tia đối tia AB lấy D cho AB = AD.CM: A di động (O) D di động đường tròn cố định
Cho B di động (O;R)
a/ Điểm A cố định nằm (O;R) Gọi I trung điểm AB CM: B di động (O) I di động đường cố định b/ Điểm C cố định nằm (O;R) Gọi J trung điểm BC CM: B di động (O) điểm J di động đường cố định Tìm quỹ tích tâm O đường trịn có bán kính R qua A cố định
Cho góc vng xOy đoạn AB = l( khơng đổi) với A B di động Ox Oy Tìm quỹ tích trung điểm M AB
Cho (O;R) dây BC = l không đổi Tìm quỹ tích trung điểm H BC BC di động ( < l < 2R)
Cho (O;R) hai bán kính OA OB vuông góc M trung điểm AB
a/ CM: OM AB
b/ Tính AB OM theo R
c/ Tìm qũy tích M AB di động OA OB
(14)10 Cho (O:R) Từ điểm M ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA MB đến (O;R) Đường trung trực đường kính BC cắt AC K
a/ CM: MK = R
b/ Tìm quỹ tích điểm M cho tam giác MAB
11 Cho tam giác ABC có đỉnh A di động, cạnh BC cố định đường trung tuyến BI = l ( l độ dài không đổi)và kéo dài CB lấy BO = BC
a/ CM: OA không đổi
b/ Tìm quỹ tích đỉnh A tam giác
12 Cho (O;R), BC dây cung cố định đường tròn, A di động cung lớn BC G trọng tâm tam giác ABC Từ G vẽ đường thẳng song song với OA cắt OI J ( I trung điểm BC)
a/ CM : J điểm cố định b/ Tìm quỹ tích điểm G
13 Cho đường tâm O đường kính AB cố định tiếp tuyến Ax A với đường tròn Một điểm m di động nửa đường tròn bên với tiếp tuyến Ax Tia BM gặp tia phân giác AT góc MAx I Tìm quỹ tích điểm I M di động nửa đường tròn
14 Cho (O;R) có đường kính AB cố định điểm C di động bán
kính OB Một cát tuyến vẽ từ C hợp với AB góc 450
cắt (O) E E/ ( E phía AB) Đường thẳng vng góc với
AB vẽ từ E/ cắt (O) F
a/ CM: tam giác CE/F vuông cân
(15)15 Cho góc xAy = 300 quay xung quanh điểm A cố định Từ
một điểm B cố định vẽ BM Ax BN Ay
a/ CM: MN có độ dài khơng đổi b/ Tìm quỹ tích trung điểm I MN
16 Cho (O;R) ahai đường kính AB CD vng góc với
Gọi M điểm di động cung nhỏ AC Vẽ dây cung ML CD
E, daây MN AB F LA cắt NC I
a/ CM: EF = R
b/ CM: I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MLN
c/ Tìm quỹ tích trung điểm K EF M di động cung nhỏ AC
17 Cho hai đường trịn đồng tâm bán kính R r Dựng dây cung BC đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ I Các tiếp tuyến với đường tròn lớn B C cắt A
a/ Tìm quỹ tích điểm A BC di động
b/ Đường thẳng AO cắt đường tròn lớn D E CM:
AD AE =
ID IE
18 Cho hai đường trịn đồng tâm O bán kính R R/ ( R/ > R) Tìm
quỹ tích điểm M mà từ vẽ hai tiếp tuyến MP MQ
với hai đường tròn đồng tâm cho MP MQ ( P Q hai tiếp
điểm )
19 Cho (O;R) điểm A cố định đường tròn Dựng tiếp tuyến xAy với đường tròn Từ điểm M di động xy vẽ tiếp tuyến MB với (O) ( B tiếp điểm )
(16)20 Cho nửa đường trịn đường kính AB C điểm nửa đường tròn M trung điểm cung AC AC cắt BM H, AM cắt BC E
a/ CM: EH AB
b/ CM: tam giác ABE tam giác cân
c/ Khi C di động nửa đường trịn E di động đường 21 Cho (O;R) A cố định thuộc (O) C di động (O) Vẽ hình thoi OABC Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC
22 Cho (O;R) hai đường kính AB CD vng góc với a/ CM:ACBD hình vng
b/ Lấy E thuộc cung BC Trên tia đối tia EA lấy EM = EB Chứng tỏ ED phân giác góc AEB ED // MB
c/ Suy CE trung trực BM M luôn di động đường cố định
23 Cho (O;R) I điểm cung AB nửa đường trịn đường kính AB C điểm di động cung BI Trên AC lấy CE = CF = CB ( E ngồi đường trịn (O))
a/ CM: IE = IB
b/ Tìm quỹ tích điểm E C di động cung BI
c/ Gỉa sử số đo cung BC = 600 Kéo dài BE cắt (O) M Tính
AM theo R
24 Cho (O) (O/) tiếp xúc với A Một đường thẳng
d qua A cắt (O) (O/) E F Tìm quỹ tích trung điểm M EF
(17)25 Một đọan thẳng biến thiên AP có chiều dài l khơng đổi, đầu A tiếp điểm với đường trịn O cho trước Tìm quỹ tích P 26 Một đoạn AP có đầu A điềm cố định nằm đường tròn O cho trước Tìm quỹ tích trung điểm M AP P di động đường tròn
27 Cho hình bình hành ABCD có CD cố định BC độ dài khơng đổi l Tìm quỹ tích giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD B di động
28 Một dây cung AC có đầu A trùng với đầu đường kính AB cố định đường trịn cố định, đường kéo dài AC lấy điểm P cho CP = AC Tìm quỹ tích điểm P
29 Cho AB dây cung biến thiên đường trịn O cố định có chiều dài cho trước Điểm P giao điểm hai tiếp tuyến qua A B Tìm quỹ tích điểm P
VI DẠNG ĐƯỜNG TRỊN ĐƯỜNG KÍNH
Cho A di động (O;R) có đường kính BC cố định Kẻ OD
AB D CM: A di động (O) D di động đường tròn cố định
Cho điểm A di động (O) điểm cố định thuộc (O).Kẻ BH
(18)Cho điểm A cố định nằm bên (O) dây BC di động quay
quanh A Kẻ OI BC I CM: BC quay quanh A I di động
trên đường cố định
Cho A cố định thuộc (O;R) B di động (O) Gọi M trung điểm AB
a/ CM: B di động (O) điểm M di động đường cố định
b/ Kẻ đường kính AC, Gọi N trung điểm BC CM: B di động (O) điểm N di động đường cố định
Cho điểm A cố định nằm (O) dây BC quay quanh A Gọi M trung điểm BC CM: M di động đường tròn cố định BC quay quanh A
Cho đường thẳng d AB A ( A B cố định ) C thuộc d
Kẻ AH BC H
a/ CM: H nằm đường tròn cố định
b/ CM: C di động d trung điểm M BH di động đường cố định
Cho (O) điểm A cố định thuộc (O) vẽ dây lưu động AC Tìm quỹ tích trung điểm I AC C chạy đường tròn (O)
Cho (O) điểm A cố định (O) Qua A vẽ dây lưu động BC Tìm quỹ tích trung điểm M BC BC quay quanh A
(19)10 Cho(O) vaø (O/) cắt A B Cát tuyeán qua A
cắt (O) C (O/) C/
a/ CM: BC = BC/
b/ Tìm quỹ tích trung điểm M CC/ cát tuyến quay quanh A
11 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp (O) D di động cung
BC Vẽ CH AB H, CH cắt BD G
a/ Tìm quỹ tích điểm H D di động cung BC b/ CM: C G đối xứng qua AD
12 Cho (O) va(O/) tiếp xúc A Từ A dựng hai tia Ax Ay
vng góc cắt (O) (O/) P Q Tìm quỹ tích trung điểm M
của PQ góc xAy xoay quanh A
13 Cho tam giác ABC, tam giác vẽ hai nửa đường trịn (O)
đường kính AB nưả đường trịn (O/) đường kính AC Qua A vẽ cát
tuyến xy cắt (O) D (O/) E
a/ CM: đường vng góc với DE trung điểm N DE qua điểm cố định
b/ Tìm quỹ tích điểm N xy quay quanh A
14 Cho điểm C di động cung AB lớn cố định (O;R) Dựng hình bình hành BACD
a/ Tìm quỹ tích giao điểm M BC AD C di động b/ Định vị trí C để AD dài
15 Cho giác ABC vuông A có AH đường cao Qua A vẽ đường thẳng di động d B/, C/ hình chiếu B C xuống d
a/ CM: đường trịn đường kính B/C/ qua điểm cố định
(20)16 Cho (O;R) vẽ tiếp tuyến xBy với B cố định, A di động xy Kẻ tiếp tuyến AC
a/ Tìm quỹ tích tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC
b/ H hình chiếu vng góc hạ từ B xuống OA Tìm quỹ tích
những điểm H
17 Cho hình vng ABCD từ M di động AC kẻ MP AB, MN
BC, AN cắt PD K Tìm quỹ tích điểm K M di động
AC
18 Cho nửa đườn trịn đường kính AB M di động nửa đường tròn Trên AM lấy AI = MB Tìm quỹ tích điểm I M di động
19 Cho (O) dây BC cố định, A di động cung BC lớn cho tam giác ABC có góc nhọn, M điểm cung BC Tìm quỹ tích trung điểm N AM A di động
20 cho góùc xOy = 900 A cố định Ox, B thuộc Oy cho OA =
OB, Cát tuyến lưu động qua A cắt OB H Đường thẳng vẽ từ B vng góc với AH I cắt Ox D
a/ CM: OD = OH
b/ Tìm quỹ tích điểm I
c/ CM: tứ giác IHOD nội tiếp tìm quỹ tích tâm đường trịn
21 Cho (O) hai đường kính AB CD vng góc với M di
động AB, kẻ MH AC, MK BC
(21)b/ CM: tam giaùc CBH = tam giaùc BDK
c/ Tìm quỹ tích giao điểm I BH DK M di động AB 22 Cho A, B, C thẳng hàng theo thứ tự ấy, E trung điểm AB Đường tròn tâm (O) di động luôn qua A , B
a/ Tìm quỹ tích tâm O
b/ Đường trung trực AB cắt (O) I J CI, CJ cắt (O) M N Chứng tỏ IN, JM, AB đồng quy O
c/ CM: EA.EB= EI.EJ = EC.ED
d/ Chứng tỏ M, N di động đường cố định O di động 23 Một đường thẳng biến thiên luôn qua điểm cố định B, từ điểm cố định A hạ đường vng góc tới đường thẳng biến thiên Tìm quỹ tích chân đường vng góc
24 Tìm quỹ tích dây cung luôn qua điểm cố định nằm đường tròn cho trước
25 Từ hai đầu đoạn thẳng AB cố định, dựng hai nửa đường thẳng AC BD song song Tìm quỹ tích giao điểm hai đường phân giác góc CAB DAB
26 Cho AB đường kính cố định đường trịn O cố định Dây cung AC biến thiên Trên AC lấy đoạn AP = BC Tìm quỹ tích điểm P
(22)28 Cho AB đường kính cố định đường trịn O cố định P di động đường trịn, kẻ PCvng góc AB C Trên OP, lấy OQ = OC Tìm quỹ tich1 điểm Q
29 Cạnh hình thoi ABCD có chiều dài khơng đổi, vị trí AB cố định, O trung điểm AB, CO cắt BD P Tìm quỹ tích điểm P góc hình thoi biến thiên
VII DẠNG CUNG CHỨA GÓC
Cho đường trịn đường kính AB kẻ dây lưu động AC kéo dài lấy CM = CB Khi C di động nửa đường trịn Tìm quỹ tích điểm M
Cho tam giác ABC có BC cố định góc A = 600 nội tiếp (O)
Phân giác góc B C cắt I Tìm quỹ tích điểm I A di động cung BAC
Cho tam giác ABC có BC cố định góc A khơng đổi a/ Tìm quỹ tích điểm A
b/ Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác ABC
Cho M, N, P cố định không thẳng hàng CM đỉnh tam giác ABC có cạnh quaM, N, P luôn di động đường cố định
Cho nửa đường trịn đường kính AB Lấy C, D thuộc cung AB di
động theo thự tự A, C, D, B cho số đo cung CD = 900 AC cắt BD
ở E; AD cắt BC F
(23)Cho (O;R) dây BC cố định không qua O A di động cung lớn BC cho tam giác ABC có góc nhọn
a/ Chứng tỏ A di động cung A1A2 nhỏ
b/ CM: tứ giác BCA1A2 hình chữ nhật
c/ Đường trịn đường kính CB cắt AB, AC D E BE cắt CD H CM: H trực tâm tam giác ABC ; tứ giác ADHE nội tiếp ;
BHAA2 CHAA2 hình bình hành
d/ Tính góc BHC theo A e/ Tìm quỹ tích điểm H
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) D di động cung BC Trên DA lấy DK = DB
a/ CM: tam giác BDK b/ CM: AD = DB + DC
c/ Suy vị trí D để DB + DC lớn d/ Tìm quỹ tích điểm K D di động
Cho A di động cung lớn BC cố định (O;R) Vẽ đường cao AH tam giác ABC, phân giác góc BAC cắt (O) M
a/ CM : OM BC I AM phân giác góc OAH
b/ Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC A di động c/ CM : tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC di động cố định
Cho (O;R) theo chiều lấy số đo cung AB = 900 , cung BC =
300
a/ Tính AB, AC theo R
b/ Từ A vẽ đường thẳng vng góc với BC D Tính AD, BD, BC theo R
(24)10 Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) AI đường kính cố định, D điểm di động cung AC
a/ Tính cạnh tam giác ABC theo R
b/ Chứng tỏ AI phân giác góc BAC
c/ Trên tia DB lấy DE = DC Chứng tỏ tam giác CED tam giác
đều DI CE
d/ Chứng tỏ E thuộc đường cố định
e/ Tính diện tích tam giác ADI theo R lúc I điểm cung AC
11 Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R)
a/ Tính cạnh tam giác ABC, đường cao tam giác
b/ M di chuyển cung BC ( M khác B C) Trên tia đối tia MB lấy MD= MC Chứng tỏ tam giác MCD
c/ Khi M di chuyển cung BC Chứng tỏ D luôn di chuyển đường cố định
12 Một tam giác ABC biến thiên, có đáy AB cố định góc C có độ lớn khơng đổi Kéo dài AC tới P, cho CP = CB Tìm quỹ tích điểm P
13 Hai điểm D E di động hai cạnh AB AC tam giác ABC cho trước, cho BD = CE Tìm quỹ tích giao điểm BE CD
(25)15 Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC biến thiên có đáy BC cố định góc A a cho trước
16 Tìm quỹ tích tâm O1 đường trịn bàng tiếp với cạnh BC cố
định góc A a cho trước
17 Tìm quỹ tích tâm O2 đường tròn bàng tiếp với cạnh AC cố
định góc B a cho trước
18 Tìm quỹ tích tâm O3 đường trịn bàng tiếp với cạnh AB cố
định góc C a cho trước VIII BÀI TỐN TỔNG HỢP
Cho hình bình hành ABCD, điểm I di động đường chéo AC Đường thẳng DI cắt đường thẳng AB M, cắt BC N
a/ CM: AMAB =DM
DN =
CB CN
b/ CM: ID2 = IM.IN
c/ Gọi K điểm đối xứng D qua I Tìm quỹ tích điểm K I di động AC
Cho A, B, C thẳng hàng theo thứ tự ấy, E trung điểm AB Đường tròn tâm (O) di động luôn qua A , B
a/ Tìm quỹ tích tâm O
b/ Đường trung trực AB cắt (O) I J CI, CJ cắt (O) M N Chứng tỏ IN, JM, AB đồng quy O
c/ CM: EA.EB= EI.EJ = EC.ED
(26)Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Ax tia di động quya quanh A cắt nửa đường tròn C
a/ Trên nửa đường thẳng Cx lấy CD = CB Tìm quỹ tích điểm D nửa đường trịn có đường kính BK tâm I; K I hai điểm mà ta phải xác định Tính BK theo R
b/ Trên nửa đường thẳng Ax lấy AE = CB Tìm quỹ tích điểm E nửa đường trịn đường kính AK
c/ Tính diện tích phần chung hai nửa đường trịn đường kính AB AK theo R
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) D di động cung BC Trên DA lấy DK = DB
a/ CM: tam giác BDK b/ CM: AD = DB + DC
c/ Suy vị trí D để DB + DC lớn d/ Tìm quỹ tích điểm K D di động
Cho hai đường tròn (O) (O/) cắt A B Qua A vẽ cát
tuyến MAN ( M thuộc (O)) N thuộc (O/)) Gọi I K
trung điểm AM AN
a/ CM : I K di động đường cố định
b/ CMR: độ dài MN 2OO/ Suy vị trí cát tuyến MAN để
có độ dài M1N1 lớn
c/ Tìm vị trí cát tuyến MAN để có điểm O, O/, K, I
cùng nằm đường trịn
Cho hình vng ABCD có cạnh a, E điểm nằm giửa A B, Ce cắt AD I, đường thẳng vng góc với CI C cắt AB K
(27)b/ Tìm quỹ tích tâm O trung điểm IK
c/ Từ E kẻ đường thẳng vng góc với IK M Khi E di động cạnh AB Chứng tỏ M di động đường cố định
d/ Đặt BE = x Tính độ dài BK, CK, IK, diện tích tứ giác ACKI theo a x
Cho đường trịn tâm O đường kính AB =2R, E điểm di động nằm A B, d đường trung trực BE, M di động đường tròn (O) Đường thẳng AM cắt d C, đường thẳng BC cắt (O) N
a/ CM: AN BM cắt điểm D treân d
b/ CM: điểm A, D, E, C thuộc đường tròn tâm đường tròn di động đường cố định
Cho điểm A di động cung lớn BC cố định đường tròn (O;R) vẽ đường cao AH tam giác ABC, phân giác góc BAC cắt (O) M
a/ CM: OM BC taïi I AM tia phân giác góc OAH
b/ Khi A di động tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC c/ Chứng tỏ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC di động đường cố định
d/ Cho BC = R
√
3 Tính góc BOC độ dài OI theo R, tìm vịtrí A cho diện tích giới hạn cung nhỏ BC, dây AB AC lớn nhất, tính diện tích lớn theo R
Cho tam giác ABC cân A nội tiếp (O;R) M điểm cung nhỏ AC, AM cắt BC S
a/ CM:góc ASB = góc ACM
b/ CM: tam giác ACM đồng dạng với tam giác ASC, đồng dạng tam giác BSM
(28)d/ CM: tâm K đường tròn ngoại tiếp tam giác MSC luôn di động đường cố định
Cho (O) cố định , BC dây cung cố định (O), A điểm di động cung lớn BC Gọi H trực tâm tam giác ABC
a/ CM: H/ đối xứng với H qua BC luôn nằm (O) A di
động
b/ Tìm quỹ tích điểm H A di động cung lớn BC
10 Cho hình vng ABCD có tâm O, đường thẳng d quay quanh O cắt hai cạnh AD BC E F Từ E F vẽ đường thẳng song song với DB AC cắt I
a/ Tìm quỹ tích điểm I