G ọi H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Gọi S là di ện tích tam giác ABC. a) Ch ứng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn.. Chứng minh tam [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
NĂM HỌC 2009–2010 KHÓA NGÀY: 24-6-2010 MƠN THI: TỐN Câu 1: Giải phương trình hệ phương trình sau:
a) 8x2 – 2x – = 0; b) 2x 3y
5x 6y 12
; c) x4 – 2x2 – = 0; d) 3x2 – x + = Câu 2:
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = x
2 đường thẳng (D): y = x + hệ trục toạ độ
b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (D) phép tính Câu 3: Thu gọn biểu thức sau:
A = 15
3 1
B = x y x y : x xy
1 xy
1 xy xy
Câu 4: Cho phương trình x2– (5m – 1)x + 6m2 – 2m = (m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m;
b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm m để x12x22 1
Câu 5: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) có tâm O, bán kính R Gọi H giao điểm ba đường cao AD, BE, CF tam giác ABC Gọi S diện tích tam giác ABC
a) Chứng minh AEHF AEDB tứ giác nội tiếp đường trịn
b) Vẽ đường kính AK đường tròn (O) Chứng minh tam giác ABD tam giác AKC đồng dạng với Suy AB.AC = 2R.AD S = AB.BC.CA
4R
c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh EFDM tứ giác nội tiếp đường tròn d) Chứng minh OC vng góc với DE (DE + EF + FD).R = 2S
BÀI GIẢI GỢI Ý Câu 1:
a) 8x2 – 2x – =
Ta có ' = b'2 – ac = – 8(–1) = >
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =
1
8
; x2 =
1
8
b) 2x 3y
5x 6y 12
4x 6y 5x 6y 12
9x 18 5x 6y 12
x
(2)c) x4 – 2x2 – = (1)
Đặt t = x2≥ Phương trình (1) trở thành t2 – 2t – = t = –1 (loại) hay t = (nhận) Thay vào cách đặt ta x2 = x =
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = d) 3x2 – x + =
Ta có ' = nên phương trình có nghiệm kép x = –b ' a Câu 2:
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = x
2 đường thẳng (D): y = x + hệ trục toạ độ Bảng giá trị y =
2 x
2 :
x –4 –2
y 2
Bảng giá trị y = x + 4:
x –2
y
Đồ thị (P) (D):
b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (D) phép tính Phương trình hồnh độ giao điểm (D) (P):
2 x
x
2
x 2x 8 x = –2 hay x = 0 * x = –2 y =
* x = y =
Vậy (D) cắt (P) hai điểm: (–2; 2); (4; 8) Câu 3: Thu gọn biểu thức sau:
A = 15 4(3 5) 8( 1) 15
4
3 5
= 3 52 5 2 5
-4 -3 -2 -1
1
(3)B = x y x y : x xy xy
1 xy xy
=
x y xy x y xy x xy
:
1 xy xy xy
= x x y y y x x x y y y x xy
1 xy x xy
= x 2y x xy
1 xy x xy
= x (1 y) x(1 y) x
Câu 4: Cho phương trình x2– (5m – 1)x + 6m2 – 2m = (m tham số)
a) Ta có = (5m – 1)2 – 4(6m2 – 2m) = m2 – 2m + = (m – 1)2≥ với m Suy ra phương trình ln có nghiệm với m
b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Ta có x1=
5m m
3m
x2 =
5m m 2m
Do x12x22 1 (3m – 1)
+ 4m2 = 13m2 – 6m = m = hay m =
13
Vậy m thoả toán m = hay m =
13
Câu 5:
a) Ta có AEHAFH1800 Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn
Ta có
AEBADB90
Tứ giác AEDB nội tiếp đường trịn b) Ta có ADB ACK có:
* ABDAKC (cùng chắn cung AC) * ADBACK= 900
Vậy tam giác ABD tam giác AKC đồng dạng với
Suy ra: AB AD
AK AC
AB.AC = AK.AD = 2R.AD AD = AB.AC
2R nên S =
AD.BC
2 =
AB.BC.CA
4R
c) Gọi M trung điểm BC
BFHBDH180 Tứ giác BFHD nội tiếp FDB FHB mà FHBFAE (do AEHF nội tiếp) Suy FDB FAE (1) Tam giác BEC vuông E MEB cân M MEB MBE mà MBEDAE (do AEDB nội tiếp) Suy MEB DAE
FEHFAH (do AEHF nội tiếp) MEF MEB FEH DAE FAH FAE (2) Từ (1) (2) suy FDB MEF EFDM tứ giác nội tiếp đường tròn
d) Vẽ tia tiếp tuyến Cx (O) Ta có: xCBBAC (cùng chắn cung BC) BACEDC (AEDB nội tiếp)
x H
M
K F
E
D
O A
(4)Suy xCBEDC Cx // DE (hai góc so le nhau) Mà OC Cx nên OC ED
Chứng minh tương tự ta có OA EF, OB FD Vì ABC nhọn nên O nằm tam giác ABC Do đó: S = SABC = SAEOF + SBFOD + SCEOD =
1 1
OA.EF OB.FD OC.DE
2 2 2
2S = R(EF + FD + DE)
-