De Toan LTDH 2012

[r]

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Mơn thi : TỐN

I PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số

x y

x

1  



1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

2) Tìm đồ thị (C), hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN, biết M(–3; 0), N(– 1; –1)

Câu II (2 điểm):

a) ( x 3 x 1)(1 x22x 3) 4

b)

2 sin( )

4 (1 2 ) tan

cos x

sin x x

x 



  

Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I =

x

x e dx x

0

1 sin cos 

  

 



 



Câu IV: (1 điểm): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 60o Mặt phẳng (P) chứa AB qua trọng tâm tam giác

SAC cắt SC, SD M, N Tính thể tích khối chóp S.ABMN theo a

Câu V (1 điểm): Cho số thực a, b, c thỏa mãn : 0a1; 0b1; 0 c Chứng minh rằng:

a b c

abc a b c

1 1

1

 

      

 

 

Câu VI.a (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ x + y – = 2x – y + = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3)

Câu VII.a (1 điểm): Cho z1, z2 nghiệm phức phương trình 2z2 4z11 0 Tính giá trị biểu thức :

2

1

2

1

( )

z z

z z 

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu I: 2) Phương trình đường thẳng MN: x2y 3 0 Gọi I(a; b)  MN  a2b 3 (1) Phương trình đường thẳng d qua I vng góc với MN là: y2(x a b )

Hoành độ giao điểm A, B (C) d nghiệm phương trình:

x x a b

x

2 4 2( )



  

 (x  –1)

 2x2 (2a b x )  2a b  4 (x  –1)

A, B đối xứng qua MN  I trung điểm AB

Khi đó:

A B I x x

x

2  



a b a

4  

(2)

Từ (1) (2) ta được:

a b a b a

2

4

   



 

 

 

a b 12   

 

Suy phương trình đường thẳng d: y2x  A(2; 0), B(0; –4).

Câu II: a) ( x 3 x1)(1 x22x 3) 4

Nhớ đặt điều kiện

Nhân lượng liên hiệp: ( x 3 x1)

Bất phương trình trở thành: 4(1 x22x 3) 4( x 3 x1) 1 x22x 3 x 3 x1

Bình phương vế BPT, ta được: 2 x22x 3x22x 3    x x x22x

Giải BPT ta kết b)

2 sin( )

4 (1 2 ) tan

cos x

sin x x

x 



  

Nhớ đặt điều kiện

2 sin( )(1 ) cos (1 tan )

4 x sin x x x



    sin( )(cos )2 cos sin

4 x x sinx x x



    

2

2 sin( )(cos ) cos sin

4 x x sinx x x



    

Chuyển vế đặt nhân tử chung giải phương trình tích để đến kết cuối Câu III: Ta có:

x x

x

2 sin 1 tan

1 cos 2

 



   

   .

Do đó: I =

x

x e dx2

0

1 tan

2



 



 

 



=

x

x x e dx

2

1 1 tan tan

2 2



 

 

 

 



=

x x

x e dx x e dx

2

2

0

1 1 tan tan

2 2

 

 

 

 

 

 

Đặt

x

u e

x dv 1 tan2 dx

2

  

 



   

  

 

x

du e dx x v tan

2

 

 

  

 I =

x x x x x x

e 2 e dx e dx

0 0 0

tan tan tan

2 2

 



  

Câu IV: Gọi I, J trung điểm cúa AB CD; G trọng tâm ∆SAC ∆SIJ cạnh a nên G trọng tâm ∆SIJ

IG cắt SJ K trung điểm cúa SJ; M, N trung điểm cúa SC, SD

2

 a

IK

; SABMN =

2

1 3

( )

2  

a AB MN IK

SK  (ABMN); SK =2

a V=

3

1

3 ABMN  16 a S SK

Câu V: Vì 0a1,0b1 nên a1 b1 0   ab a b   1 a b ab

1

    ab a b

1 1 1 (1)

   

Tương tự : bc b c ca c a

1 1 1 (2), 1 1 (3)

     

Cộng BĐT (1), (2), (3) vế theo vế ta được: ab bc ca a b c

1 1 21 1 3 (4)       

 

Sử dụng BĐT (4) BĐT Cô–si ta có:

 

a b c a b c a b c

abc ab bc ca a b c

1 1 1 1

1

   

               

   

   

a b c

a b c a b c 1 1 1

2  

          

 

Cũng theo BĐT Cô–si ta có :   a b c

a b c 1 9

 

     

 

Do đó:  

a b c

abc a b c a b c

1 1 1 1

1 3

 

           

 

  (đpcm)

Dấu "=" xảy a = b = c =

Câu VI.a: 1) Gọi C c c( ; 3) I m( ;6 m) trung điểm BC Suy ra: B m c (2  ; 2 m )c Vì C’ trung điểm AB nên:

2 11 2

' ; '

2

   

 



 

 

m c m c

C CC

nên

2 11 2

2

2

   

 

    

 

 

m c m c

m 41;

6

 

  

 

I

Phương trình BC: –3x y23 0

Tọa độ C nghiệm hệ:

2 14 37

;

3 23 3

  

  



  

    

 x y

C x y

Tọa độ

19 ; 3

 



 

 

B

2) Ta có: AB(2; 2; 2), AC(0; 2; 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là: x y z  1 0, y z  0. Vectơ pháp tuyến mp(ABC) n              AB AC,  (8; 4; 4).

Suy (ABC): 2x y z   1 0.

Giải hệ:

1 0

3

2 1

    

 

 

    

 

      

 

x y z x

y z y

x y z z

Bán kính R IA  ( 0)  2(0 2) 2(1 1)  Câu VII.a: Giải PT cho ta nghiệm:

3

1 ,

2

z   i z   i

Suy

2

1 2

3 22

| | | | ;

2

z z     z z 

  Do đó:

2

1

2

1

11

( )



 

z z

z z .

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Mơn thi : TỐN

I PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số

x y

x

2 



1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng (C) đến tiếp tuyến lớn

Câu II (2 điểm):

1) Giải phương trình: cos 2x −tan2x =cos

2x

+cos3x −1

cos2x 2) Giải hệ phương trình:

2 2

1

( )

x y xy y

y x y x y

    



   



Câu III: (1 điểm) Tính tích phân:

4

2

sin

x

I dx

x x 

  

 



Câu IV: (1 điểm) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A.ABC hình chóp tam giác cạnh đáy

AB = a, cạnh bên AA = b Gọi  góc hai mặt phẳng (ABC) (ABC) Tính tan thể tích khối chóp A.BBCC

Câu V: (1 điểm) Cho ba số a, b, c khác Chứng minh:

2 2

2     

a b c a b c

b c a b c a.

Câu VI.a (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1: x y  1 d2: x y

2  1 0 Lập phương trình đường thẳng d qua M(1; 1) cắt d

1, d2 tương ứng A, B cho 2MA MB  0

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x2y 0z  hai điểm A(1; 7; –1), B(4; 2; 0) Lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu vng góc đường thẳng AB lên mặt phẳng (P)

Câu VII.a (1 điểm): Kí hiệu Z1, Z2 nghiệm phức phương trình 2Z2 2Z 1 Tính giá trị biểu thức Z12

1

Z22

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu I: 2) Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M có hồnh độ a2 thuộc đồ thị (C) có phương trình:

 

  a    

y x a x a y a d

a a

2 2

2

4 4 2 2 0

2

       

 

Tâm đối xứng I2;2

Ta có

 

   

a a a

d I d

a

a a

8 8

, 2

2 2

16 2.4

  

   



  

  d I d,

lớn 

a22   4  aa 04  

Từ suy có hai tiếp tuyến y x y x 8

Câu II: 1) Điều kiện: cosx0

PT  cos 2x tan2x 1 cosx (1 tan 2x) 2cos2x cosx1 0



x x cos

1 cos

2

 



 

 

x k

x k

2

2 2

3

 



  

 

 

2) Từ hệ PT  y0 Khi ta có:

2 2

2 2

2

4

( )

( )

x

x y y

x y xy y

y x y x y x

x y

y

 

   

     



 

    

    

 

Đặt

2 1 , x

u v x y

y 

  

ta có hệ: 2

4 3,

2 15 5,

u v u v v u

v u v v v u

     

  

 

         

  

 Với v3,u1ta có hệ:

2 1 1 2 0 1, 2

2,

3 3

x y

x y x y x x

x y

x y y x y x

 

          

  

     

      

   .

 Với v5,u9ta có hệ:

2 1 9 1 9 9 46 0

5 5

x y x y x x

x y y x y x

         

 

  

     

   , hệ vô nghiệm.

Kết luận: Hệ cho có hai nghiệm: (1; 2), ( 2; 5) .

Câu III: Nhân lượng liên hiệp: 1x2  x

Ta được:

I x2 xdx x xdx I1 I2

4

1 sin sin

 

 

 

      

 Tính

I1 x2 xdx

1 sin 

    

Sử dụng cách tính tích phân hàm số lẻ, ta tính I10

 Tính

I2 x xdx

sin 

   

Dùng phương pháp tích phân phần, ta tính được:

I2 2 

Suy ra: I

2 2

4 

 

Câu IV: Gọi E trung điểm BC, H trọng tâm  ABC Vì A.ABC hình chóp

đều nên góc hai mặt phẳng (ABC) (ABC)  = A EH . Ta có :

3 3

, ,

2

a a a

AE AH HE



2

2

' '

3 

   b a

A H A A AH

Do đó:

2 ' tanA H  b  a

HE a ;

2 2

' ' '

3

'

4

 



   

ABC ABC A B C ABC

a a b a

S V A H S

2 2

'

1

'

3  12



 

A ABC ABC

a b a

V A H S

Do đó: VA BB CC' ' 'VABC A B C ' ' 'VA ABC' =

2 3 2



a b a

Câu V: Áp dụng BĐT Cô–si, ta có:



2 2 2

3

2   3 2 3

a b c a b c

b c a b c a (1)



2 2

2  1 ;  1 ;  1

a a b b c c

b b c c a a 

2 2

2 2

 

      

 

a b c a b c

b c a b c a (2)

Từ (1) (2) 

2 2

2 2

2   2   

   

a b c a b c

b c a b c a  đpcm.

Câu VI.a: 1) Giả sử A(a; –a –1)  d1, B(b; 2b – 1) d2 MA(a 1;a 2),MB(b1;2b 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MA MB

2  0

 



a b

a b

2

2 2

    



    

 

a b 30   



  A(0; –1), B(3; 5)

 Phương trình d: 2x y 1 0

2) PTTS AB:

x t

y t

z t    

    

  Giao điểm AB với (P) là: M(7; –3; 1)

Gọi I hình chiếu B (P) Tìm I(3; 0; 2) Hình chiếu d đường thẳng AB đường thẳng MI

 Phương trình đường thẳng d là:

x t

y t

z t

3    

     

Câu VII.a: PT có nghiệm

i i

x1 ; x2

2

 

 



i i

x12 x22 2 ; 2

Câu IV: Dựng SH AB Ta có: (SAB) ( ABC), (SAB) ( ABC)AB SH, (SAB) ( )

 SH  ABC SH đường cao hình chóp.

Dựng HN BC HP, AC  SNBC SP, AC SPH SNH 

SHN = SHP  HN = HP

AHP vng có:

3 sin 60

4

 oa

HP HA

SHP vng có:

3 tan tan

4

 

 a

SH HP

Thể tích hình chóp

2

1 3

: tan tan

3  16 

 ABC  a a a