VÏ KH vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn Bx cña ®êng trßn... §iÓm cña toµn bµi thi kh«ng lµm trßn..[r]
(1)Phòng GD&ĐT Hải Hậu kỳ thi chän häc sinh giái cÊp
huyÖn
-* - Năm Học: 2008 - 2009
Môn Toán lớp 9
Thời gian làm : 150 phót
(khơng kể thời gian giao đề) Đề bi
Bài (5 điểm) Cho biểu thức
A = 2√a −9
a−5√a+6− √a+3 √a−2−
2√a+1
3−√a víi a ≥0, a ≠4, a ≠9 .
a, Rót gän biĨu thøc A.
b, Tìm giá trị a để A< 1.
c, Tìm giá trị nguyên a để A có gía trị số
nguyên.
Bài (4 điểm) Cho hệ phơng trình
ax2y=a
2x+y=a+1 {
a, Giải hệ phơng trình a=2 .
b, Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn x − y=1 .
Bài (3 điểm) Cho bốn số thực a , b , c , d thoả mãn đồng thời: a+b+c+d=7 a2
+b2+c2+d2=13 Hái a cã thể nhận giá trị lớn là bao nhiêu?
Bài (4 điểm) Từ điểm K đờng trịn tâm O đờng kính AB = 2R Vẽ KH vng góc với tiếp tuyến Bx đờng trịn Giả sử góc KAB bằng α độ ( < α < 90 )
a, TÝnh KA, KB, KH theo R vµ α .
b, TÝnh KH theo R vµ 2 α .
c, Chøng minh r»ng: cos 2 α = – 2sin2 α
cos 2 α = cos2 α - 1
Bài (4 điểm)Cho đờng tròn tâm O bán kính R, A điểm cố định đờng trịn Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đờng tròn (B tiếp điểm) Gọi I trung điểm MA, BI cắt đờng tròn K, tia MK cắt đờng tròn C Chứng minh rằng:
a, Tam giác MIK đồng dạng với tam giác BIM. b, BC song song với MA.
c, Khi điểm M di động Ax trực tâm H tam giác MAB thuộc đờng tròn cố định.
====================================== Họ tên thí sinh:
Số báo danh:
Phòng GD&ĐT Hải Hậu híng dÉn chÊm thi häc sinh giái cÊp huyện
-* - Năm Học 2008 - 2009 Môn Toán lớp 9
Bài 1( 5 ®iĨm )
a, ( ®iĨm )
(2)A = 2√a −9−(√a+3)(√a −3)+(2√a+1)(√a−2) (√a−2)(√a−3) = 2√a −9− a+9+2a+√a −4√a−2
(√a −2)(√a −3)
0,5®
= a−√a −2
(√a −2)(√a −3)
0,25®
= (√a+1)(√a−2) (√a −2)(√a −3)
0,5®
= √a+1 √a −3
0,25®
b, (1 ®iĨm)
Víi a vµ a ; a 9 th×
A < ⇔ √a+1
√a −3 < ⇔
√a+1−√a+3
√a−3 <0 ⇔
4
√a −3 < 0
0,5®
⇔ √a −3<0 ⇔ √a<3 a < 9 0,25đ
Kết hợp với ®iỊu kiƯn ta cã 0≤ a<9 vµ a 4 0,25®
c, (2 ®iĨm)
Ta cã A = 1+
√a −3
0,5đ
Với a nguyên, a a ; a 9 th× A có giá trị nguyên
và a 3 ớc 4
0,25đ
Do √a −3 nhận giá trị ±1; ±2 ; ±4 ±1; 0,5đ
Từ a nhận giá trị : 1; 4; 16; 25; 49 0,5
Vì a nên a nhận giá trị 1; 16; 25; 49 0,25đ
Bài (4 điểm)
a, (2 điểm)
Thay a = √2 vào hệ phơng trình đợc:
¿ √2x −2y=√2
−2x+y=√2+1 ¿{
¿
0,25®
¿ √2x −2y=√2
−4x+2y=2√2+2 ¿{
¿
0,25®
¿
(√2−4)x=3√2+2 √2x −2y=√2
¿{
¿
0,25®
Tìm đợc x=3√2+2 √2−4
0,5®
Tìm đợc y=2+3√2 √2−4
0,5®
KL 0,25®
b, (2 ®iĨm)
Từ x – y = ⇒ y = x – thay vào hệ PT đợc
¿
ax−2(x −1)=a
−2x+(x −1)=a+1 ¿{
¿
(3)¿ (a −2)x=a −2
− x=a+2 ¿{
¿
⇒ a2 + a - = 0
0,5®
(a – 2)(a + 3) = 0 0,5®
Tìm đợc a= -3; 2 0,5
KL 0,25đ
Bài (3 ®iĨm)
Tõ a +b+c+d = ⇒ b+c+d = – a 0,25®
(b+c+d)2 = b2 + c2 + d2 + 2bc +2cd + 2bd 0,25đ
mà (b c )2 0 ; (c - d )2 0 ;(d - b )2 0 ;
⇒ b2 + c2 2bc; c2 + d2 2cd; d2 + b2 2bd;
0,75®
Từ (b+c+d)2 3(b2 + c2 + d2) 0,5đ
⇒ (7 - a)2 3(13 – a2) 0,25®
(a – 1)(a- 52 ) 0 0,5®
Tìm đợc a 52 0,25đ
do a nhận giá trị lớn
2
0,25đ
Bài (4 ®iĨm)
a, (1,5 ®iĨm)
Lập luận để có ∠ AKB = 900 (0,25đ); ∠ KAB = ∠ KBH (0,25đ);
XÐt Δ AKB vuông H có
KA = AB cos = 2R cos α (0,25®);
KB = AB sin α = 2R sin α (0,25®);
Xét KHB vuông H có
KH = KB sin α (0,25®) = 2R sin2 α (0,25®);
b, (1 ®iĨm)
VÏ KO; KC AB xét KCO vuông C cã OC = OK cos2 α (0,5®);
LËp luËn cã KH = CB (0,25®) = R - Rcos2 α = R(1 - cos2 α ) (0,25®);
c, (1,5 điểm)
Theo câu a có KH = 2R sin2 α theo c©u b cã KH = R(1 - cos2 α )
(0,25®);
nên 2R sin2 α = R(1 - cos2 α ) (0,25đ) cos2 α = - 2sin2 α
(0,25®);
Mặt khác áp dụng định lí Pitago vào tam giác AKB vuông K chứng minh đợc
sin2 α + cos2 α = nªn sin2 α = - cos2 α (0,25®);
Từ có cos2 α = – 2(1 – cos2 α ) = cos2 α - (0,5đ);
Bµi (4 ®iÓm)
a, (2 ®iÓm)
Chứng minh đợc Δ IAK đồng dạng với Δ IBA (0,5đ)
⇒ IA2 = IK.IB , mµ I lµ trung điểm AM
nên IM2 = IK.IB (0,5®)
Chứng minh đợc Δ MIK đồng dạng với Δ BIM (1đ)
b, (1®iĨm)
x
H K
C
O B
A
C K
I
O
B x
M
(4)Tõ c©u a ⇒ ∠ IMK = ∠ MBI , lại có MBI = BCK(0,5đ);
∠ IMK = ∠ BCK ⇒ BC // MA(0,5đ);
c, (1 điểm)
H trực t©m cđa Δ MAB
⇒ tø giác AOBH hình thoi (0,5đ);
AH = AO =R ⇒ H (A;R) cố định
================================================ =
Chó ý:
1.Trong câu HS làm cách khác lập luận chặt chẽ đến đâu cho điểm tơng ứng đến đó.