[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
Năm học 2011-2012
(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm)
a) Thực phép tính: A=
12 10
2
2 25 49 (2 3) (125.7) 14
− −
−
+ +
b) Cho hàm số: y= f x( ) ax= +bx+c
Cho biết: (0) 2010;f = f(1) 2011;= f( 1) 2012− = Tính ( 2)f − ? Câu : (1,5 điểm) Tìm x , y , biết :
a) (x 7)x+1 (x 7)x+11 0
− − − = b)
3
7 7
5
4
y x y
x
x
− + −
−
= =
c) x+5+(3y−4)2010=0 Câu : (2 điểm)
a) Cho số x ,y , z khác thỏa mãn điều kiện : y z x z x y x y z
x y z
+ − + − + −
= =
Hãy tính giá trị biểu thức : B = x y z
y z x
+ + +
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2010 ( 2011)2010 2011
A= x− + y+ + giá trị x, y
tương ứng
Câu : (1 điểm)
Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện:
M = a + b = c +d = e + f
Biết a, b, c, d, e, f thuộc tập N* 14
22 a b = ;
11 13 c d = ;
13 17 e f = Câu : (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B góc C hai góc nhọn Trên tia đối tia AB lấy
điểm D cho AD = AB , tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC
a) Chứng minh : BE = CD
b) Gọi M trung điểm BE , N trung điểm CD Chứng minh M,A,N thẳng
hàng
c) Ax tia nằm hai tia AB AC Gọi H,K hình chiếu B
C tia Ax Chứng minh BH + CK ≤ BC
d) Xác định vị trí tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn
(2)ĐÁP ÁN
Câu Ý câuĐáp án Biểu
điểm
A
10
12 12 10
12 12 9 3
2 3 7 3 7
− −
= −
+ + 0,25
( ) ( )
( )
( )
12 10
12 3
2
− −
= −
+ + 0,25
( )
10 12
12
5
2
−
= − 0,25
a
16 103 72
−
= − = 0,25
Theo giả thiết ta có: f(0) 2010= ⇒c=2010
f(1) 2011= ⇒a+b+c=2011⇒a+b+2010 2011= ⇒a+b=1 (1)
( 1) 2012 2012 2010 2012
f − = ⇒a−b+c = ⇒a−b+ = ⇒a−b= (2) 0,25
Cộng vế với vế (1) (2) ta có: 2a = => a = 3/2
Thay vào (2) ta được: b = - ½ 0,25
Do đó: Hàm sốđã cho có dạng:
2
( ) x 2010
y= f x = − x+ 0,25
đ) b
Vậy:
3
( 2) ( 2) ( 2) 2010 2010 2017
2
f − = − − − + = + + = 0,25
1 10
(x 7)x+ 1 (x 7)
⇔ − − − =
1 10
( 7) ( 7)
x x x + − = ⇔ − − =
⇔ 010
( 7) x x − = − = 0,25 a x x x = ⇔ = = 0,25
7 7
4
y x y
x
x
− + −
−
= =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:
3
7 7 7
5
x
y x y x y
x
=
− + − + −
−
= =
Do đó:
8
5 7 7
x
x y x y
=
+ − + −
- Nếu 5x+7y−7 0≠ = 4x => x = 2, thay vào tính y = 0,25
b
- Nếu 5x+7y−7 0= => 5x – = 7y – =0 ⇒
7
y= ;
5
x= (thỏa
mãn) 0,25
Ta có x+5 0≥ với x (3 4)2010 0
y− ≥ với y
Vậy x+5+(3y−4)2010=0 ⇔x+5 =0 3y - =
0,25
,5đ)
c
⇔x = -5 y = 43 0,25
Từ y z x z x y x y z
x y z
+ − + − + −
= =
(3)⇒ y z 1 z x 1 x y 1
x y z
+ + +
− = − = −
⇒ y z z x x y
x y z
+ + +
= = 0,25
Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có :
2( )
2 y z z x x y x y z
x y z x y z
+ + + + +
= = = =
+ + với x + y + z ≠
0,25
a
Do :
B = x y z
y z x
+ + +
=
y z z x x y
x y z
+ + +
= 2 =
0,25
Ta thấy: x−2010 ≥0 với x (y + 2011)2010 ≥ với y 0,25 Do đó: A= x−2010 (+ y+2011)2010+2011 ≥ 2011 với mọi x, y 0,25
đ)
b
Vậy: AMin = 2011 Khi đó: x = 2010 y = -2011 0,5 Từ giả thiết ta có:
11
11 13 13 17
7 11 11 18 a
b c d e f
a b a b M
= = =
+
⇒ = = =
+
0,5
Tương tự ta có:
11 13 11 13 24 13 17 17 13 30
c d c d M
e f e f M
+
= = =
+ +
= = =
+
(2) 0,25
kết hợp (1); (2) ⇒M∈BC(18; 24;30)
0,25
đ)
(4)
x k
I
A
B C
D E
H
K
N M
0,5
c/m ∆ABE = ∆ADC (c.g.c)
0,25
a
⇒BE = DC ( cạnh tương ứng) 0,25
c/m ∆ABM = ∆ADN (c.g.c) ⇒AM = AN
∠MAB= ∠NAD 0,5
Mà 1800
BAN NAD
∠ + ∠ = ⇒ ∠BAN+ ∠BAM =1800 0,25
b
Vậy M,A,N thẳng hàng 0,25
Gọi I giao điểm BC Ax, ta có BH ≤BI CK; ≤CI 0,25 c
⇒BH + CK ≤ BI + CI = BC 0,25
Theo câu c) BH + CK ≤ BC nên giá trị lớn BH+ CK BC
khi BH = BI CK = CI 0,25
⇒ H≡I; K≡I 0,5
,5đ)
d
Do Ax ⊥BC 0,25
Lưu ý: Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa