Đang tải... (xem toàn văn)
5 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.. 1) Chứng minh CBKH là tứ giác[r]
(1)GiảI nhiều cách (câu 5) : ================================= Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 x y M xy C¸ch 01 : Ta có 2 2 2 2 x y x x x x 4y M xy xy 4xy 4xy 4xy 4xy 4xy Do x, y dương nên áp dụng Co si cho số dương ta có: 2 2 2 5 3 x x x x 4y x M 4xy 4xy 4xy 4xy 4xy 256y (1) Mặt khác từ: x 2y x3 8y3nên từ (1) ta có: 3 5 3 8y 1 M 5 256y 32 2 Vậy GTNN M 2; dấu “=” 2 2 x 4y x 4y x 2y 4xy4xy C¸ch 02 : Ta cã M=x +y2 xy = x y+ y x mµ x ≥2y⇔ x y≥2 ,do Khơng tính tổng quát ta đặt a=x y ⇒ a= y x ta có tốn sau : Cho a ≥2 , Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = a+1 a ThËt vËy ta cã : M = a+1 a=a+ 4 a− 3 a (*) Mà theo BĐT côsi có : a+4 a≥4 vµ a ≥2⇒ a≤ 2⇒ −3 a ≥ −3 nªn tõ (*) Suy M 4−3 2⇔M ≥ 2 VËy gi¸ trị nhỏ M 5/2 a = hay x= 2y C¸ch 03 : Ta cã M=x +y2 xy = x y+ y x= x y+ 4y x − 3y x ≥2√4− 3y x (theo BĐT côsi) Hay M 43y x (*) mµ x ≥2y⇔ x y≥2⇔ −3y x ≥ −3 2 nªn (*) ta cã Suy M 4−3 2⇔M ≥ 2 Vậy giá trị nhỏ M 5/2 x =2y C¸ch 04 : Ta cã M=x 2 +y2 xy = x y+ y x mµ x ≥2y⇔ x y≥2 ,do Khơng tính tổng quát ta đặt t=x y⇒ t= y (2) Cho t 2 , Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = t+1 t hay ta ®i xÐt phơng trình bậc hai ẩn t sau : t2 - M t + = với t ≥2 , đơn giản ta xét hai trờng hợp sau (vì có 01 TH bị loại ) cụ thể : a) TH1 : Khi t > hay t - > nên ta đặt x = t - > hay t = x + , ta có tốn nh sau : “Tìm M để phơng trình x2 + ( - M ) x + ( - 2M ) = (**) có hai nghiệm dơng ? “ Thật : Để phơng trình (**) có nghiƯm d¬ng ¿ ⇔ Δ≥0 P>0⇔ ¿(M −4)2+4(2M −5)≥0 5−2M>0 M −4>0 ⇔ ¿M2−4≥0 M<5 M>4 ¿S>0 { { ¿⇔ ¿M ≤ −2 hoacM≥2 4<M<5 2 ¿{ ¿ (lo¹i) b) TH2 : Khi t = th× M =5/2 ,Và ta có M hay 5 2≥ 5 (ln M = 5/2 ) Vậy giá trị nhỏ M lµ 5/2 t= hay x =2y KL : Giá trị nhỏ M 5/2 x =2y Cách 05 : Ta có : víi c > , d > vµ a , b ( bÊt k× ) th× a2 c + b2 d ≥ (a+b)2 c+d (*) , dÊu “ = “ a c= b d ThËt vËy : Ta cã : √[(√ac) +( b √d) 2 ](c2 +d2)(a+b) ( Theo BĐT bunnhiacôpsky) Hay a c + b2 d ≥ (a+b)2 c+d , (*) đợc chứng minh xong Mặt khác : Ta có M=x 2 +y2 xy = x2 xy+ y2 xy=( x2 xy+ y2 xy)+ x2 xy B©y giê ¸p dơng (*) víi c = x>0 ; d = y>0 ; (3)Cho biÓu thøc M=( x 2 xy+ y2 xy)+ x2 xy≥ (x+y)2 xy + 1 x y (**) Mµ x ≥2y⇒ x+y ≥3y⇒(x+y)2≥9y2>0 xy≥6y2>0 x y≥2 ¿{ { do từ (**) ta có M .Vậy giá trị nhỏ M 5/2 x =2y C¸ch 06 : Ta cã M=x +y2 xy = x y+ y x ⇒√10 √M=√[(√ x y) 2 +(√y x) ](√82+√22)≥(√8 √x √y+√2 √y √x) (*) ( Theo BĐT bunnhiacôpsky) Mà (8 x y+2 √y √x)=(√8 √x √y+ 4√2 √y √x )− 3√2.√y √x ≥2√16− 3√2 y x (** ) ( Theo BĐT côsi ) , Mµ x ≥2y⇔√y √x ≤ √2⇔ −3√2 √y √x ≥3 (***) VËy tõ (*) ; (**) ; (***) suy M 2 , Vậy giá trị nhỏ M 5/2 x = 2y Cách 07 : Không tính tổng quát ta đặt ¿ x=2β>0 y=β>0 ¿{ ¿ Khi ta có tốn : Cho 2β ≥2β hay 2 ( ) , biểu thức M = x 2 +y2 xy = x y+ y x= 2β β + β 2β= 5 2 , ta phảI chứng minh M 2 ThËt vËy tõ M 2⇔M − 2≥0⇔ 5 2− 5 2≥0⇔0≥0 ( ln M = 5/2 ) , M 2 Vậy giá trị nhỏ cđa M lµ 5/2 x y+ y x= 5 2 (*), đặt a= x y⇒ 1 a= y x nªn tõ (*) cã a+1 a= 2⇔a 2−5 2.a+1=0⇔2a 2−5a+2=0⇒ a=2⇒x=2y ¿ a=1 2⇒y=2x ¿ ⇒x=2y ¿ ¿ ¿ (4)C¸ch 08:cã M = 2 x y xy với x, y l sà ố dương v x 2y Ta có 2 1 x(2y) M 2(x y ) 2 2 2 2 2 x 4y x y 3y 4(x y ) 4(x y ) (Bất đẳng thức Cauchy) = 2 2 2 1 3y 3y 4 4(x y ) 4(4y y ) 20 5 (Thay mẫu số số nhỏ hơn). Suy Max 1 M 5 x = 2y, giá trị nhỏ M = đạt x = 2y C¸ch 09 : Ta cã x ≥2y⇒ 2x ≥2y+x>y⇒2x>y⇒2x − y>0 x −2y ≥0 ¿{ (v× x ,y > 0) nªn ta cã : (x −2y) (2x − y)≥0⇔2x2− x.(5y)+2y2≥0 ⇔2(x2 +y2)≥5 xy⇔ x +y2 xy ≥ 5 (5)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Năm học: 2012 – 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn Ngày thi: 21 tháng năm 2012 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm) 1) Cho biểu thức x A x , tính giá trị A x = 36 2) Rút gọn biểu thức x x 16 B : x x x (với x 0; x 16 ) 3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị x nguyên để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên Bài II (2,0 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Hai người làm chung cơng việc 12 5 xong Nếu mỗi người làm người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm thời gian để xong công việc? Bài III (1,5 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 2 x y 1 x y 2) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : 2 1 x x 7 Bài IV (3,5 điểm) Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB 1) Chứng minh CBKH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ACM ACK 3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C 4) Gọi d tiếp tuyến (O) điểm A; cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB AP.MB R (6)Bài V (0,5 điểm) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 x y M xy ……….Hết……… GỢI Ý – ĐÁP ÁN Bài I: (2,5 điểm) 1) Với x = 36, ta có : A = 36 10 8 36 2) Với x , x 16 ta có : B = x( x 4) 4( x 4) x x 16 x 16 x 16 = (x 16)( x 2) x (x 16)(x 16) x 16 3) Ta có: 2 2 ( 1) 16 16 16 x x x B A x x x x x . Để B A( 1) nguyên x 16 c c a 2, ta có b ng giá tr t ng ng:ướ ủ ả ị ươ ứ 16 x 1 2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x0, x16, để B A( 1) nguyên x14; 15; 17; 18 Bài II: (2,0 điểm) Gọi thời gian người thứ hồn thành xong cơng việc x (giờ), ĐK 12 x Thì thời gian người thứ hai làm xong cơng việc x + (giờ) Mỗi người thứ làm 1 x(cv), người thứ hai làm được 1 x (cv) Vì hai người làm xong công việc 12 5 giờ nên hai đội làm được 12(cv), Do ta có phương trình 1 x x 12 Giải phương tình tìm 6 x (loại) x = 4(TMĐK) Vậy người thứ làm xong công việc giờ, người thứ hai làm xong công việc 4+2 = Bài III: (1,5 điểm)1)Giải hệ: 2 1 x y x y (7)Hệ 4 10 4 2 2 2 6 2 1 x x x y x x x y y x y x y x y .(TMĐK) Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;1) 2) + Phương trình cho có = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + > 0, m Vậy phương trình có nghiệm phân biệt m + Theo ĐL Vi –ét, ta có: 1 2 1 4 3 x x m x x m m Khi đó: x12x22 7 (x1x2)2 2x x1 7 (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = 10m2 – 4m – = 5m2 – 2m – = Ta thấy tổng hệ số: a + b + c = => m = hay m = 3 Trả lời: Vậy Bài IV: (3,5 điểm) 1) Ta có HCB 900( chắn nửa đường trịn đk AB) 900 HKB (do K hình chiếu H AB) => HCB HKB 1800 nên tứ giác CBKH nội tiếp đường trịn đường kính HB. 2) Ta có ACM ABM (do chắn AM (O)) và ACK HCK HBK (vì chắn HK .của đtrịn đk HB) Vậy ACM ACK 3) Vì OC AB nên C điểm cung AB AC = BC 900 sd AC sd BC Xét tam giác MAC EBC có A B C M H K O S P E (8)MA= EB(gt), AC = CB(cmt) MAC = MBC chắn cung MC (O) MAC EBC (cgc) CM = CE Ta lại có CMB 450(vì chắn cung CB 900). Vậy tam giác MCE tam giác vuông cân C (đpcm) 4) Xét PAM OBM Theo giả thiết ta có AP MB AP OB R MA MAMB (vì có R = OB) Mặt khác ta có PAM ABM (vì chắn cung AM của (O)) PAM ∽ OBM AP OB 1 PAPM PM OM .(do OB = OM = R) (1) -Kéo dài PM cắt đường thẳng (d) S Vì AMB 900 AMS900hay tam giác AMS vuông M Mà PM=PA nên PAM PMA Vì tam giác AMS vng M nên ta có PAMPSM 900 và 90 PMA PMS PMS PSM PSPM(2) Từ (1) (2) PA=PS hay P trung điểm AS Gọi N giao điểm BP với HK Vì HK//AS (cùng vng góc AB) nên theo ĐL Ta-lét, ta có: NK BN HN PA BP PS mà PA=PS NHNK hay BP qua trung điểm N HK (đpcm) Bài V: (0,5 điểm) (9)Ta có M = 2 ( 4 4 ) 42 3 ( 2 )2 4 3 x y x xy y xy y x y xy y xy xy xy = ( ) 4 x y y xy x Vì (x – 2y)2 ≥ 0, dấu “=” xảy x = 2y x ≥ 2y 1 3 2 y y x x , dấu “=” xảy x = 2y Từ ta có M ≥ + -3 = 5 2, dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M 5 2, đạt x = 2y Cách 2: Ta có M = 2 2 3 ( ) 4 x y x y x y x y x xy xy xy y x y x y Vì x, y > , áp dụng bdt Co si cho số dương ; x y y x ta có 4 x y x y y x y x , dấu “=” xảy x = 2y Vì x ≥ 2y 3 2 4 x x y y , dấu “=” xảy x = 2y Từ ta có M ≥ + = 5 2 , dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M 5 2, đạt x = 2y Cách 3: Ta có M = 2 2 4 ( ) x y x y x y x y y xy xy xy y x y x x Vì x, y > , áp dụng bdt Co si cho số dương ; x y y x ta có 4 2 x y x y y x y x , dấu “=” xảy x = 2y Vì x ≥ 2y 1 3 2 y y x x , dấu “=” xảy x = 2y Từ ta có M ≥ 4-3 2= 5 2, dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M 5