Bat dang thuc 10 hay

Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:.. 1..[r]

PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN

I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất bản:

1 Cho a, b > chứng minh:

   

 

 

3

3

a b a b

2

2 Chứng minh:

 



2

a b a b

2

3 Cho a + b  chứng minh:

 



3

3 a b a b

2

4 Cho a, b > Chứng minh:

  

a b a b

b a 5 Chứng minh: Với a  b  1:

 



 

1

1 ab a b

6 Chứng minh: a2b2c23 a b c     ; a , b , c  R 7 Chứng minh: a2b2c2d2e2a b c d e     8 Chứng minh: x2y2z2xy yz zx 

9. a. Chứng minh:

   

 

a b c ab bc ca ; a,b,c 0

3

b. Chứng minh:

     

 

 

2

2 2

a b c a b c

3

10 Chứng minh:     

2

a b c ab ac 2bc

11 Chứng minh: a2b2 1 ab a b 

12 Chứng minh: x2y2z22xy 2xz 2yz  13 Chứng minh: x4y4z2 1 2xy(xy2 x z 1)  14. Chứng minh: Nếu a + b  thì:  

3

a b

15. Cho a, b, c số đo độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a. ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).

II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0     2. Chứng minh: (a b c)(a  2b2c ) 9abc ; a,b,c 02   3. Chứng minh:            

3

1 a b c abc với a , b , c  0

4. Cho a, b > Chứng minh:



   

   

   

   

m m

m

a b

1

b a , với m  Z+

5. Chứng minh: bc ca ab a b c ; a,b,c 0a  b  c     6. Chứng minh:



  

6

2

x y 3x y 16 ; x,y 0

7. Chứng minh:

  



4

2

2a 3a

1 a .

8. Chứng minh: a1995 1995 a 1   , a > 0

9. Chứng minh: a b2  2b c2  2c a2  26abc. 10. Cho a , b > Chứng minh:

 

      

 

  

2 2 2

a b c 1 1

2 a b c

a b b c a c

11. Cho a , b  , chứng minh: ab a b b a 1    .

12. Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13. Cho a > b > c, Chứng minh: a a b b c c 3     

14. Cho: a , b , c > a + b + c = Chứng minh: a) b + c  16abc

b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc

c)

     

   

     

     

1 1

1 1 64

a b c

15. Cho x > y > Chứng minh:  

 



1

x

x y y 16. Chứng minh:

a)

  

2 x 2

x ,x  R b)

  

x 6

x , x > 1 c)

  

2 a 4

a 17. Chứng minh:

 

   

  

18. Chứng minh:

 

 

2

4

x y

4

1 16x 16y , x , y

 R

19. Chứng minh:      

a b c

b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 20. Cho a , b , c > C/m:

  

     

3 3 3

1 1

abc a b abc b c abc c a abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a. a b c d abcd    với a , b , c , d  0 (Côsi số)

b. a b c abc   với a , b , c  , (Côsi số )

22. Chứng minh: a3b3c3a bc b ac c ab2   ; a , b , c > 0

23. Chứng minh: a b c abc  

24. Cho   x 18 y

2 x , x > Định x để y đạt GTNN. 25. Cho    

x

y ,x

2 x Định x để y đạt GTNN. 26. Cho     

3x

y , x

2 x Định x để y đạt GTNN. 27. Cho    

x

y ,x

3 2x 2 Định x để y đạt GTNN. 28. Cho   

x y

1 x x , < x < Định x để y đạt GTNN. 29. Cho

 

3 x y

x , x > Định x để y đạt GTNN. 30. Tìm GTNN

 



2

x 4x f(x)

x , x > 0. 31. Tìm GTNN

 2 23

f(x) x

x , x > 0. 32. Tìm GTLN f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)

33. Cho y = x(6 – x) ,  x  Định x để y đạt GTLN

34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x 

2 Định x để y đạt GTLN 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,   

5 x 5

36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , 

2  x 

2 Định x để y đạt GTLN 37. Cho

 

2 x y

x 2 Định x để y đạt GTLN 38. Cho  

 

2

x y

x Định x để y đạt GTLN

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki 2. Chứng minh: sinx cosx 

3. Cho 3a – 4b = Chứng minh: 3a2 + 4b2  7.

4. Cho 2a – 3b = Chứng minh: 3a2 + 5b2  725

47 . 5. Cho 3a – 5b = Chứng minh: 7a2 + 11b2 

2464 137 . 6. Cho a + b = Chứng minh: a4 + b4  2.

7. Cho a + b  Chứng minh:  

2

a b Lời giải :

I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất bản:

1 Cho a, b > chứng minh:

   

 

 

3

3

a b a b

2 (*)

(*) 

   

  

 

3

3

a b a b 0

2         a b a b 0

8 ĐPCM.

2 Chứng minh:

 



2

a b a b 2 ()  a + b  , ()  a + b > , () 

  

 

2 2

a b 2ab a b 0

4 

   

2 a b 0

4 , đúng. Vậy:

 



2

a b a b

2 .

3 Cho a + b  chứng minh:

 



3

3 a b a b

2 

   



3 3

a b a b

 b a a   2 b2 0  3 b a   2 a b  0, ĐPCM. 4 Cho a, b > Chứng minh:

  

a b a b

b a () ()  a a b b a b b a    a b a   a b b 0  

 a b  a b 0        

a b a b 0, ĐPCM.

5 Chứng minh: Với a  b  1:

 



 

1

1 ab a b ()   2      

1 1 0

1 ab ab

1 a b      

 

 

   

2

2

ab a ab b 0

1 a ab b ab 

 

  

 

  

 

 

   

a b a b a b 0

1 a ab b ab 

  

 

 

    2

b a a b 0

1 ab a b     

 

   



 

 

    

2

2

b a a ab b ba 0 ab 1 a 1 b 

   

    

 



  

2

2

b a ab 0

1 ab a b , ĐPCM.  Vì : a  b   ab   ab – 

6 Chứng minh: a2b2c23 a b c     ; a , b , c  R  a 1 2b 1 2c 1 20 ĐPCM.

7 Chứng minh: a2b2c2d2e2a b c d e    

            

2 2

2 2

a ab b a ac c a ad d a ae e 0

4 4



       

       

       

       

2 2

a b a c a d a e 0

2 2 ĐPCM

8 Chứng minh: x2y2z2xy yz zx   2x22y22z2 2xy 2yz 2zx 0             

2 2

x y x z y z

9. a. Chứng minh:

   

 

a b c ab bc ca ; a,b,c 0

3

 a2b2c2ab bc ca 



        

 

 

 

 

2 2

a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca



   



a b c ab bc ca

3

b. Chứng minh:

     

 

 

2

2 2

a b c a b c

3

 a 2b2c2a2b2c22 a 2b2c2

   

a2b2c22 ab bc ca   a b c 



     

 

 

2

2 2

a b c a b c

3

10 Chứng minh:     

2

a b c ab ac 2bc

       

2

a a b c b c 2bc 0

4   

 

  

 

 

2

a b c 0

2 .

11 Chứng minh: a2b2 1 ab a b 

 2a22b22 2ab 2a 2b 0   

 a2 2ab b 2a22a b  22b 0 

 a b 2a 1 2b 1 20.

12 Chứng minh: x2y2z22xy 2xz 2yz 

 x2y2z2 2xy 2xz 2yz 0    (x – y + z)2  0. 13 Chứng minh: x4y4z2 1 2x(xy2 x z 1) 

 x4y4z2 1 2x y2 22x2 2xz 2x 0            

2 2 2

2

x y x z x 0. 14. Chứng minh: Nếu a + b  thì:  

3

a b

 a + b   b  – a  b3 = (1 – a)3 = – a + a2 – a3

 a3 + b3 =

 

  

 

 

2

1 1

3 a

2 4.

15. Cho a, b, c số đo độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).

 ab + bc + ca  a2 + b2 + c2  (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2  a b c , b a c , c     a b

 a2b2 2bc c 2 , b2 a2 2ac c 2 , c2a2 2ab b

b abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)

 a2a2 b c 2  a2a c b a b c      

 b2 b2 a c 2  b2b c a a b c      

 c2 c2 a b 2  c2b c a a c b      

 a b c2 2 a b c   2 a c b   2 b c a  2

 abca b c a c b b c a          

c 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0

 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 > 0  4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 > 0

 (2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 >  [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] >  (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) >

 Vì a , b , c ba cạnh tam giác

 c – a + b > , c + a – b > , a + b – c > , a + b + c > II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0      Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:

 a b ab  , b c bc  , a c ac 

 a b b c a c        8 a b c2 2 8abc.

2. Chứng minh: (a b c)(a  2b2c ) 9abc ; a,b,c 02    Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

 a b c abc   , a2b2c23 a b c3 2

 a b c a   2b2c2 9 a b c3 3 9abc.

3. Chứng minh: 1 a b c        13abc3 , với a , b , c  0.

 1 a b c        1 a b c ab ac bc abc.     

 a b c abc   , ab ac bc a b c   2

                3 2

3

1 a b c abc a b c abc abc

4. Cho a, b > Chứng minh:



   

   

   

   

m m

m

a b

1

b a , với m  Z+

 

         

        

         

         

 

m m m m m

m m

a b a b b a

1 2

b a b a a b

5. Chứng minh:       bc ca ab a b c ; a, b, c 0

a b c

 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:

  

2 bc ca 2 abc 2c

a b ab ,   

2

bc ba 2 b ac 2b

a c ac ,

  

2

ca ab 2 a bc 2a

b c bc

 bc ca ab a b ca  b  c    6. Chứng minh:



  

6

2

x y 3x y 16 ; x,y 0

4 ()

()  x6y964 12x y       

3

2 3

x y 12x y

Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: x23 y3 3433x y 12x y2  3.

7. Chứng minh:    

4

2

2a 3a

1 a () ()       

4 2

2

a a a 4a

1 a .

Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm:

 

4

2 a , a , a 1,

1 a

 

      

 

4 4 4 2

2

1

a a a a a a 4a

1 a a

8. Chứng minh: a1995 1995 a 1   () , a > 0

()  a1995 1995a 1995  a19951995 1995a

            1995 

1995 1995 1995 1995

1994 soá

a 1995 a 1994 a 1 1995 a 1995a 9. Chứng minh: a b2  2b c2  2c a2  26abc.

 a b2  2b c2  2c a2  2 a2a b2 2b2b c2 2c2c a2

10. Cho a , b > Chứng minh:

 

      

 

  

2 2 2

a b c 1 1

2 a b c

a b b c a c



 



2

a a

2ab 2b

a b , 2  

b b

2bc 2c

b c , 2  

c c

2ac 2a a c

 Vậy:

 

      

 

  

2 2 2

a b c 1 1

2 a b c

a b b c a c

11. Cho a , b  , chứng minh: ab a b b a 1    .

 aa 1 a , b    b 1 b 1   

 ab 2b a , ab 2a b 1   

 ab a b b a 1   

12. Cho x, y, z > x + y + z = C/m: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1)  xx 1  x x y z 3    

            

 x 1  x 1  y 1  z x y z 1    

Tương tự:         

y x y z

;        

z x y z  xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

13. Cho a > b > c, Chứng minh: a a b b c c 3      .

 aa b b c c a b b c c 3     

14. Cho: a , b , c > a + b + c = Chứng minh: a) b + c  16abc





 



 

 

2 b c bc

2   

 

   

       

   

2

2

b c a

16abc 16a 16a 4a a

2

                    

2 2

4a a a 4a 4a a 1 2a a b c b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc

 (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) 



2 bc.2 ac.2 ab 8abc c)

     

   

     

     

1 1

1 1 64

a b c



  

   

  

   

   

4 a a b c a bc

a a a



 

4 ab c

b b   

4

1 abc

c c



     

   

     

     

1 1

1 1 64

15. Cho x > y > Chứng minh:  

 



1

x

x y y



 

 

 

 



     

 

x y y

VT x y y 3

x y y x y y 16. Chứng minh:

a)

  

2 x 2

x  x22 x 21  x2  1 x21

b)

 

x x 1 =

 

     

  

x x 1 2 x 1 6

x x x

c. a21 4 a   21 4 a21 

  

2 a 4

a 17. Chứng minh:

 

   

  

ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a

 Vì : a b ab 



 



ab ab ab

a b ab ,   

bc bc bc

b c bc ,   

ac ac ac

a c ac  a b c   ab bc ca, dựa vào: a2b2c2ab bc ca  .



   

   

  

ab bc ca ab bc ac a b c

a b b c c a 2

18. Chứng minh:

 

 

2

4

x y

4

1 16x 16y , x , y  R

  

  

 

2 2

4 2

x x x

8 16x 4x 2.4x

  

  

 

2 2

4 2

y y y

8 16y 4y 2.4y



 

 

2

4

x y

4 16x 16y

19. Chứng minh:      

a b c

b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b

 a + b + c =



     

Y Z X Z X Y X Y Z

a , b , c

2 2



      

          

         

a b c Y X Z X Z Y 3

b c a c a b X Y X Z Y Z

 

1 2 3   3

2 2.

Cách khác:



     

        

           

a b c a 1 b 1 c 1 3

b c a c a b b c a c a b

     

  

         

  

 

1 a b b c c a 1 3

2 b c a c a b

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:



     

           

  

 

1 a b b c c a 1 3

2 b c a c a b 2

20. Cho a , b , c > C/m:

  

     

3 3 3

1 1

abc a b abc b c abc c a abc

 a3b3a b a  2 ab a 2 a b ab 

 a3b3abca b ab abc ab a b c       , tương tự

 b3c3abcb c bc abc bc a b c         c3a3abcc a ca abc ca a b c       

      

 

 

     

         

1 1 a b c

VT

ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a. a b c d abcd    với a , b , c , d  0 (Côsi số)

 a b ab , c d cd   

 a b cd ab     cd 2 2 ab cd 4 abcd4 b. a b c abc   với a , b , c  , (Côsi số )



   

  a b c a b c

a b c abc

3



   

4

a b c abca b c

3 

   

 



 

 

4

a b c abca b c

3



 

 



 

 

3 a b c abc

22. Chứng minh: a3b3c3a bc b ac c ab2   ; a , b , c > 0

 a3abc 2a bc , b3abc 2b ac , c3abc 2c ab

        

3 3 2

a b c 3abc a bc b ac c ab  a 3b3c3 2 a bc b ac c ab   ,

vì : a3b3c33abc

Vậy: a3b3c3a bc b ac c ab2  

23. Chứng minh: a b c abc  

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm:

 VT a a3b3b3b4c4c4c4c abc 24. Cho  

x 18 y

2 x , x > Định x để y đạt GTNN.

 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:     x 18 x 18

y

2 x x

 Dấu “ = ” xảy 

  2  

x 18 x 36 x 6

2 x , chọn x = 6.

Vậy: Khi x = y đạt GTNN

25. Cho    

x

y ,x

2 x Định x để y đạt GTNN. 



  



x y

2 x

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm

 

x 1, 2 x 1:

 

     

 

x x

y

2 x 2 x 2  Dấu “ = ” xảy 

   



     



 

2 x

x x 1 4

x 1(loại) x

Vậy: Khi x = y đạt GTNN 26. Cho     

3x

y , x

2 x Định x để y đạt GTNN. 



  



3(x 1) y

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm

   

3 x , x 1:

     

      

 

3 x 1 3 x 1 3

y

2 x 2 x 2

 Dấu “ = ” xảy 



 

 



 



 

    

 

 

 

2

6

x

3 x 1 x 1

2 x 6

x 1(loại)

Vậy: Khi  

x

3 y đạt GTNN 

2 27. Cho    

x

y ,x

3 2x 2 Định x để y đạt GTNN. 



  



2x y

6 2x

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm

 

2x 1, 2x 1:

  

     

 

2x 2x 30

y

6 2x 2x 3

Dấu “ = ” xảy



 

 

 

 

    



  

  

2

30 x

2x 2x 1 30

6 2x 30 1

x (loại)

2 Vậy: Khi

  30

x

2 y đạt GTNN



30 28. Cho   

x y

1 x x , < x < Định x để y đạt GTNN. 

    

        

  

x x 5x x x x x

f(x) 5 5 5

1 x x x x x x

Dấu “ = ‘ xảy 

   

      

   

2

x 51 x x 5 x 5

1 x x x (0 < x < 1)

 Vậy: GTNN y 5

 5

29. Cho

 

3 x y

x , x > Định x để y đạt GTNN. 



      

3

3

2 2

x x x x 3 x x

2 2

x x x x

 Dấu “ = ‘ xảy 

  2

x x

2 x  x32.

 Vậy: GTNN y 3

4 x32

30. Tìm GTNN

 



2

x 4x f(x)

x , x > 0. 

 

     

2

x 4x x 4 x.4 4 8

x x x

 Dấu “ = ‘ xảy 

4

x

x  x = (x > 0).  Vậy: GTNN y x =

31. Tìm GTNN

 2 23

f(x) x

x , x > 0.



   

           

   

3 2

2 2

2

3 3

2 x x x 1 x

x

3 3 27

x x x x

 Dấu “ = ‘ xảy 

  

2

5

x x 3

3 x  x = (x > 0).  Vậy: GTNN y

5

27 x53.

32. Tìm GTLN f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)

 f(x) = –10x2 + 11x – =

   

         

   

2

2 11x 11 1

10 x 10 x

10 20 40 40

 Dấu “ = “ xảy 

11

x 20  Vậy: Khi

11

x

20 y đạt GTLN 40. 33. Cho y = x(6 – x) ,  x  Định x để y đạt GTLN

 Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm x – x (vì  x  6):

 x 6 x  2 x x    x(6 – x) 

 Vậy: Khi x = y đạt GTLN

34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x 

2 Định x để y đạt GTLN.  y = (x + 3)(5 – 2x) =

1

2(2x + 6)(5 – 2x)

 Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + – 2x ,

 

  

 

 

5 x

2 :

112x 6 5 2x  2 2x 2x      

1

2(2x + 6)(5 – 2x)  121

8  Dấu “ = “ xảy  2x + = – 2x 



x  Vậy: Khi



x

4 y đạt GTLN 121

8 .

35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,  x 52  Định x để y đạt GTLN  y = (2x + 5)(5 – x) =

1

2(2x + 5)(10 – 2x)

 Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + , 10 – 2x ,

 

  

 

 

5 x 5

2 :

2x 5 10 2x  2 2x 10 2x      

1

2(2x + 5)(10 – 2x)  625

8  Dấu “ = “ xảy  2x + = 10 – 2x 

5

x  Vậy: Khi

5

x

4 y đạt GTLN 625

8 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , 

1

2  x 

2 Định x để y đạt GTLN  y = 3(2x + 1)(5 – 2x)

 Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + , – 2x ,

 

  

 

 

1 x

2 :

 2x 1 5 2x 2 2x 2x       (2x + 1)(5 – 2x) 

 Dấu “ = “ xảy  2x + = – 2x  x =  Vậy: Khi x = y đạt GTLN

37. Cho

 

2 x y

 x 22 2x2 2x 

 

1 x

2 2 x   y

2  Dấu “ = “ xảy   

2

x x > x=  Vậy: Khi x 2thì y đạt GTLN

1 2 38. Cho  

 

2

x y

x Định x để y đạt GTLN

 x22 x 2  1 x 1.13 

 

 

   



2

2

3

x

x 27x

27 x  Dấu “ = “ xảy    

2

x x

 Vậy: Khi x1 y đạt GTLN 27

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki

()  a b2 22abcd c d 2a b2 2a d2 2c b2 2c d2

 a d2 2c b2 2 2abcd 0  ad cb 20. 2. Chứng minh: sinx cosx 

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số , sinx , , cosx :

 sinx cosx         

2 2

1 sinx cosx 1 sin x cos x 3. Cho 3a – 4b = Chứng minh: 3a2 + 4b2  7.

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số , a , , b:

 3a 4b  3a 4b  3 3a  24b2  3a2 + 4b2 

4. Cho 2a – 3b = Chứng minh: 3a2 + 5b2  725

47 . 

  

2a 3b a b

3

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số



2 , a , , b

3 :



 

 

     

 

2

2 3 a 5 b 3a 5b

3  3a2 + 5b2 

5. Cho 3a – 5b = Chứng minh: 7a2 + 11b2  2464

137 . 

  

3a 5b a 11b

7 11

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số



3 , a , , 11b

7 11 :



 

 

     

 

2

3 7 a 11b 25 7a 11b 11

7 11  7a2 + 11b2 

2464 137 . 6. Cho a + b = Chứng minh: a4 + b4  2.

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski:

 a b   1 a  2b2  a2 + b2



         

2 4

2 a b 1 a b  a4 + b4



7. Cho a + b  Chứng minh:  

2

a b 

   

   2 2  2 21

1 a b 1 a b a b

PHẦN II ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1. (CĐGT II 2003 dự bị)

Cho số x, y, z CMR: x2xy y 2 x2xz+z2  y2yz+z2 2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

Cho x, y, z > xyz = Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3  x + y + z. 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)

Cho số dương x, y, z thoả x + y + z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y + z +  

1 1 x y z 4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006)

Cho x, y hai số thực dương thoả x + y =

4 Tìm giá trị nhỏ của biểu thức: A =



4 x 4y.

5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)

Cho số dương a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức:

  

       

a b c d

a b c b c d c d a d a b< 2 6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)

Chứng minh x > (x + 1)2

 

 

 

 

1 2 1 x

x  16. 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)

Cho số dương a, b, c Ch minh rằng:

     

  

a b c a b c a b c 9

a b c

8. (CĐKTYTế1 2006)

Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y  0; x2 + x = y + 12. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = xyz 10. (Học viện BCVT 2001)

Chứng minh với số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c =

thì:

 

      

 

a b c a b c

1 1 3 a b c

3 3 3

11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)

Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = Chứng minh:

  

  

2 2 2

a b c 3

2

b c c a a b

Cho số a, b, c thoả:

   

 

  

 

2 2

a b c

ab bc ca Chứng minh:         

4 a 4; b 4; c

3 3 3

13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)

Cho ABC có cạnh a, b, c p nửa chu vi Chứng minh rằng:

 

      

    

1 1 2 1

p a p b p c a b c 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Cho số x, y, z > Chứng minh rằng:

    

  

3 3 2 2

2 y

2 x z 1

x y y z z x x y z

15. (ĐH PCCC khối A 2001)

Ch minh với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ thì: logb c a log c a b log a b c 1 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

Ch minh với x ≥ với  > ta ln có: x +  – ≥ x. Từ chứng minh với số dương a, b, c thì:

    

3 3

3 3

a b c a b c

b c a

b c a

17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh rằng: a b b a ab    (*)

18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)

Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13

19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)

Cho a, b, c số dương a + b = c Ch minh rằng:  

2 2

3 3

a b c

20. (ĐHQG HN khối A 2000)

Với a, b, c số thực thoả điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: 8a + 8b + 8c≥ 2a + 2b + 2c

21. (ĐHQG HN khối D 2000)

Với a, b, c số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc Chứng

minh rằng:

  

  

2 2 2

b 2a c 2b a 2c 3

ab bc ca

22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)

Cho số a, b thoả điều kiện a + b ≥ Ch minh rằng:

   

 

 

3

3

a b a b

2

23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)

a) a2 + b2 + c2≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2≥ 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Cho số dương a, b, c thoả điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ

biểu thức: P =

 

  

2 2 2

bc ca ab

a b a c b c b a c a c b 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)

Chứng minh với số dương a, b, c ta có:

(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥   

3 abc 26. (ĐH Y HN 2000)

Giả sử x, y hai số dương thoả điều kiện

 

2

x y Tìm giá trị nhỏ nhất tổng x + y

27. (ĐH An Giang khối D 2000)

Cho số a, b, c ≥ Chứng minh: ac + 1 + bc + 1≥ ab(ac – 1 + bc – 1) 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

CMR với x, y, z dương x + y + z = xy + yz + zx >  18xyz xyz 29. (ĐH An Ninh khối A 2000)

Chứng minh với số nguyên n ≥ ta có: nn + 1 > (n + 1)n 30. (CĐSP Nha Trang 2000)

Cho số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 a + b = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = a 1  b 1

31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chứng minh BĐT sau luôn với số thực x, y, z

khác khơng:

  

 

2 2 2

1 1

x y z x y z

BĐT cuối  BĐT cần chứng minh 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)

Cho số a, b, c khác Chứng minh:

    

2 2

2 2

a b c a b c

b c a

b c a

33. (ĐH Hàng hải 1999)

Cho x, y, z ≥ x + y + z ≤ Chứng minh rằng:

     

  

  

x y z 1

2 x y z x y z

34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)

Cho số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1] Chứng minh rằng: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (*)

35. (Đại học 2002 dự bị 1)

 

  

2 2

a b c

x y z

2R (a, b, c cạnh ABC, R là bán kính đường trịn ngoại tiếp) Dấu “=” xảy nào?

36. (Đại học 2002 dự bị 3)

Giả sử x, y hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S =



4 x 4y 37. (Đại học 2002 dự bị 5)

Giả sử a, b, c, d số nguyên thay đổi thoả mãn ≤ a < b < c < d ≤ 50

Chứng minh bất đẳng thức:

 

 

2

a c b b 50

b d 50b tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: S = 

a c b d. 38.(Đại học 2002 dự bị 6)

Cho tam giác ABC có diện tích

2 Gọi a, b, c độ dài các cạnh BC, CA, AB ha, hb, hc tương ứng độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C Chứng minh rằng:

 

 

     

 

   a b c

1 1 1 3 a b c h h h 39 (Đại học khối A 2003)

Cho x, y, z số dương x + y + z  Chứng minh rằng:

     

2 2

2 2

1 1

x y z 82

x y z

40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)

Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = sin5x + 3cosx 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)

Tính góc tam giác ABC, biết rằng:

 

 

 

 



4p(p a) bc (1)

A B C 3

sin sin sin (2)

2 2

trong BC = a, CA = b, AB = c, p =

 

a b c . 42. (Đại học khối A 2005)

Cho x, y, z số dương thoả mãn :

  

Chứng minh rằng:

  

   

1 1 1

2x+y+z x 2y z x y 2z 43. (Đại học khối B 2005)

Chứng minh với x  R, ta có:

     

    

     

     

x x x

x x x

12 15 20 3 4 5

5

Khi đẳng thức xảy ra? 44 (Đại học khối D 2005)

Cho số dương x, y, z thoả mãn xyz = Chứng minh rằng:

     

  

3 3 3

1 x y y z z x 3 3

xy yz zx

Khi đẳng thức xảy ra? 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1)

Cho số x, y, z thoả x + y + z = CMR: 4 x  4 y  4 z  6

46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)

Chứng minh với x, y > ta có:

       

   

2

y

1 x 1

x y  256

Đẳng thức xảy nào? 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)

Cho số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c =

4 Chứng minh rằng:

     

3a 3b 3b 3c 3c 3a 3 Khi đẳng thức xảy ra?

48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)

Chứng minh  y  x    x y y x

4. Đẳng thức xảy nào?

49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)

Cho x, y, z số dương xyz = CMR:

  

  

2 2

x y z

1 y z x 50 (Đại học khối A 2006)

Cho số thực x ≠ 0, y ≠ thay đổi thoả mãn điều kiện: (x + y)xy = x2 + y2 – xy

Tìm giá trị lớn biểu thức: A =



3

1 x y . 51 (Đại học khối B 2006)

A =           

2 2

x y x y y

LỜI GIẢI

1. (CĐGT II 2003 dự bị)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét điểm:

A

 



 

 

 

y x ; z

2 , B

 



 

 

 

3

0; y z

2

, C

 



 

 

y z;0 2

Ta có: AB =

 

 

     

   

   

2

2

y

x y x xy y

2

AC =

 

 

     

   

   

2

2

z

x z x xz z

2

BC =

 

 

     

   

   

2

2

y z 3(y z) y yz+z

2 2

Với điểm A, B, C ta ln có: AB + AC ≥ BC  x2xy y  x2xz+z2  y2yz+z2 2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

x3 + y3 + z3  33x y z3 3  2(x3 + y3 + z3)  6 x3 + +  33 3x  x3 +  3x (1) Tương tự: y3 + +  33y3  y3 +  3y (2)

z3 + +  33 3z  z3 +  3z (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy bất đẳng thức cần chứng minh 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)

 Cách 1:

Theo BĐT Côsi:  x + y + z  33xyz >

  3

1 1 x y z xyz Từ đó: A  33xyz +

3 xyz Đặt: t = 3xyz, điều kiện: < t 

Xét hàm số f(t) = 3t +

t với < t  f(t) = –

3 t =



2 3(t 1)

t < 0, t 

     

1 0;

3 Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra: A  10 Dấu "=" xảy x = y = z = Vậy Amin = 10 đạt x = y = z =

1 3  Cách 2:

Theo BĐT Côsi:  x + y + z  33xyz >  xyz  3 x + 

1

9x 3, y + 

9y 3, z + 9z 31 2

Từ đó: A=

   

   

         

   

       

1 1 1

x y z

9x 9y 9z x y z  + xyz

 10

Dấu "=" xảy x = y = z =

3.Vậy Amin = 10 đạt x = y = z = 4. (CĐSPHCM khối ABT 2006)

Ta có: x + y =

4  4x + 4y – = 0 A =



4

x 4y =    4x+ 4y 5

x 4y  A  2

4.4x

x + 2 4y1 4y – 5  A 

Dấu "=" xảy 

   

 

      

 



4 4x x

1 4y 4y

5 x y

4 x,y



   

  

x 1 y

5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Vì a, b, c, d > nên ta ln có:

   

     

a c a c 1

a b c c d a a c a c

   

     

b d b d 1

b c d d a b b d b d

Cộng vế theo vế BĐT ta đpcm 6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)

Ta có: (x + 1)2

 

 

 

 

1 1 x

x  16 (1)  (x + 1)2

 



 

 

2 1

x  16



(x + 1)

 



 

1 1x  (do x > 0)  (x + 1)2  4x  (x – 1)2  (2) (2) nên (1) chứng minh

7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)

Xét vế trái BĐT cho: VT =         b c a c a b

1 1

a a b b c c = +

     

    

     

     

b a c a c b

a b a c b c

Do a, b, c > nên theo BĐT Cơsi ta có:

  

b a 2 b a. 2

a b a b ;   

b c 2 b c. 2

c b c b ;   

c a 2 c a. 2 a c a c Khi đó: VT  + + + = (đpcm)

8. (CĐKTYTế1 2006)

y  0, x2 + x = y + 12  x2 + x – 12   –  x  3 y = x2 + x – 12  A = x3 + 3x2 – 9x – 7

Đặt f(x) = A = x3 + 3x2 – 9x – với –  x  3 f(x) = 3x2 + 6x – ; f(x) =  x = x = – 3 f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20

Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10) 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Ta có: x + y + z  33xyz  xyz  33xyz  (xyz)2  27  xyz  3 Dấu "=" xảy  x = y = z =

Vậy minA = 3 10. (Học viện BCVT 2001)

Ta có hàm số f(x) = x

3 hàm nghịch biến nên: (a – b)

 



 

 a b

1



  

a b a b

a b b a

3 3 , a, b. (1) Tương tự:

  

b c c b

b c b c

3 3 (2)

  

c a c a

c a a c

3 3 (3)

Mặt khác: a  b c  a  b c

a b c a b c

3 3 3 (4)

Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được:

   

      

   

 a b c  a b c

a b c 1

3 (a b c)

3 3 3

Hay

 

    

 

 a b c a b c

a b c 1

3

3 3 3 (vì a + b + c = 1)

Dấu “=” xảy  a = b = c = 3. 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)

Do a2 + b2 + c2 = nên

 

  

2

2 2

a a a

b c a a(1 a ) (1)

Mà 2a2.(1 – a2)2≤

       



   

   

 

3 3

2 2

2a (1 a ) (1 a )

3

 a2.(1 – a2)2≤

27  a(1 – a2) ≤

3 (2)

Từ (1), (2) suy ra:

 

2

2

a 3a b c

Do đó:         

2 2

2 2 2

a b c 3(a b c ) 3

2

b c c a a b

Dấu “=” xảy 

  

 

  



  



2

2

2

2a a 2b b 2c c

 a = b = c =

3. 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)

Ta có:

   

 

  

 

2 2

a b c

ab bc ca 1 

    

 

  

 

2

Ta xem hệ phương trình a, b đặt

   

 

a b S

ab P (S2 – 4P ≥ 0)

Ta hệ:

   

   

2

S 2P c (1) cS+P =1 (2) Từ (2)  P = – cS, thay vào (1) ta được:

S2 – 2(1 – cS) = – c2  S2 + 2cS + c2 – = 

  



  

S c S c  Với S = – c –  P = + c(c + 2) = c2 + 2c + 1

BĐT: S2 – 4P ≥  (–c – 2)2 – 4(c2 + 2c + 1) ≥

 –3c2 – 4c ≥   c 03  (3)  Với S = –c +  P = – c(–c + 2) = c2 – 2c + 1

BĐT: S2 – 4P ≥  (–c + 2)2 – 4(c2 – 2c + 1) ≥

 –3c2 + 4c ≥    c

3 (4) Từ (3), (4) ta được:   

4 c

3

Tương tự ta chứng minh được:    a,b,c

3

13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)

Trước hết, ta dễ dàng chứng minh x, y > thì:

 



1

x y x y (1) Dấu “=” xảy  x = y

Áp dụng (1) ta được:        

1 4

p a p b p a p b c

  

    

1 4

p b p c p b p c a

  

    

1 4

p c p a p c p a b Cộng BĐT vế theo vế, ta được:

   

    

   

    

 

1 1 1

2

p a p b p c a b c  đpcm Dấu “=” xảy  a = b = c

14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

x3 + y2≥ 2 x y3 2xy x 

 



3

2 x x

xy 2xy x x y

Áp dụng BĐT Côsi cho số dương 2 1, x y ta có:

 

     2

1 1 xy x y 

 

   

  

3 2

2 x 1

x y x y

Tương tự ta có:

 

   

  

3 2

2 y 1

y z y z ;

 

   

  

3 2

2 z 1

z x z x

Suy ra:

    

  

3 3 2 2

2 y

2 x z 1

x y y z z x x y z

Dấu “=” xảy 

     

  

  

  

  

  

3 3

x y vaø y z vaø z x

x y y z z x  x = y = z = 1 15. (ĐH PCCC khối A 2001)

Trước a > 1, x > hàm số y = log xa đồng biến dương

Do hàm số y = logxa = a

log x nghịch biến.

Vì vai trị a, b, c nhau, nên ta giả thiết a ≥ b ≥ c Ta được:

VT= logb c a log c a b log a b c log a b a log a b b log a b c log a b abc Vì a, b, c ≥ nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b

Do VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

 Xét f(x) = x – x +  – (x ≥ 0)

f(x) = (x – 1 – 1); f(x) =  x =

Vậy với x ≥  > f(x) ≥ hay x +  – ≥ x.  BĐT cần chứng minh:

     

    

     

     

3 3

2 2

a b c a b c

Áp dụng BĐT chứng minh với  = 2, ta có:

 

 

   

3

a a. b 2 b;

 

 

   

3

b b. c 2 c;

 

 

   

3

c c. a 2 a Mặt khác, theo BĐT Cơsi ta có:

 

     

    

     

      

 

 

3 3

2 2

1 a b c

2 b c a

Cộng BĐT trên, vế theo vế, ta có:

 

       

 

      

       

        

 

 

3 3

2 2

3 a b c 3 a b c

2 b c a 2 b c a

Suy ra:

     

    

     

     

3 3

2 2

a b c a b c

b c a b c a

17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

BĐT (*) 

 

 

a b b a 1

ab ab 

   

   

   

   

1 1 1 1 1

b b a a (1)

Theo BĐT Cơsi ta có:

 

  

      

 

 

1 1

1 1 b b

b b 2

 

  

      

 

 

1 1

1 1 a a

a a 2

Cộng BĐT lại ta BĐT cần chứng minh

Dấu “=” xảy 



  

  

   

 

1 1 1

b b

1 1 1

a a 2  a = b = 2. 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)

Ta có: – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > Do theo BĐT Cơsi ta có:

(3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤

    

 

 

 

3 2a 2b 2c

3 = 1

 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤  27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤

 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14 = 3(a + b +c)2 – 14 = 13

Đẳng thức xảy  – 2a = – 2b = – 2c  a = b = c = 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)

Từ giả thiết ta có:  a b

c c =  < a b, c c < 

   

  

       

2

3

a b a b

c c c c = 1 Từ suy ra:  

2 2

3 3

a b c

20. (ĐHQG HN khối A 2000)

Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c x, y, z > 0.

Đ.kiện a + b + c =  xyz = 2a+b+c = 1, theo BĐT Cơsi: x + y + z ≥ 3 Mặt khác: x3 + + ≥ 3x  x3≥ 3x – 2

Tương tự: y3≥ 3y – 2; z3≥ 3z – 2

 x3 + y3 + z3≥ 3(x + y + z) – = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z  8a + 8b + 8c≥ 2a + 2b + 2c

21. (ĐHQG HN khối D 2000)

Ta có:

 

  

2 2

2 2

b 2a b 2a 2.

ab a b a b

Đặt x = a; y =

1 b; z =

1 c thì giả thiết

  

  



a,b,c

ab bc ca abc 

  

  



x,y,z x y z đpcm  x22y2  y22z2 z22x2  Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:

3(x2 + 2y2) = 3(x2 + y2 + y2) ≥ (x + y + y)2



  

2

x 2y (x 2y)

Viết BĐT tương tự, cộng lại, ta có:

        

2 2 2

x 2y y 2z z 2x (3x 3y 3z) 3

Đẳng thức xảy  x = y = z =

3  a = b = c = 3 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)

Ta có:

   

 

 

3

3

a b a b

2  4(a3 + b3) ≥ (a + b)3  (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0  (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥  (a + b)(a – b)2≥ 0

Đẳng thức xảy  a =  b 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)

a) a2 + b2≥ 2ab; b2 + c2≥ 2bc; c2 + a2≥ 2ca  a2 + b2 + c2≥ ab + bc + ca.

Đẳng thức xảy  a = b = c

b) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥

≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Ta có:

  

 

   

 

 

2

2 2 2

1

bc bc a

1 1

a b a c a (b c) a b c b c

Đặt x = a; y =

1 b; z =

1 c giả thiết

  

a, b, c > abc = 

   

x,y,z

xyz=1 P =     

2 2

x y z

y z z x x y Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:

(y + z + z + x + x + y).P ≥

 

    

 

    

 

2

x y z

y z z x x y

y z z x x y

 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z)2  P ≥

2(x + y + z) ≥  1.3 xyz 1.3

2

 P ≥

3 Nếu P =

3

2 x = y = z =  a = b = c = 1 Đảo lại, a = b = c = P =

3

2 Vậy minP = 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)

(a + 1).(b + 1).(c + 1) = + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥

≥ + 33abc a b c 2 + abc =   

3 abc Đẳng thức xảy  a = b = c >

26. (ĐH Y HN 2000)

         

 

 

2

2 2 3 2 3

2 x y (x y)

x y x y

= 6(x + y)

 x + y ≥

 2 32

Giá trị

 2 32

6 đạt 

 



 

 

 

   

2 2: x 3: y

x y

2 x y

6 

 

   

  

 

2( 3) x

6 3( 3) y

6 Vậy min(x + y) =



5 6 27. (ĐH An Giang khối D 2000)

Giả sử a ≥ b ≥  ac(a – b) ≥ bc(a – b)  ac + 1 + bc + 1≥ ab(ac – 1 + bc – 1) 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có: = x + y + z + x + y + z ≥ 63xyz (1) xy + yz + zx ≥ 33x y z2 2 (2) Nhân BĐT (1) (2) vế theo vế ta được:

2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > (4) Cộng BĐT (3) (4) vế theo vế ta được:

(xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz  xy + yz + zx >  18xyz

2 xyz (vì +xyz > 0) 29. (ĐH An Ninh khối A 2000)

Ta có: 34 = 81, 43 = 64  34 > 43  BĐT cần chứng minh với n = 3.

Với n > 3, đpcm  n >



 

 

 

n n

n 

 



 

 

n 1

n < n (1)

Ta có:

 



 

 

n 1

n = 



n k n k k

1 C

n = = +

   

 2  n

n n(n 1) 1. n(n 1) (n n 1) 1.

n 2! n n! n

= + +



       

     

       

       

1 1 1 1 1 n

2! n n! n n n <

< + +  

2! n! < + +   n 1 2 <

< + + 

  n 1

1

2 + … = + 

1

2 = 3 

 



 

 

n 1

30. (CĐSP Nha Trang 2000)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( a 1, b 1  ), ta có: A = a 1 b 1   ≤ (1 1)(a b 1)   

mà a + b = nên A ≤

Dấu “=” xảy  a 1  b 1  a = b  a = b =

1

2 ( a + b = 1) Vậy maxA = a = b =

1 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

BĐT cần chứng minh 

     

       

     

     

     

2 2 2

2 2 2

y z x z x y

1 1

x x y y z z ≥ 9

 +

     

    

     

     

     

2 2 2

2 2 2

y z x z x y

x x y y z z ≥ 9

32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Áp dụng BĐT Cơsi ta có:

*

   

2 2 2

3

2 2 2

a b c 3 a b c. . 3

b c a b c a (1)

*

 

2

a 1 2a b

b ;  

2

b 1 2b c

c ;  

2

c 1 2c a a



 

      

 

2 2

2 2

a b c 2 a b c 3 b c a

b c a (2)

Kết hợp (1) (2) ta được:

   

    

   

   

 

2 2

2 2

a b c a b c

2

b c a

b c a



    

2 2

2 2

a b c a b c

b c a

b c a

33. (ĐH Hàng hải 1999)

 Do (x – 1)2≥ nên x2 + ≥ 2x   2x x ≤ 1 Tương tự ta có: 

2y

1 y ≤ 1;  2z z ≤ 1 Do đó: 

2x

1 x + 

2y

Hay:

  

  

x y z

2

1 x y z (1)

 Áp dụng BĐT Cơsi cho số khơng âm ta có:

 

  

 

     

3

3

1 1

1

1 x y z

3 (1 x)(1 y)(1 z) (1 x)(1 y)(1 z)



   

 

  

3

3 (1 x)(1 y)(1 z)

1 1

1 x y z ≤ (1 x) (1 y) (1 z)  3   ≤ 2



  

  

3 1

2 x y z (2)

Kết hợp (1) (2) ta BĐT cần chứng minh 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)

Vì ≤ x, y, z ≤ nên x2≥ x3; y2≥ y3; z2≥ z3.

Suy ra: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) Do ta chứng minh được:

2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (1) (*)

Ta có: (1 – y)(1 + y – x2) ≥  x2 + y2 – x2y – ≤ 0 (2)

Dấu “=” (2) xảy 

  

  

   

y x y

Tương tự ta có: x2 + z2 – z2x – ≤ 0 (3) y2 + z2 – y2z – ≤ 0 (4) Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:

2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ Vậy (1)  (*)

Nhận xét: Dấu “=” (*) xảy  (x; y; z)  (1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1) 35. (Đại học 2002 dự bị 1)

    

x y z ax by cz

a b c ≤

 

 

 

a b c1 1 (ax+by+cz)

≤

 

 

 

a b c1 1 2S =

 

 

 

 

1 1 abc

a b c 2R = ab bc ca2R

≤

 

2 2

a b c 2R Dấu “=” xảy 

   

  

a b c x y z 

 

 

ABC

36. (Đại học 2002 dự bị 3)

 Cách 1: S =

    5

1 1 1

x x x x 4y x.x.x.x.4y ≥    

5.5

x x x x 4y = 5

minS = 

             1 x 4y x 4y x y

4 

       x 1 y  Cách 2: S =  

4

x 4x = f(x), 0 < x < f(x) =    2 4

x (5 4x) ; f(x) = 

         2

x (5 4x) x

4  x = 1 Lập bảng xét dấu f(x), suy minS =

 Cách 3: +

 

1 x. y.

2 x y ≤  

4 x y

x 4y (3)

Dấu “=” (3) xảy 

         

x x y y

x y

4 

        x 4y x y

4 

       x 1 y (3)               

5 4.

2 x 4y   x 4y ≥ 5 Vậy minS =

37. (Đại học 2002 dự bị 5)

Vì a ≥ 1, d ≤ 50 c > b (c, b  N) nên c ≥ b + thành thử:

S =  a c b d ≥

 

1 b b 50 =

 

2

b b 50 50b Vậy BĐT đề chứng minh

Dấu “=” xảy 

         a d 50 c b Để tìm minS, ta đặt

 

2

b b 50

50b =   b 1

f(x) =   x 1

50 x 50 (2 ≤ x ≤ 48)

f(x) =



 

2

2

1 x 50

50 x 50x ; f(x) =

 

 

   

2 x 50

2 x 48  x 2 Bảng biến thiên:

Chuyển biểu thức f(b) =

 

2

b b 50

50b (2 ≤ b ≤ 48, b  N)

Từ BBT suy b biến thiên từ đến 7, f(b) giảm chuyển sang tăng b biến thiên từ đến 48 Suy minf(b) = min[f(7); f(8)]

Ta có f(7) =

 

49 57 53

350 175; f(8) =



 

64 58 61 53 400 200 175

Vậy minS = 53 175

     

    

a b c d 50 38. (Đại học 2002 dự bị 6)

Ta có diện tích tam giác: S = a  b c 1ah 1bh 1ch

2 2

 = 2S

a ; hb = 2S

b ; hc = 2S

c 

    

a b c

1 1 1 (a b c) h h h 2S



 

   

         

   

  a b c  

1 1 1 1 (a b c) 1

a b c h h h 2S a b c

Áp dụng BĐT Cơsi ta có: (a + b + c)

 

 

 

 

1 1 a b c ≥ 9 S =

3

2, nên ta có:

 

 

      

 

   a b c

1 1 1 9 3 a b c h h h 39 (Đại học khối A 2003)

Với

 

u,v ta có: u v uv

Đặt

 

   

     

     

 1  1  1

a x; ; b y; ; c z;

x y z

Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có:        

        

a b c a b c a b c

Vậy P =

    

2 2

2 2

1 1

x y z

x y z 

 

     

 

2 1 (x y z)

x y z  Cách 1:

Ta có: P

 

     

 

2 1 (x y z)

x y z 

    

 

2

3 3

3 xyz xyz

= 

9 9t

t với t = ( xyz)3  < t 

 

 



 

 

2 x y z

3

Đặt Q(t) = 9t +

t Q(t) = –

t < 0, t

 

 

 

1 0;

9 Q(t) giảm

     

1 0;

9  Q(t)  Q

     

1

9 = 82 Vậy P  Q(t) 82

Dấu "=" xảy  x = y = z = 3.  Cách 2: Ta có:

(x + y + z)2 +

 

 

 

 

2 1

x y z = 81(x + y + z)2 +

 

 

 

 

2 1

x y z – 80(x + y + z)2  18(x + y + z)

 

 

 

 

1 1

x y z – 80(x + y + z)2  162 – 80 = 82 Vậy P  82

Dấu "=" xảy  x = y = z = 3. 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)

 Tìm max: y = sin5x + 3cosx ≤ sin4x + 3cosx (1) Ta chứng minh: sin4x + 3cosx ≤ 3, x  R (2)  3(1 – cosx) – sin4x ≥  3(1 – cosx) – (1 – cos2x)2≥ 0

 (1 – cosx). – (1 – cosx)(1 + cosx)2  ≥ 0 (3) Theo BĐT Cơsi ta có:

(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) =

≤        

1 32 3 27

Vậy BĐT (3)  (2)  y ≤ 3, x Dấu “=” xảy cosx =  x = k2 Vậy maxy =

 Tìm min: Ta có y = sin5x + 3cosx ≥ – sin4x + 3cosx.

Tương tự trên, ta miny = – 3, đạt x =  + k2 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)

(1) 

   



(a b c)(b c a) 1

bc 

 



2

(b c) a 1

bc 





2bc(1 cosA) 1 bc

 

2A cos

2 4   2A sin

2 4  

A

sin

2 (do < 



A

2 2) (3) Biến đổi vế trái (2) sau:

 

   

 

A B C A B-C B+C

sin sin sin sin cos cos

2 2 2 2 ≤

 



 

 

1sinA 1 sinA

2 2 =

= –       

1 sin A sinA

2 2 = –

              sinA 1

2 2

=

 

   

 

2 1 sinA

8 2

Do (3) suy ra:

 

    

 

2 A B C 1 sin sin sin

2 2 2

=   1(4 3) 8

=



2 3

Dấu “=” xảy 

                  0 B-C

cos A 120

2

A B C 30

sin 2 42. (Đại học khối A 2005)

Với a, b > ta có:

4ab  (a + b)2

  

1 a b a b 4ab 

 

   

  

1 1 a b a b Dấu "=" xảy a = b

Áp dụng kết ta có:

 

   



 

1 1

2x+y+z 2x y z             

1 1 1 2x y z =

 

 

 

 

1 1

 

   

    

1 1

x 2y z 2y x z 

  

   

 

 

 

1 1 1 2y x z =

 

 

 

 

1 1 y 2z 2x (2)

 

   

    

1 1

x y 2z 2z x y 

  

 

  

 

 

1 1 1 2z x y =

 

 

 

 

1 1 z 2x 2y (3) Vậy:

 

      

     

1 1 1 1

2x+y+z x 2y z x y 2z x yz = 1

Ta thấy bất đẳng thức (1), (2), (3) dấu "=" xảy

x = y = z Vậy đẳng thức xảy x = y = z = 4. 43. (Đại học khối B 2005)

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có:

       

 

       

       

x x x x

12 15 2 12 . 15

5     

   

x x

12 15

5  2.3x (1) Tương tự ta có:

   



   

   

x x

12 20

5  2.4x (2)

   



   

   

x x

15 20

4  2.5x (3) Cộng bất đẳng thức (1), (2), (3), chia vế bất đẳng thức nhận cho ta có đpcm

Đẳng thức xảy  (1), (2), (3) đẳng thức  x = 44 (Đại học khối D 2005)

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có:

1 + x3 + y3  331.x y3 3 = 3xy 

 



3

1 x y

xy xy (1)

Tương tự:

 



3

1 y z

yz yz (2);

 



3

1 z x

zx zx (3)

Mặt khác

  

3 3 3 3

xy yz zx xy yz zx



  

3 3 3 3

xy yz zx (4)

Cộng bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm

Đẳng thức xảy  (1), (2), (3), (4) đẳng thức  x = y = z = 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1)

 4 x 2 44x 2 48 x

Tương tự: 4 y 2 48 y ; 4 z 2 48 z

Vậy 4 x  4 y  4 z  2

   

 

 

84x 84y 84z

 63 x y z4 4  624 x y z4   =

46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)

Ta có: + x = +

  

3

3 x x x 4 x

3 3 3

1 + y

x = +   

3

y y y 4 y

3x 3x 3x x

1 +

y = +   

3

3 3 4

y y y y



 

 

 

 

 

2 6

4

9

1 16

y y

Vậy:

        

   

2

y

1 x 1

x y

 256

3

4

3 3 x . y .3

3 x y = 256 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)

 Cách 1:

Ta có:

  

    

3(a 3b).1.1 a 3b 1 1(a 3b 2)

3

  

    

3(b 3c).1.1 b 3c 1 1(b 3c 2)

3

  

    

3(c 3a).1.1 c 3a 1 1(c 3a 2)

3

Suy ra:           

3a 3b 3b 3c 3c 3a 4(a b c) 6

3 

 



 

 

1 4.3 6 = 3

Dấu "=" xảy 



  

 

     



3 a b c

4

a 3b b 3c c 3a=1



a = b = c =  Cách 2:

Đặt x = 3a 3b  x3 = a + 3b; y = 3b 3c  y3 = b + 3c; z = 3c 3a  z3 = c + 3a

 x3 + y3 + z3 = 4(a + b + c) = 4.

Ta có: x3 + +  33 3x 1.1 = 3x; y3 + +  33y 1.13 = 3y; z3 + +  33 3z 1.1 = 3z

  3(x + y + z) (vì x3 + y3 + z3 = 3) Vậy x + y + z 

Dấu "=" xảy 

   

 

  

 

3 3

x y z

3 a b c

4 

    

    

a 3b b 3c c 3a=1

a+b+c=



a = b = c = 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)

Ta có:  x   x  x2

 1

x y y x

4    x y y x

4 (1)

Theo BĐT Côsi ta có:     

2

1 1

y x yx yx x y

4 4   

1 x y y x

4

Dấu "=" xảy 



  

  

 

 

 



 



 



2

0 y x x 1

x x 1

y

1

yx 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)

Ta có:

 

  

 

2

x y 2 x .1 y x

1 y y

 

  

 

2

y z 2 y .1 z y

1 z z

 

  

 

2

z x 2 z .1 x z

1 x x

Cộng bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có:

        

       

     

        

     

2 2

x y y z z x x y z

1 y z x



 

      

  

2 2

x y z x y z x y z

1 y z x 4  3(x y z) 34   4

     3.3 3

Vậy:

  

  

2 2

x y z

1 y z x 2. 50. (Đại học khối A 2006)

 Cách 1:

Từ giả thiết suy ra:

  2 2 

1 1 1

x y x y xy. Đặt

1 x= a,

1

y= b, ta có: a + b = a2 + b2 – ab (1) A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)2

Từ (1) suy ra: a + b = (a + b)2 – 3ab.

Vì ab ≤



 

 

 

2 a b

2 nên a + b ≥ (a + b)2 –  3(a b)  (a + b)2 – 4(a + b) ≤  ≤ a + b ≤ 4 Suy ra: A = (a + b)2 ≤ 16

Với x = y =

2 A = 16 Vậy giá trị lớn A 16.  Cách 2:

Đặt S = x + y, P = xy với S2 – 4P  Từ giả thiết  S, P  0. Ta có: SP = S2 – 3P  P = 

2 S S A =



3

1 x y =



3

3 x y

x y =

 2 2

3 (x y)(x y xy)

x y =



3 (x y) xy

x y =



2 (x y) x y  A =



 

 

 

2

S S

S P

Đk: S2 – 4P   S2 –  4S

S 3  S2



 

  

 

S S  

 

S

S 3 (vì S0) 

   

 

S S (*) Đặt h = f(S) =



S

S  h =



2

S < 0, S thoả (*)

Mà A = h  MaxA = 16 x = y =

2 (S = 1, P = 4).  Cách 3:

(x + y)xy =

 

 

 

 

2

y 3y x

2 > 



 

1 x y x y xy > 0

A =



3

1 x y =



3

3 x y

x y =

 



 

 

2 1 x y



1 1

A

x y Dễ chứng minh được:

 

 



 

 

3 3

a b a b

2 (với a + b > 0) dấu "=" xảy a = b

Áp dụng với a = x, b =

1 y, ta có:

   

  

    

   

 

  

 

 

 

3

3 1 1

1

x y

x y

2



 



 

 

 

3

A A

2



A  16 Dấu "=" xảy

 

1

x y Vậy Max A = 16.  Cách 4:

A = 2 S

P , suy   2

S 3S A

P S SP

S2 – 4P   S2 – 4



2 S SP

3  

 

P

S

3    P

S 4 (chia cho S2) Nên: A =

2 S

P  16 Vậy Max A = 16 (khi x = y = 2). 51. (Đại học khối B 2006)

Trong mpOxy, xét M(x – 1; –y), N(x + 1; y) Do OM + ON ≥ MN nên:

x 1 2y2  x 1 2y2  4y 2 y

Do đó: A ≥ y 2y 2 = f(y)

f(y) =  2y = y 

   

  

 2

y 4y y

 y =

3 Do ta có bảng biến thiên

 Với y ≥  f(y) ≥ y ≥ > + Vậy A ≥ + với số thực x, y

Khi x = y =