Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị của (Cm) đến tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ bằng 1 l[r]
(1)TRƯỜNG THPT NGUYỄN BỈNH KHIÊM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn: TỐN - Khối: A,B
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số y=x3+3x2−mx+2 có đồ thị (Cm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m=0
2 Tìm giá trị m để hàm số có cực đại cực tiểu cho khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng nối điểm cực trị (Cm) đến tiếp tuyến (Cm) điểm có hồnh độ lớn Câu II ( 2,0 điểm)
1 Giải phương trình:
2 1 3
3 3 ABCD ABCD
a a a V SH S
2 Giải bất phương trình:
3
( 3) ( 3) ( 3) 3( 3)( 3)( 3)a b c b c a c a b a b cb c ac a b
Câu III ( 1,0 điểm) Tính
3
1 1 1
3
2 3 3)( )( )
a b c b c a c a b a b c b c a c a b
Câu IV ( 1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giỏc u v éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ
#####################################ỵ######## Hai mt
phng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Tớnh theo éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ
#####################################ỵ######## th tớch ca chóp S.ABCD, biết
rằng khoảng cách hai đường thng AB v SD bng éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ
#####################################ỵ########
Cõu V ( 1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )( )( )a b c b c a c a b a b c b c a c a b
PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ): (Thí sinh làm phần, phần A phần B) A.Theo chương trình chuẩn:
Câu VI a ( 2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng tọa độ 1 133
2 3 3)( 3)( 3)
a b c b c a c a b a b c b c ac a b cho tam giác
1 1 6( )( )
2 3
a b c a b c b c a c a b
vuông
1 1 3 3
a b c b c a c a b abc , biết
3 2( ) 3a b ca b c
2 đối xứng qua gốc tọa độ
Đường phân giác góc
2 3 3 2( ) 2( )
a b c b c a c a b a b c a b c
có phương trình
1 a b c
Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết đường thẳng a b c12đi qua điểm B bb C b b(5 ; ), (2 5; )
2 Cho mặt cầu
z −3¿2=9
y −2¿2+¿
x −1¿2+¿
(S):¿
Δ:x −6
−3 =
y −2
2 =
z −2
2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua
M(4;3;4), song song với đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu (S) Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn (z+1)(1+i)+ ¯z −1
1− i=¿z¿
2 B Theo chương trình nâng cao:
Câu VI b ( 2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x + y – = elip O(0;0)BC Viết phương trình đường thẳng vng góc với (d) cắt (E) hai điểm A, B cho tam giác OAB có diện tích
(2)Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm.
Họ tên thí sinh:……… ;Số báo danh……… TRƯỜNG THPT NGUYỄN BỈNH KHIÊM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn: TỐN - Khối: A,B
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Đáp án - Hướng dẫn chấm
Câu Đáp án Điểm
I
(2,0đ)
I.1
I.2
Cho hàm số
y=x3+3x2−mx+2 có
đồ thị (Cm)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 3 10
2
x y
Ta có hàm số:
2 ( 2;5; 3), (3; 2;1)
19 sin , ( ) cos ,
532
361 171 cos ,( ) sin ,( ) 38
532 14
AB n AB AB n EFAB AB AB AB
Tập xác định hàm số là: AB
Giới hạn:
( )
(6; 1; 9)
K
0,25
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến khoảng u AB n , (1;7;11)
Hàm số đồng biến
mỗi khoảng
6
:
9 11
x t
y t
z t
Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = hàm số đạt
cực đại x = -2, yCĐ =
0,25
0,25
3 3
2
log x 3 3 log x 2
đồ thị có điểm uốn
2
log
u x tâm đối xứng.
Đồ thị:
0,25 x
y’
+
y
-2
0
+ +
+
6
(3)Vậy đồ thị nhận điểm I( -1;4) làm tâm đối xứng Có y,=3x2+6x −m Hàm số có cực đại cực tiểukhi pt
y,
=3x2+6x −m =0 có nghiệm phân biệt
⇔Δ'=9+3m
0⇔m>−3 (*)
0,25
Giả sử A(x1; y1) B(x2; y2) điểm cực trị đồ thị hàm số với x1, x2 nghiệm
của (1) Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = -2
⇒ Trung điểm đoạn thẳng AB I(-1; m + )
0,25
Tiếp tuyến Δ đồ thị (Cm) điểm có hồnh độ x = có pt
y=y,(1)(x −1)+y(1)
⇔(m−9)x+y+3=0
m −9¿2+1
¿
m −9¿2+1
¿ ¿
√¿ ¿
√¿
d=d(I , Δ)=|(m−9)(−1)+m+4+3|
¿
0,25
d lớn m−9¿
+1 ¿
⇔√¿
m−9¿2+1
(4)CâuII (2 đ) II 3 3 u v v u , (1) Điều kiện: 3
3 2
2 3
3( ) ( )( 3)
u v u v u v v u u v u uv v
2 3 3 0, ,
2
u uv v u v v u v
3 3 1 2 3 (*) 2
0 3 0
v u u v
u v
u v
u v u u
2 1
1 log 1
2
u x x
2
2 log 2 4
u x x
Vậy phương trình có nghiệm: x , x 0,25 0,25 0,25 0,25 II.2 2 x x
x x x
(2)
Điều kiện:
2
2
0
1
1
x x x x x
x x
x x x
2
2
( 1)
1
2
1
1
x x x x
x
x x
x
x x x
x x x x x x x
2 2 0
1
3
(3 1) 8 5 1 0
x x x x x x
x x x x x
0,25
0,25
(5)0
x
Vậy tập nghiệm bất phương trình là:
;0
T
0,25
Câu III (1 đ)
1
4 4
0 0
4
4
1 0
0
cos sin sin cos
1 cos cos cos
1 cos
1 1
ln cos ln
2 cos 2 |
M M
x x x x
M dx dx dx
x x x
d x
M x
x
4
2
0
cos cos
1 cos 2 sin
x x
M dx dx
x x
Đặt usint
1
2
2
2 0
0
1 1 1 1
ln ln(1 2)
2 1 1|
du u
M du
u u u u
Vậy
1
ln(2 2)
M
0,25
0,25
0,25
0,25
IV (1đ)
K
H
D
C B
A
S
Gọi H giao điểm AC BD Do (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vng góc với (ABCD) Gọi K hình chiếu vng góc B lên đường thẳng SD Do ABCD nửa lục giác nên AB vng góc với BD, kết hợp với AB vng góc với SH suy
éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ
0,25
(6)Do BC//AD suy
éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ
#####################################ỵ########
Mt khỏc ta cú
éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ #################
###################ỵ########
éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ #################
###################ỵ########
Ta cú
éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ #################
###################ỵ########
Vy
éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ #################
###################ỵ########
( vtt)
0,25
Câu V
(1 đ) Áp dụng BĐT trung bình cộng – trung bình nhân (TBC - TBN) ta có: 6(a+b+c)=
3
(a2 ) (b c b2 ) ( 2c a c a b3 ) ( a2 )(b c b 2 )( 2c a c a b3 ) (1)
3
1 1
3
2 3 3 )( )( )
a b c b c a c a b a b c b c a c a b
(2)
Lấy (1) nhân (2) theo vế, ta được:
1 1
6( )( ) 3
a b c
a b c b c a c a b
Suy
1 1 3 3
a b c b c a c a b a b c Do F
3
( )
2a b c a b c
2
(BĐT TBC – TBN) (3) Dấu xảy đồng thời xảy dấu “=” (1), (2) (3)
2 3 3 2( )
2( )
a b c b c a c a b
a b c a b c
1
a b c
Vậy giá trị nhỏ F đạt
1
a b c
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu VI a.1
( đ) B(5 ; ), (2 b b C b 5;b)
(7)Gọi I đối xứng với O qua phân giác gócABC nên I(2;4)và IAB
Tam giác ABC vng A nên
2 3;4
BI b b
vng góc với
11 ;2
CK b b
2
(2 3)(11 ) (4 )(2 ) 30 25
5
b
b b b b b b
b
Với
1 (3;1), ( 3; 1) (3;1)
b B C A B
(loại) Với
5 ( 5;5), (5; 5)
b B C
31 17 ; 5
A
Vậy đỉnh tam giác
31 17
; ; ( 5;5); (5; 5) 5
A B C
0,25 0,25
0,25
a.2
(1,0 đ) Gọi
nP(a ;b ;c)(a2+b2+c2≠0)
(P):a(x −4)+b(y −3)+c(z −4)=0 Vì (P)//Δ nên nP⊥uΔ,
thẳng Δ Suy −3a+2b+2c=0⇔a=2b+2c
3 (1)
Mặt khác, (P) tiếp xúc với mặt cầu ( tâm bán kính (
(2)
Từ (1) (2) ta có b+c¿2=(2b+32c)
+b2+c2⇔2b2−5 bc+2c2=0 ¿
* Với c=0⇒b=a=0 (ktm)* Với c ≠0, ta có (3)⇔2(bc)
−5b
c+2=0⇔
b
c=2
Với bc=2, ta chọn b=2,c=1⇒a=2 chứa Δ
Với bc=1
2, ta chọn b=1, c=2⇒a=2 Vậy mặt phẳng cần tìm là:
0,25
0,25
0,25
0,25
CâuVII.a
(1,0 đ) Đặtz=x+yi(x , y∈R).
(8)⇔
3x+1− y=2(x2+y2)
3x+1+y=0 ¿{
⇔
y=−(3x+1)
10x2+3x=0
⇔
¿x=0, y=−1
x=−
10, y=− 10 ¿{
Vậy z=−i
z=−
10 − 10i
0,25 0,25
Câu VIb VI.b.1
(1 đ)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d
Viết phương trình đường thẳng vng góc với (
OAB có diện tích 3.
vng góc với đường thẳng (d) nên có phương trình x – 3y Phương trình hồnh độ giao điểm (E):
+ 2mx + m2 36 = (1)
) hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(
phân biệt
3 m
(2)
2 2
2 2 1
10 10
( ) ( ) 720 16 15
AB x x y y x x m
4 10
16 720 8100
2
m m m
(thỏa điều kiện (2)) Vậy phương trình đường thẳng :
3 10
2
x y
0,25
0,25 0,25
0,25
VI.b.2
2
( 2;5; 3), (3; 2;1) 19 sin ,( ) cos ,
532
361 171 cos ,( ) sin , ( ) 38
532 14
AB n
AB AB n
EF AB AB AB AB
AB cắt ( ) tại
(6; 1;9)
K
, (1;7;11)
u AB n
Vậy đường thẳng
:
9 11
x t
y t
z t
0,25 0,25 0,25
(9)Câu VII b (1 đ)
3 3
2
log x3 3log x2
2
log
u x v3 2 3 u v3 2 3 u
3
3 2
2 3
3( ) ( )( 3)
u v u v
u v v u u v u uv v
(*)
2
2
3 0, ,
u uv v u v v u v
nên:
3
3
1
(*)
2
v u u v
u v
u v
u v u u
2
1 log
2
u x x
2
2 log
u x x
Vậy phương trình có nghiệm
1
x
, x4
0,25
0,25
0,25
0,25
Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà đủ điểm phần đáp án quy định.