Tính khoảng cách giữa A’B’ và mpC’EB và thể tích khối tứ diện A’C’BE.. Gọi E là trung điểm của AB.[r]
(1)I/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu 1: (2đ) Cho hàm số y = x4 2m2x2 + có đồ thị (Cm) Đề số 24 1/ Khảo sát hàm số m = 2/ Tìm m để hàm số có cực trị và điểm cực trị đồ thị (Cm) lập thành tam giác vuông cân x Câu 2:(1đ) Giải pt: cos x tanx 2 = sinx(1 + tanxtan ) 2 Câu 2:(1đ) Giải phương trình: x 3x + x 3x = Câu 4: (1đ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = x2 và y=√ − x Câu 5: (1đ) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy 2a, cạnh bên AA’ = a Gọi E là trung điểm AB Tính khoảng cách A’B’ và mp(C’EB) và thể tích khối tứ diện A’C’BE Câu 6:(1đ) Cho số thực dương thỏa điều kiện a2014 + b2014 + c2014 = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a5 + b5 + c5 I/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu 1: (2đ) Cho hàm số y = x4 2m2x2 + có đồ thị (Cm) Đề số 24 1/ Khảo sát hàm số m = 2/ Tìm m để hàm số có cực trị và điểm cực trị đồ thị (Cm) lập thành tam giác vuông cân x Câu 2:(1đ) Giải pt: cos x tanx 2 = sinx(1 + tanxtan ) 2 Câu 2:(1đ) Giải phương trình: x 3x + x 3x = Câu 4: (1đ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = x2 và y=√ − x Câu 5: (1đ) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy 2a, cạnh bên AA’ = a Gọi E là trung điểm AB Tính khoảng cách A’B’ và mp(C’EB) và thể tích khối tứ diện A’C’BE Câu 6:(1đ) Cho số thực dương thỏa điều kiện a2014 + b2014 + c2014 = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a5 + b5 + c5 I/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu 1: (2đ) Cho hàm số y = x4 2m2x2 + có đồ thị (Cm) Đề số 24 1/ Khảo sát hàm số m = 2/ Tìm m để hàm số có cực trị và điểm cực trị đồ thị (Cm) lập thành tam giác vuông cân x Câu 2:(1đ) Giải pt: cos x tanx 2 = sinx(1 + tanxtan ) 2 Câu 2:(1đ) Giải phương trình: x 3x + x 3x = Câu 4: (1đ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = x2 và y=√ − x Câu 5: (1đ) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy 2a, cạnh bên AA’ = a Gọi E là trung điểm AB Tính khoảng cách A’B’ và mp(C’EB) và thể tích khối tứ diện A’C’BE Câu 6:(1đ) Cho số thực dương thỏa điều kiện a2014 + b2014 + c2014 = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a5 + b5 + c5 (2) II/ PHẦN RIÊNG (3điểm): Thí sinh chọn hai phần (phần A phần B) Phần A:Câu 7a: (1đ) Cho đường tròn (C): (x 1)2 + (y 2)2 = và đường thẳng d: x – y – = Viết pt đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d x y z x y z và d2: và mp(P): x 2y + 3z + = Viết Câu 7a: (1đ) Cho các đường thẳng d1: pt đường thẳng d là hình chiếu d2 lên mp(P) theo phương đường thẳng d1 2i z 2z Câu 9a: (1đ) Xác định tập hợp các điểm m.phẳng phức biểu diễn các só phức z thỏa: Phần B: Câu 7b: (1đ) Cho parabol (P): y2 = 4x và hai điểm A(0; 4), B(6; 4) Tìm trên (P) điểm C cho tam giác ABC là tam giác vuông A x 2t x 2 t ' y 3 y 1 t ' z 1 t z 2t ' Câu 8b: (1đ) Trong kgOxyz, cho các đường thẳng d 1: và d2: Tìm Md1, Nd2 cho độ dài đoạn MN nhỏ Viết pt mặt cầu (S) đường kính MN x2 x x điểm A để tiếp tuyến (C) A vuông góc với đường Câu 9.b: (1điểm) Tìm trên đồ thị (C): y = thẳng qua A và tâm đối xứng (C) II/ PHẦN RIÊNG (3điểm): Thí sinh chọn hai phần (phần A phần B) Phần A:Câu 7a: (1đ) Cho đường tròn (C): (x 1)2 + (y 2)2 = và đường thẳng d: x – y – = Viết pt đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d x y z x y z và d2: và mp(P): x 2y + 3z + = Viết Câu 7a: (1đ) Cho các đường thẳng d1: pt đường thẳng d là hình chiếu d2 lên mp(P) theo phương đường thẳng d1 2i z 2z Câu 9a: (1đ) Xác định tập hợp các điểm m.phẳng phức biểu diễn các só phức z thỏa: Phần B: Câu 7b: (1đ) Cho parabol (P): y2 = 4x và hai điểm A(0; 4), B(6; 4) Tìm trên (P) điểm C cho tam giác ABC là tam giác vuông A x 2t x 2 t ' y 3 y 1 t ' z 1 t z 2t ' Câu 8b: (1đ) Trong kgOxyz, cho các đường thẳng d 1: và d2: Tìm Md1, Nd2 cho độ dài đoạn MN nhỏ Viết pt mặt cầu (S) đường kính MN x2 x x điểm A để tiếp tuyến (C) A vuông góc với đường Câu 9.b: (1điểm) Tìm trên đồ thị (C): y = thẳng qua A và tâm đối xứng (C) II/ PHẦN RIÊNG (3điểm): Thí sinh chọn hai phần (phần A phần B) Phần A:Câu 7a: (1đ) Cho đường tròn (C): (x 1)2 + (y 2)2 = và đường thẳng d: x – y – = Viết pt đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d x y z x y z và d2: và mp(P): x 2y + 3z + = Viết Câu 7a: (1đ) Cho các đường thẳng d1: pt đường thẳng d là hình chiếu d2 lên mp(P) theo phương đường thẳng d1 2i z 2z Câu 9a: (1đ) Xác định tập hợp các điểm m.phẳng phức biểu diễn các só phức z thỏa: Phần B: Câu 7b: (1đ) Cho parabol (P): y2 = 4x và hai điểm A(0; 4), B(6; 4) Tìm trên (P) điểm C cho tam giác ABC là tam giác vuông A x 2t x 2 t ' y 3 y 1 t ' z 1 t z 2t ' Câu 8b: (1đ) Trong kgOxyz, cho các đường thẳng d 1: và d2: Tìm Md1, Nd2 cho độ dài đoạn MN nhỏ Viết pt mặt cầu (S) đường kính MN (3) x2 x x điểm A để tiếp tuyến (C) A vuông góc với đường Câu 9.b: (1điểm) Tìm trên đồ thị (C): y = thẳng qua A và tâm đối xứng (C) x 0 Câu 1: 2/ y’ = 4x3 4m2x = 4x(x2 m), y’ = x m (0,25) Đề số 24 Hàm số có cực trị y’ có nghiệm phân biệt m ≠ (0,25) Tọa độ các điểm cực trị là A(0; 1); B(m; m4), C(m; m4) Do B, C đối xứng quatrục tung nên ABC cân A ABC vuông cân AB AC AB AC = (0,25) Mà AB = (m; m4), AC = (m; m4) AB AC = m2 + m8 = m2(m3 1)(m3 + 1) = m = (loại) m = ±1 Vậy m = ±1 (0,25) Câu 2: Đặt t = x 3x ≥ 0, t2 = x2 3x + x2 3x + = t2 + Pt trở thành: 3 t 0 t 3 2 2 t (3 t ) t t t+ =3 =3t t 1 t = (thỏa đk) (0,5) x 3x = x2 3x + = x = x = Vậy pt có nghiệm là x = 1; x = (0,5) x x x x sin cos x cos sin x sin cos cos x 0 sin x 2 2 x x x x cos x cos x cos x cos x cos cos x cos cos 0 2= 2 Câu 3:Đk: Ta có 1+tanxtan =1+ (0,25) PT (tan2x + 1) tanx = tanx tan2x 2tanx = (0,25) tan x tan x (0,25) x k , k Z x k (thỏa đk) (0,25) Vậy … Câu 4: Pt hoành độ giao điểm đường y = x2 và 2 y=√ − x là: x x x 1 (0,25); Do x x2 x[1 ;1] nên diện tích hình phẳng là : S x x dx 2 x dx x dx 1 2 0 Tính I1 2 x dx Đặt x = I1 2 2sin t cos tdt 0 x sint dx = √2 costdt Đổi cận: x 0 t 0; x 1 t 4 1 cos t cos tdt cos tdt 2 cos 2t dt 2 t sin 2t 2 0 (0,5) = S=2 ( π4 + 12 ) − 23 = π2 +1 − 23 = π2 + 13 C’ C 0 Tính Vậy (0,25) Câu 5: Chọn hệ tọa độ Oxyz cho CO(0 ; 0; 0), AB//Ox, C’Oz Ta có CE = a nên: E(0; a ; 0), A(a; a ; 0), B(a; a ; 0), C’(0; 0; a x I2 2x dx 2 √2 z B’ B E qua E (0; a 3;0) VTPT n C ' B, C ' E a (0; 3; 3) a 3(0;1;1) mp(C’EB) a a a mp(C’EB): y + z a = d(A’B’, (C’EB)) = d(B’,(C’EB)) = a (0,25) A’ A y ), A’(a; a ; a ), B’(a; a ; a ) (0,25) Do A’B’ // BE (gt) A’B’// (C’EB) d(A’B’, (C’EB)) = d(B’,(C’EB)) (0,25) Ta có C ' B (a; a 3; a 3) a(1; 3; 3), C ' E (0; a 3; a 3) a(0; 3; 3) (4) 1 1 a a3 VA’C’BE = d(A’,(C’BE)).SC’BE = d(B’,(C’BE)) C’E.BE = a a = a 2014 a 2014 a 2014 a 2014 a 2014 1 1 1 2014 (a 2014 )5 = 2014a5 2009 so Câu 6: Ta có ≥ 2014 1 1 1 1 1 Tương tự 5b2014 + 2009 so ≥ 2014b5 ; 5c2012 + 2009 so ≥ 2014c5 (0,5) 5(a2014 + b2014 + c2014) + 3.2009 ≥ 2014(a5 + b5 + c5) = 2014P 2014P ≤ 6042 P ≤ (0,25) maxP = đạt a = b = c = (0,25) Câu 7.a: Đường tròn (C) có I(1;2) và bán kính R = (0,25) Gọi là đường thẳng qua I và d : x + y + m = Điểm I(1;2) + + m = m = 3 : x + y = (0,25) x y 1 x 2 Gọi H = d , tọa độ điểm H thỏa hệ pt x y 3 y 1 H(2;1) xI ' 2 xH xI 4 3 y 2 yH yI 2 0 Gọi I’ là điểm đối xứng I qua d H là trung điểm II’ I ' I’(3;0) (0,25) Đường tròn (C’) đối xứng với (C) qua d có tâm I’(3;0) và bán kính R’ = R = (C’): (x 3)2 + y2 = (0,25) qua A(0;0;3) qua B (1;0;0) VTCP a (1; 4; 2) VTCP b (2;3;1) Câu 8.a: d1: , d2: (0,25) qua B (1;0;0) VTPT n [ a, b] ( 2;3; 5) Gọi (α) là chứa d2 và (α) // d1 (α): (α): 2x + 3y 5z + = (0,25) qua M (16;10;0) x 2y 3z 0 x 16 y 10 z VTCP c (1; 1; 1) 2x 3y 5z 1 (0,5) d = (α) (P) d: d: d: Câu 9.a: (1 đ) Gọi z = x + yi z = x yi Ta có 2i z 2z 2i 2( x yi ) 2(x+yi) x 2( y 1)i 2x yi x 4( y 1) (2 x 1) y 4x2 + 4y2 + 8y + = 4x2 4x + + 4y2 4x + 8y + = 0 KL y2 y2 Câu 7.b: Ta có C(x; y)(P) y2 = 4x x = C( ; y) (0,25) y ABC vuông tai A AB AC AB AC AB AC 0 (0,25) Mà AB = (6; 8), AB = ( ; y + 4) y 8 C (16;8) y2 y C 16 ; (0,25) AB AC 0 6 + 8(y + 4) = 3y2 + 16y + 64 = (0,25) qua A(0;3;1) VTCP a ( 2;0;1) Câu 8.b: d1: d1: x 2t y 3 z 1 t x 2 u y 1 u z 2u qua B(2;1;0) VTCP b (1; 1; 2) , d2: d2: MN =(u + 2t + 2; u 2; 2u t 1) (0,25) Ta có Md1 M(2t; 3; + t), Nd 2 N(2 + u; u; 2u) MN a MN a 0 MN d1 2(u 2t 2) 1(2u t 1) 0 MN d MN b MN b 0 (0,25) 1(u 2t 2) 1( u 2) 2(2u t 1) 0 MN nhỏ t M (2;3;0) 11 13 ; ; u N ( ; ; ) (0,25) Tâm I mặt cầu (S) là trung điểm MN I 6 , bán kính R = IM = (S): 2 11 13 1 x y z 6 6 3 (0,25) (5) x2 x x Câu 9.b: (1 điểm) (C): y = = x + + x (C) có TCĐ: x = 1, TCX: y = x + (C) tâm đối xứng I = TCĐTCN I(1;3) và y’ = ( x 1) (0,25) y A yI 4 1 ( x 1) (0,25) Ta có: A(x;y)(C) A(x; y = x + + x ) (x ≠ 1) Hệ số góc IA là k = x A xI 16 1 1 1 4 ycbt k.y’(xA)= 1 ( x 1) ( x 1) =1 ( x 1) = 1 (x 1)4 =8 x = ± (0,25) A(1 ± ; ± ±2 ) (0,25) (6)