ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN LTĐH

BAN BIÊN TẬP DIỄN ĐÀN K2PI.NET CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ CỦA DIỄN ĐÀN HÀ NỘI, THÁNG 6 NĂM 2014 Tài liệu là tuyển chọn các bài toán trong 15 đề thi t hử của diễn đàn k2pi.net năm học 2013-2014. Tôi biên tập lại như một món quà nhỏ gửi đến các bạn đang ôn thi Đại học - Cao Đẳng. Thay mặt ban quản trị chúc các bạn đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới Xin cám ơn thầy Châu Ngọc Hùng đã gửi các source tổng hợp đề thi. NGUYỄN MINH TUẤN (POPEYE) Mục lục Chuyên đề 1 : Khảo sát hàm số 4 Chuyên đề 2 : Phương trình lượng giác 12 Chuyên đề 3 : Phương trình, bất phương trình vô tỷ, hệ phương trình 17 Chuyên đề 4 : Tích Phân 26 Chuyên đề 5 : Hình học không gian 33 Chuyên đề 6 : Bất đẳng thức, Cực trị 44 Chuyên đề 7 : Hình giải tích trong mặt phẳng 53 Chuyên đề 8 : Hình giải tích trong không gian 64 Chuyên đề 9 : Tổ hợp, xác suất 73 Chuyên đề 10 : Mũ - Logarit 76 Chuyên đề 11 : Số phức 79 3 www.k2pi.net T E XBY POPEYE CHUYÊN ĐỀ 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài toán 1 : Cho hàm số y = 2x + m x −2 (H m ), m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d : y = x + 3 cắt đồ thị (H m ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tích khoảng cách từ hai điểm A và B đến đường thẳng ∆ : x + 2y −1 = 0 bằng 2. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của ( H m ) và d là : 2x + m x −2 = x + 3 ( 1 ) ⇐⇒    x = 2 x 2 − x −m −6 = 0 ( 2 ) Để ( H m ) cắt d tại 2 điểm phân biệt A và B thì PT ( 1 ) có 2 nghiệm phân biệt ⇐⇒ ( 2 ) có 2 nghiệm phân biệt = 2 ⇐⇒    ∆ = 1 + 4m + 24 > 0 m = −4 ⇐⇒      m > −25 4 m = −4 ( ∗ ) 4 www.k2pi.net T E XBY POPEYE Gọi A ( x 1 ; x 1 + 3 ) , B ( x 2 ; x 2 + 3 ) là giao điểm của ( H m ) và d. Ta có d ( A,∆ ) .d ( B,∆ ) = 2 ⇐⇒ | 3x 1 + 5 | . | 3x 2 + 5 | = 10 ⇐⇒ [ 9x 1 .x 2 + 15 ( x 1 + x 2 ) + 25 ] 2 = 100 ( 3 ) Mà:    x 1 + x 2 = 1 x 1 .x 2 = −m −6 . Thay vào ( 3 ) ta được : ( 9m + 14 ) 2 = 100 ⇐⇒ m = −8 3 hoặc m = −4 9 thỏa mãn ( ∗ ) Kết luận: Vậy giá trị m cần tìm là : m = −8 3 , m = −4 9  Bài toán 2 : Cho hàm số y = −x 3 + 3(m + 1)x 2 + m − 1 có đồ thị là (C m ), m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trong khoảng ( x 1 ; x 2 ) thoả x 2 − x 1 = 2014. Lời giải. y  = −3x 2 + 6(m + 1)x = −3x  x −2(m + 1)  nên y  > 0 khi x ở trong 2 nghiệm 0; 2(m + 1) Trường hợp: m + 1 > 0 do x 2 − x 1 = 2014 nên 2(m + 1) ≥ 2014 ⇐⇒ m ≥ 1006 Trường hợp: m + 1 < 0 do x 2 − x 1 = 2014 nên 2(m + 1) ≤ −2014 ⇐⇒ m ≤ −1008  Bài toán 3 : Cho hàm số y = −x 4 + 2x 2 + 5, có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt các tr ục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại hai điểm sao cho 24OA = OB. Lời giải. Gọi ∆ : y = ax + b là tiếp tuyến của ( C ) ⇔    −4x 3 + 4x = a −x 4 + 2x 2 + 5 = ax + b ( I ) có nghiệm. ∆  Ox = A  −b a ; 0  . ∆  Oy = B ( 0; b ) Theo giả thiết 24OA = OB ⇒ 24  b 2 a 2 = √ b 2 ⇒ a = ±24 +/ với a = 24 thay vào hệ ( I ) ⇒    x = −2 b = 45 ⇒ ∆; y = 24x + 45 +/ với a = −24 thay vào hệ ( I ) ⇒    x = 2 b = 45 ⇒ ∆ : y = −24x + 45  5 www.k2pi.net T E XBY POPEYE Bài toán 4 : Cho hàm số y = x 3 3 − ( m + 1 ) x 2 +  m 2 + 4  x −6, có đồ thị là ( C m ) . Tìm tất cả các giá trị của m, để hàm số có 2 điểm cực trị x 1 ; x 2 thỏa mãn: x 1 2 + 2 ( m + 1 ) x 2 ≤ 3m 2 + 24 Lời giải. Ta có y  = x 2 −2 ( m + 1 ) x + m 2 + 4 Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị ⇔ y  = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m > 3 2 ( ∗ ) Áp dụng hệ thức Viet ta có    x 1 + x 2 = 2 ( m + 1 ) x 1 .x 2 = m 2 + 4 Từ giả thiết ⇒ x 2 1 + x 2 2 + x 1 x 2 ≤ 3m 2 + 24 ⇔ m ≤ 3 Kết hợp điều kiện(*) ⇒ m ∈ ( 3 2 ; 3]  Bài toán 5 : Cho hàm số y = (m − 1)x + m x − m , m = 0 (C m ) . Tìm tiếp tuyến cố định của họ đồ thị hàm số. Lời giải. Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định mà họ (C m ) đi qua. Khi đó y 0 = (m − 1)x 0 + m x 0 −m ; m = 0 =⇒ m(−u 0 − x 0 −1) + x 0 + x 0 y 0 = 0 ⇐⇒  x 0 + y 0 = 1 x 0 (1 + y 0 ) = 0 ⇐⇒  x 0 = 0 y 0 = −1 Vậy A(0; −1) Đạo hàm f  (x) = −m 2 (x −m) 2 =⇒ f  (0) = −1 Suy ra họ (C m ) luôn tiếp xúc với đường thẳng là tiếp tuyến cố định tại A(0; −1) có phương trình: y = f  (x 0 )(x −x 0 ) + f (x 0 ) = −1(x −0) −1 = −x −1  Bài toán 6 : Cho hàm số y = x + 1 2x −1 . Gọi I là tâm đối xứng của (C),tìm m để đường thẳng y = x − 2m + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 1. Lời giải. x = 1 2 . I  1 2 ; 1 2  6 www.k2pi.net T E XBY POPEYE PT hoành độ giao điểm x + 1 2x −1 = x + 1 −2 m; x = 1 2 ⇔ (x) = x 2 −2mx + m −1 = 0 (1) Để tồn tại A; B phân biệt thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 = 1 2 điều kiện là      ∆  > 0 f  1 2  = 0 thỏa mãn ∀m ∈ R. Khi đó giả sử A(x 1 ; x 1 + 1 −2m); B(x 2 ; x 2 + 1 −2m). Pt (AB) : x − y + 1 −2m = 0 d(I; (AB)) =     1 2 − 1 2 + 1 −2m     √ 2 = |1 −2m| √ 2 nên S ∆ABI = 1 2 .AB.d(I; (AB)) = 1 2 .AB. |1 −2m| √ 2 Trong đó AB =  2(x 2 − x 1 ) 2 =  2[(x 1 + x 2 ) 2 −4x 1 x 2 ] =  8(m 2 −m + 1) S = 1 2 ·2 √ 2  m 2 −m + 1 · |1 −2m| √ 2 = 1 ⇔ (1 −2m) 2 (m 2 −m + 1) = 1 ⇔ m = 0; m = 1 Khi m = 0 thì ba điểm I, A, B thẳng hàng. Vậy m = 1 là giá trị cần tìm  Bài toán 7 : Cho hàm số y = x 3 + 2mx 2 − 3x có đồ thị ( C m ) . Tìm m để đường t hẳng y = 4m .x + 2 cắt ( C m ) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho −−→ AM −→ AN = 3 với P có hoành độ không đổi và A ( 1; 1 ) . Lời giải. Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình : x 3 + 2mx 2 −3x = 4mx + 2 ⇐⇒ (x −2)( x 2 + 2(m + 1)x + 1) = 0 (d) cắt ( C m ) tại 3 điểm phân biệt ⇐⇒ x 2 + 2(m + 1)x + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 ⇐⇒ m > 1 hoặc m < −3 Vì P có hoành độ không đổi, suy ra : M(a, 4ma + 2) và N(b, 4mb + 2) Trong đó a, b là 2 nghiệm phân biệt khác 2 của phương trình : x 2 + 2(m + 1)x + 1 = 0 Suy ra −−→ AM −→ AN = 3 ⇐⇒ (a −1)(b −1) + (4ma + 1)(4mb + 1) = 3 ⇐⇒ 16abm 2 + ab + 4m(a + b) − a − b + 2 = 3 ⇐⇒ 8m 2 −6m + 5 = 3 Vô nghiệm Vậy không có m thỏa mãn đề  Bài toán 8 : Cho hàm số y = x −3 x + 1 và đường thẳng d : y = x + m + 3 (m là tham số) . Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến tại giao điểm có hoành độ dương tạo với d một góc ϕ thỏa mãn cos ϕ = 5 √ 34 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: x −3 x + 1 = x + m + 3 ⇔ x 2 + ( 3 + m ) x + 6 + m = 0 (vì x = −1 không là nghiệm) (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt 7 www.k2pi.net T E XBY POPEYE ⇔ ∆ = m 2 + 2m −15 > 0 ⇔  m < −5 m > 3 Gọi M ( x 0 ; y 0 ) là giao điểm có hoành độ dương của (C) và d Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại M là k = y  (x 0 ) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: y −y 0 = k ( x − x 0 ) ⇔ kx −y + y 0 −kx 0  d   Vectơ pháp tuyến của d, d’ lần lượt là: −→ n = ( 1; −1 ) , −→ n  = ( k; −1 ) , cos ϕ =   cos  −→ n , −→ n     = | k + 1 | √ 2 √ k 2 + 1 Do đó cos ϕ = 5 √ 34 ⇔ 8k 2 −34k + 8 = 0 ⇔   k = 4 k = 1 4 Với k = 4 ta có: y  ( x 0 ) = 4 ( x 0 + 1 ) 2 = 4 ⇔  x 0 = 0 x 0 = −2 (không thỏa mãn x 0 > 0) Với k = 1 4 ta có y  ( x 0 ) = 4 ( x 0 + 1 ) 2 = 1 4 ⇔  x 0 = 3(n) ⇒ y 0 = 0 x 0 = −5(l) Vì M ( 3; 0 ) ∈ d ⇔ 0 = 3 + m + 3 ⇔ m = −6(thỏa mãn) Vậy m = −6 là giá trị cần tìm.  Bài toán 9 : Cho hàm số y = −x 4 + (m + 1)x 2 − m + 1 có đồ thị là C m với m là tham số. Tìm m để đường thẳng y = 1 cắt đồ thị C m tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng 3 và các hoành độ lập thành một cấp số cộng. Lời giải. Ta có thể suy ngược câu hỏi của bài toán để trả lời. Đó chính là ta tìm m để điều kiện về cấp số cộng xảy ra rồi đi tìm điều kiện m về việc nhỏ hơn hay bằng 3 Cụ thể như sau : Phương trình hoành độ giao điểm của (C m ) và đường thẳng d : y = 1 −x 4 + (m + 1)x 2 −m + 1 = 1 ⇐⇒ x 4 −(m + 1)x 2 + m = 0 (∗) ⇐⇒ x 2 = 1 hay x 2 = m Để d cắt (C m ) tại bốn điểm phân biệt tương đương phương trình (∗) có hai nghiệm dương 8 www.k2pi.net T E XBY POPEYE phân biệt. Điều đó có được khi và chỉ khi :    m = 1 m > 0 Khi đó ta gọi t 1 , t 2 là nghiệm của của phương trình t 2 −(m + 1)t + m = 0 với t = x 2 > 0 Khi đó bốn nghiệm phân biệt của phương trình (∗) là : − √ t 2 ; − √ t 1 ; √ t 1 ; √ t 2 . Để bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng thì − √ t 1 − (− √ t 2 ) = √ t 1 − (− √ t 1 ) = √ t 2 − √ t 1 Từ đây ta có : t 2 = 9t 1 Kết hợp với viét ta có hệ phương trình :            t 1 + t 2 = m + 1 t 2 = 9t 1 t 1 t 2 = m ⇐⇒            t 1 = m + 1 10 t 2 = 9 m + 1 10 t 1 t 2 = m Từ đó ta có phương trình : 9(m + 1) 2 = 100m ⇔ 9m 2 −82m + 9 = 0 ⇔ m = 9 hay m = 1 9 Với m = 9 khi đó bốn nghiệm của phương trình (∗) là : −3; −1; 1; 3 thỏa điều kiện các hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng 3 Với m = 1 9 khi đó bốn nghiệm của phương trình (∗) là :−1; − 1 3 ; 1 3 ; 1 thỏa điều kiện các hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng 3 Do đó các giá trị cần tìm là m = 9 ; m = 1 9  Bài toán 10 : Cho hàm số y = x 3 −3x + 4 (1) và đồ thị (H) : y = ax 3 + bx 2 −1 (với a, b là các tham số thực). Tìm các giá trị của a, b để điểm cực tiểu của đồ thị (C) là điểm cực đại của đồ thị (H). Lời giải. 9 www.k2pi.net T E XBY POPEYE −3 −2 −1 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 0 b. Điểm cực tiểu của (C ) là A(1; 2). Xét (H) : y = f (x) = ax 3 + bx 2 −1 ta có: f  (x) = 3ax 2 + 2bx Đồ thị (H) có điểm cực đại A(1; 2) nên suy ra:  A ∈ (H) f  ( 1 ) = 0 ⇐⇒  a + b = 3 3a + 2b = 0 ⇐⇒  a = −6 b = 9 Với a = −6, b = 9 ta có:f  (x) = −18x 2 + 18x f  (x) = −36x + 18, f  (1) = −18 < 0 Suy ra x = 1 là điểm cực đại của hàm số y = f (x). Vậy a = −6 và b = 9 là các giá trị cần tìm.  Bài toán 11 : Cho hàm số y = x 4 − 5x 2 + 4 (1). Gọi A là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng a. Tìm các giá trị của a để tiếp tuyến của (C ) tại A cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C có hoành độ thỏa mãn x 3 A + x 3 B + x 3 C > 0 (với x A , x B , x C lần lượt là hoành độ các điểm A, B, C ). Lời giải. 10 [...]... Bài toán 4 : Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có mặt phẳng ( A BC ) tạo với mặt phẳng 3a ( A B C ) một góc 60o , khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A BC ) bằng Tính thể tích 2 khối lăng trụ ABC.A B C và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và A C theo a Lời giải 34 www.k2pi.net TEXBY POPEYE Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của BC, AB, A B Gọi H, I lần lượt là hình chiếu của A; N lên A M; CP 3a Theo đề. .. x2 + 2 arcsin 2 2 2 −2 √ =π 3 www.k2pi.net CHUYÊN TEXBY POPEYE ĐỀ 5 : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài toán 1 : Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác ABC vuông tại B, BC = a, AC = 2a Gọi M là trung điểm của AC và N là điểm trên BC sao cho 2BN = CN √ 2 Góc tạo bởi hai mặt phẳng (C MN ) và ( ABC ) là α với cos α = Tính thể tích khối chóp 4 B BAMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và C N theo a... 3 8 10 + =3 9−b b+3 7 ⇐⇒ b = −1(loại), b = 13 hay b = 3 , b = Từ đó suy ra a tương ứng a = 20, a = 5, 3 a=4 193 46 569 62 34 7 ; ; giải ra được các cặp nghiệm ( x; y) = ; ; ; 3 3 27 27 3 3 Lời giải Đặt 25 www.k2pi.net TEXBY POPEYE CHUYÊN 4 : TÍCH PHÂN ĐỀ Bài toán 1 : Tính tích phân : I= π 2 π 6 x sin x (5 sin x + x cos x ) dx Lời giải Tích phân đã cho viết thành: π 2 I= π 6 (5x sin2 x + x2 sin x cos... 30 a 30 a Xét KND = 120o N I = ,SO = =⇒ V = 12 6 18 √ 32πa2 a 12 4a =⇒ S = SC = =⇒ R = √ 3 15 30 Bài toán 6: Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A cạnh AB = a; AC = 2a Đỉnh A cách đều 3 đểm A, B, C Gọi M là trung điểm của BC, N thuộc cạnh CC sao cho C N = 2CN Biết khoảng cách từ điểm B dến mặt phẳng A ACC √ 2a 39 Tính thể tích khối chóp N.AMC và góc tạo bởi 2 đường thẳng... + k , x = + k thỏa x = kπ, x = + k2π 6 3 3 3 2 Vậy nghiệm PT gồm x= π + kπ, 6 x= 5π + kπ, 6 x= π + k2π, 3 16 x=− π + k2π, 3 x = −π + k2π www.k2pi.net TEXBY POPEYE CHUYÊN ĐỀ 3 : P HƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ , HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài toán 1 : Giải phương trình 2− 4 x √ x−1−1 = 9x2 − 14x + 25 √ 3x + 3 + 4 2x − 1 Lời giải Điều kiện x ≥ 1 Phương trình ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ √ 9x2 − 14x + 25 √ 3x +... giácCNE đều CK = 3 Lại gọi I là hình chiếu vuông góc của C trên√C NE) ( √ 1 CI a 30 9 1 10 a 30 Ta có: 2 = 2 + 2 = 2 =⇒ CI = Vậy d BM, C N = = 10 2 20 CI 3a 3a 3a √ Bài toán 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AD = a 3, AC = AB = a Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trọng tâm G của tam giác ACD Gọi M, N lần√ là trung điểm của SA, BC Biết khoảng cách... xC )3 − 3x B xC ( x B + xC ) > 0 ⇐⇒ 11a3 − 30a > 0 ⇐⇒ a ∈ − 30 ;0 11 ∪  √  − 10   . (POPEYE) Mục lục Chuyên đề 1 : Khảo sát hàm số 4 Chuyên đề 2 : Phương trình lượng giác 12 Chuyên đề 3 : Phương trình, bất phương trình vô tỷ, hệ phương trình 17 Chuyên đề 4 : Tích Phân 26 Chuyên đề 5 :. gian 33 Chuyên đề 6 : Bất đẳng thức, Cực trị 44 Chuyên đề 7 : Hình giải tích trong mặt phẳng 53 Chuyên đề 8 : Hình giải tích trong không gian 64 Chuyên đề 9 : Tổ hợp, xác suất 73 Chuyên đề 10 :. BAN BIÊN TẬP DIỄN ĐÀN K2PI.NET CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ CỦA DIỄN ĐÀN HÀ NỘI, THÁNG 6 NĂM 2014 Tài liệu là tuyển chọn các bài toán trong 15 đề thi t hử của diễn đàn k2pi.net