Tinh trong day so viet theo quy luat

Thông qua kết quả khảo sát tôi đã suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yêu cầu trong quá trình giải những bài toán về tính tổng[r]

ĐỀ TÀI

Phần II:Nội dung đề tài

A.Tên đề tài

Tính tổng dãy số viết theo quy luật

B Lý chọn đề tài

Theo nghị quuyết Đảng mục tiêu giáo dục :Nâng cao dân trí đào tạo nhân lực bồi dưỡng nhân tài vấn đề bồi dưỡng nhân lực vấn đề thiết thực đặt hoàn cảnh cách mạng đát nước ta

Là giỏo viờn phõn cụng dạy toỏn lớp Trong chơng trình Tốn lớp sau học phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên em đợc làm quen với nhiều tốn tính tổng dãy số theo quy luật mà tính tốn trực tiếp khơng đơn giản Khi gặp loại tập học sinh thờng lúng túng cha xác định đợc phơng pháp giải.

Đợc phân cơng dạy bồi dỡng Tốn dạy tốn dạng tơi đã hớng dẫn học sinh từ toán cụ thể để nêu thành toán tổng quát và phân tích cách định hớng cho học sinh giải tập dạng này.

Song vấn đề cần đặt dạy chương trình để vừa phù hợp với đối tượng học sinh,vừa phát huy khả tư duy, trí tuệ học sinh vùa đáp ứng yêu cầu bồi dưỡng học sinh giỏi

Đó lý chọn đề tài

Phạm vi đề tài

Đề tài thực với học sinh lớp 6a trường THCS An Lâm,năm học 2007-2008

C.Qúa trình thực hiện

1.Khảo sát thực tiễn

Khi chưa thực đề tài ,thì hầu hết em làm tập lúng túng,thời gian lam nhiều,qua nhiều bước dẫn đến kết nhiều em cịn sử dụng biện pháp quy đồng mấuố nhóm số hạng với để giải…Để thực đề tài tiến hành khảo sát lực học sinh thông qua số kiểm tra kết sau

Lớp có 36 em Giỏi em

Khá 10 em

Thông qua kết khảo sát tơi suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững yêu cầu trình giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật.Tôi mạnh dạn nêu số biện pháp để đồng nghiệp trao đổi đóng góp ý kiến, để áp dụng vào thực tế giảng dạy

2.Một số biện pháp

Cho học sinh tiếp cận chứng minh công thức tổng quát từ toán đơn giản

Bài toán 1

Chứng tỏ rằng:

1−1

2= 1 2;

2− 3=

1

¿1

n−

1

n+1=

1

n.(n+1)

Biến đổi vế trái =vế phải Qúa trình dạy học sau Giải ; Quy đồng mẫu số phân số vế trái

¿

1−1

2= 2−1

1 2= 1

2− 3=

3−2 3=

1

¿1

n−

1

n+1=

n+1−n

n.(n+1)

¿

Từ tốn ta có dạng tổng qt sau Nếu n+1-n=1 Thì

n.(n+1)=

1

n−

1

n+1 với n N

Nhận xét:

Phương pháp giải loại toán viết số hạng thành hiệu hai phân số Số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau khử liên tiếp cịn lại số hạng trừ số hạng cuối cùng.Lúc ta thực dễ dàng

Ví dụ1:Tính tổng sau A= 1 21 +

23 +

3 4+ +

¿

B=

1 3+ 5+

2

5 7+ +

n.(n+2)

¿

với n=1,3,5,7…

C= 1 43 +

4 7+

7 10+ +

n.(n+3) với n=1,4,7,10…

D- 1 54 +

5 9+

9 11+ +

n.(n+4) với n=1,5,9,11…

Bài giải: Cả bốn câu ta vận dụng cơng thức tốn ta giải sau A= 1− 2+ 2− 3+ 3− 4+ +

1

n−

1

n+1

A=1−

n+1=

n+1−1

n+1 =

n n+1

B=1- 3+ 3− 5+ 5− 7+ +

1

n−

1

n+2

B=1- n+2=

n+2−1

n+2 =

n+1

n+2

C=1- 4+ 4− 7+ 7− 10+ .+

1

n−

1

n+3

C=1- n1

+3=

n+3−1

n+3 =

n+2

n+3

D=1- 5+ 5− 9+ 9− 13+ +

1

n−

1

n+4

D=1- n+4=¿

n+4−1

n+4 =

n+3

n+4

Ví dụ 2 Tính tổng E= 1 31 +

3 5+ 7+ +

1

n.(n+2)

Ta nhận thấy với ví dụ hai thừa số mẫu phân số hai đơn vị mà tử đơn vị giải nào?Trong trình giảng dạy cho học sinh thực sau

Ta nhân hai vế Evới ta 2E= 1 32 +

3 5+ 7+ +

2

n.(n+2)

2E= nn+1

+2

E= n+1

2 (n+2)

F=

90 94+ 94 98+

7

98 102+ + 158 162

Bài toán cho ta thấy phân số có tử mẫu số tích thừa số đơn vị.Thừa số thứ hai mẫu phân số trước thừa số thứ phân số sau liền kề với nóVậy ta giải để đưa dạng tổng quát

Ta giải sau

Ta nhân tử mẫu phân số với

7 sau đưa phân số

ngoài ngoặc ta F= 74.(

90 94+ 94 98+

4

98 102+ + 158 162)

F=7

4.( 90 −

1 94+

1 94 −

1 98 +

1 98 −

1

102+ .+ 158 162)

F=7

4.( 90 −

1 162)=

7 4−

4 810=

7 810

F= 8107

Bài toán 2:

TÝnh tæng: G= + 32 + 33 + 34……… +32008

Lêi gi¶i:

3G = 32 + 33 + 34 +35……… +32009

2G = 3G – G = (32 + 33 + 34 +35……… +32009) – (3 + 32 + 33 + 34……… +32008)

= 32009 – 3

⇒ G=

2009

3

Ta tổng quát toán thành toán sau:

Tính tổng:

G= a + a2 + a3 + a4……+an (với a n số nguyên dơng a 1)

Lêi gi¶i:

(a-1)G = aG – G = (a2 + a3 + a4 +a5……… +an+1) –( a + a2 + a3 + a4……… +an)

= an+1 – a

⇒ G= an+1− a

a 1

Bài toán 3: Tính tổng

H = 15+1

52+

53+ .+ 52008

Ta tính tổng H theo tốn cách đặt

5=a th×

H = a + a2 + a3 + a4……+a2008

Tuy ta có cách khác phù hợp hơn: 5.H = 1+1

5+ 52+

1

53+ +

1 52007

4H=5H –H = ( 1+1

5+ 52+

1

53+ +

52007 ) –( 5+

1 52+

1

53+ .+ 52008 )

= 1-

52008 =

52008−1 52008

⇒ H =

2008

−1 52008

Ta tổng quát toán thành toán sau:

Tính tổng

H = 1a+

a2+

1

a3+ .+

1

aa (với a n số nguyên dơng a 1)

Bài giải:

a.H= 1+1

a+

1

a2+

1

a3+ +

1

aa −1

(a-1)H = aH – H = ( 1+1

a+

1

a2+

1

a3+ +

1

aa −1 ) – (

1

a+

1

a2+

1

a3+ .+

1

aa )

=1-

an =

an−1

an

⇒ H = a

n −1

(a 1)an

Từ kết toán ta khai thác dới dạng khác nh sau:

Bài toán 4:

I = 15+1

52+

53+ .+ 52008 <

1

Từ toán ta có:

4.I = 1-

52008 < ⇒ I < b Chøng minh r»ng:

K= 13+2

32+

33+ .+ 2008

32008 <

Đây toán khó với lời giải nh sau: 3K= 1+2

3+

32+ + 2008

32007

2K = 3K – K = ( 1+2

3+

32+ + 2008

32007 ) – ( 3+

2 32+

3

33+ .+ 2008

32008 )

= 1+1

3+ 32+

1

33+ .+ 32007−

2008 32008

⇒ 2K < 1+1

3+ 32+

1

33+ .+

1

32007 ( *)

§Ỉt: L = 13+

32+

33+ .+ 32007

Ta cã: 3L= 1+1

3+

32+ +

1 32006

2L = 3L – L = ( 1+1

3+

32+ +

32006 ) – ( 3+

1 32+

1

33+ .+ 32007 )

= 1−

32007 < 1

⇒ L <

2

Tõ (*) ta cã: 2K< 1+L < 1+

2 =

⇒ I <

4

Ta dễ dàng chứng minh đợc toán tổng quát sau: Chứng minh: Với a, n số nguyên dơng a 1 thì:

a 1a+

a2+

1

a3+ .+

1

an <

1

b 1a+

a2+

3

a3+ .+ n an <

a 12

1

Bài toán 5:

TÝnh tæng: M= 1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ 99.100.

3M = 1.2 (3-0) + 2.3(4-1) + 3.4(5-2) + ………+ 99.100( 101 -98)

= 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + …… + 99.100.101 – 98.99.100 = 99.100.101.

⇒ M= 99 100 101

3 =333300

Híng dÉn: 3n(n+1) = n(n+1) [(n+2)−(n −1)] =n(n+1)(n+2) – (n-1) n (n+1)

Ta tổng quát thành toán sau:

Tính tổng:

M,= 1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1) Với n số nguyên dơng. Với cách làm tơng tự ta có:

3M,=1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 +………… + n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1)

=n(n+1)(n+2).

⇒ M,= n(n+1)(n+2)

3

Từ toán tổng quát ta đề xuất thêm tốn tính tổng sau:

a 12 + 22 + 32 + …………+ n2

b 1.4 + 2.5 + 3.6 ++ n(n+3) Lời giải:

Câu a:

NhËn xÐt: n2 = n(n+1) – n

⇒ 12+ 22 + 32 + …………+n2 =

=1.2 – + 2.3 – + 3.4 – +………+ n(n+1) – n

= 1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ n(n+1) – ( +2 +3 +………+n) = n(n+1)(n+2)

3 −

n(n+1)

2

= n(n+1)(2n+1)

6

C©u b:

NhËn xÐt: n(n+3) = n(n+1) + 2n

=1.2 +2.1 +2.3 +2.2 + 3.4 +2.3+……… n(n+1) +2n

=(1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ n(n+1)) + 2( +2 +3 +………+n) = n(n+1)(n+2)

3 +

n(n+1)

2

= n(n+1)(n+5)

3

Bài toán 6

a.Tính tổng N=1.99+2.98+3.97+…+97.3+98.2+99.1 Giải:

Để giải toán nhanh gọn ta biến đổi dạng toán N=1.99+2.(99-1)+3.(99-2)+…+98.(99-97)+99.(99-98)

N=(1.99+2.99+3.99+…+98.99+99.99)-(1.2+2.3+…+97.98+98.99) N=99.(1+2+3+…+98+99) - M (Bài toán 5)

N=99 99 100

2

-98 99 100 =

99 100 101

6 =166650

b.Chứng minh biểu thức sau có giá trị P= 1+(1+2)+(1+2+3)+ +(1+2+3+ .+97+98)

1 98+2 97+3 96+ +97 2+98

Ta thấy số bị chia gồm 98 tổng số có mặt 98 tổng ,số có mặt 97 tổng ,,,,số 97 có mặt tổng ,số 98 có mặt tổng

Giải:

P= 981 98+2 97+3 96+ +97 2+98

+2 97+3 96+ +97 2+98 =1

Vậy P=1

Ta rút dạng tổng quỏt

1.n+2.(n-1)+3.(n-2)++(n-1).2+n.1= n.(n+1)(n2)

6

Bài toán 7

a,Tính tổng Q=

1 3+ 4+

1

3 5+ .+ 37 38 39

Cách

Ta xét: 1 21 −

2 3= 3−1 3=

2

2 3− 4=

2

……

1 37 38−

1 38 39=

2 37 38 39

Tổng quát

n.(n+1)(n+2)=

1

n(n+1)−

1

(n+1(n+2))

Vậy nhân hai vế Q với ta có 2Q=

1 3+ 2 4+

2

3 5+ .+ 37 38 39

2Q= 1 21 −

2 3+ 3−

1

3 4+ + 37 38 −

1 38 39

2Q=

1 2− 38 39=

740 38 39=

370 741

Q= 185

741

Cách

Ta thấy

1 3= 2.(

1 2−

1 3)

¿

Q=1

2.( 2−

1 3+

1 3−

1 4+

1 4−

1

4 5+ .+ 37 38−

1 38 39)

¿

Q=1

2.( 2−

1 38 39)=

1 2( 2− 1482)

Q=1

2 740 1482= 740 2964= 185 741

Q=185

741

b,TÝnh tæng R=

1 4+ 5+

1

3 6+ +

1 27 28 29 30

R=

3.( 1 3−

1 4+

1 4−

1

3 5+ .+ 27 28 29 −

R=

3.( 1 3−

1

28 29 30)=

4059 24360

R= 1353

24360= 451 8120

Ta tổng quát toán nh sau

1 3+

1

2 4+ .+

1

n.(n+1).(n −1)=

1 2−

1

(n+1).(n+2)

3.Mét sè kÕt qu¶

Khi chưa thực đề tài nhận thấy nhiều học sinh gặp phảy tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật thông thường em biết biến đổi dạng quy đồng phương pháp thông thường để giải tập

Có nhiều tốn thực biến đổi cịn dài có cịn khơng đạt mục đích.Nhiều giảng cịn khơng sáng sủa khơng đa dạng phong phú kết thu chưa cao

Qua thời gian thực đề tài cách hệ thống, phân loại nêu dạng tổng quát từ ví dụ cụ thể học sinh dễ dàng tiếp thu cách tích cực sáng tạo, gây đợc hứng thú cho học sinh

Với định hớng giải tập buổi luyện tập, ôn tập vấn đề nêu làm thi tơng tự thấy học sinh định dạng và giải tập tốt hơn.

Lớp có 36 học sinh

Trong 22 em đạt điểm trở lên em đạt điểm

em đạt điểm trung bình Khơng có điểm

Sau thực song đề tài tơi nhận thấy em giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật nhanh chủ động tự tin Do có phương pháp hợp lý tạo cho em giải tập dễ dàng em hứng thú học tập tìm thấy số kí hiệu mà em muốn tìm tịi hiểu biết

1.Phải nghiên cứu kĩ dạy để hiểu sâu nội dung trọng tâm vấn đề cần truyền thụ cho học sinh.Cần cố gắng tìm tịi phương pháp phù hợp với dạy,với toán

2.Trong q trình dạy tốn cho hoc sinh phải đặc biệt coi trọng phần củng cố ,khắc sâu lý thuyết bản.Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi, người giáo viên phải biết kết hơp Các dạng tốn để có tốn hay hơn,phong phú hơn.Co học sinh giải toán bản,tạo móng để giải tốn nâng cao,từ phát huy trí lực học sinh

3.Điều quan trọng người dạy phải thường xuyên học hỏi ,sưu tầm tích lũy qua sách vở,tài liệu,ở đồng chí ,đồng nghiệp để khơng ngừng vươn lên,tư Nâng cao trí thức,tự hồn thiện mình.Có đáp ứng yêu cầu nghiệp giáo dục o to

Trên số kinh nghiệm nhỏ thân giảng dạy các bài toán tính tổng dóy s vit theo quy luật.

Rất mong đợc trao đổi, góp ý đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn!