GIAO AN DAY ON THI VAO THPT

Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c AHCEd. Chøng minh CH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACE.[r]

Buổi 1. Một số toán rót gän: Mơc tiªu:

-Hớng dẫn để học sinh giải đợc toán dạng rút gọn biểu thức có chứa thức số toán tổng hợp.

Bai :

1) Đơn giản biểu thức : P = 14 5  14 5

2) Cho biÓu thøc : Q =

x x x

x

x x x

    



 

    

 

a) Đơn giản biểu thức Q b) Tìm x để | Q | > - Q

c) Tìm số ngun x để Q có giá trị nguyên H

íng dÉn : 1 P = 6

2 a) §KX§ : x > ; x  BiĨu thøc rót gän : Q = x −1

b) | Q | > - Q ⇔ x > c) x = {2;3} Q Z

Bài : Cho biÓu thøc P =

1 x

x1 x x a) Rót gän biĨu thøc sau P

b) Tính giá trị biểu thức P x =

2 H

íng dÉn : a) §KX§ : x > ; x  BiĨu thøc rót gän : P = x+1

1− x

b) Víi x =

2 th× P = - – √2

Bai : Cho biÓu thøc : A = xx −√x+11− x −1 √x+1 a) Rót gän biĨu thức sau A

b) Tính giá trị biểu thøc A x =

4

c) Tìm x để A <

d) Tìm x để | A | = A

H

íng dÉn : a) §KX§ : x  0, x  BiĨu thøc rót gän : A = √x

√x −1

Bai : Cho biÓu thøc : A =

1

1

a a a

   

 

   

 

   

a) Rót gän biĨu thøc sau A

b) Xác định a để biểu thức A >

2

H

íng dÉn : a) ĐKXĐ : a > a9 Biểu thức rót gän : A =

√a+3

b) Víi < a < th× biĨu thøc A >

2

Bai : Cho biÓu thøc: A =

2

x x x 4x x 2003

x x x x

      

 

 

  

  .

1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rút gọn A

3) Với x  Z ? để A  Z ?

H

íng dÉn : a) §KX§ : x ≠ ; x ≠ ±

b) BiĨu thøc rót gän : A = x+2003

x víi x ≠ ; x ≠ ± c) x = - 2003 ; 2003 th× A  Z

Bai : Cho biÓu thøc: A =

 

2 x x

x x x x

:

x

x x x x

 

   



 

    

  .

a) Rút gọn A b) Tìm x để A <

c) Tìm x nguyên để A có giá trị ngun H

íng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A = √x+1

√x −1

b) Víi < x < th× A < c) x = {4;9} th× A Z

Bai : Cho biÓu thøc: A =

x x x

:

x x x x 1 x

   

 

 

     

 

a) Rót gän biĨu thøc A

b) Chøng minh r»ng: < A <

H

íng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A =

x+√x+1 b) Ta xÐt hai trêng hỵp :

+) A > ⇔

x+√x+1 > với x > ; x ≠ (1)

+) A < ⇔

x+√x+1 < ⇔ 2( x+√x+1 ) > ⇔ x+√x > theo gt

x > (2)

Bai : Cho biÓu thøc: P =

a a a

4 a

a a

  

 



  (a  0; a  4)

a) Rót gän P

b) Tính giá trị P với a =

H

íng dÉn : a) §KX§ : a  0, a 4 BiĨu thøc rót gän : P =

√a −2

b) Ta thÊy a = §KX§ Suy P =

Bai : Cho biÓu thøc: N =

a a a a

1

a a

     

 

   

     

   

1) Rót gän biĨu thøc N

2) Tìm giá trị a để N = -2004

H

íng dÉn : a) §KX§ : a  0, a 1 BiĨu thøc rót gän : N = – a b) Ta thÊy a = - 2004 §KX§ Suy N = 2005

Bai 10 : Cho biÓu thøc P=x√x+26√x −19 x+2√x −3 −

2√x √x −1+

√x −3

√x+3 a Rót gän P

b Tính giá trị P x=743

c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ H

íng dÉn : a ) §KX§ : x  0, x 1 BiĨu thøc rót gän : P=x+16

√x+3

b) Ta thÊy x=7−4√3 §KX§ Suy P=103+3√3

22

c) Pmin=4 x=4

Bai 11 : Cho biÓu thøc P=( 2√x √x+3+

√x √x+3−

3x+3

x −9 ):(

2√x −2

√x −3 −1)

a Rút gọn P b Tìm x P<1

2 c Tìm giá trị nhá nhÊt cđa P

H

íng dÉn : a ) §KX§ : x  0, x 9 BiĨu thøc rót gän : P= −3

√x+3

b Víi 0≤ x<9 th× P<−1

2

c Pmin= -1 x =

* Bµi tËp vỊ nhµ:

Bµi 12: Cho A=

1 1

4

1

a a

a a

a a a

     

  

   

     

  víi x>0 ,x1

b TÝnh A víi a =       4 15 10 4 15 ( KQ : A= 4a )

Bµi 13: Cho A=

3

1 :

9

x x x x x

x x x x x

       

  

   

        

    víi x0 , x9, x4

a Rút gọn A b x= ? Thì A < c Tìm x Z để A Z

(KQ : A=

2 x )

Bµi 14: Cho A =

15 11 2

2 3

x x x

x x x x

  

 

    víi x0 , x1.

a Rót gän A

b T×m GTLN cđa A

c Tìm x để A =

d CMR : A 

(KQ: A =

3 x x 

 )

Bµi 15: Cho A =

2 1

1 1

x x

x x x x x

 

 

    víi x0 , x1. a Rót gän A

b T×m GTLN cđa A ( KQ : A = x x x )

Bµi 16: Cho A =

1

1 1

x  x x x x víi x0 , x1. a Rót gän A

b CMR : 0 A ( KQ : A = x x x )

Bµi 17: Cho A =

5 25

1 :

25 15

x x x x x

x x x x x

       

  

   

        

   

a Rót gän A

b Tìm x Z để A Z

( KQ : A =

3 x )

Bµi 18: Cho A =

2

5

a a a

a a a a

  

 

a Rút gọn A b Tìm a để A <

c Tìm a Z để A Z ( KQ : A =

1 a a   )

Bµi 19: Cho A=

7 2

:

4 2

x x x x x

x x x x x

       

  

   

        

    víi x > , x4

a Rót gän A

b So s¸nh A víi

A ( KQ : A = x x  )

Bµi20: Cho A =

 2

3

: x y xy

x y

x y

y x

x y x y

     

  

    

  víi x0 , y0, xy

a. Rót gän A

b. CMR : A 0 ( KQ : A =

xy x xyy

)

Bµi 21 : Cho A =

1 1 1

1

x x x x x x

x

x x x x x x x

 

     

      



       

Víi x > , x1 a Rót gän A

b Tìm x để A = ( KQ : A =

 

2 x x

x

 

)

Bµi 22 : Cho A =  

4

:

2

2

x x x

x x x

x x                     

  víi x > , x4.

a Rót gän A

b TÝnh A víi x = 5 (KQ: A = 1 x)

Bµi 23 : Cho A=

1 1 1

:

1 x x x x x

   

  

   

   

    víi x > , x1.

a Rót gän A

b TÝnh A víi x = 5 (KQ: A = x )

Bµi 24 : Cho A=

2 1

:

1

1

x x

x x x

x                    

  víi x0 , x1.

a Rót gän A

Bµi 25: Cho A=

1 2

:

1

1 1

x

x

x x x x x x

    

 

   

         

  víi x0 , x1.

a Rót gän A

b Tìm x Z để A Z

c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: A = 1 x x   )

Bµi 26 : Cho A =

2 3 2

:

9

3 3

x x x x

x

x x x

     

  

   

       

    víi x0 , x9

a Rót gän A

b Tìm x để A < -1

( KQ : A =

3 a

  )

Bµi 27 : Cho A =

1

:

1

1 1

x x x x x

x x

x x x

       

  

   

        

    víi x0 , x1.

a Rót gän A

b TÝnh A víi x = 5 (KQ: A =

4 x x ) c CMR : A 1

Bµi 28 : Cho A =

1 1

:

1

x

x x x x x



 



 

   

  víi x > , x1.

a Rót gän A (KQ: A = x

x 

) b.So sánh A với

Bài 29 : Cho A =

1

:

9

3 3

x x x

x

x x x

     

  

   

       

    Víi

1 0,

9 x x a Rót gän A

b Tìm x để A = c Tìm x để A <

( KQ : A = x x

x 

 )

Bµi30 : Cho A =

2

2 2

1 2

x x x x

x x x

     



 

    

  víi x0 , x1.

a Rót gän A

d T×m GTLN cña A (KQ: A = x(1 x) )

Bµi 31 : Cho A =

2 1

:

1 1

x x x

x x x x x

   

 

 

     

  víi x0 , x1.

a Rót gän A

b CMR nÕu x0 , x1 th× A > , (KQ: A =

1 x x )

Bµi 32 : Cho A =

4

1 :

1

1

x x

x x

x



 

 

 

 



  víi x > , x1, x4. a Rót gän

b Tìm x để A =

Bµi 33 : Cho A =

1 3

:

1

1

x x x x

x x

x x

       

 

   

       

  víi x0 , x1.

a Rót gän A

b TÝnh A x= 0,36

c Tìm x Z để A Z

Bµi 34 : Cho A=

3 2

1 :

1

x x x x

x x x x x

      

  

   

        

    víi x 0 , x9 , x4.

a Rót gän A

b Tìm x Z để A Z

c Tìm x để A < (KQ: A =

2 x x 

 )

Bµi tËp hµm sè bËc nhÊt Bài :

1) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng với trục tung trục hoành

H

ớng dẫn : 1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b

Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) ta có hệ pt :

¿

2=a+b

−4=−a+b

¿{

¿

⇔

a=3

2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -1 ; Đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ

3

Baøi : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m +

1) Tìm điều kiện m để hàm số ln nghịch biến

2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ

3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy H

íng dÉn :

1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + ⇔ m – < ⇔ m <

2) Do đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Suy : x= ; y = Thay x= ; y = vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m = 34

3) Giao điểm hai đồ thị y = -x + ; y = 2x – nghiệm hệ pt :

¿

y=− x+2

y=2x −1 ¿{

¿

⇔ (x;y) = (1;1)

Để đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + y = 2x – đồng quy cần : (x;y) = (1;1) nghiệm pt : y = (m – 2)x + m +

Víi (x;y) = (1;1) ⇒ m = −1

2

Baøi : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m +

1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4)

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m H

íng dÉn :

1) Để hai đồ thị hàm số song song với cần : m – = - ⇔ m = -1 Vậy với m = -1 đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + Ta đợc : m = -3 Vậy với m = -3 đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4)

3) Gọi điểm cố định mà đồ thị qua M(x0 ;y0) Ta có

y0 = (m – 1)x0 + m + ⇔ (x0 – 1)m - x0 - y0 + = ⇔

¿

x0=1

y0=2

¿{ ¿ Vậy với m đồ thị ln qua điểm cố định (1;2)

Baứi4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB

2) Tìm giá trị m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng

AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2)

H

Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 1) (2 ;-1) ta có hệ pt :

¿

1=a+b

−1=2a+b

¿{

¿

⇔

a=−2

b=3 ¿{ Vậy pt đờng thẳng cần tìm y = - 2x +

2) Để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua

®iĨm C(0 ; 2) ta cÇn :

¿

m2−3m=−2

m2−2m+2=2

¿{

¿

⇔ m =

Vậy m = đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng

thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2)

Baứi : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định

3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x = 1 H

íng dÉn : 1) m =

2) Gọi điểm cố định mà đồ thị ln qua M(x0 ;y0) Ta có

y0 = (2m – 1)x0 + m - ⇔ (2x0 + 1)m - x0 - y0 - = ⇔

¿

x0=−1

2

y0=−5

2 ¿{

¿

Vậy với m đồ thị ln qua điểm cố định ( −1

2 ;

−5

2 )

Baứi : Tìm giá trị k để đờng thẳng sau :

y = x

4 

; y = 4x

3 

vµ y = kx + k + cắt điểm

Baứi : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) B(-3; -1)

Baứi : Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm giá trị m để đờng thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003)

2) Song song với đờng thẳng x – y + =

Chủ đề : Phơng trình – bất phơng trình bậc ần Hệ phơng trình bậc ẩn

A kiến thức cần nhớ : Phơng tr×nh bËc nhÊt : ax + b = Ph

+ NÕu a ≠ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt : x = − a b + NÕu a = vµ b ≠ phơng trình vô nghiệm

+ Nếu a = b = phơng trình có vô số nghiệm 2 Hệ phơng trình bậc hai Èn :

¿ ax + by = c

a'x + b'y =c'

¿{

¿

Ph

ơng pháp giải :

Sử dơng mét c¸c c¸ch sau :

+) Phơng pháp : Từ hai phơng trình rút ẩn theo ẩn , vào phơng trình thứ ta đợc phơng trình bậc ẩn

+) Phơng pháp cộng đại số :

- Quy đồng hệ số ẩn (làm cho ẩn hệ có hệ số đối nhau)

- Trừ cộng vế với vế để khử ẩn - Giải ẩn, suy ẩn thứ hai B Ví dụ minh họa :

VÝ dơ : Giải phơng trình sau : a) x

x - 1+ x

x + 2= §S : §KX§ : x ≠ ; x ≠ - S = { } b) 2x

3

-

x3

+ x +1 =

Giải : ĐKXĐ : x3+ x +1 ≠ (*) Khi : 2x

3

-

x3+ x +1 = ⇔ 2x = - ⇔ x = −3

2

Víi ⇔ x = −3

2 thay vµo (* ) ta cã (

−3 )3 +

−3

2 + ≠

VËy x = −3

2 lµ nghiƯm

Ví dụ : Giải biện luận phơng trình theo m : (m – 2)x + m2 – = (1)

+ NÕu m th× (1) ⇔ x = - (m + 2) + Nếu m = (1) vô nghiệm

Vớ dụ : Tìm m Z để phơng trình sau có nghiệm nguyên (2m – 3)x + 2m2 + m - = 0.

Gi¶i :

Ta cã : víi m Z th× 2m , vây phơng trình có nghiệm : x = - (m + 2) -

2 m -

để pt có nghiệm nguyên ⋮ 2m – Giải ta đợc m = 2, m =

VÝ dô : Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : 7x + 4y = 23 Gi¶i :

a) Ta cã : 7x + 4y = 23 ⇔ y = 23 - 7x

4 = – 2x +

x −

Vì y Z ⇒ x – ⋮ Giải ta đợc x = y = bài tập giải hệ ph ơng trình. Baứi : Giải hệ phơng trình:

a)

2x 3y

3x 4y

 

 

  

 b)

x 4y

4x 3y

 

 

 

 c)

2x y

5 y 4x

 

 

 

 d)

x y

x y

 

 

e)

2x

4x 2y

  



 

 f)

2

2

x x y

3

1,

x x y



 

 

 

  

 



Baứi : Cho hệ phơng trình :

mx y

x my

 

 

 



1) Giải hệ phơng trình theo tham số m

2) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm giá trị m để x + y = -1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m

H

íng dÉn :

Bài : Cho hƯ phơng trình:

x 2y m

2x y 3(m 2)

  

 

1) Giải hệ phơng tr×nh thay m = -1

2) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Baøi : Cho hệ phơng trình: (a 1)x y a

x (a 1)y

  

 

  

 cã nghiƯm nhÊt lµ (x; y).

1) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào a 2) Tìm giá trị a thoả mãn 6x2 – 17y = 5.

3) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức

2x 5y x y



 nhËn gi¸ trị nguyên. Baứi : Cho hệ phơng trình:

x ay (1)

ax y

 

 

  

1) Gi¶i hƯ (1) a =

2) Víi giá trị a hệ có nghiệm nhÊt

Baứi : Xác định hệ số m n, biết hệ phơng trình

mx y n

nx my

 

 

 



cã nghiƯm lµ 1; 3 Bài : Cho hệ phơng trình

a x y

ax y 2a

   

 

  

 (a lµ tham sè).

1) Gi¶i hƯ a =

Bài (trang 22): Cho hƯ phơng trình :

x - (m + 3)y = (m - 2)x + 4y = m -

¿{ ¿

(m lµ tham sè)

a) Gi¶i hƯ m = -1

b) Giải biện luận pt theo m

Baứi : (trang 24): Cho hệ phơng trình :

x - m y =

mx − 4y = m +

¿{

¿

(m tham số)

a) Giải hệ m = -1

b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có hai nghiệm nguyên c) Xác định hệ có nghiệm x > 0, y >

Bài 10 (trang 23): Một ôtô xe đạp chuyển động từ đầu đoạn đường sau gặp Nếu chiều xuất phát điểm sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe

HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h Vận tốc ôtô : 40 km/h.

Bài 11 : (trang 24): Một ôtô từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B lúc chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B lúc 11 trưa Tính độ quảng đường AB thời diểm xuất phát A

Đáp số : AB = 350 km, xuất phát A lúc 4giờ sáng.

Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước chảy vào cài bể nước cạn, sau 4

5 đầy

bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ nhất, sau mở vịi thứ hai sau 65 bể Nếu vòi thứ hai chảy bể

Đáp số : giờ.

Bài 13 : (trang 24): Biết m gam kg nước giảm t0C tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal) Hỏi

phải dùng lít 1000C lít 200C để hỗn hợp 10 lít 400C.

Hường dãn :

Ta có hệ pt :

¿ x + y = 10

100x + 20y = 400

¿{

¿

⇔

¿ x = 2,5

y = 7,5

¿{

¿

Vậy cần 2,5 lít nước sơi 75 lít nước 200C.

Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít dung dịch có nồng độ 50% Lại thêm 300g nước vào dung dịch dung dịch axít có nồng độ 40% Tính nồng độ axít dung dịch ban đầu

Theo ta có hệ pt :

¿

(x+ 200)

y + 200 100 %=50 % (x+ 200)

y + 500 100 %=40 %

¿{

¿

⇔

¿ x =400

y = 1000

¿{

¿

Vaọy nồng ủoọ phần traờm cuỷa dung dũch axớt ban ủầu laứ 40% Phơng trình bậc hai định lý viet ứng dụng

A.Kiến thức cần ghi nhớ

1 Để biện luận có nghiệm phương trình : ax2 + bx + c = (1) a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét trường hợp

a) Nếu a= ta tìm vài giá trị m ,thay giá trị vào

(1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nên : - Có nghiệm

- vô nghiệm - vô số nghiệm b)Nếu a

Lập biệt số Δ = b2 – 4ac Δ / = b/2 – ac * Δ < ( Δ / < ) phương trình (1) vơ nghiệm

* Δ = ( Δ / = ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = - b

2a (hoặc x1,2 = - b

❑

a ) * Δ > ( Δ / > ) : phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = − b −√Δ

2a ; x2 =

− b+√Δ

2a (hoặc x1 = − b❑−√Δ❑

a ; x2 = − b❑

+√Δ❑

a )

2.Định lý Viét.

Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0) S = x1 + x2 = - ba

p = x1x2 = c a

Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p hai số nghim (nu có ) phơng trình bậc 2:

x2 – S x + p =

3.Dấu nghiệm số phơng trình bậc hai.

Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) Gọi x

1 ,x2 nghiệm phơng

trình Ta có kết sau:

Hai nghiƯm cïng d¬ng( x1 > vµ x2 > ) ⇔

¿

Δ≥0

p>0

S>0 ¿{ {

¿

Hai nghiệm âm (x1 < x2 < 0) ⇔

¿

Δ≥0

p>0 S<0 ¿{ {

¿

Mét nghiÖm nghiệm dơng( x2 > x1 = 0) ⇔

¿

Δ>0

p=0

S>0 ¿{ {

¿

Mét nghiÖm b»ng nghiệm âm (x1 < x2 = 0) ⇔

¿

Δ>0

p=0

S<0 ¿{ {

¿

4.Vài toán ứng dụng định lý Viột a)Tớnh nhm nghim.

Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0)

 NÕu a + b + c = phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2 =

c a  NÕu a – b + c = phơng trình có hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - c

a  NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn 0 phơng trình có nghiệm

x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m

b) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiƯm x1 ,x2 cđa nó

Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2

- LËp tÝch p = x1x2

- Phơng trình cần tìm : x2 S x + p =

c)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho

trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp cách biến đổi):

*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p

*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p

*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp

*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22

*) x1

+ x2

=x1+x2 x1x2

= S p *) x1

x2+ x2

x1=

x12+x22 x1x2 =

S2−2p p

*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2

*)

x1−a

+

x2−a

= x1+x2−2a (x1− a)(x2−a)=

(Chú ý : giá trị tham số rút từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện Δ≥0 ) d)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trớc Tìm

nghiệm thứ 2

Cách giải:

Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc cho có nghiệm:

Δ≥0 (hc Δ❑≥0 ) (*)

- Thay x = x1 vào phơng trình cho ,tìm đợc giá trị

tham sè

- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc tham số với điều kiện(*) để kết luận

+) C¸ch 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc

≥0 ) mà ta thay x = x1 vào phơng trình cho, tìm đợc giá trị tham số

- Sau thay giá trị tìm đợc tham số vào phơng trình giải phơng trình

Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phơng trình cho mà phơng trình bậc hai

có Δ < kết luận khơng có giá trị tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trc

Đê tìm nghiệm thứ ta có cách làm

+) Cỏch 1: Thay giỏ trị tham số tìm đợc vào phơng trình gii phng trỡnh (nh cỏch

trình bầy trªn)

+) Cách 2 :Thay giá trị tham số tìm đợc vào cơng thức tổng nghiệm tìm đợc nghiệm

thø

+) Cách 3: thay giá trị tham số tìm đợc vào cơng thức tích hai nghiệm ,từ tìm đợc

nghiƯm thứ

B Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải biện luận phơng trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0

Gi¶i. Ta cã Δ❑

= (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9

+ Nếu Δ❑ > ⇔ m2 – > ⇔ m < - m > Phơng trình cho có nghiệm

ph©n biƯt:

x1 = m + - √m2−9 x2 = m + + √m2−9

+ NÕu Δ❑ = ⇔ m = 3

- Với m =3 phơng trình có nghiệm x1.2 =

- Với m = -3 phơng trình có nghiệm x1.2 = -2

+ NÕu Δ❑ < ⇔ -3 < m < th× phơng trình vô nghiệm

Kết kuận:

Với m = phơng trình có nghiệm x = Với m = - phơng trình cã nghiƯm x = -2

 Víi m < - m > phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt x1 = m + - √m2−9 x2 = m + + √m2−9

Với -3< m < phơng trình vô nghiệm

Bài 2: Giải biện luận phơng tr×nh: (m- 3) x2 – 2mx + m – = 0

Híng dÉn

 Nếu m – = ⇔ m = phơng trình cho có dạng - 6x – = ⇔ x = -

2

* Nếu m – ⇔ m Phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số Δ❑

= m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18

x1 = x2 = - b

❑

a =

2

2−3 = -

- NÕu Δ❑ > ⇔ m >2 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x1,2 = m±3√m −2

m −3

- NÕu Δ❑ < ⇔ m < Phơng trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = phơng trình có nghiệm x = -

2

Với m = phơng trình cã nghiƯm x1 = x2 = -2

Víi m > m phơng trình có nghiệm x1,2 = m±3√m −2

m −3

Víi m < phơng trình vô nghiệm

Bài 3: Giải phơng trình sau cách nhẩm nhanh a) 2x2 + 2007x – 2009 =

b) 17x2 + 221x + 204 = 0

c) x2 + (

√3−√5 )x - √15 = d) x2 –(3 - 2

√7 )x - √7 =

Gi¶i

a) 2x2 + 2007x – 2009 = cã a + b + c = + 2007 +(-2009) =

VËy ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = , x2 =

c a=

−2009

b) 17x2 + 221x + 204 = cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0

Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 ,

x2 = -

c a=−

204

17 = - 12

c) x2 + (

√3−√5 )x - √15 = cã: ac = - √15 <

Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có :

x1 + x2 = -( √3−√5 ) = - √3 + √5

x1x2 = - √15 = (- √3 ) √5

VËy phơng trình có nghiệm x1 = - 3 , x2= √5

(hc x1 = √5 , x2 = - √3 )

d ) x2 –(3 - 2

√7 )x - √7 = cã : ac = - √7 <

Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta có

¿

x1 + x2= - 2√7

x1 x2 = - 67= 3(-27) {

Vậy phơng trình cã nghiÖm x1 = , x2 = - 7

Bài : Giải phơng trình sau cánh nhẩm nhanh (m tham số) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = 0

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = 0

Híng dÉn :

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m + =

Suy : x1 =

Hc x2 = m+1

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*)

* m- = ⇔ m = (*) trë thµnh – 4x – = ⇔ x = -

* m – ⇔ m (*)

⇔

x1=−1

¿

x2=2m−2 m −3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Bài 5: Gọi x1 , x2 nghịêm phơng trình : x2 3x =

a) TÝnh:

A = x12 + x22 B = |x1− x2|

C= x1−1+

1

x2−1 D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

b) lập phơng trình bậc có nghiệm

x11

x21

Giải ;

Phơng trình bâc hai x2 – 3x – = cã tÝch ac = - < , suy phơng trình cã hai nghiƯm

ph©n biƯt x1 , x2

Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7

a)Ta cã

+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23

+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = |x1− x2| = √S2−4p=√37

+ C = x1−1+

1

x2−1 =

(x1+x2)−2

(x1−1)(x2−1)=

S −2

p − S+1=−

9 + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2

= 10x1x2 + (x12 + x22)

= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1

b)Ta cã : S =

x1−1+

x2−1=−

9 (theo c©u a)

p =

(x1−1)(x2−1)

=

p − S+1=−

1

VËy

x1−1 vµ

x2−1 lµ nghiƯm cđa hơng trình :

X2 SX + p = ⇔ X2 +

9 X -

1

9 = ⇔ 9X2 + X - =

Bµi : Cho phơng trình :

x2 ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè)

1 Chứng minh phơng trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị k Tìm giá trị k để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 >

Giải. Phơng trình (1) phơng trình bậc hai có:

= (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 -

5 k +

9

= 5(k2 – 2.

5 k +

9

25 +

36

25 ) = 5(k -

5 ) +

36

5 > với giá trị k

Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

2 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < ⇔ - k2 + k – < ⇔ - ( k2 – 2.

2 k +

1

4 +

7 ) <

⇔ -(k -

2 )2 -

4 < với k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

tr¸i dÊu víi mäi k

3 Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)

Vì phơng trình có nghiệm với k Theo hÖ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k –

 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)

= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]

= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)

= (k – 1)[(2k -

4 )2 + 87

16 ]

Do x13 + x23 > ⇔ (k – 1)[(2k -

4 )2 + 87

16 ] >

⇔ k – > ( v× (2k -

4 )2 + 87

16 > víi mäi k)

⇔ k > VËy k > giá trị cần tìm Bài 7:

Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m – = (1) (m lµ tham số)

1 Giải phơng trình (1) với m = -5

2 Chứng minh phơng trình (1) cã hai nghiƯm x1 , x2 ph©n biƯt víi mäi m

3 Tìm m để |x1− x2| đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hao nghiệm phng trỡnh (1) núi

trong phần 2.)

Giải

1 Với m = - phơng trình (1) trë thµnh x2 + 8x – = vµ cã nghiƯm lµ x

1 = , x2 = -

2 Cã Δ❑ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m +

= m2 + 2.m.

2 +

1

4 +

19

4 = (m + )2 +

19

4 > víi mäi m

Vậy phơng trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2

3 Vì phơng tr×nh cã nghiƯm víi mäi m ,theo hƯ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m –

Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4)

= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +

2 )2 + 19

4 ]

=> |x1− x2| = m+

1 2¿

2

+19

4 ¿

√¿

2√19

4 = √19 m +

2 = ⇔ m = -

Vậy |x1− x2| đạt giá trị nhỏ √19 m = -

2

Bài : Cho phơng tr×nh (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m lµ tham sè)

1) Giải phơng trình m = -

2

2) Chứng minh phơng trình cho cú nghim vi mi m

3) Tìm tất giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiÖm

1) Thay m = -

2 vào phơng trình cho thu gọn ta đợc

5x2 - 20 x + 15 = 0

phơng trình có hai nghiÖm x1 = , x2=

2) + Nếu: m + = => m = - phơng trình cho trở thành; 5x – = ⇔ x =

+ Nếu : m + => m - Khi phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số :

Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 >

Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 =

2m−1+5

2(m+2) =

2m+4

2m+4=1 x2 =

2m−1−5 2(m+2) =

2(m−3)

2(m+2)= m−3

m+2

Tóm lại phơng trình cho ln có nghiệm với m

3)Theo câu ta có m - phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta sét trờng hợp

Trêng hỵp 1 : 3x1 = x2 ⇔ = m−3

m+2 giải ta đợc m = -

9

2 (đã giải câu 1)

Trêng hỵp 2: x1 = 3x2 ⇔ 1= m−3

m+2 ⇔ m + = 3m – ⇔ m =

11

2 (thoả

mÃn điều kiện m - 2) KiĨm tra l¹i: Thay m = 11

2 vào phơng trình cho ta đợc phơng trình :

15x2 – 20x + = phơng trình có hai nghiệm

x1 = , x2 =

5

15 =

1

3 (thoả mÃn đầu bài)

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m – = (1) víi m lµ tham sè

1 Biện luận theo m có nghiệm phơng trình (1) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Giải

1.+ NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – = ⇔ x =

4

+ NÕu m LËp biÖt sè Δ❑ = (m – 2)2 – m(m-3)

= m2- 4m + – m2 + 3m

= - m +

Δ❑ < ⇔ - m + < ⇔ m > : (1) v« nghiƯm

Δ❑ = ⇔ - m + = ⇔ m = : (1) cã nghiÖm kÐp

x1 = x2 = - b

❑

a = m−2

m =

4−2

2 =

1

Δ❑ > ⇔ - m + > ⇔ m < 4: (1) cã nghiƯm ph©n biƯt

x1 = m−2−√− m+4

m ; x2 =

m−2+√− m+4

m VËy : m > : phơng trình (1) vô nghiệm

m = : phơng trình (1) Có nghiÖm kÐp x =

2

m < : phơng trình (1) có hai nghiƯm ph©n biƯt:

x1 = m−2−√− m+4

m ; x2 =

m−2+√− m+4

m = : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =

4

2 (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ c

a < ⇔

m−3

m <

⇔

¿m−3>0 m<0

¿ ¿ ¿

m −3<0

¿

m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

⇔

¿m>3

m<0 ¿ ¿ ¿

m<3 ¿

m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Trêng hỵp

¿

m>3 m<0

¿{

¿

không thoả mÃn

Trờng hợp

m<3 m>0

¿{

¿

⇔ < m <

3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm Δ❑ ⇔ m (*) (ở câu a có)

- Thay x = vào phơng trình (1) ta có :

9m – 6(m – 2) + m -3 = ⇔ 4m = -9 ⇔ m = -

4

- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -

4 thoả mÃn

*) Cách 2: Không cần lập điều kiện Δ❑ mà thay x = vào (1) để tìm đợc m = -

4

.Sau thay m = -

4 vào phơng trình (1) :

-

4 x2 – 2(-9

4 - 2)x -

4 - = ⇔ -9x2 +34x – 21 =

cã Δ❑ = 289 – 189 = 100 > =>

x1=3

¿

x2=

7 ¿ ¿ ¿ ¿

VËy với m = -

4 phơng trình (1) cã mét nghiÖm x=

C¸ch 1: Thay m = -

4 vào phơng trình cho giải phơng trình để tìm đợc x2 =

9

(Nh phần làm)

C¸ch 2: Thay m = -

4 vào công thức tính tổng nghiệm:

x1 + x2 =

2(m−2)

m =

2(−9

4−2)

−9

=34

9

 x2 =

34

9 - x1 =

34

9 - =

9

C¸ch 3: Thay m = -

4 vào công trức tính tích hai nghiệm

x1x2 = m−3

m = −9

4−3

−9

4

=21

9 => x2 = 21

9 : x1 = 21

9 : =

Bµi 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 5k = (1) víi k lµ tham sè

1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép

2 Tim k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :

x12 + x22 = 10

Giải.

1.Phơng tr×nh (1) cã nghiƯm kÐp ⇔ Δ❑ = ⇔ k2 – (2 – 5k) =

⇔ k2 + 5k – = ( cã Δ = 25 + = 33 > )

 k1 = −5−√33

2 ; k2 =

−5+√33

2

Vậy có giá trị k1 = 533

2 k2 =

5+33

2 phơng trình (1) Có nghiệm

kép

2.Có cách gi¶i

Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:

Δ❑ ⇔ k2 + 5k – (*)

Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 2x1x2 = 10

Với điều kiện(*) , áp dơng hƯ trøc vi Ðt: x1 + x2 = -

b

a=¿ - 2k vµ x1x2 = – 5k

VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – = 0

(Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = -

2

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào Δ❑ = k2 + 5k –

+ k1 = => Δ❑ = + – = > ; tho¶ m·n

+ k2 = -

7

2 => Δ

❑ = 49

4 −

35 −2=

49−70−8

4 =

29

8 không thoả mÃn

Vậy k = giá trị cần tìm

Cách 2 : Không cần lập điều kiện Cách giải là:

T iu kin x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = ; k2 = -

2 (cách tìm nh trên)

+ Víi k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 =

+ Víi k2 = -

2 (1) => x2- 7x + 39

2 = (cã Δ = 49 -78 = - 29 < ) Phơng trình vô

nghiệm

Vậy k = giá trị cần tìm

BAỉI TAP PHAN PHệễNG TRèNH BAC HAI Baứi : Cho phơng trình : x2 6x + = 0, gäi x

1 vµ x2 hai nghiệm phơng trình Không giải

phơng tr×nh, h·y tÝnh: 1) x12 + x22

2) x1 x1 x2 x2

3)

 

   

2

1 x

2 2

1 2

x x x x x x

x x x x

  

  

Baøi : Cho phơng trình: 2x2 5x + = 0.

TÝnh x1 x2 x2 x1 (víi x

1, x2 hai nghiệm phơng trình)

Baứi : Cho phơng trình bậc hai:

x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 0

1) Tìm giá trị m để phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong x1, x2 hai nghiệm ca phng trỡnh)

Baứi : Cho phơng trình:

x2 – 2mx + 2m – = 0.

1) Chứng minh phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

3) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2, tìm giá trị m để:

x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8

Baứi : Cho phơng trình:

x2 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0.

1) Giải phơng trình với m =

2) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị m thoả mÃn 5x1 + x2 =

Baứi : Cho phơng trình: x2 + 4x + = (1)

1) Giải phơng trình (1)

2) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình (1) Tính B = x13 + x23

Baứi : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m lµ tham sè).

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23

Baứi : Cho phơng trình:

(m – 1)x2 + 2mx + m – = (*)

1) Giải phơng trình m =

2) Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm phân biệt Câu9 Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0

Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Câu 10: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1  Xét 2m-10=> m 1/2 ta có

Δ, = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m

ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0) víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x= m−m+1

2m−1 =

1

pt cã nghiƯm kho¶ng (-1,0)=> -1<

2m−1 <0 ¿

1

2m−1+1>0 2m−1<0

¿{

¿

=>

¿ 2m

2m−1>0 2m−1<0

¿{

¿

=>m<0

VËy Pt cã nghiƯm kho¶ng (-1,0) vµ chØ m<0

GIẢI BÀI TOA N BẰNG CA CH LẬP PHƯƠNG TRÌNHÙ Ù

Baứi : Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ô tô thứ giờ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe ô tô

Hướng dẫn : Gọi vận tốc ôtô thứ x (km/h ĐK x > 0) Ta có : Vận tốc tô thứ hai : x – 10 (km/h)

Do ôtô thứ đến B sớm ôtô thứ hai ta có phương trình : 300x -10 - 300

x =1 Giải ta được: x = - 50 (loại) ; x = 60

Đáp số : Vận tốc ôtô thứ : 60 km/h Vận tốc ôtô thứ hai: 50 km/h

Baứi : Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau đợc 2/3 quãng đờng với vận tốc đó, đờng khó nên ngời lái xe phải giảm vận tốc 10 km quãng đờng cịn lại Do tơ đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB

Hướng dẫn : Gọi x quảng đường AB (Km ĐK x > 0) Theo giả thiết tốn ta có phương trình : 3 502x + x

3 40=

x

50+

2

Giải ta được: x = 300 (tmđk) Vậy quảng đường AB : 300km

Baứi : Hai vòi nớc chảy vào bể sau 48 phút đầy Neỏu chảy thời gian nh lợng nớc vòi II 2/3 lợng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vịi chảy riêng sau đầy bể

H

íng dÉn : Gäi x, y lần lợt thời gian vòi I, vòi II chảy đầy bể

Theo ta có hệ phơng trình :

x +

1

y=

5 24

x=

3 2y ¿{

¿

Giải ta đợc :

¿ y =12

x =

¿{

¿

(tmđk)

Vòi chảy đầy bể 12

Bai : Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính qng đờng AB thời gian dự định lúc đầu

H

íng dÉn : Gäi quảng đường AB x (km), thời gian dự định y(giờ) ĐK : x > 0, y > 0. Theo ta có hệ pt :

¿ 35(y +2)= x

50(y - 1) = x

¿{

¿

suy : 35y + 70 = 50y -50 ⇔ y = (TMĐK) Thay vào hệ ta x = 350 (TMĐK)

Đáp số : Quảng đường AB : 350 (km) Thời gian dự định : (giờ)

Baứi : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ơtơ thứ hai 2h Tính vận tốc ôtô?

Hướng dẫn : Gäi x (km) vận tốc ca ôtô thứ ĐK x > 0. Theo gt toán ta có pt : 180

x −

180

x+15=2

Giải ta đợc : x = 30 ; x = -45(loi)

Đáp số : Vận tốc ôtô thø hai : 30 (km/h) VËn tèc «t« thø nh©t : 45 (km/h)

Baứi : Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam nữ) trồng đợc tất 80 Biết số bạn nam trồng đợc số bạn nữ trồng đợc ; bạn nam trồng đợc nhiều bạn nữ Tính số học sinh nam số học sinh nữ tổ

Gi¶i : Gọi số học sinh nam x (em) ĐK : x nguyên dơng, x 13 Theo gt ta cã pt : 40

x −

40

13 - x=3 ⇔ 3x2 – 119x + 520 = ( √Δ = 89)

Giải ta đợc : x = 1196+89 (loại) ; x = (TMK)

Đáp số : Số HS nam : (em) Sè HS n÷ : em

Baứi : Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc tụ

Giải : Gọi vận tốc lúc x (km/h) ĐK : x > 5. Theo gt ta cã pt : 180

x +

3 2+

180

x-5 =10 ⇔ 17x2 – 805x + 1800 = ( √Δ = 725)

Giải ta đợc : x = 80534 −725 (loại) ; x = 45 (TMK)

Đáp số : VËn tèc lóc ®i : 45 (km/h)

Baứi : Một ca nơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sông B cách 24 km, lúc từ A bè nứa trơi với vận tốc dòng nớc km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nơ

Gi¶i : Gäi vận tốc thực canô x (km/h) ĐK x > 4. Theo gt bµi ta cã pt : 24

x+4+

16

Giải ta đợc : x = (loại) ; x = 20

Đáp số : Vận tốc thực canô : 20 (km/h) Baứi : Khoảng cách hai tỉnh A B 108 km Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe

Gi¶i : Gäi vËn tèc cđa xe thø hai x (km/h) ĐK x > 0. Theo gt ta cã pt : 108

x −

108

x+6=

5 ⇔ x2 + 6x – 3240 = ( √Δ' = 57 )

Giải ta đợc : x = - 60 (loại) ; x = 54

Đáp số : Vận tốc xe thứ : 60 (km/h) Vận tốc xe thứ hai : 54 (km/h) Baứi 11 : Theo kế hoạch, tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến làm việc, phải điều công nhân làm việc khác nên cơng nhân cịn lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có công nhân? Biết suất lao động cơng nhân nh

Gi¶i : Gọi x số công nhân lúc đầu ( công nhân) ĐK : x nguyên dơng, x > 3. Theo gt bµi ta cã pt : 360

x −3− 360

x =4 ⇔ x2 – 3x – 270 = ( √Δ = 33 ) Giải ta đợc : x = -15 (loại) ; x =18

Đáp số : Số công nhân lúc đầu : 18 ( công nhân)

Bai 12 : Ba bình tích tổng cộng 120lít Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ đem rót vào hai bình bình thứ đầy nớc, bình thứ đợc 1/2 thể tích nó, bình thứ đầy nớc bình thứ đợc 1/3 thể tích Tìm thể tích bình

Gi¶i : Gäi x, y, z (lÝt) theo thø tù lµ thĨ tích ba bình ĐK : x,y, z > 0.

Theo gt bµi ta cã hpt :

¿

x + y + z = 120

x = z +1

2 y

x=y +1

3z ¿{ {

¿

⇔

¿ x = 50

y= 40 z = 30

¿{ {

¿

(TM§K)

Đáp số : Bình thứ tÝch : 50 (lÝt) B×nh thø hai cã thĨ tÝch : 40 (lÝt) B×nh thø ba cã thĨ tÝch : 30 (lÝt)

Baứi 13 : Hai địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45' ngời từ A với vận tốc 10km/h Sau 2h , ngời xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến họ gặp nhau, chỗ gặp cách A km

Giải : Gọi x (giờ) thời gian từ A đến C ĐK : x > 0. Theo gt ta có pt : 10x + 14(x – 2) = 56

Giải ta đợc : x = 31

2 (TM§K)

Đáp số : Gặp lúc : 10h15 C¸ch A : 35 (km)

Baứi 14 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau ngợc từ B trở A Thời gian đi xi thời gian ngợc 40' Tính khoảng cách A B Biết vận tốc ca nơ khơng đổi, vận tốc dịng nớc 3km/h

Theo gt bµi ta cã pt : x

30+

3=

x

24

Giải ta đợc : x = 80 (TMĐK)

Đáp số : Quảng đờng AB : 80 (km)

Baứi 15 : Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 1h30' ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp

Giải : Gọi x (km/h) vận tốc ngời xe đạp ĐK x > 0. Theo gt ta có pt : 50

x −

50

2,5x=

5

Giải ta đợc : x = 12 (TMĐK)

Đáp số : Vận tốc ngời xe đạp : 12 (km/h) Vận tốc ngời xe máy : 30(km/h)

Baứi 16 : Một phịng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành hàng số ghế hàng bằng Nếu số hàng tăng thêm số ghế hàng tăng thêm phịng có 400 ghế Hỏi có hàng, hàng cú bao nhiờu gh?

Giải : Gọi x số dÃy ghế phòng họp ĐK x nguyên dơng. Theo gt bµi ta cã pt : (x + 1)( 360

x +1¿ = 400 ⇔ x2 – 39x –360 = ( √Δ = ) Giải ta đợc : x = 24 (TMĐK) , x = 15 (TMK)

Đáp số: Có thể xảy khả năng.

+) KN : Phòng họp có 24 dÃy ghế dÃy cã 15 ghÕ +) KN : Phßng họp có 15 dÃy ghế dÃy có 24 ghÕ

Baứi 17 : Hai ngời thợ làm cơng việc 16 xong Nếu ngời thứ làm giờ ngời thứ làm họ làm đợc 25% cơng việc Hỏi ngời làm cơng việc giời xong?

Gi¶i : Gäi x, y (giê) lần lợt thời gian ngời làm hoàn thành công việc ĐK x, y >

Theo gt bµi ta cã hpt :

¿

x+

1

y=

1 16

x+

6

y=

1 ¿{

¿

⇔ x = 24

y = 48

¿{

(TM§K)

Đáp số: Ngời thứ hồn thành cơng việc : 24 giờ. Ngời thứ hai hoàn thành công việc : 48 Baứi 18 : Hai vật chuyển động đờng trịn có đờng kính 20m , xuất phát lúc từ điểm Nếu chúng chuyển động ngợc chiều giây lại gặp Nếu chúng chuyển động chiều sau 10 giây lại gặp Tính vận tốc vật

Gi¶i : Gọi x, y (m/s) lần lợt vận tốc hai vËt §K x > y > 0.

Theo gt bµi ta cã hpt :

¿ 2x + 2y = 62,8

10x = 62 + 10y

¿{

¿

⇔ x = 18,84

y = 13

¿{

(TM§K)

Đáp số : Vận tốc hai vât lần lợt : 18,84 (km/h) ; 13 (km/h)

Giải : Gọi x, y lần lợt sản phẩm tổ tổ làm đợc tháng thứ ĐK : x, y nguyên dng

Theo gt toán ta có hpt :

¿ x + y = 800

15x

100+

20y

100 =145

¿{

¿

⇔ x = 300

y = 500

{

(TMĐK)

Đáp số : Trong tháng :

Tổ sản xuất đợc 300 (sản phẩm) Tổ sản xuất đợc 500 (sản phẩm)

Bài 20 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian định dự định sản xuất 300 chi tiết máy ngày Nhng thực tế ngày làm thêm đợc 100 chi tiết, nên sản xuất thêm đợc tất 600 chi tiết hoàn thành kế hoạch trớc ngày

Tính số chi tiết máy dự định sản xuất

Giải : Gọi x số chi tiết mà nhà máy dự định làm ĐK : x nguyên dơng. Theo gt toán ta có pt : x

300=

x + 600

400 +1 ⇔ x = 3000 (TM§K)

Đáp số : Tổng số chi tiết dự định làm 3000 (chi tiết)

Bµi 21: Mét ca nô xuôi dòng 42km ngợc dòng trở lại 20km mát tổng cộng 5giờ Biết vận tốc dòng chảy 2km/h Tìm vận tốc ca nô lúc dòng nớc yên lặng

Giải : Gọi x vận tốc ca nô lúc nớc yên lặng ( km/h ; §K : x > 2) Theo gt toán ta có pt : 42x

+ 2+

20

x - 2=5 ⇔ 5x2 - 62x + 24 = ( √Δ' = 29)

Giải ta đợc : x =

5 (loại) ; x = 12

Đáp số : VËy vËn tèc cđa ca n« lóc n íc yên lặng : 12 (km/h)

Bi 22: Mt i xe cần chuyên chở 120 hàng Hôm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có xe?

Giải : Gọi x số xe đội lúc đầu (xe ĐK : x > 2) Theo gt tốn ta có pt : 120

x − 2− 120

x =16 ⇔ x2 - 2x -15 = ( √Δ' = 4) Giải ta đợc : x = - (loại) ; x =

Đáp số : Vậy đội xe có xe

Bài 23: Hai tơ khởi hành lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc tơ thứ hai 100phút Tính vận tốc ô tô biết quãng đờng AB dài 240km

Giải : Gọi x vận tốc ôtô thø hai (Km/h §K : x > 0). Theo gt toán ta có pt : 240

x 12 240

x =

5

3 ⇔ 5x2 - 60x – 8640 = ( √Δ' =210)

Giải ta đợc : x = -36 (loại) ; x = 48

Đáp số : Vận tốc «t« thø hai : 48 km/h VËn tèc ôtô thứ : 60 km/h

Bài 24: Nếu mở hai vòi nớc chảy vào bể cạn sau 55phút bể đầy bể Nếu mở riêng vòi vòi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai hai Hỏi mở riêng vòi vòi chảy đầy bể?

Giải : Gọi x th

Bài 24: Hai tổ học sinh trồng đợc số sân trờng

Nếu lấy tổ chuyển cho tổ số trồng đợc hai tổ

Nếu lấy 10 tổ chuyển cho tổ hai số trồng đợc tổ hai gấp đôi số tổ

Bài 25: Hai ô tô A B khởi hành lúc từ hai tỉnh cách 150km, ngợc chiều gặp sau Tìm vận tốc ô tô, biết vận tốc ô tô A tăng thêm 5km/h vận tốc ô tô B giảm 5km/h vận tốc « t« A b»ng lÇn vËn tèc cđa « t« B

Bài 26: Hai hợp tác xã bán cho nhà nớc 860 thóc Tính số thóc m mi hp tỏc xó ó

bán cho nhà nớc Biết lần số thóc hợp tác xà thứ bán cho nhà nớc nhiều hai lần số thóc hợp tác xà thứ hai bán 280

ôn tập hình học 9

Phần 1: hình học phẳng

I.Đờng tròn:

1,Định nghĩa:

Tập hợp điểm cách điểm cho trớc khoảng cách R > không đổi gọi đờng trịn tâm bán kính R Kí hiệu : ( ; R)

2, Vị trí t ơng đối:

* Của điểm với đờng tròn :

xÐt (0 ; R ) điểm M

v trớ tng i Hệ thức

M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R

M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc ( O ;

R) OM = R

M n»m ( O ; R ) OM < R

* Của đờng thẳng với đờng tròn :

xét ( O ; R ) đờng thẳng a ( với d khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức

a c¾t ( O ; R ) d < R

a tiÕp xóc ( O ; R ) d = R

a ( O ; R ) không giao

nhau d > R

* Của hai đờng trịn :

xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ )

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức

Hai đờng tròn cắt R – r < d < R- r

Hai đờng tròn tiếp xúc :

+ tiÕp xóc ngoµi :

1

+ tiếp xúc : d = R – r Haiđờng trịn khơng giao

nhau :

+hai đờng trịn ngồi :

+đờng tròn lớn đựng đờng tròn nhỏ :

0

d > R + r

d < R -r

3 Tiếp tuyến đ ờng tròn :

a Định nghĩa :

ng thng d c gọi tiếp tuyến đờng trịn có điểm chung với đờng

b, TÝnh chÊt :

+ Tính chất : Nếu đờng thẳng tiếp tuyến đờng trịn vng góc với bán kính đI qua tiếp điểm

+ Tính chất : Nếu hai tiếp tuyến đờng tròn cắt điểm giao điểm cách hai tiếp điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đờng trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến

c, C¸ch chøng minh :

 Cách : chứng minh đờng thẳng có điểm chung với đờng trịn

 Cách : chứng minh đờng thẳng vng góc với bán kính đờng trịn điểm điểm thuộc đờng trịn

4 Quan hệ đ ờng kính dây cung :

* Định lí : Đờng kính vuông góc với dây cung chia dây cung thành hai phần

* Định lí : Đờng kính đI qua trung điểm dây cung không qua tâm vuông gãc víi d©y cung Êy

5 Quan hệ dây cung khoảng cách đến tâm :

* Định lí : Trong đờng trịn hai dây cung chúng cách tâm * Định lí : Trong hai dây cung khơng đờng trịn, dây cung lớn gần tâm

II Góc đờng trịn:

1, Các loại góc đ ờng tròn:

- Góc ë t©m - Gãc néi tiÕp

- Góc có đỉnh bên hay bên ngồi đờng trịn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung

2, Mối quan hệ cung dây cung:

* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Hai cung căng hai dây

b, Đảo lại, hai dây trơng hai cung * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Cung lớn căng dây lớn

3, Tø gi¸c nội tiếp:

a, Định nghĩa:

T giỏc ni tiếp đờng trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng trịn Đơng trịn đợc gọi đờng tròn ngoại tiếp tứ giác

b, C¸ch chøng minh :

* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh tứ giác thuộc đờng tròn * Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800

* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện dới góc

B Bµi tËp:

Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH Đờng trịn đờng kính AH cắt cạnh AB, AC lần lợt E F

a CM: tứ giác AEHF hình chữ nhật b CM: tứ giác EFCB nội tiếp

c Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC d CMR: NÕu S ABC = S AEHF th× tam giác ABC vuông cân

Bi 2: Cho tam giỏc ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O) Vẽ đờng phân giác góc  cắt (O) M. Nối OM cắt BC I

1 Chøng minh tam giác BMC cân Chứng minh: góc BMA < góc AMC

3 Chøng minh: ¿❑ gãc ABC + gãc ACB = góc BMC

4 Đờng cao AH BP tam giác ABC cắt Q Chứng minh OH // AH Trên AH lấy điểm D cho AD = MO Tứ giác OMDA hình gì?

6 Chứng minh AM phân giác góc OAH

7 OM kéo dài cắt (O) N VÏ OE vu«ng gãc víi NC Chøng minh OE=1

2MB

8 Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE Chứng minh tứ giác ABHP QPCH nội tiếp

10 Tõ C vÏ tiÕp tuyến (O) cắt BM kéo dài K Chứng minh CM phân giác góc BCK 11 So sánh góc KMC KCB với góc A

12 Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM S Chứng minh tam giác BMS cân M 13 13.Chứng minh góc S = góc EOI – góc MOC

14 Chøng minh gãc SBC = gãc NCM 15 Chøng minh gãc ABF = gãc AON

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng trịn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD

1 Chøng minh AI vu«ng gãc víi BC Chøng minh gãc IDE = gãc IAE Chøng minh : AE EC = BE EI

4 Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE u.

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đờng cao AH tam giác ABC cắt (O) D , AO kéo dài cắt (O) E

a) Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân

b) Gọi M điểm chình cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC c) Tính bán kính cđa (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = cm

Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M N cho cung AM, MN, NB Gọi P giao điểm AM BN, H giao điểm AN với BM CMR:

a) Tø giác AMNB hình thang cân

b) PH AB Từ suy P, H, O thẳng hàng c) ON tiếp tuyến đờng trịn đơnngf kính PH

Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R Gọi M điểm cung nhỏ AB Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB E F CMR:

a Tam giác MAE MCA đồng dạng b ME MC = MF MD

c Tø gi¸c CEFD néi tiÕp

d Khi AB=R√3 tam giác OAM

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân A ( AB > AC ), đờng cao AH Vẽ đờng trịn tâm I đờng kính BH cắt AB E, đờng trịn tâm K đờng kính CH cắt AC ti F

a Tứ giác AEHF hình gì?

b Chøng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp c Chøng minh AE AB = AF AC

d Chømg minh EF lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (I)

e Gọi Ax tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax // EF

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng vng góc với CD H, đờng thẳng BH cắt CA E

a Chøng minh tø gi¸c AHBC néi tiÕp b TÝnh gãc AHE

c Chứng minh tam giác EAH EBC đồng dạng d Chứng minh AD = AE

e Khi điểm D di chuyển cạnh AB điểm H di chuyển đờng nào?

Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gọi E giao điểm AB CD, F giao điểm AD BC Chứng minh rằng:

a EF ┴ AC

Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K A nằm phía BC ) Tiếp tuyến với đờng trịn (O) C cắt OK I

a Chøng minh IA lµ tiÕp tun cđa (O)

b Chøng minh CK tia phân giác góc ACI c Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm TÝnh OI, CI

Bài 11: Cho đoạn thẳng AB O trung điểm AB Vẽ phía với AB tia Ax, By vuông góc với AB Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển Ax By cho góc MON = 900 Gọi I trung điểm MN Chứng minh :

a AB lµ tiÕp tun cđa (I ; IO) b MO tia phân giác góc AMN

c MN tiếp tuyến đờng tròn đờng kớnh AB

d Khi điểm M, N di chuyển Ax, By tích AM BN không dổi

Bài 12: Cho (O;R) (O’; r)tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung hai đ ờng tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn A cắt BC M a Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M

b Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối với (M) nói trên? c Xác định tâm đờng trịn qua ba điểm O, O’ , M

d Chứng minh BC tiếp tuyến đờng tròn qua ba điểm O, O’, M

Bài 13: Cho (O) (O’)tiếp xúcngồi A Đờng thẳng Ơ’ cắt (O) (O’) theo thứ tự tạu B C ( khác A ) Gọi DE tiếp tuyến chung hai đờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) M giao điểm BD CE Chứng minh rng :

a Góc DME góc vuông

b MA tiếp tuyến chung hai đờng tròn c MD MB = ME MC

Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M trung điểm của BC

a Chøng minh tø gi¸c BCDE néi tiÕp

b Chứng minh tam giác ADE ABC đồng dạng c Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) Chứng minh Ax // DE

d Chứng minh góc BAC = 600 tam giác DME tam giác đều.

Bµi 15: Cho (O) điểm A nằm bên (O) Vẽ tiếp tuyến AB AC , cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE

a Chứng minh tø gi¸c BHOC néi tiÕp

b Chøng minh HA tia phân giác góc BHA

c Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh : AB2 = AI AH.

d BH cắt (O) K Chứng minh AE // CK

Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C,D hai điểm di động hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N

b Tø gi¸c MNDC néi tiÕp

c Chứng minh AC AM = AD AN tích khơng đổi C, D di động

Bài 17: Xét nửa đờng tròn (O), đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc Cax cắt nửa đờng tròn D, tia AD BC cắt ti E

a Chứng minh tam giác ABE cân B

b Các dây AC BD cắt t¹i K Chøng minh EK ┴ AB c Tia BD cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi

Bi 18: Cho na lc giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O ; R) Hai tiếp tuyến B D cắt T

a Chøng minh r»ng OT // AB

b Chøng minh ba ®iĨm O, C, T thẳng hàng c Tính chu vi diện tích tam gi¸c TBD theo R

d TÝnh diƯn tÝch hình giới hạn hai cạnh TB, TD cung BCD theo R

Bài 19: Hai đờngtròn (O) (O’) có bán kính R R’ ( R > R’) tiếp xúc C Gọi AC BC hai đờng kính qua C (O) (O’) DE dây cung (O) vng góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng DC với (O’) l F

a Tứ giác AEBD hình gì?

b Chøng minh r»ng ba ®iĨm B, E, F thẳng hàng c Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp

d DB cắt (O’) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui e Chứng minh MF=1

2DE vµ MF lµ tiÕp tun cđa (O’)

Bài 20: Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đờng tròn tâm O’ đờng kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vng góc với AB, DC cắt (O’) I

a.Tø gi¸c ADBE hình ? sao? b.Chứng minh BI // AD

c.Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hµng vµ MD = MI

d.Xác định giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MI với (O’)

Bài 21: Từ điểm A bên ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN của đờng trịn Gọi I trung điểm dây MN

a Chứng minh điểm A,B,I,O,C nằm đờng tròn

b Nếu AB = OB tứ giác ABOC hình ? Tại sao? Tính diện tích hình trịn độ dài đ-ờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R (O)

Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt BC D, cắt (O) E Tiếp tuyến đờng tròn A cắt đờng thẳng BC M

b Gọi I điểm đối xứng với D qua M, gọi F giao điểm IA với (O).Chứng minh E, O, F thẳng hàng

Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S

a Chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp CA tia phân giác góc SCB

b Gi E giao điểm BC với (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui c Chứng minh DM phân giác góc ADE

d Chứng minh M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 24: Cho tam giác ABC vuông ti A.

a Nêu cách dựng (O) qua A tiếp xúc với BC B Nêu cách dựng (O’) qua tiÕp xóc víi BC t¹i C

b Hai đờng trịn (O) (O’) vị trí tơng đối nào?

c Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tiếp tuyến chung (O) (O’) d Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC bán kính (O) , (O’)

Bài 25: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, bán kính OC vng góc với AB Gọi M điểm di động cung BC ( M ≠ B, M ≠ C) AM cắt OC N

a Chứng minh tích AM AN không đổi

b Vẽ CD ┴ AM Chứng minh tứ giác MNOB AODC nội tiếp c Xác định vị trí điểm M cung BC để tam giác COD cân D

Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H trực tâm tam giác ABC, M điểm trên cung BC không chứa điểm A

a Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành

b Gọi N E lần lợt điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N H , E thẳng hàng

c Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn

Bài 27: Cho (O,R) (O’,r) tiếp xúc M ( R > r ) Đờng thẳng OO’ cắt (O) C, cắt (O’) D Tiếp tuyến chung ngồi AB ( A∈(O), B∈(O ') ) cắt địng thẳng OO’ H Tiếp tuyến chung hai đờng tròn M cắt AB I

a Chøng minh tam giác OIO AMB tam giác vuông b Chứng minh AB=2R.r

c Tia AM cắt (O) A, tia BM cắt (O) B Chứng minh ba điểm A, O, B A , O , B thẳng hàng CD2 = BB2 + AA’2.

d Gọi N N’ lần lợt giao điểm AM với OI BM với O’I Tính độ dài đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R r

Bài 28: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm đờng tròn Tiếp tuyến Cx (O) cắt tia AB I Phân giác góc CIA cắt OC O’

a Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB

c Tìm vị trí C cho đờng trịn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC

Bài 29: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C D hai điểm di động nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E F ( F nằm B E ) a Chứng minh hai tam giác ABF BDF đồng dạng

b Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp

c Khi D C di động nửa đờng tròn , chứng tỏ : AC AE = AD AF = const

Bài 30: Cho (O) Vẽ hai dây AB CD vng góc M bên (O) Từ A vẽ đờng thẳng vng góc với BC H, cắt CD E F điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chứng minh rằng:

a Gãc MAH = gãc MCB b Tam giác ADE cân c Tứ giác AHBK nội tiÕp

Bài 31 Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B Ngời ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz vng góc với tia CI C cắt By K Đờng trịn đờng kính IC cắt IK P Chứng minh:

a Tø gi¸c CPKB néi tiÕp b AI.BK=AC.CB

c  APB vu«ng

d Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn

Bài 32 Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM<AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với (O)

a Chứng minh bốn điểm A, O, E, C nằm đờng trịn b Chứng minh góc AOC=góc BIC

c Chøng minh BI//MN

d Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn

Bài 33 Cho tam giác ABC vuông A (AB<AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD=HB Vẽ CE vng góc với AD (EAD)

a Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp

b Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE c Chứng minh CH tia phân giác góc ACE

d Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA, CH cung nhỏ AH đờng trịn nói biết AC=6cm; góc ACB = 30o.

Bài 34 Cho (O) có đờng kính BC Gọi A điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC) D là điểm thuộc bán kính OC Đờng vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F

a Chøng minh tø gi¸c ADCF nội tiếp

b Gọi M trung điểm cña EF Chøng minh: gãc AME=2 gãc ACB c Chøng minh AM lµ tiÕp tun cđa (O)

d TÝnh diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA vµ cung nhá AC cđa (O) biÕt BC=8cm; gãc ABC = 60o.

Bài 35 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R điểm M di chuyển nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với AB N Đ ờng tròn cắt MA, MB lần lợt điểm thứ hai C, D

a Chøng minh CD//AB

b Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN qua điểm K cố định

c Chứng minh tích KM.KN cố định

d Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA lần lợt C', D' Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ đợc

a CM: NKD vµ MAK c©n

b CM: tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH//AD c So sánh góc CAK với góc DAK

d Tìm hệ thức số đo AC, số đo AD điều kiện cần đủ để AK//ND

Bài 37 Cho (O1) (O2) tiếp xúc với điểm A tiếp tuyến chung Ax Một đờng

thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt B, C cắt Ax điểm M Kẻ đờng kính BO1D,

CO2E

a Chứng minh M trung điểm BC b Chøng minh O1MO2 vu«ng

c Chøng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng

d Gọi I trung điểm DE Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xỳc

với d d

Phần 2: Hình học kh«ng gian

A.Lý thuyÕt:

I Mét sè kiến thức hình học không gian:

1 Các vị trí t ơng đối:

a.Vị trí t ơng đối hai đ ờng thẳng:

* a // b  a , b  (P), a b điểm chung * a cắt b a , b (P), a b có điểm chung

* a b chéo a b không thuộc mặt phẳng

b V trớ t ng đối đ ờng thẳng a mặt phẳng (P):

* a // (P)  a vµ (P) điểm chung * a cắt (P) a (P) có điểm chung * a (P) a (P) có vô số điểm chung

c Vị trí t ơng đối hai mặt phẳng (P) (Q):

* (P) // (Q)  kh«ng cã ®iĨm chung

* (P)  (Q) = a  có đờng thẳng a chung ( a gọi giao tuyến hai mặt phẳng) * (P)  (Q)

2 Mét sè c¸ch chøng minh:

a Chứng minh hai đ ờng thẳng song song:

C1: a b thuộc mặt phẳng

a b điểm chung C2: a // c vµ b // c

C3 :

(P)//(Q) (P)∩(R)=a (Q)∩(R)=b}

⇒a//b

b.Chøng minh ® ờng thẳng song song với mặt phẳng:

a//b

b⊂(P)}⇒a//(P)

a , b⊂(Q),aXb

a//(P), b//(P)}(P)//(Q)

d.Chứng minh hai đ ờng thẳng vuông gãc:

a⊥(P)

b⊂(P)}⇒a⊥b

e.Chøng minh ® ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng:

a⊥b , a⊥c

bXc, b⊂(P), c⊂(P)}⇒a⊥(P)

g.Chøng minh hai mặt phẳng vuông góc:

a(P)

a(Q)}(P)(Q)

II Một số hình không gian:

1 Hình lăng trụ:

Sxq = P h với P: chu vi đáy

V = B h h : chiều cao B: diện tích đáy

1 H×nh trơ:

Sxq = P.h = 2R.h với R: bán kính đáy

V = B.h = R2.h h: chiỊu cao.

2 H×nh chãp :

Sxq=1 2P.d

V=1 3B.h

với d: đờng cao mặt bên

2 H×nh nãn:

Sxq=1

2P.d=πR.l

V=1 3B.h=

1 3πR

2

.h

d: đờng sinh; h: chiều cao

3 H×nh chãp cơt:

Sxq=1

2(P+P ').d

V=1

3(B+B '+√B.B').h

3 H×nh nãn cơt:

Sxq=1

2(P+P ').d=π(R+r)d

V=1

3(B+B '+√B.B').h=

π.h

3 (R

2

+r2+R.r)

4 Hình cầu:

S=4R2 V=4

3 πR

3

B Bµi tËp:

Bµi 1: Cho hình bình hành ABCD điểm S nằm ngoµi mp(ABCD) Gäi M, N theo thø tù lµ trung điểm SA, SD Tứ giác MNCB hình gì?

Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD Gäi G, H theo thứ tự trung điểm AD, CD Lấy ®iÓm E AB, F  BC cho: AE=1

4AB;CF=

1

4CB

b Gọi I giao điểm EG (BCD) CMR: F, H, I thẳng hàng

Bi 3: CMR: Nếu mặt phẳng song song với đờng thẳng a mp(Q) mà (P) (Q) cắt giao tuyến chúng song song với a

Bµi 4: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d Một mặt phẳng thứ ba (R) cắt (P) , (Q) theo thứ tự giao tuyến a vµ b CMR:

a Nếu a x d = M a, b, d đồng qui b Nếu a // d a, b, d đơi song song

Bài 5: Cho tứ diện S.ABC, điểm D  SA cho SD=1

4SA, E∈AB cho BE=

4BA

Gäi M lµ trung ®iĨm cđa SC, I lµ giao ®iĨm cđa DM vµ AC, N giao điểm IE BC CMR: a SB // (IDE)

b N trung điểm cđa BC

Bài 6: Cho tam giác ABC vng A, đờng cao AH Một đờng thẳng d  (ABC) A Trên d lấy điểm S

a Chøng minh BC  SH

b Kẻ AI đờng cao tam giác SAH Chứng minh AI  (SBC)

c Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm TÝnh BC, SH råi tÝnh Sxq, Stp, V cđa h×nh chãp

S ABC

Bài 7: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, điểm I  AM cho IA = 2.IM Qua I vẽ đờng thẳng d vng góc với mp(ABC), d lấy điểm S

a Chøng minh SA = SB = SC

b Gọi IH đờng cao tam giác SIM CMR: IH  (SBC)

c TÝnh Sxq V hình chóp S ABC biết AB=3√3 cm ; SA = cm

Bµi 8: Cho tø diƯn S ABC §iĨm E  SA, F  AB cho SE=1

3SA;BF=

3BA Gäi G, H

theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa SC, BC CMR: a EF // GH

b EG, FH, AC đồng qui

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Một đờng thẳng d vuông góc vói mp(ABC) B, d lấy điểm S cho SA = 10 cm

a CMR: SB  AC b TÝnh SB, BC, SC

c CM: Tam giác SAC vuông d Tính Stp , V

Bài 10: Cho hình vng ABCD cạnh cm Trên đờng thẳng d vng góc với mp(ABCD) A lấy điểm S cho SA = cm CMR:

a (SAB)  (SAD) b SC  BD

c Các tam giác SBC SDC vuông d Tính Sxq , V cđa h×nh chãp S ABCD

Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy hình thoi Biét đ ờng cao AA’ = cm, đ-ờng chéo AC’ = 15 cm , DB’ = cm

b TÝnh Sxq, V hình lăng trụ ABCD ABCD

c TÝnh Sxq, V cđa h×nh chãp B’ ABCD

Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AA’ = cm , góc BAB’ = 450 Tính S

xq vµ V

Bµi 13: Hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có AD = cm, AB = cm, BD’ = 13 cm TÝnh Sxq vµ

V ?

Bµi 14: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm a CM: Các tứ giác ACCA, BDDB hình ch÷ nhËt

b CM: AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2.

c TÝnh Stp , V ?

Bài 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCDcó AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 300 TÝnh S vµ V

?

Bài 16: Cho hình lập phơng ABCD A’B’C’D’ có độ dài cạnh cm a Tính đờng chéo BD’

b Tính Stp V hình chóp A ABD

c Tính Stp V hình chãp A’.BC’D

Bài 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy, đờng cao hình trụ dm Hỏi thùng chứa đợc lít nớc ? ( biết dm3 = lít ).

Bài 18: Một mặt phẳng qua trục OO’ hình trụ, phần mặt phẳng bị giới hạn hình trụ ( cịn gọi thiết diện) hình chữ nhật có diện tích 72 cm2 Tính bán kính đáy, đờng cao

của hình trụ biết đờng kính đáy nửa chiều cao

Bài 19: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình chữ nhật có chiều dài cm, chiều rộng cm Tính Sxq V hình trụ

Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đờng sinh AB = cm, bán kính đáy OB = cm a Tính Sxq hình nón

b TÝnh V cđa hình nón

c Gọi CD dây cung (O; OB)vu«ng gãc víi OB CMR: CD  (AOB)

Bài 21: Cho tam giác ABC vuông A quay vịng quanh AB Tính bán kính đáy, đờng cao hình nón tạo thành Từ tính Sxq , V hình nón biết BC = cm, góc ACB = 600

Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh cm Tính Sxq V

Bài 23: Một hình nón cụt có đờng cao 12 cm, bán kính đáy 10 cm 15 cm a Tính Sxq hình nón cụt

b Tính V hình nón sinh hình nón ct ú

Bài 24: Một hình thang ABCD có gãc A vµ gãc D =900, AB = BC = a , gãc C = 600 TÝnh S cña

hình tạo thành quay hình thang vuông vòng xung quanh: a Cạnh AD