ThÝ sinh kh«ng ®îc sö dông tµi liÖu.[r]
(1)Sở gd & đt bắc ninh Đề thi thử đại học năm 2010 TRƯỜNG THPT lơng tài Mơn: Tốn – Ngày thi: 06.4.2010
Thời gian 180 phút ( không kể giao đề ) phần chung cho tất thí sinh
C©u I (2 điểm) Cho hàm số 3
x x y
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2 Gọi d đờng thẳng qua điểm A(3; 4) có hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt A,
M, N cho hai tiÕp tuyÕn cña (C) M N vuông góc với Câu II (2điểm)
1 Giải hệ phơng trình:
y y
x x
y y x y x
) 2 )(
1 (
4 ) ( 1
2
(x, yR)
2 Giải phơng trình:
1
tan tan
3 cos cos
sin
sin3
x x
x x x
x
Câu III (1 điểm) Tính tích ph©n
1
0
2
)
ln(x x dx
x
I
Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC vng góc với AA’, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích
8
2
a TÝnh thÓ tích khối lăng trụ ABC.ABC.
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c ba số thực dơng thỏa mÃn abc = Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc
2
2
2
2 2
2
2
a c c
b b
a P
PhÇn tù chän
Thí sinh đợc làm hai phần: Phần hoc Phn 2
Phần 1
Câu VI.a (2 ®iĨm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P): yx2 2x elip (E):
2
y
x .
Chứng minh (P) giao (E) điểm phân biệt nằm đờng trịn Viết phơng trình đờng trịn qua điểm
2 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phơng trình
0 11 2 2
y z x y z
x mặt phẳng () có phơng trình 2x + 2y z + 17 = Viết phơng trình mặt
phng () song song với () cắt (S) theo giao tuyến đờng trịn có chu vi 6 Câu VII.a(1điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức Niutơn
n
x
x
4
2
1 , biÕt r»ng n là
số nguyên dơng thỏa mÃn:
1 6560
2
2 2
1
3
n C n C
C
C n
n n n
n
n (
k n
C số tổ hợp chập k n phần tử)
Phần 2
Câu VI.b (2 ®iÓm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đờng thẳng d1: x + y + = 0, d2: x + 2y - 7= tam giác
ABC có A(2 ; 3), trọng tâm điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 vàđiểm C thuộc d2 Viết phơng trình đờng trịn ngoại
tiÕp tam gi¸c ABC
2 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) mặt phẳng (P): x – y – z – = Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2
2 MB MC
MA
(2)C©u VII.b (1 điểm) Giải hệ phơng trình
1 ) 1 ( 2
y x e
x e
e
y x
y x y x
(x, yR)
-***HÕt*** -Chó ý: ThÝ sinh dù thi khối B D làm câu V
Thí sinh khơng đợc sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm
Họ tên thí sinh: Số b¸o danh:
Híng dẫn chấm môn toán
- Điểm toàn không làm tròn.
- Hc sinh lm cỏc khỏc đợc điểm tối đa
- Nếu học sinh làm hai phần phàn tự chọn không tính điểm phần tự chọn.
- Thí sinh dự thi khối B, D làm câu V; thang điểm dành cho câu I.1 câu III 1,5 điểm.
Câu Nội dung Điểm
I.1 Khảo sát hàm số 3
x x
y 1,00
1 Tập xác định: R Sự biến thiên:
a) Giíi h¹n:
y lim(x 3x 4) ,lim y lim(x 3x 4)
lim
x x
2 x x
0,25
b) Bảng biến thiên: y' = 3x2 - 6x, y' = x = 0, x = 2
Bảng biến thiên:
x - +
y' + - + y
+ -
- Hàm số đồng biến (-; 0) (2; +), nghịch biến (0; 2) - Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = 4, đạt cực tiểu x = 2, yCT =
0,50
3 Đồ thị: Đồ thị giao với trục tung (0; 4), giao với trục hoành (-1; 0),(2; 0) Nhận điểm uốn I(1; 2) làm tâm đối xứng
0,25
I.2 Tìm m để hai tiếp tuyến vng góc 1,00
d cã ph¬ng tr×nh y = m(x – 3) +
Hồnh độ giao điểm d (C) nghiệm phơng trình
0 m x
3 x 0 ) m x )( 3 x ( 4 ) 3 x ( m 4 x 3 x
2
2
3 0,50
Theo ta có điều kiƯn m > vµ y'( m).y'( m)1 0,25
9 35 18 m m 36 m ) m m )( m m
(
(tháa
m·n)
0,25
II.1 Giải hệ phơng trình đại số 1,00
x y
-1 O
4
2
(3)Ta thấy y = nghiệm hƯ 0,25
Hệ phơng trình tơng đơng với
1 ) 2 y x ( y
1 x
2 2 y x y
1 x
2
0,25
Đặt ,v x y
y x u
2
Ta cã hÖ u v 1
1 uv
2 v u
0,25
Suy
1 2 y x
1 y
1 x2
Giải hệ ta đợc nghiệm hpt cho (1; 2), (-2; 5) 0,25
II.2 Giải phơng trình lơng giác 1,00
Điều kiện:
3 x cos x cos x sin x
sin
Ta cã x
6 cot x tan x tan x
tan
0,25
Phơng trình cho tơng đơng với
8 x cos x cos x sin x
sin3
1 cos 2x cos 2x cos 4x cos 2x cos 2x cos 4x
2 2
0,25
2 x cos
1 x cos
1 ) x cos x cos x (cos
2
0,25
k x
(lo¹i) k x
,(kZ) Vậy phơng trình có nghiệm k
6
x ,
(kZ)
0,25
III Tính tích phân 1,00
Đặt
2/x v
dx 1x x
1x2 du xdx dv
)1x xln( u
2 2 2
1 1
2
2
2 0
x 2x x
I ln(x x 1) dx
2 x x
(4)
1
0
0
0 x x
dx
3 dx x x
1 x dx ) x ( ln
1
1
1
2 I
4 3 ln I ) x x ln( x x ln
0,25
* TÝnh I1:
1
0
2
1
2
1 x
dx I
Đặt
2 , t , t tan
3 x
Suy
9 t
3 t tan
dt ) t tan (
3 I
3 /
6 /
3 /
6 /
2
0,25
VËy
12 3 ln
I 0,25
IV Tính thể tích khối lăng trụ 1,00
Gi M trung điểm BC, gọi H hình chiếu vng góc M lên AA’, Khi (P) (BCH) Do góc A ' AM nhọn nên H nằm AA’ Thiết diện lăng trụ cắt (P) tam giác BCH
0,25 Do tam giác ABC cạnh a nên
3 a AM AO ,
3 a
AM
Theo bµi
4 a HM
3 a BC HM
3 a S
2
BCH
0,25
4 a 16
a a HM AM
AH
2 2
2
Do hai tam giác A’AO MAH đồng dạng nên
AH HM AO
O ' A
suy
3 a a
4
3 a
3 a AH
HM AO O '
A
0,25
Thể tích khối lăng trô:
12 a a
3 a a BC AM O ' A S
O ' A V
3
ABC
0,25
V Tìm giá trị lớn 1,00
Ta cã a2+b2 2ab, b2+ 2b
1 b ab
1 2 b b a
1
b a
1
2 2
2
T¬ng tù
1 a ca
1 a c
1 , c bc
1 c b
1
2 2
2
0,50 A
B
C
C’ B’
A’
H
O
(5)2 b ab b ab b ab b ab 1 a ca 1 c bc 1 b ab P 0,25
P a = b = c = Vậy P đạt giá trị lớn
a = b = c = 0,25
VIa.1 Viết phơng trình đờng tròn qua giao điểm của(E) (P) 1,00
Hoành độ giao điểm (E) (P) nghiệm phơng trình x 37 x 36 x ) x x (
x 2
2
(*) 0,25
XÐt f(x)9x4 36x3 37x2 9, f(x) liªn tơc trªn R cã f(-1)f(0) < 0,
f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < suy (*) có nghiệm phân biệt, (E) cắt (P) điểm phân biệt
0,25
Toạ độ giao điểm (E) (P) thỏa mãn hệ
1 y 9 x x 2 x y 2 0,25 0 9 y8 x 16 y9 x9 9 y9 x y8 x 16
x8 2 2
2 2 (**)
(**) phơng trình đờng trịn có tâm
;
I , b¸n kÝnh R =
9
161 Do
đó giao điểm (E) (P) nằm đờng trịn có phơng trình (**)
0,25
VIa.2 Viết phơng trình mặt phẳng () 1,00
Do () // () nªn () cã phơng trình 2x + 2y z + D = (D17)
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = Đờng tròn có chu vi 6 nên có bán kính r =
0,25 Khoảng cách từ I tới () h = R2 r2 52 32
0,25
Do
(lo¹i) 17 D 7 D 12 D 5 4 )1 ( 2 2 D 3 )2 (2 1. 2 2 0,25
Vậy () có phơng trình 2x + 2y z - = 0,25
VII.a T×m hƯ sè cđa x2 1,00
Ta cã
2 n n n 2 n n n n dx x C x C x C C dx ) x ( I n n n n n
n C x
1 n x C x C x C
suy I n
n n n n n C n C C 2 C
(1)
0,25 Mặt khác n ) x ( n I n n
(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã n
n n n n n C n C C 2 C n 3n
Theo 6561 n
1 n 6560 n
3 n
1 n 0,25
Ta cã khai triÓn
k 14 k k k k k 7
4 2 C x
(6)Sè h¹ng chøa x2 øng víi k tháa m·n 2 k 2
4 k 14
Vậy hệ số cần tìm
4 21 C
1
7
2
0,25
VIb.1 Viết phơng trình đờng trịn 1,00
Do B d1 nªn B = (m; - m – 5), C d2 nªn C = (7 – 2n; n) 0,25
Do G lµ träng tâm tam giác ABC nên
0. 3 n 5 m 3
2. 3 n 2 7 m 2
1n 1 m 2n m
3n 2m
Suy B = (-1; -4), C= (5; 1)
0,25
Giả sử đờng tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có phơng trình
0 c by ax y x2
Do A, B, C (C) nªn ta cã hƯ
27/ 338 c
18/ 17 b
54/ 83 a
0c b2 a10 1 25
0c b8 a2 16 1
0c b6 a4 94
0,25
Vậy (C) có phơng trình
27 338 y 17 x 27 83 y
x2 2 0,25
VIb.2 Tìm giá trị nhỏ 1,00
Gọi G trọng tâm tam gi¸c ABC, suy G =
3 ; ;
Ta cã 2 2 2
2 2
GC MG GB
MG GA
MG MC
MB MA
F
2 2 2
2 2
GC GB GA MG ) GC GB GA ( MG GC GB GA MG
3
0,25
F nhá nhÊt MG2 nhá nhÊt M hình chiếu G lên (P) 0,25
3
19
1
3 3 / / )) P ( , G ( d
MG
0,25
3 64 104 32 56 GC GB
GA2 2
VËy F nhá nhÊt b»ng
9 553
64
3 19
2
M hình chiếu G lên (P) 0,25
VIIb Giải hệ phơng trình mũ 1,00
1y x e
1y x e 1y x e
)1x( 2 e e
yx yx yx
yx yx
(7)Đặt u = x + y , v = x - y ta cã hÖ
)2( uv ee
)1( 1u e 1v e
1u e
v u v u
v
- NÕu u > v (2) có vế trái dơng, vế phải âm nên (2) vô nghiệm
- Tơng tự u < v (2) vô nghiệm, nên (2) uv 0,25
ThÕ vµo (1) ta cã eu = u+1 (3) XÐt f(u) = eu - u- , f'(u) = eu - 1
B¶ng biÕn thiªn:
u - +
f'(u) - + f(u)
Theo bảng biến thiên ta có f(u) = u0
0,25
Do (3) có nghiệm u =
0y 0x 0yx 0yx 0v
Vậy hệ phơng trình cho có nghiệm (0; 0)
0,25