1. Trang chủ
  2. » Cao đẳng - Đại học

Bat dang thuc 10 hay

46 3 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 46
Dung lượng 3,93 MB

Nội dung

Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:.. 1..[r]

(1)

PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN

I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất bản:

1 Cho a, b > chứng minh:

   

 

 

3

3

a b a b

2

2 Chứng minh:

 

2

a b a b

2

3 Cho a + b  chứng minh:

 

3

3 a b a b

2

4 Cho a, b > Chứng minh:

  

a b a b

b a 5 Chứng minh: Với a  b  1:

 

 

1

1 ab a b

6 Chứng minh: a2b2c23 a b c     ; a , b , c  R 7 Chứng minh: a2b2c2d2e2a b c d e     8 Chứng minh: x2y2z2xy yz zx 

9. a. Chứng minh:

   

 

a b c ab bc ca ; a,b,c 0

3

b. Chứng minh:

     

 

 

2

2 2

a b c a b c

3

10 Chứng minh:     

2

a b c ab ac 2bc

11 Chứng minh: a2b2 1 ab a b 

12 Chứng minh: x2y2z22xy 2xz 2yz  13 Chứng minh: x4y4z2 1 2xy(xy2 x z 1)  14. Chứng minh: Nếu a + b  thì:  

3

a b

15. Cho a, b, c số đo độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a. ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).

(2)

II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0     2. Chứng minh: (a b c)(a  2b2c ) 9abc ; a,b,c 02   3. Chứng minh:            

3

1 a b c abc với a , b , c  0

4. Cho a, b > Chứng minh:

   

   

   

   

m m

m

a b

1

b a , với m  Z+

5. Chứng minh: bc ca ab a b c ; a,b,c 0a  b  c     6. Chứng minh:

  

6

2

x y 3x y 16 ; x,y 0

7. Chứng minh:

  

4

2

2a 3a

1 a .

8. Chứng minh: a1995 1995 a 1   , a > 0

9. Chứng minh: a b2  2b c2  2c a2  26abc. 10. Cho a , b > Chứng minh:

 

      

 

  

2 2 2

a b c 1 1

2 a b c

a b b c a c

11. Cho a , b  , chứng minh: ab a b b a 1    .

12. Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13. Cho a > b > c, Chứng minh: a a b b c c 3     

14. Cho: a , b , c > a + b + c = Chứng minh: a) b + c  16abc

b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc

c)

     

   

     

     

1 1

1 1 64

a b c

15. Cho x > y > Chứng minh:  

 

1

x

x y y 16. Chứng minh:

a)

  

2 x 2

x ,x  R b)

  

x 6

x , x > 1 c)

  

2 a 4

a 17. Chứng minh:

 

   

  

(3)

18. Chứng minh:

 

 

2

4

x y

4

1 16x 16y , x , y

 R

19. Chứng minh:      

a b c

b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 20. Cho a , b , c > C/m:

  

     

3 3 3

1 1

abc a b abc b c abc c a abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a. a b c d abcd    với a , b , c , d  0 (Côsi số)

b. a b c abc   với a , b , c  , (Côsi số )

22. Chứng minh: a3b3c3a bc b ac c ab2   ; a , b , c > 0

23. Chứng minh: a b c abc  

24. Cho   x 18 y

2 x , x > Định x để y đạt GTNN. 25. Cho    

x

y ,x

2 x Định x để y đạt GTNN. 26. Cho     

3x

y , x

2 x Định x để y đạt GTNN. 27. Cho    

x

y ,x

3 2x 2 Định x để y đạt GTNN. 28. Cho   

x y

1 x x , < x < Định x để y đạt GTNN. 29. Cho

 

3 x y

x , x > Định x để y đạt GTNN. 30. Tìm GTNN

 

2

x 4x f(x)

x , x > 0. 31. Tìm GTNN

 2 23

f(x) x

x , x > 0. 32. Tìm GTLN f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)

33. Cho y = x(6 – x) ,  x  Định x để y đạt GTLN

34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x 

2 Định x để y đạt GTLN 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,   

5 x 5

(4)

36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , 

2  x 

2 Định x để y đạt GTLN 37. Cho

 

2 x y

x 2 Định x để y đạt GTLN 38. Cho  

 

2

x y

x Định x để y đạt GTLN

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki 2. Chứng minh: sinx cosx 

3. Cho 3a – 4b = Chứng minh: 3a2 + 4b2  7.

4. Cho 2a – 3b = Chứng minh: 3a2 + 5b2  725

47 . 5. Cho 3a – 5b = Chứng minh: 7a2 + 11b2 

2464 137 . 6. Cho a + b = Chứng minh: a4 + b4  2.

7. Cho a + b  Chứng minh:  

2

a b Lời giải :

I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất bản:

1 Cho a, b > chứng minh:

   

 

 

3

3

a b a b

2 (*)

(*) 

   

  

 

3

3

a b a b 0

2         a b a b 0

8 ĐPCM.

2 Chứng minh:

 

2

a b a b 2 ()  a + b  , ()  a + b > , () 

  

 

2 2

a b 2ab a b 0

4 

   

2 a b 0

4 , đúng. Vậy:

 

2

a b a b

2 .

3 Cho a + b  chứng minh:

 

3

3 a b a b

2 

   

3 3

a b a b

(5)

 b a a   2 b2 0  3 b a   2 a b  0, ĐPCM. 4 Cho a, b > Chứng minh:

  

a b a b

b a () ()  a a b b a b b a    a b a   a b b 0  

 a b  a b 0        

a b a b 0, ĐPCM.

5 Chứng minh: Với a  b  1:

 

 

1

1 ab a b ()   2      

1 1 0

1 ab ab

1 a b      

 

 

   

2

2

ab a ab b 0

1 a ab b ab 

 

  

 

  

 

 

   

a b a b a b 0

1 a ab b ab 

  

 

 

    2

b a a b 0

1 ab a b     

 

   

 

 

    

2

2

b a a ab b ba 0 ab 1 a 1 b 

   

    

 

  

2

2

b a ab 0

1 ab a b , ĐPCM.  Vì : a  b   ab   ab – 

6 Chứng minh: a2b2c23 a b c     ; a , b , c  R  a 1 2b 1 2c 1 20 ĐPCM.

7 Chứng minh: a2b2c2d2e2a b c d e    

            

2 2

2 2

a ab b a ac c a ad d a ae e 0

4 4

       

       

       

       

2 2

a b a c a d a e 0

2 2 ĐPCM

8 Chứng minh: x2y2z2xy yz zx   2x22y22z2 2xy 2yz 2zx 0             

2 2

x y x z y z

9. a. Chứng minh:

   

 

a b c ab bc ca ; a,b,c 0

3

 a2b2c2ab bc ca 

        

 

 

 

 

2 2

a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca

(6)

   

a b c ab bc ca

3

b. Chứng minh:

     

 

 

2

2 2

a b c a b c

3

 a 2b2c2a2b2c22 a 2b2c2

   

a2b2c22 ab bc ca   a b c 

     

 

 

2

2 2

a b c a b c

3

10 Chứng minh:     

2

a b c ab ac 2bc

       

2

a a b c b c 2bc 0

4   

 

  

 

 

2

a b c 0

2 .

11 Chứng minh: a2b2 1 ab a b 

 2a22b22 2ab 2a 2b 0   

 a2 2ab b 2a22a b  22b 0 

 a b 2a 1 2b 1 20.

12 Chứng minh: x2y2z22xy 2xz 2yz 

 x2y2z2 2xy 2xz 2yz 0    (x – y + z)2  0. 13 Chứng minh: x4y4z2 1 2x(xy2 x z 1) 

 x4y4z2 1 2x y2 22x2 2xz 2x 0            

2 2 2

2

x y x z x 0. 14. Chứng minh: Nếu a + b  thì:  

3

a b

 a + b   b  – a  b3 = (1 – a)3 = – a + a2 – a3

 a3 + b3 =

 

  

 

 

2

1 1

3 a

2 4.

15. Cho a, b, c số đo độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).

 ab + bc + ca  a2 + b2 + c2  (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2  a b c , b a c , c     a b

 a2b2 2bc c 2 , b2 a2 2ac c 2 , c2a2 2ab b

(7)

b abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)

 a2a2 b c 2  a2a c b a b c      

 b2 b2 a c 2  b2b c a a b c      

 c2 c2 a b 2  c2b c a a c b      

 a b c2 2 a b c   2 a c b   2 b c a  2

 abca b c a c b b c a          

c 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0

 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 > 0  4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 > 0

 (2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 >  [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] >  (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) >

 Vì a , b , c ba cạnh tam giác

 c – a + b > , c + a – b > , a + b – c > , a + b + c > II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0      Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:

 a b ab  , b c bc  , a c ac 

 a b b c a c        8 a b c2 2 8abc.

2. Chứng minh: (a b c)(a  2b2c ) 9abc ; a,b,c 02    Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

 a b c abc   , a2b2c23 a b c3 2

 a b c a   2b2c2 9 a b c3 3 9abc.

3. Chứng minh: 1 a b c        13abc3 , với a , b , c  0.

 1 a b c        1 a b c ab ac bc abc.     

 a b c abc   , ab ac bc a b c   2

                3 2

3

1 a b c abc a b c abc abc

4. Cho a, b > Chứng minh:

   

   

   

   

m m

m

a b

1

b a , với m  Z+

 

         

        

         

         

 

m m m m m

m m

a b a b b a

1 2

b a b a a b

(8)

5. Chứng minh:       bc ca ab a b c ; a, b, c 0

a b c

 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:

  

2 bc ca 2 abc 2c

a b ab ,   

2

bc ba 2 b ac 2b

a c ac ,

  

2

ca ab 2 a bc 2a

b c bc

 bc ca ab a b ca  b  c    6. Chứng minh:

  

6

2

x y 3x y 16 ; x,y 0

4 ()

()  x6y964 12x y       

3

2 3

x y 12x y

Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: x23 y3 3433x y 12x y2  3.

7. Chứng minh:    

4

2

2a 3a

1 a () ()       

4 2

2

a a a 4a

1 a .

Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm:

 

4

2 a , a , a 1,

1 a

 

      

 

4 4 4 2

2

1

a a a a a a 4a

1 a a

8. Chứng minh: a1995 1995 a 1   () , a > 0

()  a1995 1995a 1995  a19951995 1995a

            1995 

1995 1995 1995 1995

1994 soá

a 1995 a 1994 a 1 1995 a 1995a 9. Chứng minh: a b2  2b c2  2c a2  26abc.

 a b2  2b c2  2c a2  2 a2a b2 2b2b c2 2c2c a2

(9)

10. Cho a , b > Chứng minh:

 

      

 

  

2 2 2

a b c 1 1

2 a b c

a b b c a c

 

2

a a

2ab 2b

a b , 2  

b b

2bc 2c

b c , 2  

c c

2ac 2a a c

 Vậy:

 

      

 

  

2 2 2

a b c 1 1

2 a b c

a b b c a c

11. Cho a , b  , chứng minh: ab a b b a 1    .

 aa 1 a , b    b 1 b 1   

 ab 2b a , ab 2a b 1   

 ab a b b a 1   

12. Cho x, y, z > x + y + z = C/m: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1)  xx 1  x x y z 3    

            

 x 1  x 1  y 1  z x y z 1    

Tương tự:         

y x y z

;        

z x y z  xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

13. Cho a > b > c, Chứng minh: a a b b c c 3      .

 aa b b c c a b b c c 3     

14. Cho: a , b , c > a + b + c = Chứng minh: a) b + c  16abc

 

 

 

2 b c bc

2   

 

   

       

   

2

2

b c a

16abc 16a 16a 4a a

2

                    

2 2

4a a a 4a 4a a 1 2a a b c b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc

 (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) 

2 bc.2 ac.2 ab 8abc c)

     

   

     

     

1 1

1 1 64

a b c

  

   

  

   

   

4 a a b c a bc

a a a

 

4 ab c

b b   

4

1 abc

c c

     

   

     

     

1 1

1 1 64

(10)

15. Cho x > y > Chứng minh:  

 

1

x

x y y

 

 

 

 

     

 

x y y

VT x y y 3

x y y x y y 16. Chứng minh:

a)

  

2 x 2

x  x22 x 21  x2  1 x21

b)

 

x x 1 =

 

     

  

x x 1 2 x 1 6

x x x

c. a21 4 a   21 4 a21 

  

2 a 4

a 17. Chứng minh:

 

   

  

ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a

 Vì : a b ab 

 

ab ab ab

a b ab ,   

bc bc bc

b c bc ,   

ac ac ac

a c ac  a b c   ab bc ca, dựa vào: a2b2c2ab bc ca  .

   

   

  

ab bc ca ab bc ac a b c

a b b c c a 2

18. Chứng minh:

 

 

2

4

x y

4

1 16x 16y , x , y  R

  

  

 

2 2

4 2

x x x

8 16x 4x 2.4x

  

  

 

2 2

4 2

y y y

8 16y 4y 2.4y

 

 

2

4

x y

4 16x 16y

19. Chứng minh:      

a b c

b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b

 a + b + c =

(11)

     

Y Z X Z X Y X Y Z

a , b , c

2 2

      

          

         

a b c Y X Z X Z Y 3

b c a c a b X Y X Z Y Z

 

1 2 3   3

2 2.

Cách khác:

     

        

           

a b c a 1 b 1 c 1 3

b c a c a b b c a c a b

     

  

         

  

 

1 a b b c c a 1 3

2 b c a c a b

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

     

           

  

 

1 a b b c c a 1 3

2 b c a c a b 2

20. Cho a , b , c > C/m:

  

     

3 3 3

1 1

abc a b abc b c abc c a abc

 a3b3a b a  2 ab a 2 a b ab 

 a3b3abca b ab abc ab a b c       , tương tự

 b3c3abcb c bc abc bc a b c         c3a3abcc a ca abc ca a b c       

      

 

 

     

         

1 1 a b c

VT

ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a. a b c d abcd    với a , b , c , d  0 (Côsi số)

 a b ab , c d cd   

 a b cd ab     cd 2 2 ab cd 4 abcd4 b. a b c abc   với a , b , c  , (Côsi số )

   

  a b c a b c

a b c abc

3

   

4

a b c abca b c

3 

   

 

 

 

4

a b c abca b c

3

 

 

 

 

3 a b c abc

(12)

22. Chứng minh: a3b3c3a bc b ac c ab2   ; a , b , c > 0

 a3abc 2a bc , b3abc 2b ac , c3abc 2c ab

        

3 3 2

a b c 3abc a bc b ac c ab  a 3b3c3 2 a bc b ac c ab   ,

vì : a3b3c33abc

Vậy: a3b3c3a bc b ac c ab2  

23. Chứng minh: a b c abc  

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm:

 VT a a3b3b3b4c4c4c4c abc 24. Cho  

x 18 y

2 x , x > Định x để y đạt GTNN.

 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:     x 18 x 18

y

2 x x

 Dấu “ = ” xảy 

  2  

x 18 x 36 x 6

2 x , chọn x = 6.

Vậy: Khi x = y đạt GTNN

25. Cho    

x

y ,x

2 x Định x để y đạt GTNN. 

  

x y

2 x

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm

 

x 1, 2 x 1:

 

     

 

x x

y

2 x 2 x 2  Dấu “ = ” xảy 

   

     



 

2 x

x x 1 4

x 1(loại) x

Vậy: Khi x = y đạt GTNN 26. Cho     

3x

y , x

2 x Định x để y đạt GTNN. 

  

3(x 1) y

(13)

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm

   

3 x , x 1:

     

      

 

3 x 1 3 x 1 3

y

2 x 2 x 2

 Dấu “ = ” xảy 

 

 

 

 

    

 

 

 

2

6

x

3 x 1 x 1

2 x 6

x 1(loại)

Vậy: Khi  

x

3 y đạt GTNN 

2 27. Cho    

x

y ,x

3 2x 2 Định x để y đạt GTNN. 

  

2x y

6 2x

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm

 

2x 1, 2x 1:

  

     

 

2x 2x 30

y

6 2x 2x 3

Dấu “ = ” xảy

 

 

 

 

    

  

  

2

30 x

2x 2x 1 30

6 2x 30 1

x (loại)

2 Vậy: Khi

  30

x

2 y đạt GTNN

30 28. Cho   

x y

1 x x , < x < Định x để y đạt GTNN. 

    

        

  

x x 5x x x x x

f(x) 5 5 5

1 x x x x x x

Dấu “ = ‘ xảy 

   

      

   

2

x 51 x x 5 x 5

1 x x x (0 < x < 1)

 Vậy: GTNN y 5

 5

(14)

29. Cho

 

3 x y

x , x > Định x để y đạt GTNN. 

      

3

3

2 2

x x x x 3 x x

2 2

x x x x

 Dấu “ = ‘ xảy 

  2

x x

2 x  x32.

 Vậy: GTNN y 3

4 x32

30. Tìm GTNN

 

2

x 4x f(x)

x , x > 0. 

 

     

2

x 4x x 4 x.4 4 8

x x x

 Dấu “ = ‘ xảy 

4

x

x  x = (x > 0).  Vậy: GTNN y x =

31. Tìm GTNN

 2 23

f(x) x

x , x > 0.

   

           

   

3 2

2 2

2

3 3

2 x x x 1 x

x

3 3 27

x x x x

 Dấu “ = ‘ xảy 

  

2

5

x x 3

3 x  x = (x > 0).  Vậy: GTNN y

5

27 x53.

32. Tìm GTLN f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)

 f(x) = –10x2 + 11x – =

   

         

   

2

2 11x 11 1

10 x 10 x

10 20 40 40

 Dấu “ = “ xảy 

11

x 20  Vậy: Khi

11

x

20 y đạt GTLN 40. 33. Cho y = x(6 – x) ,  x  Định x để y đạt GTLN

 Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm x – x (vì  x  6):

 x 6 x  2 x x    x(6 – x) 

(15)

 Vậy: Khi x = y đạt GTLN

34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x 

2 Định x để y đạt GTLN.  y = (x + 3)(5 – 2x) =

1

2(2x + 6)(5 – 2x)

 Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + – 2x ,

 

  

 

 

5 x

2 :

112x 6 5 2x  2 2x 2x      

1

2(2x + 6)(5 – 2x)  121

8  Dấu “ = “ xảy  2x + = – 2x 



x  Vậy: Khi



x

4 y đạt GTLN 121

8 .

35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,  x 52  Định x để y đạt GTLN  y = (2x + 5)(5 – x) =

1

2(2x + 5)(10 – 2x)

 Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + , 10 – 2x ,

 

  

 

 

5 x 5

2 :

2x 5 10 2x  2 2x 10 2x      

1

2(2x + 5)(10 – 2x)  625

8  Dấu “ = “ xảy  2x + = 10 – 2x 

5

x  Vậy: Khi

5

x

4 y đạt GTLN 625

8 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , 

1

2  x 

2 Định x để y đạt GTLN  y = 3(2x + 1)(5 – 2x)

 Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + , – 2x ,

 

  

 

 

1 x

2 :

 2x 1 5 2x 2 2x 2x       (2x + 1)(5 – 2x) 

 Dấu “ = “ xảy  2x + = – 2x  x =  Vậy: Khi x = y đạt GTLN

37. Cho

 

2 x y

(16)

 x 22 2x2 2x 

 

1 x

2 2 x   y

2  Dấu “ = “ xảy   

2

x x > x=  Vậy: Khi x 2thì y đạt GTLN

1 2 38. Cho  

 

2

x y

x Định x để y đạt GTLN

 x22 x 2  1 x 1.13 

 

 

   

2

2

3

x

x 27x

27 x  Dấu “ = “ xảy    

2

x x

 Vậy: Khi x1 y đạt GTLN 27

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki

()  a b2 22abcd c d 2a b2 2a d2 2c b2 2c d2

 a d2 2c b2 2 2abcd 0  ad cb 20. 2. Chứng minh: sinx cosx 

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số , sinx , , cosx :

 sinx cosx         

2 2

1 sinx cosx 1 sin x cos x 3. Cho 3a – 4b = Chứng minh: 3a2 + 4b2  7.

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số , a , , b:

 3a 4b  3a 4b  3 3a  24b2  3a2 + 4b2 

4. Cho 2a – 3b = Chứng minh: 3a2 + 5b2  725

47 . 

  

2a 3b a b

3

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số

2 , a , , b

3 :

 

 

     

 

2

2 3 a 5 b 3a 5b

3  3a2 + 5b2 

(17)

5. Cho 3a – 5b = Chứng minh: 7a2 + 11b2  2464

137 . 

  

3a 5b a 11b

7 11

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số

3 , a , , 11b

7 11 :

 

 

     

 

2

3 7 a 11b 25 7a 11b 11

7 11  7a2 + 11b2 

2464 137 . 6. Cho a + b = Chứng minh: a4 + b4  2.

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski:

 a b   1 a  2b2  a2 + b2

         

2 4

2 a b 1 a b  a4 + b4

7. Cho a + b  Chứng minh:  

2

a b 

   

   2 2  2 21

1 a b 1 a b a b

(18)

PHẦN II ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1. (CĐGT II 2003 dự bị)

Cho số x, y, z CMR: x2xy y 2 x2xz+z2  y2yz+z2 2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

Cho x, y, z > xyz = Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3  x + y + z. 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)

Cho số dương x, y, z thoả x + y + z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y + z +  

1 1 x y z 4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006)

Cho x, y hai số thực dương thoả x + y =

4 Tìm giá trị nhỏ của biểu thức: A =

4 x 4y.

5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)

Cho số dương a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức:

  

       

a b c d

a b c b c d c d a d a b< 2 6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)

Chứng minh x > (x + 1)2

 

 

 

 

1 2 1 x

x  16. 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)

Cho số dương a, b, c Ch minh rằng:

     

  

a b c a b c a b c 9

a b c

8. (CĐKTYTế1 2006)

Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y  0; x2 + x = y + 12. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = xyz 10. (Học viện BCVT 2001)

Chứng minh với số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c =

thì:

 

      

 

a b c a b c

1 1 3 a b c

3 3 3

11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)

Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = Chứng minh:

  

  

2 2 2

a b c 3

2

b c c a a b

(19)

Cho số a, b, c thoả:

   

 

  

 

2 2

a b c

ab bc ca Chứng minh:         

4 a 4; b 4; c

3 3 3

13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)

Cho ABC có cạnh a, b, c p nửa chu vi Chứng minh rằng:

 

      

    

1 1 2 1

p a p b p c a b c 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Cho số x, y, z > Chứng minh rằng:

    

  

3 3 2 2

2 y

2 x z 1

x y y z z x x y z

15. (ĐH PCCC khối A 2001)

Ch minh với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ thì: logb c a log c a b log a b c 1 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

Ch minh với x ≥ với  > ta ln có: x +  – ≥ x. Từ chứng minh với số dương a, b, c thì:

    

3 3

3 3

a b c a b c

b c a

b c a

17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh rằng: a b b a ab    (*)

18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)

Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13

19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)

Cho a, b, c số dương a + b = c Ch minh rằng:  

2 2

3 3

a b c

20. (ĐHQG HN khối A 2000)

Với a, b, c số thực thoả điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: 8a + 8b + 8c≥ 2a + 2b + 2c

21. (ĐHQG HN khối D 2000)

Với a, b, c số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc Chứng

minh rằng:

  

  

2 2 2

b 2a c 2b a 2c 3

ab bc ca

22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)

Cho số a, b thoả điều kiện a + b ≥ Ch minh rằng:

   

 

 

3

3

a b a b

2

23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)

(20)

a) a2 + b2 + c2≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2≥ 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Cho số dương a, b, c thoả điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ

biểu thức: P =

 

  

2 2 2

bc ca ab

a b a c b c b a c a c b 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)

Chứng minh với số dương a, b, c ta có:

(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥   

3 abc 26. (ĐH Y HN 2000)

Giả sử x, y hai số dương thoả điều kiện

 

2

x y Tìm giá trị nhỏ nhất tổng x + y

27. (ĐH An Giang khối D 2000)

Cho số a, b, c ≥ Chứng minh: ac + 1 + bc + 1≥ ab(ac – 1 + bc – 1) 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

CMR với x, y, z dương x + y + z = xy + yz + zx >  18xyz xyz 29. (ĐH An Ninh khối A 2000)

Chứng minh với số nguyên n ≥ ta có: nn + 1 > (n + 1)n 30. (CĐSP Nha Trang 2000)

Cho số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 a + b = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = a 1  b 1

31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chứng minh BĐT sau luôn với số thực x, y, z

khác khơng:

  

 

2 2 2

1 1

x y z x y z

BĐT cuối  BĐT cần chứng minh 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)

Cho số a, b, c khác Chứng minh:

    

2 2

2 2

a b c a b c

b c a

b c a

33. (ĐH Hàng hải 1999)

Cho x, y, z ≥ x + y + z ≤ Chứng minh rằng:

     

  

  

x y z 1

2 x y z x y z

34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)

Cho số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1] Chứng minh rằng: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (*)

35. (Đại học 2002 dự bị 1)

(21)

 

  

2 2

a b c

x y z

2R (a, b, c cạnh ABC, R là bán kính đường trịn ngoại tiếp) Dấu “=” xảy nào?

36. (Đại học 2002 dự bị 3)

Giả sử x, y hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S =

4 x 4y 37. (Đại học 2002 dự bị 5)

Giả sử a, b, c, d số nguyên thay đổi thoả mãn ≤ a < b < c < d ≤ 50

Chứng minh bất đẳng thức:

 

 

2

a c b b 50

b d 50b tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: S = 

a c b d. 38.(Đại học 2002 dự bị 6)

Cho tam giác ABC có diện tích

2 Gọi a, b, c độ dài các cạnh BC, CA, AB ha, hb, hc tương ứng độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C Chứng minh rằng:

 

 

     

 

   a b c

1 1 1 3 a b c h h h 39 (Đại học khối A 2003)

Cho x, y, z số dương x + y + z  Chứng minh rằng:

     

2 2

2 2

1 1

x y z 82

x y z

40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)

Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = sin5x + 3cosx 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)

Tính góc tam giác ABC, biết rằng:

 

 

 

 

4p(p a) bc (1)

A B C 3

sin sin sin (2)

2 2

trong BC = a, CA = b, AB = c, p =

 

a b c . 42. (Đại học khối A 2005)

Cho x, y, z số dương thoả mãn :

  

(22)

Chứng minh rằng:

  

   

1 1 1

2x+y+z x 2y z x y 2z 43. (Đại học khối B 2005)

Chứng minh với x  R, ta có:

     

    

     

     

x x x

x x x

12 15 20 3 4 5

5

Khi đẳng thức xảy ra? 44 (Đại học khối D 2005)

Cho số dương x, y, z thoả mãn xyz = Chứng minh rằng:

     

  

3 3 3

1 x y y z z x 3 3

xy yz zx

Khi đẳng thức xảy ra? 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1)

Cho số x, y, z thoả x + y + z = CMR: 4 x  4 y  4 z  6

46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)

Chứng minh với x, y > ta có:

       

   

2

y

1 x 1

x y  256

Đẳng thức xảy nào? 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)

Cho số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c =

4 Chứng minh rằng:

     

3a 3b 3b 3c 3c 3a 3 Khi đẳng thức xảy ra?

48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)

Chứng minh  y  x    x y y x

4. Đẳng thức xảy nào?

49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)

Cho x, y, z số dương xyz = CMR:

  

  

2 2

x y z

1 y z x 50 (Đại học khối A 2006)

Cho số thực x ≠ 0, y ≠ thay đổi thoả mãn điều kiện: (x + y)xy = x2 + y2 – xy

Tìm giá trị lớn biểu thức: A =

3

1 x y . 51 (Đại học khối B 2006)

(23)

A =           

2 2

x y x y y

LỜI GIẢI

1. (CĐGT II 2003 dự bị)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét điểm:

A

 

 

 

 

y x ; z

2 , B

 

 

 

 

3

0; y z

2

, C

 

 

 

y z;0 2

Ta có: AB =

 

 

     

   

   

2

2

y

x y x xy y

2

AC =

 

 

     

   

   

2

2

z

x z x xz z

2

BC =

 

 

     

   

   

2

2

y z 3(y z) y yz+z

2 2

Với điểm A, B, C ta ln có: AB + AC ≥ BC  x2xy y  x2xz+z2  y2yz+z2 2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

x3 + y3 + z3  33x y z3 3  2(x3 + y3 + z3)  6 x3 + +  33 3x  x3 +  3x (1) Tương tự: y3 + +  33y3  y3 +  3y (2)

z3 + +  33 3z  z3 +  3z (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy bất đẳng thức cần chứng minh 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)

 Cách 1:

Theo BĐT Côsi:  x + y + z  33xyz >

  3

1 1 x y z xyz Từ đó: A  33xyz +

3 xyz Đặt: t = 3xyz, điều kiện: < t 

(24)

Xét hàm số f(t) = 3t +

t với < t  f(t) = –

3 t =

2 3(t 1)

t < 0, t 

     

1 0;

3 Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra: A  10 Dấu "=" xảy x = y = z = Vậy Amin = 10 đạt x = y = z =

1 3  Cách 2:

Theo BĐT Côsi:  x + y + z  33xyz >  xyz  3 x + 

1

9x 3, y + 

9y 3, z + 9z 31 2

Từ đó: A=

   

   

         

   

       

1 1 1

x y z

9x 9y 9z x y z  + xyz

 10

Dấu "=" xảy x = y = z =

3.Vậy Amin = 10 đạt x = y = z = 4. (CĐSPHCM khối ABT 2006)

Ta có: x + y =

4  4x + 4y – = 0 A =

4

x 4y =    4x+ 4y 5

x 4y  A  2

4.4x

x + 2 4y1 4y – 5  A 

Dấu "=" xảy 

   

 

      

 

4 4x x

1 4y 4y

5 x y

4 x,y

   

  

x 1 y

(25)

5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Vì a, b, c, d > nên ta ln có:

   

     

a c a c 1

a b c c d a a c a c

   

     

b d b d 1

b c d d a b b d b d

Cộng vế theo vế BĐT ta đpcm 6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)

Ta có: (x + 1)2

 

 

 

 

1 1 x

x  16 (1)  (x + 1)2

 

 

 

2 1

x  16

(x + 1)

 

 

1 1x  (do x > 0)  (x + 1)2  4x  (x – 1)2  (2) (2) nên (1) chứng minh

7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)

Xét vế trái BĐT cho: VT =         b c a c a b

1 1

a a b b c c = +

     

    

     

     

b a c a c b

a b a c b c

Do a, b, c > nên theo BĐT Cơsi ta có:

  

b a 2 b a. 2

a b a b ;   

b c 2 b c. 2

c b c b ;   

c a 2 c a. 2 a c a c Khi đó: VT  + + + = (đpcm)

8. (CĐKTYTế1 2006)

y  0, x2 + x = y + 12  x2 + x – 12   –  x  3 y = x2 + x – 12  A = x3 + 3x2 – 9x – 7

Đặt f(x) = A = x3 + 3x2 – 9x – với –  x  3 f(x) = 3x2 + 6x – ; f(x) =  x = x = – 3 f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20

Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10) 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Ta có: x + y + z  33xyz  xyz  33xyz  (xyz)2  27  xyz  3 Dấu "=" xảy  x = y = z =

Vậy minA = 3 10. (Học viện BCVT 2001)

Ta có hàm số f(x) = x

3 hàm nghịch biến nên: (a – b)

 

 

 a b

1

(26)

  

a b a b

a b b a

3 3 , a, b. (1) Tương tự:

  

b c c b

b c b c

3 3 (2)

  

c a c a

c a a c

3 3 (3)

Mặt khác: a  b c  a  b c

a b c a b c

3 3 3 (4)

Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được:

   

      

   

 a b c  a b c

a b c 1

3 (a b c)

3 3 3

Hay

 

    

 

 a b c a b c

a b c 1

3

3 3 3 (vì a + b + c = 1)

Dấu “=” xảy  a = b = c = 3. 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)

Do a2 + b2 + c2 = nên

 

  

2

2 2

a a a

b c a a(1 a ) (1)

Mà 2a2.(1 – a2)2≤

       

   

   

 

3 3

2 2

2a (1 a ) (1 a )

3

 a2.(1 – a2)2≤

27  a(1 – a2) ≤

3 (2)

Từ (1), (2) suy ra:

 

2

2

a 3a b c

Do đó:         

2 2

2 2 2

a b c 3(a b c ) 3

2

b c c a a b

Dấu “=” xảy 

  

 

  

  

2

2

2

2a a 2b b 2c c

 a = b = c =

3. 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)

Ta có:

   

 

  

 

2 2

a b c

ab bc ca 1 

    

 

  

 

2

(27)

Ta xem hệ phương trình a, b đặt

   

 

a b S

ab P (S2 – 4P ≥ 0)

Ta hệ:

   

   

2

S 2P c (1) cS+P =1 (2) Từ (2)  P = – cS, thay vào (1) ta được:

S2 – 2(1 – cS) = – c2  S2 + 2cS + c2 – = 

  

  

S c S c  Với S = – c –  P = + c(c + 2) = c2 + 2c + 1

BĐT: S2 – 4P ≥  (–c – 2)2 – 4(c2 + 2c + 1) ≥

 –3c2 – 4c ≥   c 03  (3)  Với S = –c +  P = – c(–c + 2) = c2 – 2c + 1

BĐT: S2 – 4P ≥  (–c + 2)2 – 4(c2 – 2c + 1) ≥

 –3c2 + 4c ≥    c

3 (4) Từ (3), (4) ta được:   

4 c

3

Tương tự ta chứng minh được:    a,b,c

3

13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)

Trước hết, ta dễ dàng chứng minh x, y > thì:

 

1

x y x y (1) Dấu “=” xảy  x = y

Áp dụng (1) ta được:        

1 4

p a p b p a p b c

  

    

1 4

p b p c p b p c a

  

    

1 4

p c p a p c p a b Cộng BĐT vế theo vế, ta được:

   

    

   

    

 

1 1 1

2

p a p b p c a b c  đpcm Dấu “=” xảy  a = b = c

14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

(28)

x3 + y2≥ 2 x y3 2xy x 

 

3

2 x x

xy 2xy x x y

Áp dụng BĐT Côsi cho số dương 2 1, x y ta có:

 

     2

1 1 xy x y 

 

   

  

3 2

2 x 1

x y x y

Tương tự ta có:

 

   

  

3 2

2 y 1

y z y z ;

 

   

  

3 2

2 z 1

z x z x

Suy ra:

    

  

3 3 2 2

2 y

2 x z 1

x y y z z x x y z

Dấu “=” xảy 

     

  

  

  

  

  

3 3

x y vaø y z vaø z x

x y y z z x  x = y = z = 1 15. (ĐH PCCC khối A 2001)

Trước a > 1, x > hàm số y = log xa đồng biến dương

Do hàm số y = logxa = a

log x nghịch biến.

Vì vai trị a, b, c nhau, nên ta giả thiết a ≥ b ≥ c Ta được:

VT= logb c a log c a b log a b c log a b a log a b b log a b c log a b abc Vì a, b, c ≥ nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b

Do VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

 Xét f(x) = x – x +  – (x ≥ 0)

f(x) = (x – 1 – 1); f(x) =  x =

Vậy với x ≥  > f(x) ≥ hay x +  – ≥ x.  BĐT cần chứng minh:

     

    

     

     

3 3

2 2

a b c a b c

(29)

Áp dụng BĐT chứng minh với  = 2, ta có:

 

 

   

3

a a. b 2 b;

 

 

   

3

b b. c 2 c;

 

 

   

3

c c. a 2 a Mặt khác, theo BĐT Cơsi ta có:

 

     

    

     

      

 

 

3 3

2 2

1 a b c

2 b c a

Cộng BĐT trên, vế theo vế, ta có:

 

       

 

      

       

        

 

 

3 3

2 2

3 a b c 3 a b c

2 b c a 2 b c a

Suy ra:

     

    

     

     

3 3

2 2

a b c a b c

b c a b c a

17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

BĐT (*) 

 

 

a b b a 1

ab ab 

   

   

   

   

1 1 1 1 1

b b a a (1)

Theo BĐT Cơsi ta có:

 

  

      

 

 

1 1

1 1 b b

b b 2

 

  

      

 

 

1 1

1 1 a a

a a 2

Cộng BĐT lại ta BĐT cần chứng minh

Dấu “=” xảy 

  

  

   

 

1 1 1

b b

1 1 1

a a 2  a = b = 2. 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)

Ta có: – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > Do theo BĐT Cơsi ta có:

(3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤

    

 

 

 

3 2a 2b 2c

3 = 1

 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤  27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤

(30)

 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14 = 3(a + b +c)2 – 14 = 13

Đẳng thức xảy  – 2a = – 2b = – 2c  a = b = c = 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)

Từ giả thiết ta có:  a b

c c =  < a b, c c < 

   

  

       

2

3

a b a b

c c c c = 1 Từ suy ra:  

2 2

3 3

a b c

20. (ĐHQG HN khối A 2000)

Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c x, y, z > 0.

Đ.kiện a + b + c =  xyz = 2a+b+c = 1, theo BĐT Cơsi: x + y + z ≥ 3 Mặt khác: x3 + + ≥ 3x  x3≥ 3x – 2

Tương tự: y3≥ 3y – 2; z3≥ 3z – 2

 x3 + y3 + z3≥ 3(x + y + z) – = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z  8a + 8b + 8c≥ 2a + 2b + 2c

21. (ĐHQG HN khối D 2000)

Ta có:

 

  

2 2

2 2

b 2a b 2a 2.

ab a b a b

Đặt x = a; y =

1 b; z =

1 c thì giả thiết

  

  

a,b,c

ab bc ca abc 

  

  

x,y,z x y z đpcm  x22y2  y22z2 z22x2  Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:

3(x2 + 2y2) = 3(x2 + y2 + y2) ≥ (x + y + y)2

  

2

x 2y (x 2y)

Viết BĐT tương tự, cộng lại, ta có:

        

2 2 2

x 2y y 2z z 2x (3x 3y 3z) 3

Đẳng thức xảy  x = y = z =

3  a = b = c = 3 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)

Ta có:

   

 

 

3

3

a b a b

2  4(a3 + b3) ≥ (a + b)3  (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0  (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥  (a + b)(a – b)2≥ 0

(31)

Đẳng thức xảy  a =  b 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)

a) a2 + b2≥ 2ab; b2 + c2≥ 2bc; c2 + a2≥ 2ca  a2 + b2 + c2≥ ab + bc + ca.

Đẳng thức xảy  a = b = c

b) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥

≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Ta có:

  

 

   

 

 

2

2 2 2

1

bc bc a

1 1

a b a c a (b c) a b c b c

Đặt x = a; y =

1 b; z =

1 c giả thiết

  

a, b, c > abc = 

   

x,y,z

xyz=1 P =     

2 2

x y z

y z z x x y Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:

(y + z + z + x + x + y).P ≥

 

    

 

    

 

2

x y z

y z z x x y

y z z x x y

 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z)2  P ≥

2(x + y + z) ≥  1.3 xyz 1.3

2

 P ≥

3 Nếu P =

3

2 x = y = z =  a = b = c = 1 Đảo lại, a = b = c = P =

3

2 Vậy minP = 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)

(a + 1).(b + 1).(c + 1) = + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥

≥ + 33abc a b c 2 + abc =   

3 abc Đẳng thức xảy  a = b = c >

26. (ĐH Y HN 2000)

         

 

 

2

2 2 3 2 3

2 x y (x y)

x y x y

= 6(x + y)

 x + y ≥

 2 32

(32)

Giá trị

 2 32

6 đạt 

 

 

 

 

   

2 2: x 3: y

x y

2 x y

6 

 

   

  

 

2( 3) x

6 3( 3) y

6 Vậy min(x + y) =

5 6 27. (ĐH An Giang khối D 2000)

Giả sử a ≥ b ≥  ac(a – b) ≥ bc(a – b)  ac + 1 + bc + 1≥ ab(ac – 1 + bc – 1) 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có: = x + y + z + x + y + z ≥ 63xyz (1) xy + yz + zx ≥ 33x y z2 2 (2) Nhân BĐT (1) (2) vế theo vế ta được:

2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > (4) Cộng BĐT (3) (4) vế theo vế ta được:

(xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz  xy + yz + zx >  18xyz

2 xyz (vì +xyz > 0) 29. (ĐH An Ninh khối A 2000)

Ta có: 34 = 81, 43 = 64  34 > 43  BĐT cần chứng minh với n = 3.

Với n > 3, đpcm  n >

 

 

 

n n

n 

 

 

 

n 1

n < n (1)

Ta có:

 

 

 

n 1

n = 

n k n k k

1 C

n = = +

   

 2  n

n n(n 1) 1. n(n 1) (n n 1) 1.

n 2! n n! n

= + +

       

     

       

       

1 1 1 1 1 n

2! n n! n n n <

< + +  

2! n! < + +   n 1 2 <

< + + 

  n 1

1

2 + … = + 

1

2 = 3 

 

 

 

n 1

(33)

30. (CĐSP Nha Trang 2000)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( a 1, b 1  ), ta có: A = a 1 b 1   ≤ (1 1)(a b 1)   

mà a + b = nên A ≤

Dấu “=” xảy  a 1  b 1  a = b  a = b =

1

2 ( a + b = 1) Vậy maxA = a = b =

1 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

BĐT cần chứng minh 

     

       

     

     

     

2 2 2

2 2 2

y z x z x y

1 1

x x y y z z ≥ 9

 +

     

    

     

     

     

2 2 2

2 2 2

y z x z x y

x x y y z z ≥ 9

32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Áp dụng BĐT Cơsi ta có:

*

   

2 2 2

3

2 2 2

a b c 3 a b c. . 3

b c a b c a (1)

*

 

2

a 1 2a b

b ;  

2

b 1 2b c

c ;  

2

c 1 2c a a

 

      

 

2 2

2 2

a b c 2 a b c 3 b c a

b c a (2)

Kết hợp (1) (2) ta được:

   

    

   

   

 

2 2

2 2

a b c a b c

2

b c a

b c a

    

2 2

2 2

a b c a b c

b c a

b c a

33. (ĐH Hàng hải 1999)

 Do (x – 1)2≥ nên x2 + ≥ 2x   2x x ≤ 1 Tương tự ta có: 

2y

1 y ≤ 1;  2z z ≤ 1 Do đó: 

2x

1 x + 

2y

(34)

Hay:

  

  

x y z

2

1 x y z (1)

 Áp dụng BĐT Cơsi cho số khơng âm ta có:

 

  

 

     

3

3

1 1

1

1 x y z

3 (1 x)(1 y)(1 z) (1 x)(1 y)(1 z)

   

 

  

3

3 (1 x)(1 y)(1 z)

1 1

1 x y z ≤ (1 x) (1 y) (1 z)  3   ≤ 2

  

  

3 1

2 x y z (2)

Kết hợp (1) (2) ta BĐT cần chứng minh 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)

Vì ≤ x, y, z ≤ nên x2≥ x3; y2≥ y3; z2≥ z3.

Suy ra: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) Do ta chứng minh được:

2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (1) (*)

Ta có: (1 – y)(1 + y – x2) ≥  x2 + y2 – x2y – ≤ 0 (2)

Dấu “=” (2) xảy 

  

  

   

y x y

Tương tự ta có: x2 + z2 – z2x – ≤ 0 (3) y2 + z2 – y2z – ≤ 0 (4) Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:

2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ Vậy (1)  (*)

Nhận xét: Dấu “=” (*) xảy  (x; y; z)  (1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1) 35. (Đại học 2002 dự bị 1)

    

x y z ax by cz

a b c ≤

 

 

 

a b c1 1 (ax+by+cz)

 

 

 

a b c1 1 2S =

 

 

 

 

1 1 abc

a b c 2R = ab bc ca2R

 

2 2

a b c 2R Dấu “=” xảy 

   

  

a b c x y z 

 

 

ABC

(35)

36. (Đại học 2002 dự bị 3)

 Cách 1: S =

    5

1 1 1

x x x x 4y x.x.x.x.4y ≥    

5.5

x x x x 4y = 5

minS = 

             1 x 4y x 4y x y

4 

       x 1 y  Cách 2: S =  

4

x 4x = f(x), 0 < x < f(x) =    2 4

x (5 4x) ; f(x) = 

         2

x (5 4x) x

4  x = 1 Lập bảng xét dấu f(x), suy minS =

 Cách 3: +

 

1 x. y.

2 x y ≤  

4 x y

x 4y (3)

Dấu “=” (3) xảy 

         

x x y y

x y

4 

        x 4y x y

4 

       x 1 y (3)               

5 4.

2 x 4y   x 4y ≥ 5 Vậy minS =

37. (Đại học 2002 dự bị 5)

Vì a ≥ 1, d ≤ 50 c > b (c, b  N) nên c ≥ b + thành thử:

S =  a c b d ≥

 

1 b b 50 =

 

2

b b 50 50b Vậy BĐT đề chứng minh

Dấu “=” xảy 

         a d 50 c b Để tìm minS, ta đặt

 

2

b b 50

50b =   b 1

(36)

f(x) =   x 1

50 x 50 (2 ≤ x ≤ 48)

f(x) =

 

2

2

1 x 50

50 x 50x ; f(x) =

 

 

   

2 x 50

2 x 48  x 2 Bảng biến thiên:

Chuyển biểu thức f(b) =

 

2

b b 50

50b (2 ≤ b ≤ 48, b  N)

Từ BBT suy b biến thiên từ đến 7, f(b) giảm chuyển sang tăng b biến thiên từ đến 48 Suy minf(b) = min[f(7); f(8)]

Ta có f(7) =

 

49 57 53

350 175; f(8) =

 

64 58 61 53 400 200 175

Vậy minS = 53 175

     

    

a b c d 50 38. (Đại học 2002 dự bị 6)

Ta có diện tích tam giác: S = a  b c 1ah 1bh 1ch

2 2

 = 2S

a ; hb = 2S

b ; hc = 2S

c 

    

a b c

1 1 1 (a b c) h h h 2S

 

   

         

   

  a b c  

1 1 1 1 (a b c) 1

a b c h h h 2S a b c

Áp dụng BĐT Cơsi ta có: (a + b + c)

 

 

 

 

1 1 a b c ≥ 9 S =

3

2, nên ta có:

 

 

      

 

   a b c

1 1 1 9 3 a b c h h h 39 (Đại học khối A 2003)

Với

 

u,v ta có: u v uv

(37)

Đặt

 

   

     

     

 1  1  1

a x; ; b y; ; c z;

x y z

Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có:        

        

a b c a b c a b c

Vậy P =

    

2 2

2 2

1 1

x y z

x y z 

 

     

 

2 1 (x y z)

x y z  Cách 1:

Ta có: P

 

     

 

2 1 (x y z)

x y z 

    

 

2

3 3

3 xyz xyz

= 

9 9t

t với t = ( xyz)3  < t 

 

 

 

 

2 x y z

3

Đặt Q(t) = 9t +

t Q(t) = –

t < 0, t

 

 

 

1 0;

9 Q(t) giảm

     

1 0;

9  Q(t)  Q

     

1

9 = 82 Vậy P  Q(t) 82

Dấu "=" xảy  x = y = z = 3.  Cách 2: Ta có:

(x + y + z)2 +

 

 

 

 

2 1

x y z = 81(x + y + z)2 +

 

 

 

 

2 1

x y z – 80(x + y + z)2  18(x + y + z)

 

 

 

 

1 1

x y z – 80(x + y + z)2  162 – 80 = 82 Vậy P  82

Dấu "=" xảy  x = y = z = 3. 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)

 Tìm max: y = sin5x + 3cosx ≤ sin4x + 3cosx (1) Ta chứng minh: sin4x + 3cosx ≤ 3, x  R (2)  3(1 – cosx) – sin4x ≥  3(1 – cosx) – (1 – cos2x)2≥ 0

 (1 – cosx). – (1 – cosx)(1 + cosx)2  ≥ 0 (3) Theo BĐT Cơsi ta có:

(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) =

(38)

≤        

1 32 3 27

Vậy BĐT (3)  (2)  y ≤ 3, x Dấu “=” xảy cosx =  x = k2 Vậy maxy =

 Tìm min: Ta có y = sin5x + 3cosx ≥ – sin4x + 3cosx.

Tương tự trên, ta miny = – 3, đạt x =  + k2 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)

(1) 

   

(a b c)(b c a) 1

bc 

 

2

(b c) a 1

bc 

2bc(1 cosA) 1 bc

 

2A cos

2 4   2A sin

2 4  

A

sin

2 (do < 

A

2 2) (3) Biến đổi vế trái (2) sau:

 

   

 

A B C A B-C B+C

sin sin sin sin cos cos

2 2 2 2 ≤

 

 

 

1sinA 1 sinA

2 2 =

= –       

1 sin A sinA

2 2 = –

              sinA 1

2 2

=

 

   

 

2 1 sinA

8 2

Do (3) suy ra:

 

    

 

2 A B C 1 sin sin sin

2 2 2

=   1(4 3) 8

=

2 3

Dấu “=” xảy 

                  0 B-C

cos A 120

2

A B C 30

sin 2 42. (Đại học khối A 2005)

Với a, b > ta có:

4ab  (a + b)2

  

1 a b a b 4ab 

 

   

  

1 1 a b a b Dấu "=" xảy a = b

Áp dụng kết ta có:

 

   

 

1 1

2x+y+z 2x y z             

1 1 1 2x y z =

 

 

 

 

1 1

(39)

 

   

    

1 1

x 2y z 2y x z 

  

   

 

 

 

1 1 1 2y x z =

 

 

 

 

1 1 y 2z 2x (2)

 

   

    

1 1

x y 2z 2z x y 

  

 

  

 

 

1 1 1 2z x y =

 

 

 

 

1 1 z 2x 2y (3) Vậy:

 

      

     

1 1 1 1

2x+y+z x 2y z x y 2z x yz = 1

Ta thấy bất đẳng thức (1), (2), (3) dấu "=" xảy

x = y = z Vậy đẳng thức xảy x = y = z = 4. 43. (Đại học khối B 2005)

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có:

       

 

       

       

x x x x

12 15 2 12 . 15

5     

   

x x

12 15

5  2.3x (1) Tương tự ta có:

   

   

   

x x

12 20

5  2.4x (2)

   

   

   

x x

15 20

4  2.5x (3) Cộng bất đẳng thức (1), (2), (3), chia vế bất đẳng thức nhận cho ta có đpcm

Đẳng thức xảy  (1), (2), (3) đẳng thức  x = 44 (Đại học khối D 2005)

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có:

1 + x3 + y3  331.x y3 3 = 3xy 

 

3

1 x y

xy xy (1)

Tương tự:

 

3

1 y z

yz yz (2);

 

3

1 z x

zx zx (3)

Mặt khác

  

3 3 3 3

xy yz zx xy yz zx

  

3 3 3 3

xy yz zx (4)

Cộng bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm

Đẳng thức xảy  (1), (2), (3), (4) đẳng thức  x = y = z = 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1)

(40)

 4 x 2 44x 2 48 x

Tương tự: 4 y 2 48 y ; 4 z 2 48 z

Vậy 4 x  4 y  4 z  2

   

 

 

84x 84y 84z

 63 x y z4 4  624 x y z4   =

46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)

Ta có: + x = +

  

3

3 x x x 4 x

3 3 3

1 + y

x = +   

3

y y y 4 y

3x 3x 3x x

1 +

y = +   

3

3 3 4

y y y y

 

 

 

 

 

2 6

4

9

1 16

y y

Vậy:

        

   

2

y

1 x 1

x y

 256

3

4

3 3 x . y .3

3 x y = 256 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)

 Cách 1:

Ta có:

  

    

3(a 3b).1.1 a 3b 1 1(a 3b 2)

3

  

    

3(b 3c).1.1 b 3c 1 1(b 3c 2)

3

  

    

3(c 3a).1.1 c 3a 1 1(c 3a 2)

3

Suy ra:           

3a 3b 3b 3c 3c 3a 4(a b c) 6

3 

 

 

 

1 4.3 6 = 3

Dấu "=" xảy 

  

 

     

3 a b c

4

a 3b b 3c c 3a=1

a = b = c =  Cách 2:

Đặt x = 3a 3b  x3 = a + 3b; y = 3b 3c  y3 = b + 3c; z = 3c 3a  z3 = c + 3a

 x3 + y3 + z3 = 4(a + b + c) = 4.

(41)

Ta có: x3 + +  33 3x 1.1 = 3x; y3 + +  33y 1.13 = 3y; z3 + +  33 3z 1.1 = 3z

  3(x + y + z) (vì x3 + y3 + z3 = 3) Vậy x + y + z 

Dấu "=" xảy 

   

 

  

 

3 3

x y z

3 a b c

4 

    

    

a 3b b 3c c 3a=1

a+b+c=

a = b = c = 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)

Ta có:  x   x  x2

 1

x y y x

4    x y y x

4 (1)

Theo BĐT Côsi ta có:     

2

1 1

y x yx yx x y

4 4   

1 x y y x

4

Dấu "=" xảy 

  

  

 

 

 

 

 

2

0 y x x 1

x x 1

y

1

yx 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)

Ta có:

 

  

 

2

x y 2 x .1 y x

1 y y

 

  

 

2

y z 2 y .1 z y

1 z z

 

  

 

2

z x 2 z .1 x z

1 x x

Cộng bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có:

        

       

     

        

     

2 2

x y y z z x x y z

1 y z x

 

      

  

2 2

x y z x y z x y z

1 y z x 4  3(x y z) 34   4

     3.3 3

(42)

Vậy:

  

  

2 2

x y z

1 y z x 2. 50. (Đại học khối A 2006)

 Cách 1:

Từ giả thiết suy ra:

  2 2 

1 1 1

x y x y xy. Đặt

1 x= a,

1

y= b, ta có: a + b = a2 + b2 – ab (1) A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)2

Từ (1) suy ra: a + b = (a + b)2 – 3ab.

Vì ab ≤

 

 

 

2 a b

2 nên a + b ≥ (a + b)2 –  3(a b)  (a + b)2 – 4(a + b) ≤  ≤ a + b ≤ 4 Suy ra: A = (a + b)2 ≤ 16

Với x = y =

2 A = 16 Vậy giá trị lớn A 16.  Cách 2:

Đặt S = x + y, P = xy với S2 – 4P  Từ giả thiết  S, P  0. Ta có: SP = S2 – 3P  P = 

2 S S A =

3

1 x y =

3

3 x y

x y =

 2 2

3 (x y)(x y xy)

x y =

3 (x y) xy

x y =

2 (x y) x y  A =

 

 

 

2

S S

S P

Đk: S2 – 4P   S2 –  4S

S 3  S2

 

  

 

S S  

 

S

S 3 (vì S0) 

   

 

S S (*) Đặt h = f(S) =

S

S  h =

2

S < 0, S thoả (*)

(43)

Mà A = h  MaxA = 16 x = y =

2 (S = 1, P = 4).  Cách 3:

(x + y)xy =

 

 

 

 

2

y 3y x

2 > 

 

1 x y x y xy > 0

A =

3

1 x y =

3

3 x y

x y =

 

 

 

2 1 x y

1 1

A

x y Dễ chứng minh được:

 

 

 

 

3 3

a b a b

2 (với a + b > 0) dấu "=" xảy a = b

Áp dụng với a = x, b =

1 y, ta có:

   

  

    

   

 

  

 

 

 

3

3 1 1

1

x y

x y

2

 

 

 

 

3

A A

2

A  16 Dấu "=" xảy

 

1

x y Vậy Max A = 16.  Cách 4:

A = 2 S

P , suy   2

S 3S A

P S SP

S2 – 4P   S2 – 4

2 S SP

3  

 

P

S

3    P

S 4 (chia cho S2) Nên: A =

2 S

P  16 Vậy Max A = 16 (khi x = y = 2). 51. (Đại học khối B 2006)

Trong mpOxy, xét M(x – 1; –y), N(x + 1; y) Do OM + ON ≥ MN nên:

x 1 2y2  x 1 2y2  4y 2 y

Do đó: A ≥ y 2y 2 = f(y)

(44)

f(y) =  2y = y 

   

  

 2

y 4y y

 y =

3 Do ta có bảng biến thiên

 Với y ≥  f(y) ≥ y ≥ > + Vậy A ≥ + với số thực x, y

Khi x = y =

(45)(46)

Ngày đăng: 24/05/2021, 16:05

w