BTPhuong phap toa do trong mat phang

ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC.[r]

các tập phơng pháp tọa độ mặt phẳng

I Đờng thẳng :( Phân dạng cố tính tơng đối)

Câu 2.Viết phơng trình đờng trung trực tam giác ABC, biết trung điểm cạnh : M(-1;-1), N(1;9), P(9;1)

Câu 3.Cho tam giác ABC, biết cạnh AB, AC, BC lần lợt nằm đờng thẳng có phơng trình 4x+3y −1=0 , 3x+4y −6=0 y=0

a)Viết phơng trình đờng phân giác góc A tính diện tích tam giác ABC b)Viết phơng trình đờng trịn nội tiếp tam giác ABC

Câu 4.Cho điểm A(1;1) Hãy tìm điểm B đờng thẳng y=3, điểm C trục hoành , cho ABC tam giác

Câu 5.Cho tam giác với cạnh có trung điểm M(-1;1), cịn hai cạnh có ph-ơng trình x+y −2=0 2x+6y+3=0 Xác định tọa độ đỉnh tam giác Câu Lập phơng trình cạnh tam giác ABC B(2;-1), đờng cao phân giác qua đỉnh A, C lần lợt 3x −4y+27=0 ; x+2y −5=0

Câu Lập phơng trình cạnh tam giác ABC cho A(1;3) hai đờng trung tuyến có phơng trình x −2y+1=0 y −1=0

C©u 10 Cho diện tích tam giác ABC S=3

2 ; hai đỉnh A(2;-3), B(3;-2) trọng

tâm tam giác thuộc đờng thẳng 3x − y −8=0 Tìm tọa độ đỉnh C Câu 11 Cho hai điểm A(-1;3), B(1;1) đờng thẳng d : y=2x Xác định điểm C d cho ABC tam giác

Câu 12 Lập phơng trình đờng thẳng qua điểm P(2;-1) cho đờng thẳng với hai đờng thẳng d1:2x − y+5=0 d2:3x+6y −1=0 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm d1 , d2

Câu 13 Cho điểm P(3;0) hai đờng thẳng d1:2x − y −2=0 d2:x+y+3=0 Gọi d đờng thẳng qua P cắt d1 , d2 lần lợt A v B

Viết phơng trình d biÕt PA=PB

Câu 14.Lập phơng trình đờng thẳng qua điểm A(2;1) tạo với đờng thẳng

2x+3y+4=0 mét gãc b»ng 450 .

Câu 15 Cho hai điểm P(2;5) Q(5;1) Lập phơng trình đờng thẳng qua P cho khoảng cách từ Q tới đờng thẳng

Câu 16 Cho hình vng ABCD có đỉnh A(-4;5) đờng chéo nằm đờng thẳng 7x − y+8=0 Lập phơng trình cạnh đờng chéo cịn lại

Câu 18.Lập phơng trình cạnh hình vng , biết hình vng có đỉnh là (-4;5) đờng chéo có phơng trình 7x − y+8=0

Câu 19.(Nguyễn Thành Giang-Chuyên Hng Yên-THTT419)

Cho A(1;2), B(4;3) Tìm M cho MAB 1350 khoảng cách từ M đến đờng thẳng AB

4

2

5

10 M

H

B

A

Câu 20.(Nguyễn Lái-Chuyên Lơng Văn Chánh-Tuy Hòa-Phú Yên-THTT418)

Cho (d1): 3x y  0  , (d2): 3x y  0  , vµ A lµ giao điểm (d1) (

d ) Xách định đờng thẳng () cắt (d1), (d2) lần lợt B C cho tam giác ABC

đều có diện tích 3 Hớng dẫn:

4

2

-2

5

600

H A

B C

C©u 21 (Dơng Châu Dinh-Chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị-THTT417)

Cho ta giác ABC, biết A(1;2); đờng phân giác đờng trung tuyến kẻ từ B lần l-ợt là: 2x y  5 7x y 15 0 Tính diện tích tam giác ABC

8

6

4

2

-5

A'

H C

M

B

A

C©u 22.(THTT415)

Cho tam giác ABC, có AB2AC;đờng phân giác góc A (AD): x y 0; đ-ờng cao (BH): 3x y 16 0 Biết điểm M(4;10) thuộc đờng thẳng (AB) Tìm tọa độ đỉnh A, B C

Híng dÉn: 10

8

6

4

2

5 10

C B

A

M' I

M

O

C©u 23.(THTT413)

Cho tam giác ABC, có A(-1;1), trực tâm H(1;3), trung điểm BC M(5;5) Xác định tọa đỉnh B C

Híng dÉn: Ta cã

5 ( ) :

5

x t

BC

y t

   

 

 Suy B(5t;5 t C), (5 t;5t) vµ (6 ; ), (4 ; )

AC  t t HB t  t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Khi : AC HB  0 t2 16

10

8

6

4

2

5 10

C B

M

H

A

C©u 24.(THTT359)

Cho hình thoi ABCD có A(0;2), B(4;5) giao điểm hai đờng chéo nằm đ-ờng thẳng (d): x y 1 0 Tìm tọa độ C D

Híng dÉn:

4

2

-2

5

D

C I

B

A

Câu 25.(Nguyễn Thành Giang-Chuyên Hng Yên-THTT358)

Cho A(1;1), B(2;3) Lập phơng trình đờng thẳng (d) cách A khoảng 2, cách B khoảng

Híng dÉn:

2

-2

M H K B

A

Cho ( ) : 3d1 x y  0,( ) : d2 x y  0,( ) : d3 x 0 Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết: A, C thuộc ( )d3 , B thuộc ( )d1 , C thuộc ( )d2 .

Híng dÉn:

2

5

C A

D B

Câu 27.(Phan Tuấn Cộng-Chuyên Nguyễn TrÃi-Hải Dơng-THTT343)

Cho tam giỏc ABC, cú A(1;0), cỏc đờng cao (BH): x 2y 1 0, (CH): 3x y 1 0 Viết phơng trình đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Híng dÉn:

4

2

-2 -5

C

B

H A

Bài tập tơng tự:

27.1.Cho tam giỏc ABC đỉnh A(2;2) Lập phơng trình cạnh tam giác , biết : 9x −3y −4=0 , x+y −2=0 lần lợt đờng cao kẻ từ B C

27.2 Lập phơng trình cạnh tam giác ABC cho B(-4;5) hai đờng cao có phơng trình 5x+3y −4=0 3x+8y+13=0

27.3 Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB 5x −3y+2=0 , đờng cao qua đỉnh A B lần lợt 4x −3y+1=0 ; 7x+2y −22=0 Lập phơng trình hai cạnh AC, BC đờng cao thứ ba

C©u 28.(HSG12A-NA: 2007-2008)

Cho tam giác ABC có A(2;-3), B(3;-2), trọng tâm G thuộc đờng thẳng (d): 3x y  0 , diện tích tam giác

3

2 Tính bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC

-2

-4

5

G C

B

A

C©u 29.(HSG12B-NA:2011-2012)(Đề có sai)

Cho tam giác ABC có A(2;-1) Đờng phân giác góc B góc C lần lợt 0,

x y  x y   .Viết phơng trình đờng thẳng BC. Hớng dẫn:

4

2

-2

-4

-5

x+y+3=0

x-2 y+1=0

  

2

A''

A'

A O

Câu 30.Cho A(4;1), B(0;4) Tìm ®iÓm M thuéc (d): 3x y 1 0 cho

MA MB

lín nhÊt Híng dÉn:

6

4

2

5

M0

A'

B

A

O

Ta cã MA MB MA MB' A B' Bài tập tơng tự:

30.1)Cho A(-7;1), B(-5;5) (d): 2x y Tìm điểm M thuộc (d) cho

MA MB nhá nhÊt.

30.2)Cho A(-3;2), B(2;5) Tìm điểm M thuộc trục Oy cho MA MB lín nhÊt 30.3)(HSG12A-NA:2011-2012)

Cho (C): (x1)2(y1)2 25 A(7;9), B(0;8) Tìm điểm M thuộc (C) cho biểu thức P MA 2MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Híng dÉn:

10

8

6

4

2

-2

-4

-5 10

J M0 B

A

I

O

M

LÊy ( ;3)

2

J

Ta cã: MA2MJ Suy P MA 2MB2(MJ MB ) 2 BJ 5 VËy minP5 MB MJ BJhay M M0(1;6).

( Bài toán gốc: Cho hai điểm cố định A x y( ;A A), B x y( ;B B).Tìm quỹ tích điểm M cho MA k MB ( với k 0,k 1))

6

4

2

-2

-4

-6

-5

C A'

B

A

M

Ta cã

8 ( , ') ( , ) ( , )

5

MA MB CM MB CB d B  d A  d B  

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

II.Đờng trịn: (Phân dạng có tính tơng đối)

Câu Cho tam giác ABC, biết : A(-1;3), B(1;1), C(2;4) Viết phơng trình đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 2.Cho hai đờng tròn ( C1 ) x2+y2−6x+5=0 ( C2 )

x2+y2−12x −6y+44=0

Xác định đờng thẳng tiếp xúc với hai đờng tròn Câu 3.Cho đờng tròn ( C ) x2+y2−1=0 ( Cm )

x2+y2−2(m+1)x+4 my−5=0

a)Tìm quỹ tích tâm đờng trịn ( Cm ) m thay đổi

b)Chứng minh có hai đờng tròn ( Cm ) tiếp xúc với đờng tròn (C), ứng với hai

giá trị m Viết phơng trình tiếp tuyến chung hai đờng trịn ( Cm ) Câu 4.Cho họ đờng trịn ( Cm ) có phơng trình : x2

+y2−(m−2)x+2 my−1=0 a)Tìm tập hợp tâm đờng trịn ( Cm )

b)Chứng tỏ m thay đổi, đờng tròn ( Cm ) qua điểm cố định c)Cho m=-2 điểm A(0;-1) Viết phơng trình tiếp tuyến đờng trịn ( C−2 ) kẻ từ điểm A

Câu 5.Lập phơng trình đờng tròn qua điểm A(1;-2) giao điểm đờng thẳng x −7y+10=0 với đờng tròn x2+y2−2x+4y −20=0

Câu (Nguyễn Thành Giang-Chuyên Hng Yên-THTT419) Cho A(2;3) hai giao điểm ( C1 ) :

2 13

x y  vµ

( C2 ):

2 12 11 0

x y  x  Viêt phơng trình đờng thẳng qua A cắt ( C1 ),( C2 ) theo hai dây cung khác có độ dài

6

4

2

-2

-4

-6

5 10

K

H

I A

O

Câu 7.(Nguyễn Lái-Chuyên Lơng Văn Chánh-Tuy Hịa-Phú n-THTT418) Lập phơng trình đờng trịn bán kính R2, có tâm I nằm đờng thẳng (d1):

3

x y , cắt (d2): 3x4y hai điểm A, B cho AIB1200 Híng dÉn :

4

2

5

B A

H I

Câu 8.(THTT413)(Tài liệu chuẩn khơng nhắc đến phơng tích)

Cho M(2 ;1) (C) : (x1)2(y 2)2 5 Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M cắt (C) hai điểm A, B cho độ dài đoạn AB ngắn

Híng dÉn :

Ta chøng minh AB ng¾n nhÊt MA=MB

2

5

B

A

M I

ThËt vËy PM/(C)=MA MB d  2 R2  

                         

Mµ AB MA MB  2 MA MB 2 Suy minAB2 MA MB . C©u 9.(Huúnh Tấn Châu-Chuyên Lơng Văn Chánh-Phú Yên-THTT)

Vit phng trỡnh đờng tròn qua hai điểm A(2 ;5), B(4 ;1) tiếp xúc với đờng thẳng (d) : 3x y  9

Híng dÉn :

6

4

2

-2

5

H

I

M

B A

C©u 10.(HSG12A-NA:2006-2007)

Cho tam giác ABC vông B, nội tiếp đờng trịn (T) : (x1)2(y2)2 5, có A(2 ;0) diện tích tam giác Tìm tọa độ B C

Híng dÉn :

-2

-4

5

K

B C

A

T

C©u 11.(HSG12B-NA :2007-2008)

Cho (C) : x2y2 2x 4y 4 (d) : x y 1 0 Từ điểm M thuộc (d), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C)(A, B hai tiếp điểm) Chứng minh đờng thẳng AB qua điểm cố định M chạy (d)

d H I M A B H B A M H0 I O

Ta có I(1 ;2), R=1 M( )d  M m m( ; 1)(với m tham số) Khi

2 2

2 2

2 15 17

( ; )

2 10 10

d R m m m m

MH MI H

d m m m m

                                      

Suy (AB) :

2

2

3

2 15 17 2

( 1)( ) ( 3)( ) 0,

3

2 10 10

2

x

m m m m

m x m y m

m m m m

y                          .

Vậy (AB) qua điểm 3 ( ; ) 2 H C©u 12.(HSG12B-NA:2010-2011)

Cho tam giác ABC, có tâm G(1;2) Gọi H trực tâm tam giác ABC Biết đ-ờng tròn qua ba trung điểm ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phơng trình

2 2 4 4 0

x y  x y  Viết phơng trình đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC Hớng dẫn: K J I G F E D N M L H B A C

Ta có D, K, E, M, I, L, F, J, N thuộc đờng tròn (T) : x2y2 2x4y 4

Mµ V( ; 2)G (DEF)ABC Suy

2

( ; 2)G (( )) ( ') : ( 1) ( 10)

V  T T x y

Câu 13.(ĐH2011A-Chuẩn)

Cho (): x y  2 0 (C): x2y2 4x 2y0 Gọi I tâm (C) M điểm thuộc () Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B hai tiếp điểm) Tìm M, biết diện tích tứ giác MAIB 10

4

2

-2

5

d

B A

M I

Ta cã M  ( ) M t( ; 2 t) III.Elip:

Câu 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn xOy, cho elip (E) 4x2

+y2=4

và hai điểm M(-2; m), N(2; n) Gọi A1 , A2 đỉnh trục lớn (E) Hãy viết phơng trình đờng thẳng A1N A2M , xác định giao điểm I chúng

Câu 2.Lập phơng trình tắc elip (E), biết (E) tiếp xúc với đờng thng

3x 2y 20=0 x+6y 20=0 Câu Cho elip x2

25+

y2

16=1 điểm M(1;1) Lập phơng trình đờng thẳng qua M v

cắt elip hai điểm A, B cho MA=MB C©u Cho hai elip x2

16+

y2

1 =1 vµ

x2

9+

y2

4 =1

Viết phơng trình đờng trịn qua giao điểm hai elip Câu Cho elip (E) x

2

9 +

y2

4=1 hai đờng thẳng d1: ax−by=0 , d2: bx+ay=0

víi a2

+b2>0

a)Xác định giao điểm M, N d1 với (E), giao điểm P, Q d2 với (E)

b)TÝnh theo a, b diƯn tÝch tø gi¸c MNPQ

c)Tìm điều kiện a, b để diện tích lớn

Câu 6.(Dơng Châu Dinh-Chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị-THTT417) Cho A(3;0) vµ (E):

2

1

x y

 

2

-2

5

C B

A

Câu 7.(Nguyễn Văn Thông-Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng-THTT369) Cho (d): x 2y (E):

2

1

x y

; (d) cắt (E) B, C a)Tìm A thuộc (E) cho tam giác ABC cân t¹i A

b)Tìm A thuộc (E) cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn Hớng dẫn:

2

-2

M

C

B

A

b)Ta cã

0

0

2

, , ( ; ) ( )

2

ABC

x y

S  BC AH AH    A x y  E

Vµ (x0 )y0 (x022 ).2 16y02   4x0 2y0 AH 3. Bài tập tơng tự: (Sáng tạo)

7.1)Cho elip (E) qua điểm B(0;2) có tiêu điểm F( 5;0) Tìm điểm A thc (E) cho tam gi¸c ABF cã diƯn tÝch lín nhÊt

7.2)Cho elip (E) ®i qua ®iĨm A(-3;0) điểm B(

2; 3) Tìm điểm M thuéc (E) cho tam gi¸c MAB cã diƯn tÝch lín nhÊt

C©u 8.(HSG12A-NA:2006-2007)

Cho tam giác ABC có B(-3;0), C(3;0) AH=3r( với AH đờng cao, r bán kính đ-ờng trịn nội tiếp tam giác ABC , tâm I) Chứng minh I thuộc đđ-ờng cong cố định A thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện trên)

4 -2 H A K C B I

Gäi I(x;y) Ta cã :

1

( )

2

ABC

S  BC AH  AB BC CA IK 

vµ AH 3IK Suy sin sin 2sin cot cot

2

B C BK CK

AB AC BC C B A

IK IK

        

2

2

9

x y

BK CK IK

    

Câu 9.(Sáng tạo) Cho (E) :

2

1

x y

 

.Tìm điểm A, B thuộc (E) cho OAB tam giác vng O, có diện tích nhỏ Tìm giá trị nhỏ

Híng dÉn:

O

B A

TH1)Nếu A, B hai đỉnh (E) SOAB 1. TH2)Ta có (OA):y kx , (OB):

1

y x

k



(k 0)

Suy 2

2

( ; )

1 4

k A

k k

  vµ 2

2 ( ; ) 4 k B k k    ,

hc 2

2

( ; )

1 4

k A

k k

 

  vµ 2

2 ( ; ) 4 k B k k    ,

hc 2

2

( ; )

1 4

k A

k k

  vµ 2

2

( ; )

4

k B

k  k

hc 2

2

( ; )

1 4

k A

k k

 

  vµ 2

2

( ; )

4

k B

k  k

  . Khi đó: 2 2 4(1 ) (1 )(4 ) OAB k S k k     .

XÐt hµm sè

2

2 4(1 )

( ) ,( 0)

(1 )(4 )

t

f t t k

t t



  

  Ta cã

2

2

36 36 '( )

(4 17 4)

t f t t t     ,

'( )

f t   t .

Bảng biến thiên:

16 25 + f(t) f'(t) t Suy OAB S  2 ( ; ) 5 A vµ 2 ( ; ) 5 B  , hc 2 ( ; ) 5

A  

vµ 2 ( ; ) 5 B  , hc 2 ( ; ) 5 A vµ 2 ( ; ) 5 B  , hc 2 ( ; ) 5

A  

vµ 2 ( ; ) 5 B Bài tập tơng tù:

9.1)Cho (E) :

2

1

x y

 

.Tìm điểm A, B thuộc (E) cho OA vng góc với OB, độ dài đoạn AB nhỏ

Híng dÉn: Ta cã: 2

1 1 4

OA OB    .

9.2)Cho (E): 2 16 x y  

vµ (C) : 25x225y2 144 Đờng thẳng tiếp xúc với (C) cắt (E) hai điểm A, B

a)Chứng minh tam giác OAB vuông O

b)Lập phơng trình đờng thẳng  tam giác OAB có diện tích lớn nhất.