SKKN góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đềvà năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủđềcực trịcủa hàm hợp và hàm liên kết

Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết .... Góp phần phát triển năng lực giả

1

MỤC LỤC Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 2

1.1 Lý do chọn đề tài Trang 2 1.2 Mục đích của đề tài Trang 3 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trang 3 1.4 Giới hạn của đề tài Trang 3 1.5 Nhiệm vụ của đề tài Trang 3 1.6 Phương pháp nghiên cứu Trang 3 1.7 Bố cục của đề tài Trang 4

Phần II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Trang 5

Chương 1 Cơ sở lý thuyết và thực tiễn Trang 5 1.1 Khái niệm Trang 5 1.2 Yêu cầu cần đạt về năng lực Trang 5 1.3 Thực trạng của đề tài Trang 5 1.4 Cơ sở lý thuyết Trang 6 1.5 Cơ sở thực tiễn Trang 6

Chương 2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực

sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm

hợp và hàm liên kết

Trang 7

2.1 Một số kiến thức cơ bản Trang 7

2.2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo

cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp Trang 10

2.3 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo

cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm liên kết Trang 23 2.4 Bài tập tự luyện Trang 39 Chương 3 Các biện pháp tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu Trang 44

Phần III KẾT LUẬN Trang 46 PHỤ LỤC Trang 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 50

2

Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý do chọn đề tài

Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị Ban chấp hành Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ mục tiêu

cụ thể về giáo dục phổ thông, trong đó có mục tiêu: Hình thành năng lực công dân, phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời

Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày

26/12/2018 nêu rõ: “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh

những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố

cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hoá toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học,…” Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể cũng

chỉ ra: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn

có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”

Để góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh ở trường THPT, hoạt động dạy giải bài tập toán có vai trò hết sức quan trọng Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục tiêu dạy học bộ môn Toán ở bậc THPT Trong việc dạy giải bài tập Toán nhiệm vụ quan trọng hàng đầu là phải rèn luyện kỹ năng giải Toán, tức là phải hình thành cho người học cách suy nghĩ, phương pháp giải và khả năng vận dụng kiến thức, qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

Bài toán cực trị của hàm hợp, hàm liên kết là một trong những dạng toán hay

và khó, thường xuyên xuất hiện trong đề thi trung học phổ thông quốc gia và đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông những năm gần đây Các bài toán này nhằm mục đích phân loại trình độ học sinh với độ khó ngày một tăng dần Để giải được lớp bài toán này đòi hỏi học sinh phải linh hoạt sử dụng tổng hợp một số kiến thức đã học trong chương trình môn Toán bậc THPT

Trong sách giáo khoa và sách bài tập môn Toán lớp 12 hiện nay đang sử dụng ở bậc THPT, lớp bài toán cực trị của hàm hợp, hàm liên kết lại không được

đề cập Do đó các em học sinh rất lúng túng và gặp không ít khó khăn trong việc tiếp cận và tìm tòi lời giải các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết Là một giáo viên giảng dạy bộ môn Toán tôi luôn băn khoăn, trăn trở trong việc tìm các

giải pháp để các em với học lực môn Toán khác nhau được làm quen với xu hướng

ra đề thi của Bộ GD&ĐT, giúp các em được rèn luyện một cách hợp lý kỹ năng giải các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết, góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, từng bước tạo sự đam mê, hứng thú học tập môn Toán, hình thành năng lực tự học, khả năng sáng tạo cho học sinh

3

Để phát huy được tính sáng tạo giải toán cho học sinh đòi hỏi người thầy cần đầu tư xây dựng một hệ thống các bài toán cho riêng mình bám sát xu hướng ra đề thi của Bộ GD&ĐT thông qua việc trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp đặc biệt là các chuyên gia về bộ môn Toán bậc THPT

Với những lí do nêu trên tác giả lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết ”

1.2 Mục đích của đề tài

- Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

- Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Học sinh lớp 12 (chú trọng học sinh khá giỏi)

- Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh đại học, thi HSG cấp tỉnh khối 12

- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT

1.4 Giới hạn của đề tài

Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết qua đó góp phần phát triển

năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12

1.5 Nhiệm vụ của đề tài

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo

- Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của chuyên đề cực trị hàm số thuộc chương trình giải tích lớp 12

- Định hướng cho học sinh kỹ năng giải một số dạng bài toán thường gặp thuộc chủ

đề cực trị của hàm hợp, hàm liên kết thông qua việc khai thác các bài toán cực trị hàm hợp, hàm liên kết trong các đề thi minh họa, đề thi tham khảo, đề thi chính thức của Bộ GD&ĐT, các đề thi thử trên cả nước, từ đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

- Hướng dẫn học sinh xây dựng hệ thống các bài toán cực trị hàm hợp, hàm liên kết, giúp học sinh làm quen với xu hướng ra đề thi của Bộ GD&ĐT về chủ đề cực trị hàm hợp, hàm liên kết, qua đó giúp các em học sinh tự tin hơn trong việc tìm tòi lời giải các bài toán cực trị hàm hợp, hàm liên kết, góp phần phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh

1.6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

4

- Phương pháp điều tra quan sát

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

1.7 Bố cục của đề tài

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 3 chương

Chương 1 Cở sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua

dạy học chủ đề cực trị hàm hợp, hàm liên kết

Chương 3 Các biện pháp tổ chức và kết quả nghiên cứu

nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.”

- Từ định nghĩa này, chúng ta có thể rút ra những đặc điểm chính của năng

1.2 Yêu cầu cần đạt về năng lực

- Theo GS.TS Nguyễn Minh Thuyết chương trình GDPT mới hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau:

+ Những năng lực chung được hình thành, phát triển thông qua tất cả các môn học và hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo

+ Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: Năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm

mĩ, năng lực thể chất

- Theo chương trình GDPT môn Toán năm 2018, yêu cầu cần đạt về năng lực đặc thù là: Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

1.3 Thực trạng của đề tài

Có thể nói rằng chủ đề cực trị hàm hợp, hàm liên kết là một chủ đề hay và khó trong chương trình môn Toán lớp 12 ở trường THPT Khi giảng dạy chủ đề này ngoài các kiến thức cơ bản trong chương trình SGK ban cơ bản giáo viên thường lựa chọn các bài toán cực trị hay trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích

6 lớp 12, các bài toán cực trị trong các đề thi THPTQG, đề thi TNTHPT và đề thi HSG để giảng dạy cho học sinh Tuy nhiên vẫn còn một số tồn tại sau:

- Các bài toán cực trị hay trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích lớp 12 vẫn còn khá dễ và chưa sát với các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết trong các đề thi THPTQG nay là đề thi TNTHPT và tuyển sinh đại học

- Khi giảng dạy các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết giáo viên thường ít chú trọng hoạt động “nhận biết, khai thác và phát triển” các bài toán dẫn tới năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo của học sinh bị hạn chế

- Chưa thật sự chú trọng trong việc tìm tòi, xây dựng các bài toán mới để từ

đó hướng dẫn học sinh xây dựng và giải các bài toán về cực trị hàm hợp và hàm liên kết

1.4 Cơ sở lý thuyết

1.4.1 Kiến thức cơ bản về đại số và giải tích lớp 11:

Đạo hàm của hàm số; Giải phương trình

1.4.2 Kiến thức cơ bản về giải tích lớp 12:

Bảng biến thiên của hàm số; Cực trị của hàm số; Đồ thị của hàm số và các bài toán liên quan

Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp khối, tôi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng trong quá trình giải Cụ thể tháng 9 năm

2020, khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Tôi cho học sinh các lớp làm bài khảo sát, kết quả như sau:

7

Chương 2

Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết 2.1 Một số kiến thức cơ bản

2.1.1 Đạo hàm của hàm hợp

Nếu hàm số ug x  có đạo hàm tại x là u x, và hàm số y f u  có đạo

hàm tại u là y u thì hàm hợp y f g x    có đạo hàm tại x là: y x  y u u  x

x x thì ta nói hàm số f x đạt cực đại tại   x0

+ Nếu tồn tại số h0 sao cho f x  f x 0 với mọi xx0 h x; 0 h và 0

x x thì ta nói hàm số f x đạt cực tiểu tại   x0

Định lý 2: Giả sử hàm số y f x  liên tục trên K x0 h x; 0 h và có

đạo hàm trên K hoặc trên K \ x , với 0 h0

+ Nếu f x 0 trên khoảng K x0 h x; 0 và f x 0 trên x x0; 0 h thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f x  

8 + Nếu f x 0 trên khoảng K x0 h x; 0 và f x 0 trên x x0; 0 h thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x  

Minh họa bằng bảng biến thiến

Định lý 3: Giả sử hàm số y f x  có đạo hàm cấp một trên khoảng  a b ;chứa điểm x0, f x 0 và f x có đạo hàm cấp hai khác 0 tại   x0

a) Nếu f x0 0 thì hàm số y f x  đạt cực đại tại điểm x0

b) Nếu f x0 0 thì hàm số y f x  đạt cực tiểu tại điểm x0

Chú ý: Trong định lý 3 nếu f x0 0 thì ta chưa kết luận được hàm số đạt hay không đạt cực trị tại x0

Ví dụ 1.2 (Trích đề thi THPTQG 2020) Cho hàm số f x  liên tục trên ,

có bảng xét dấu f x  như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A 1 B 4 C 3 D 2

Lời giải

Ta có f x liên tục trên   và đổi dấu từ  sang  khi qua các điểm

x  x Suy ra hàm số có hai điểm cực tiểu là x 1 và x1

Ví dụ 1.3 Cho hàm số y f x  liên tục trên toàn và có đồ thị đạo hàm

( )

f x

CT f

 



   Do hàm số g x liên tục trên  

, nên tồn tại số h0 sao cho ( )g x 0,   x ( h h; ) y đổi dấu từ dương sang '

âm khi x đi qua 0Hàm số đã cho không đạt cực tiểu tại x0

TH2 Nếu g(0)0 2

4 0

m

      2 m 2 Do hàm số g x liên tục  

trên , nên tồn tại số h0 sao cho ( )g x 0,   x ( h h; ) y đổi dấu từ âm '

sang dương khi x đi qua 0 Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x0 Vậy

   thỏa đề bài Do m nguyên nên m  1;0;1

10 TH3 Nếu (0) 0g  2

m  không thỏa mãn đề bài

Vậy cả ba trường hợp ta được 4 giá trị nguyên của m thỏa đề bài

2.2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp

Ví dụ 2.1 (Trích đề thi THPTQG 2019) Cho hàm số f x , bảng biến thiên  

của hàm số f x như sau

Số điểm cực trị của hàm số  2 

2

y f x  x là

A 9 B 3 C 7 D 5

Bước 1 Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học

Đây là bài toán tìm số điểm cực trị của hàm hợp  2 

2

y f x  x khi cho biết

bảng biến thiên của hàm số f x

Bước 2 Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề

+ Tính đạo hàm của hàm hợp  2 

2

y f x  x

11 + Tính số nghiệm bội lẻ của phương trình y 0

+ Kết luận số điểm cực trị của hàm số  2 

2

y f x  x

Bước 3 Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các

công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra

2

x  xa, x2 2xb, x2 2xc, x2 2xd đều có hai nghiệm phân biệt khác 1 và trong các nghiệm đó không có hai nghiệm nào trùng nhau Do đó phương trình y 0 có 7 nghiệm đơn phân biệt Từ đó hàm số  2 

2

y f x  x có 7 điểm cực trị

Bước 4 Đánh giá giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự

- Để giải được bài toán trên, ngoài việc học sinh nắm được công thức tính đạo hàm của hàm hợp, học sinh cần giải quyết hai “nút thắt” quan trọng là:

Thứ nhất: Từ bảng biến thiên của hàm số f x suy ra nghiệm u của

phương trình f u 0

12 Thứ hai: Từ bảng biến thiên của hàm số   2

13 Dựa vào bảng biến thiên của hàm số   3 2

Suy ra g x 0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt và g x  đổi dấu qua các

nghiệm này nên hàm số g x có 7 điểm cực trị  

* Giả thiết cho biểu thức của f x :

Ví dụ 2.3 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục và xác định trên và

có biểu thức tương ứng là f  x x x1x2021 Gọi S là tập chứa các giá trị

nguyên của tham số m để hàm số    3 

3

g x  f x  xm có nhiều điểm cực trị

nhất Số phần tử của tập S là

A 1 B 2 C 3 D 4 Lời giải

14 Yêu cầu bài toán tương đương với tổng số nghiệm bội lẻ khác 1 của các phương trình      1 , 2 , 3 là nhiều nhất

* Giả thiết cho công thức của f ax b  ,a0:

Ví dụ 2.4 Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên của hàm số y f2x3 như hình vẽ

Tìm số điểm cực trị của hàm số    4 2 

g x  f x  x 

A 11 B 5 C 7 D 9

Bước 1 Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học

Đây là bài toán tìm số cực trị của hàm hợp    4 2 

g x  f x  x  khi cho biết bảng biến thiên của hàm số f2x3

Bước 2 Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề

+ Từ bảng biến thiên của hàm số f2x3 truy về được bảng biến thiên của hàm số f x

15 + Tính đạo hàm của hàm hợp    4 2 

g x  f x  x 

+ Tìm số nghiệm bội lẻ của phương trình g x 0

+ Kết luận số điểm cực trị của hàm số    4 2 

g x  f x  x 

Bước 3 Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các

công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra

Trước hết ta tìm bảng biến thiên của hàm số f x :

16

Từ bảng biến thiên của hàm số   4 2

u x x  x  , ta có tổng số các nghiệm đơn khác 1 và khác 0 của các phương trình      1 , 2 , 3 là 6 nghiệm

Do đó phương trình g x 0 có 9 nghiệm đơn phân biệt hay hàm số

g x  f x  x  có 9 điểm cực trị

Bước 4 Đánh giá giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự

- Để giải được bài toán trên, ngoài việc học sinh nắm được công thức tính đạo hàm của hàm hợp, học sinh cần giải quyết hai “nút thắt” quan trọng là:

Thứ nhất: Từ bảng biến thiên của hàm số f2x3 cần suy ra được bảng

biến thiên của hàm số f x

Thứ hai: Từ bảng biến thiên của hàm số   4 2

u x x  x  suy ra số nghiệm bội lẻ của các phương trình u x 0, u x a, u x b, u x c

- Chúng ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau: Cho bảng biến thiên của hàm số f ax b   ( ,a b ;a0) Tính số điểm cực trị của hàm số

x x

2019

320212022

420212018

52021

x x

Từ bảng biến thiên của hàm số f x , ta có tổng số nghiệm bội lẻ khác 1 và  

khác 2 của các phương trình          1 , 2 , 3 , 4 , 5 là 15 nghiệm Do đó hàm số

2 2

có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị

như hình vẽ Tìm số điểm cực trị của

g x  f x có 7 điểm cực trị

Nhận xét: Để giải tốt bài toán trên, học sinh cần nắm vững kiến thức chủ đề

hàm số lượng giác thuộc chương trình Đại số & giải tích lớp 11

Ví dụ 2.8 Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên của hàm số y f x  như hình vẽ

20 Tìm số điểm cực trị của hàm số   2020   

1

g x  f f x 

A 7 B 8 C 5 D 6 Lời giải

Từ bảng biến thiên của hàm số f x , ta có  

+ Phương trình (1) có các nghiệm: x   a  ; 2 (nghiệm đơn), x2(bội chẵn)

+ Phương trình (2) có các nghiệm: x b 2; (nghiệm đơn), x 2(bội chẵn)

+ Phương trình (3) và phương trình (5) vô nghiệm

+ Phương trình (4) các nghiệm đơn là: x c a; 2 , x  d  2;2,

Do m nguyên thuộc đoạn 10;100, nên m1;2;3; ;80

Ví dụ 2.10 (Trích đề Vted 2020) Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số g x  f  1 sin x 1 trên khoảng 2 ;2 

là

A 7 B 9 C 5 D 6 Lời giải

y  x đổi dấu 7 lần trên khoảng 2 ;2 

Do đó hàm số g x  f  1 sin x 1 có 7 điểm cực trị trên khoảng

23

Đồ thị của các hàm số ysin ,x ycosx trên khoảng 2 ;2 :

Dựa vào đồ thị của các hàm số ysin ,x ycosx trên khoảng 2 ;2 

suy ra tổng số các nghiệm bội lẻ của các phương trình      1 , 2 , 3 trên khoảng

2 ;2  là 7 nghiệm Do đó hàm số g x  f  1 sin x 1 có 7 điểm cực trị trên khoảng 2 ;2 

2.3 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm liên kết

Trước hết chúng ta xét bài toán sau:

Bước 1 Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học

Đây là bài toán tìm số điểm cực trị của hàm liên kết

  khi cho biết đồ thị của hàm số f x

Bước 2 Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề

+ Tính số nghiệm bội lẻ của phương trình g x 0

Bước 3 Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các

công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra

 ta suy

ra hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

Bước 4 Đánh giá giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự

- Để giải được bài toán trên, học sinh cần giải quyết hai “nút thắt” quan trọng là:

Thứ nhất: Tính được đạo hàm của hàm số liên kết



 Bằng

cách thay đổi mối quan hệ giữa đồ thị của hàm số y f x và các hàm số sơ cấp

cơ bản chúng ta hướng dẫn học sinh xây dựng các bài toán sau:

* Mối quan hệ giữa đồ thị hàm số y f x và đường thẳng: