Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.. Tính thể tích khối tròn xoay a[r]
(1)ŀ Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
309
Chuyên đề IV
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG
Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM
1 Định nghĩa:
Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm f K F' x( ) ( )=f x x K∀ ∈
2 Các tính chất
Định lí 1. Nếu F nguyên hàm hàm f K nguyên hàm f K có dạng F x( )+C, C∈ Do F x( )+C gọi họ nguyên hàm hàm f K kí hiệu:
( ) ( ) f x dx=F x +C
∫
Định lí 2. Mọi hàm số liên tục K có nguyên hàm K
Định lí 3. Nếu f ,g hai hàm liên tục K thì: a) ∫f x( ) ( )+g x dx=∫f x dx( ) +∫g x dx( )
b) ∫k.f x dx( ) =k f x dx∫ ( ) với số thực k≠0
Định lí 4. Nếu ∫f x dx( ) =F x( )+C ( )
( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ))
f u x u' x dx= f u x d u x =F u x +C
∫ ∫
3 Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp
Các hàm sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm hợp ( )
(u=u x )
* xdx∫ = +x C *
1 x
x dx C ( 1)
1
α+
α = + α ≠ −
α +
∫
* dx ln | x | C
x = +
∫
* ∫e dxx =ex+C *
x
x a
a dx C
lna
= +
∫
* sin xdx∫ = −cosx C+ * cosxdx∫ =sin x C+
* udu∫ = +u C *
1 u
u du C
1
α+
α = +
α +
∫
* du ln | u| C
u = +
∫
* ∫e duu =eu+C *
u
u a
a du C
lna
= +
∫
(2)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh
Các hàm sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm hợp ( )
(u=u x )
* dx
tan x C
cos x= +
∫
* dx
cot x C sin x= − +
∫
* dx x C
x= +
∫
* du
tan u C
cos u= +
∫
* du
cot u C sin u= − +
∫
* dx u C
u = +
∫
Nếu u=ax b+ ta có: * dx 1ln |ax b| C
ax b+ =a + +
∫
* eax bdx 1eax b C a
+ = + +
∫
* sin ax b dx( ) cos ax b( ) C a
+
+ = − +
∫
* cos ax b dx( ) sin ax b( ) C a
+
+ = +
∫
*
( ) ( )
2
dx
tan ax b C a
cos ax b+ = + +
∫
*
( ) ( )
2
dx
cot ax b C a
sin ax b+ = − + +
∫
* dx ax b C
a
ax b+ = + +
∫
4 Các phương pháp tính nguyên hàm
Phương pháp phân tích:
Để tìm nguyên hàm ∫f x dx( ) , ta phân tích
( ) 1( ) 2( ) n n( ) f x =k f x +k f x + + k f x
Trong đó: f x , f x , ,f1( ) ( )2 n( )x có bảng nguyên hàm ta dễ dàng tìm ngun hàm
Khi đó:
( ) 1( ) 2( ) n n( ) f x dx=k f x dx k+ f x dx k+ + f x dx
∫ ∫ ∫ ∫
Phương pháp phần:
(3)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn Khi đó: ∫udv=uv−∫vdu 1( )
Để tính tích phân I=∫f x dx( ) phương pháp phần ta làm sau:
B1: Chọn u,v chof x dx( ) =udv (chú ý: dv=v’ x dx( ) ) Tính v=∫dv du=u'.dx
B2: Thay vào cơng thức ( )1 tính ∫vdu
Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân vdu
∫ dễ tính udv∫ Ta thường gặp dạng sau
Dạng 1: I=∫( )x sin xdx ∫(x).cosxdx, đĩ P x đa thức ( ) Với dạng này, ta đặt u P x , dv= ( ) =sin xdx dv=cosxdx Dạng 2: I=∫P x e( ) ax b+ dx
Với dạng này, ta đặt ( ) ax b u P x dv e + dx
=
=
, P x đa thức ( )
Dạng 3: I=∫P x ln mx n dx( ) ( + )
Với dạng này, ta đặt ( ) ( ) u ln mx n dv P x dx
= +
=
Dạng 4: I=∫sin xe dxx I=∫cosxe dxx Với dạng này, ta đặt
x sin x u
cosx dv e dx
=
=
để tính vdu∫ ta đặt
x sin x u
cosx dv e dx
=
=
Phương pháp đổi biến số
Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I=∫f x dx( ) , ta phân tích ( ) ( ( )) ( )
f x =g u x u' x dx ta thực phép đổi biến số
( ) ( )
t=u x ⇒dt=u' x dx
Khi đó: I=∫g t dt( ) =G t( )+ =C G u x( ( ))+C
(4)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh
Ví dụ Tính họ nguyên hàm:
3
I x dx
x
= −
∫ Lời giải
Ta có :
3
3
1
x x 3x
x x x
− = − + −
nên suy :
4
3
3
3 x 3x
I x 3x dx 3ln x C
x x 2x
= − + − = − + + +
∫
Ví dụ Tính họ nguyên hàm: I=∫(ex+2e−x)2dx
Lời giải
Ta có: (ex+2e−x)2=e2x+ +4 4.e−2x
Suy ra: I (e2x 4e 2x)dx 1e2x 4x 2e 2x C
− −
=∫ + + = + − +
Ví dụ Tính họ nguyên hàm:
2 x
I dx
2x 5x
+ =
− +
∫ Lời giải
Ta có: 2x2−5x 2+ =(2x x 2− )( − ) x 4(2x 1) (5 x 2)
3
+ = − − −
Suy ra: I dx x 2x
= −
− −
∫ 4ln x 5ln 2x C
3
= − − − +
Ví dụ Tính họ nguyên hàm: I=∫(cos3x.cos4x sin 2x dx+ )
Lời giải
Ta có : cos3x.cos4x 1[cos7x cosx ,]
= + sin 2x3 3sin2x 1sin6x
4
= −
Nên suy ra: I 1cos7x 1cosx 3sin2x 1sin6x dx
2 4
= + + −
∫
sin7x 1sin x 3cos2x 1cos6x C
14 24
= + − + +
Ví dụ Tính họ nguyên hàm: I=∫cos 2xdx4
(5)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
Ta có: cos 2x4 1(1 cos4x)2 1(1 2cos4x cos 4x2 )
4
= + = + +
( )
1 cos8x
1 2cos4x 4cos4x cos8x
4
+
= + + = + +
( )
1 1
I 4cos4x cos8x dx 3x sin4x sin8x C
8 8
⇒ = + + = + + +
∫ 5) Ta có:
2
1
I cos x dx
cos x
= + −
∫ dx ( )
tan x 2x cos2xd 2x
2
= − +∫ + ∫
tan x 3x 1sin2x C
2
= − + +
Ví dụ Tính họ nguyên hàm: x 2x
I dx
x 2x
+ +
=
+ +
∫ Lời giải
Ta có: x3+2x 1+ =(x 1+ )3−3 x 1( + )2+5 x 1( + −)
Suy
( )2
5
I x dx
x x 1
= − + −
+ +
∫ x2 2x 5ln x C
2 x
= − + + + +
+
Ví dụ Tính họ nguyên hàm:
2
3
2x x
I dx
x 5x 6x
+ + =
+ +
∫ Lời giải
Vì x3+5x2+6x=x x x 3( + )( + ) nên ta phân tích:
( ) ( )( ) ( )
2
2x + + =x ax x 2+ +b x x 3+ + +cx x 3+ (1) Để xác định hệ số a,b,c ta co cách sau Cách 1: Đồng hệ số
(1) ⇔2x2+ + =x (a b c x+ + ) 2+(2a 5b 3c x 6b+ + ) +
a b c
2a 5b 3c a 7,b 1,c 6b
+ + =
⇔ + + = ⇔ = = = −
=
(6)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh Do đó,
2
2x x
dx dx
x x x x 5x
+ + = + −
+ +
+ +
∫ ∫
Suy ra: I 7ln x 3= + +ln x −6ln x C+ +
Cách 2: Thay x 0,x= = −2,x= −3 vào (1) ta có
a 7,b 1,c= = = −6 ta có kết
Ví dụ Tính họ nguyên hàm: I sin2xdx 4sin x
= +
∫ Lời giải
Ta có: I sin xcosxdx 4sin x
= +
∫
Đặt t 4sin x sin x t cosxdx 1dt
4
−
= + ⇒ = ⇒ =
Suy ra: ( )
t 1 dt
1 1
4
I dt t ln t C
t t
−
= = − = − +
∫ ∫
1(1 4sin x ln 4sin x) C
= + − + +
Ví dụ Tính họ nguyên hàm:
3
sin2x 3cosx
I dx
1 2sin x
+ =
+ +
∫ Lời giải
Ta có: ( )
3
2sin x cos xdx I
1 2sin x
+ =
+ +
∫
Đặt ( )
3
3 t 1
t 1 2sin x sin x
2
− −
= + + ⇒ = cosxdx 3(t dt)2
2
⇒ = −
( )2 3( )2 ( 2 )( 2 )
t t dt t 2t t 2t dt
3
I
t t
− + − − + − +
⇒ =∫ = ∫
t3 4t2 8t dt
2 t
= − + − +
∫ t4 4t3 4t2 8t 3ln t C
2
= − + − + +
(7)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
Ví dụ 10 Tính họ nguyên hàm: I x 1dx x
− =
+
∫ Lời giải
Đặt
( )
2
2 2
x 2t 6t
t x dx dt
x t t 1
− +
= ⇒ = ⇒ =
+ − −
( ) ( )
2
2 2
2
6t 1
I dt dt
t
t t
⇒ = = +
−
− −
∫ ∫
Mà: ( ) ( )
( )( )
t t
1 1 1
2 t t t t
t
+ − −
= = −
− + − +
−
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2
t t
1
4 t 1 t 1
t
+ − −
=
− +
− ( ) (2 )2
1 1 1
4 t 1 t 1 t t
= + + −
+ −
− +
Suy ra:
2
dt t
ln
2 t
t
− =
+ −
∫ ;
( 2 )2
dt t 1
ln
4 t t t
t
−
= − + +
+ − +
−
∫
Vậy:
2
3 t 3t
I ln C
2 t t
−
= − +
+ − với
x t
x
− =
+
Ví dụ 11 Tính họ nguyên hàm:
x x
e
I dx
4e
+ =
+
∫ Lời giải
Đặt
( )
x
x x
x 2
e t 30t
t e e dx dt
4e 4t 4t 1
+ −
= ⇒ = − ⇒ = −
+ − −
( )( ) 30t
dx dt
t 4t
⇒ =
− −
Suy
( )( )
2
2
2
t dt
I 30 dt
t 4t
t 4t
= = −
− −
− −
(8)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 1lnt ln2t C
2 t 2t
− −
= − +
+ + với
x x
e
t
4e
+ =
+
Ví dụ 12 Tính họ nguyên hàm:
( ln x.dx )
I
x 3ln x
=
+ +
∫ Lời giải
Đặt
2
t dx
t 3ln x ln x tdt
3 x
−
= + ⇒ = ⇒ =
Suy
2
2 t 2
tdt
2
3
I t t dt
1 t t
−
= = − − +
+ +
∫ ∫
( )
3
2 t t
t ln t C
9
= − − + + +
, với
t= 3ln x 2+
Ví dụ 13 Tính họ nguyên hàm: I=∫sin2x.e dx3x
Lời giải
Cách :
Ta có : sin2x.e3x sin2x e( )3x ' (sin2x '.e) 3x 2cos2xe3x
3
= + −
( 3x) ( )3x ( ) 3x 3x
1
sin2x.e ' cos2x e ' cos2x 'e sin2x.e
3 9
= − + −
( ) ( )
3x 3x 3x
13
sin2x.e sin2x.e ' cos2x.e '
9
⇒ = −
1sin2x.e3x 2cos2xe3x '
3
= −
Suy : sin2xe dx3x 3sin2xe3x 2cos2xe3x '
13 13
= −
( )
3x
I e 3sin2x 2cos2x C 13
= − +
Cách : Ta giả sử : ∫sin2x.e dx3x =a.sin2x.e3x+b.cos2x.e3x+C
Lấy đạo hàm hai vế ta có :
( ) ( )
3x 3x 3x 3x 3x
sin2x.e =a 2cos2xe +3sin2x.e +b 3cos2x.e −2sin2x.e
3a 2b
a ,b
13 13
2a 3b
− =
⇔ ⇔ = = −
+ =
(9)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
Vậy I e3x(3sin2x 2cos2x) C 13
= − +
Bài tập tự luyện 1 Tìm họ nguyên hàm:
3 2x
I dx
x 3x
+ =
− +
∫ Hướng dẫn giải:
( ) ( ) ( )
3 2
2x 2x a b c
x x
x 3x x x x
+ = + = + +
− +
− + − + −
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
2
2
a x b x x c x
x x
+ + − + + −
=
− +
( ) ( )( ) ( ) ( )2 2x a x b x x c x 1
⇔ + = + + − + + −
Ở ( )1 ta cho x 1;x= = −2;x=0 ta có tìm được: a 1;b 1;c
3
= = = −
( )2
1 1 1
I dx
3 x x x
⇒ = + −
− − +
∫
1 1 1 x
ln x ln x C ln C
x 3 x x
−
= − + − − + + = − + +
− − +
Chú ý:
( )( )
ax b dx
cx dx
+ − α − β
∫
• Tách phân thức tích phân trở thành: p q
cx dx
+
− α − β
• Lấy nghiệm cx− α thay vào ax b dx
+
−β ta p • Lấy nghiệm dx−β thay vào ax b
cx
+
− α ta q
2 Tìm họ nguyên hàm:
5x
I dx
x 3x
+ =
− +
∫ Hướng dẫn giải:
Vì x3+5x2+6x=x x x 3( + )( + ) nên ta phân tích:
( ) ( )( ) ( )
2
2x + + =x ax x 2+ +b x x 3+ + +cx x 3+ ( )1
Để xác định hệ số a,b,c ta co cách sau Cách 1: Đồng hệ số
(10)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh a b c
2a 5b 3c a 7,b 1,c 6b
+ + =
⇔ + + = ⇔ = = = −
=
Do đó,
2
2x x
dx dx
x x x x 5x
+ + = + −
+ +
+ +
∫ ∫
Suy ra: I 7ln x 3= + +ln x −6ln x C+ +
Cách 2: Thay x 0,x= = −2,x= −3 vào (1) ta có
a 7,b 1,c= = = −6 ta có kết
3 Tìm họ nguyên hàm:I xdx x 5x
=
+ + +
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có: ( ) ( )
x 5x x dx 1
I 5x x dx
5x x
+ − +
= = + − +
+ − −
∫ ∫
1 (5x 3)3 (x 3)3 C
= + − + +
4 Tìm họ nguyên hàm:
xdx I
2x
= +
∫ Hướng dẫn giải:
Đặt
3
2
3 t
t 2x x dx t dt
2
−
= + ⇒ = ⇒ =
Suy ( )
3
5
4
t t dt
3 t
2
I t 2t dt t C
t 4
−
= = − = − +
∫ ∫
( ) ( )
5
2
2x
2x C
4
+
= − + +
5 Tìm họ nguyên hàm: ( )
( )
2009
2013 x
I dx
2x
+ =
−
∫ Hướng dẫn giải:
Đặt
( )
2009
2
x
I dx
2x 2x 1
+
=
−
−
(11)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
Đặt
( )
2
2
x x
t t tdt dx
2x 2x 2x 1
+ +
= ⇒ = ⇒ − =
− − −
Suy
2011
2010 2011
2 2 x
I t dt t C
7 1407 1407 2x
+
= − = − = − +
−
∫
6 Tìm họ nguyên hàm:I=∫(x 1+ )33 2xdx−
Hướng dẫn giải:
Đặt
3
2
3 t
t 2x x dx t dt
2
−
= − ⇒ = ⇒ = −
( )
3
2
3 t
I t.t dt 5t t dt
2
−
⇒ = − + = − −
∫ ∫
( ) ( )
7
3
4 3 2x 5 3 2x
3 5t t
C C
4 7
− −
= − − + = − +
7 Tìm họ nguyên hàm:I 2x dx
2 x
+ =
+ −
∫ Hướng dẫn giải:
Đặt t= +2 x 1− ⇒ = −x (t 2)2+ =1 t2−4t 5+
( )
dx 2t dt
⇒ = −
Suy ra: ( )( )
2
2
2t 8t 11 2t dt 22
I 2t 12t 27 dt
t t
− + −
= = − + −
∫ ∫
3 2t
2 6t 27t 22ln t C
3
= − + − +
với t= +2 x 1−
8 Tìm họ nguyên hàm:
2
2 x I
x
= +
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
I x dx
x
= + −
+
∫
x x2 ln x x2 ln x x2 C
= + + + + − + + +
(12)Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh x x2 ln x x2 C
2
= + − + + +
Chú ý: Ta giải toán cách đổi biến x=tan t dùng phương pháp phần
9 Tìm họ nguyên hàm:
2 x
I dx
x
+ =
+
∫ Hướng dẫn giải:
Đặt
2
2
2
t t
t x x x dx dt
2t 2 t
− +
− = + ⇒ = ⇒ =
Và
2
2 t t
x t
2t 2t
− +
+ = − =
Suy ra:
2
2
2
t t
1
2t t t 2t
I dt dt
2
t t
2t
− +
+
+ −
= =
+
∫ ∫
2
1 2
1 dt t 2ln t C
2 t t t
= + − = + + +
∫ = x2+ +2 2ln x+ x2+2+C
10 Tìm họ nguyên hàm:I=∫ x2+1dx
Hướng dẫn giải:
Đặt ( )
2
2 t
t x x t x x x
2t
−
= + + ⇒ − = + ⇒ =
2
t
dx dt
2t
+
⇒ = ,
2
2 t
x
2t
+ + =
Suy ( )
2
3
t
1
I dt t dt
4 t t t
+
= = + +
∫ ∫ 2
1 t
2ln t C
4 2t
= + − +
x x2 ln x x2 C
= + + + + +
11 Tìm họ nguyên hàm:
2 ln x
I dx
x
+ =∫
(13)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
Đặt t ln x dt dx x
= ⇒ =
Suy ( )
3
2 t ln x
I t dt t C ln x C
3
= + = + + = + +
∫
12 Tìm họ nguyên hàm:
3
ln x ln x
I dx
x
+ =∫
Hướng dẫn giải:
Đặt t 3ln x 22 ln x2 t3 ln xdx 3t dt2
x
= + ⇒ = − ⇒ =
Suy I t dt3 3t4 C 3.3(3ln x 2)4 C
2 8
= ∫ = + = + +
13 Tìm họ nguyên hàm: ( ) ln ln x
I dx
x ln x
=∫
Hướng dẫn giải:
Đặt t ln ln x( ) dt dx x ln x
= ⇒ =
Suy I t dt2 1t3 C 1ln3(ln x) C
3
=∫ = + = +
14 Tìm họ nguyên hàm:
5x
I dx
x 3x
+ =
− +
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có: x3−3x 2− =(x 1− ) (2 x 2+ )
Ta phân tích: 5x a x 1+ = ( − )2+b x x 2( − )( + +) (c x 2+ )
Cho x 0,x 1,x= = = −2 ta tìm được: a= −1,b 1,c 2= =
Suy
( )2
1
I dx
x x x 1
−
= + +
+ − −
∫ ln x ln x C
x
= − + + − − +
−
15 Tìm họ nguyên hàm:
( )
2 2x
I dx
x
+ =
+
∫ Hướng dẫn giải:
(14)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh Suy ra:
( ) (3 ) (4 )5
2
I dx
x x x
= − +
+ + +
∫
( )2 ( )3 ( )4
1
C
x x x
= − + − +
+ + +
16 Tìm họ nguyên hàm:
x x
dx I
e 2e−
=
+ −
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có:
x
2x x
e dx I
e 3e
=
− +
∫
Đặt t=ex⇒dt=e dxx
Suy ra:
( )( )
2
dt dt t
I ln C
t t t
t 3t
−
= = = +
− − −
− +
∫ ∫ xx
e
ln C
e
−
= +
−
17 Tìm họ nguyên hàm:
2x
x e
I dx
1 e
=
+ +
∫ Hướng dẫn giải:
Đặt t= ex+ ⇒2 ex=t2− ⇒2 e dx 2tdtx = ( )
2
t 2tdt 1
I t t dt
1 t t
−
= = − − +
+ +
∫ ∫ t3 t2 t ln t C
3
= − − + + +
( )
3 x
x
x x
e e 2
2 e ln e C
3
+
+
= − − + + + + +
18 Tìm họ nguyên hàm:
3
4
x 3x
I dx
x x x x
+ −
=
+ − −
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có: x4+x3−x2− =x x x x 1( − )( + )2
Ta phân tích: x3+3x ax x x 1− = ( − )( + +) bx x 1( + )2 +c x x 1( − )( + )2+dx x 1( − ) ( )1
(15)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
Do đó:
( )2
9
I dx
x x x x 1
−
= + + −
+ − +
∫
9ln x ln x ln x C x
= − + + − + + +
+
19 Tìm họ nguyên hàm: I=∫tan xdx4
Hướng dẫn giải:
Ta có : I=∫(tan x 1 dx4 − + ) =∫(tan x tan x dx2 − )( + ) +∫dx
( ) ( )
3
2 tan x
tan x d tan x x tan x x C
=∫ − + = − + +
20 Tìm họ nguyên hàm:
( )3
cosxdx I
sin x 2cos x
=
+
∫ Hướng dẫn giải:
( )3 ( )3
3
cosxdx dx
I
cos x tan x cos x tan x
= =
+ +
∫ ∫ ( ( ))3 ( )2
d tan x 1
C
tan x tan x
= = − +
+ +
∫
21 Tìm họ nguyên hàm:
4 tan x
I dx
cos2x
=∫
Hướng dẫn giải:
Đặt
2
2
dt t
t tan x dx , cos2x
1 t t
−
= ⇒ = =
+ +
( )( )
2
t dt
I t dt
1 t t t
⇒ = = − − +
− +
−
∫ ∫
t2 1 1 dt t t
= − − + +
− +
∫ t3 t 1ln1 t C
3 t
+
= − − + +
−
3
tan x 1 tan x
tan x ln C
3 tan x
+
= − − + +
−
22 Tìm họ nguyên hàm:
3
3 sin x sin x
I cot x.dx
sin x
− =∫
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
1
I cot x dx
sin x sin x
=∫ −
2 cot x.cot x dx
sin x
(16)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh Đặt t cot x dt dx2
sin x
= ⇒ = −
Ta được:
5
3 3 3
I t tdt t dt t C
8
⇒ = −∫ = −∫ = − + 3cot x cot x C2
= − +
23 Tìm họ nguyên hàm:
2
4sin 3x sin4x
I dx
tan x cot 2x
+ =
+
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có: ( )
2 2 cos6x sin4x
4sin 3x sin4x
sin x cos2x tan x cot 2x
cosx sin2x
− +
+ =
+ +
(sin 4x 2cos6x sin2x) sin6xsin2x 2cos6x.sin2x 2sin2x
= − + = − +
1
cos4x cos8x sin8x sin 4x 2sin2x
2
= − − + +
Do đó: I 1sin4x sin8x 1cos8x 1cos4x cos2x C
8 16
= − + − − +
24 Tìm họ nguyên hàm:
4
sin 2x.cos x
I dx
tan x tan x
4
=
π π
+ −
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có: tan x tan x tan x tan x 1
4 tan x tan x
π π − +
− + = = −
+ −
Suy ra: I= −16 sin x.cos xcosxdx∫
Đặt t=sin x⇒dt=sin xdx nên ta có:
( )3 ( )
4
I= −16 t∫ t− dt=16 t∫ t −3t +3t −1 dt
11
t t 3t t
16 C
11
= − + − +
11
sin x sin x 3sin x sin x
16 C
11
= − + − +
25 Tìm họ nguyên hàm: I=∫sin x.cos xdx3
Hướng dẫn giải:
Đặt t=cosx⇒dt= −sin xdx
(17)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
( )
8
7 t t sin x sin x
t t dt C C
8
=∫ − = − + = − +
Cách khác: Để giải toán ta đặt t=sin x biến đổi sau:
( )( )
3
sin x.cos x sin 2x.cos x 3sin2x sin6x cos2x
8 64
= = − +
1 1
3sin2x sin4x sin6x sin8x sin 4x
64 2
= + − − −
1
3sin2x sin4x sin6x sin8x
64
= + − −
Suy ra: I 3cos2x 1cos4x 1cos6x cos8x C
64 16
= − − + + +
26 Tìm họ nguyên hàm:
( 2 )2 dx I
x
= −
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có:
( )
( ) ( ) ( )( )
2
2
2
x x
1
4 x x 1
x
+ − −
=
− +
−
( ) (2 )( ) ( )2
1
4 x 1 x x x 1
= − +
− +
− +
( )2 ( )2
1 1 1
4 x 1 x x x 1
= − + +
− +
− +
Suy I 1 lnx 1 C
4 x x x
+
= − + − +
− − +
27 Tìm họ nguyên hàm:
( ) dx I
x x 3x
=
− + +
∫ Hướng dẫn giải:
(18)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh
2
2
dx dt
2t
t x 3x
x
2t t 2t 5
x
2t
=
+
− + +
⇒ = ⇒
+ − −
− =
+
Suy
dt I
t 2t
=
− −
∫ ln t C
2 t
− −
= +
− +
2
1 x x 3x
ln C
2 x 1 6 x 3x 2
− − + + +
= +
− + + + +
28 Tìm họ nguyên hàm:
2 2x 3x
I dx
x x
+ +
=
+ −
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có: x3+x2− =2 (x x− )( 2+2x 2+ )
( ) ( )( )
2
2x +3x a x+ = +2x 2+ + x bx c− +
( ) ( )
2
2x 3x a b x 2a c b x 2a c
⇔ + + = + + + − + −
a b
7
2a b c a ,b ,c
5 5
2a c
+ =
⇔ − + = ⇔ = = =
− =
Do đó:
3 2
2x 3x 1 3x
5 x
x x x 2x
+ + = + +
−
+ − + +
2
7 2x 1
5 x 10 x 2x 2 5x 2x 2
+
= + +
− + + + +
Suy ra: ( )
( )
2
7 dx
I ln x ln x 2x
5 10 x 1 1
= − + + + +
+ +
∫
Đặt
( )
( )
2
1 tan t dt dx
t x t
1 tan t
x 1
+
= + ⇒ = =
+
+ +
∫ ∫
Vậy I 7ln x ln x( 2x 2) t C,
5 10
= − + + + + + với t hàm thỏa tan t= +x (hay ( )
(19)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
29 Tìm họ nguyên hàm:
4
dx I
x x
=
+ +
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có: x4+x2+ =1 (x2+1)2−x2=(x2+ +x x)( 2− +x 1)
Mặt khác: 1=(ax b x+ )( 2+ +x 1)+(mx n x+ )( 2− +x 1)
( ) ( ) ( )
1 a m x a b m n x a b m n x b n
⇔ = + + + − + + + + − + +
a m
a b m n 1 1
a ,b ,m n
2 2
a b m n b n
+ =
+ − + =
⇔ ⇔ = − = = =
+ + − =
+ =
Suy ra:
2
1 x 1 x
I dx dx
2 x x x x
+ −
= −
+ + − +
∫ ∫
2 2
1 2x 1 dx 2x 1 dx
dx dx
4 x x x x x x x x
+ −
= + − +
+ + + + − + − +
∫ ∫ ∫ ∫
2
2
1 x x 1 x
ln dx
4 x x x x
+ + +
= +
− + ∫ + +
Đặt
2
1
t x dt dx
x x
= − ⇒ = +
Nên
2 2
4 2
1
x x dt
dx dx
x x 1 t
x
x
+ +
= =
+ + +
− +
∫ ∫ ∫
1 x
1 t x
arctan C arctan C
3 3
−
= + = +
Vậy
2
1 x x 1 x
I ln arctan C
4 x x 3 x
+ +
= + − +
− +
30 Tìm họ nguyên hàm:
( )( 2) dx
I
x x x x
=
+ + +
(20)Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh Ta phân tích:
( )( ) ( ) ( )( )
1 a x x= + + +x +bx x + +x +x x cx d+ +
( ) ( ) ( )
1 a b c x 2a b c d x 2a b d x a
⇔ = + + + + + + + + + +
a b c 2a b c d
a 1,b 1,c 0,d 2a b d
a
+ + =
+ + + =
⇔ ⇔ = = − = = −
+ + =
=
Do vậy:
2
dx dx dx
I
x x 1 3
x
2
= − −
+
+ +
∫ ∫ ∫ ln x arctan2x C
x 3
+
= − +
+
31 Tìm họ nguyên hàm:
2 dx I
2sin x 3sin2x
=
− +
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
1 dx
I
2 2sin x 3sinxcosx cos x
=
− +
∫
( )
2
1 dx
2 cos x 2tan x 3tanx
=
− +
∫
Đặt
2 dt t tan x dx
1 t
= ⇒ =
+
Ta được: ( ) ( )
( )( )
2t t
1 dt
I dt
2 2t 3t 2t t
− − −
= =
− −
− +
∫ ∫
1 t
dt ln C
2 t 2t 2t
−
= − = +
− − −
∫ 1ln tan x C
2 2tan x
−
= +
−
32 Tìm họ nguyên hàm: I dx sin x.sin x
3
=
π +
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có: sin sin x x sin x cos x sin x.cos x
3 3
π= +π− = +π − +π
(21)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
Suy ra:
cos x
1 cos x
sin x
sin xsin x sin x
3
+π
= −
π π
+ +
Do đó: I ln sin x ln sin x C
3
π
= − + +
Cách khác: Ta có:
( ) ( )
dx dx
I 2
sin x sin x 3cosx sin x cot x
= =
+ +
∫ ∫
( )
d cot x
2 ln 3cot x C
1 cot x
= − = − + +
+
∫
33 Tìm họ nguyên hàm: I 5sin x 10cosx 4dx 2cosx sin x
+ +
=
− +
∫ Hướng dẫn giải:
( ) ( )
5sin x 10cosx a 2cosx sin x 1+ + = − + +b −2sinx cos x− +c
= − −( a 2b sin x) +(2a b cosx a c− ) + +
a 2b
2a b 10 a 3,b 4,c a c
− − =
⇔ − = ⇔ = = − =
+ =
2sin x cos x
I dx
2cosx sin x 2cosx sin x
− −
⇒ = − +
− + − +
∫
3x 4ln 2cosx sin x J
= − − + +
Tìm J dx 2cosx sin x
=
− +
∫ ?
Đặt
2
x 2dt
t tan dx
2 1 t
= ⇒ =
+
2
2
2t t
sin x ,cos x
1 t t
−
= =
+ +
Suy :
2 t 2t 2cos x sin x
1 t
− − +
− + =
+
Do đó: ( ) ( )
( )( )
t t
dt
J dt
2 t t
t 2t
+ − −
= − = −
− +
+ −
(22)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh
x tan
1 t 2
ln C ln C
x
2 t
tan
+ +
= + = +
− −
Vậy
x tan
1 2
I 3x 4ln 2cosx sin x ln C
x
tan
+
= − − + + +
−
34 Tìm họ nguyên hàm:
3 dx I
cos x
=∫
Hướng dẫn giải:
Ta có:
( 2 )2 cos xdx I
1 sin x
= −
∫
Đặt t=sin x⇒dt=cosxdx ta có
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2
1 t t
dt
I dt
4 1 t 1 t
1 t
+ + −
= =
− +
−
∫ ∫ ( ) (2 )( ) ( )2
1
dt
4 t 1 t t t 1
= − +
+ −
− +
∫
( )2 ( )2
1 1 1
dt
4 t 1 t t t 1
= − + +
− +
− +
∫
2
1 t 2t x t anx
ln C ln tan C
4 t t 2 cosx
+ π
= − + = + + +
− −
35 Tìm họ nguyên hàm: I=∫(2x ln x dx+ ) ( + )
Hướng dẫn giải:
Đặt ( )
( )
dx
u ln x du
x dv 2x dx
v x x
= + =
⇒ +
= +
= +
( ) ( ) 2
x x
I x x ln x dx
x
+
= + + −
+
∫ ( ) ( )
x x ln x x C
2
= + + − +
36 Tìm họ nguyên hàm: I=∫xsin2xdx
Hướng dẫn giải:
Đặt
du dx u x
1
dv sin2xdx v cos2x
2
= =
⇒
= = −
(23)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
1 1
I xsin2x cos2xdx xsin2x sin2x C
2 2
⇒ = − + ∫ = − + +
37 Tìm họ nguyên hàm: I=∫(2x e dx+ ) −x
Hướng dẫn giải:
Đặt
x x
u 2x du 2dx
dv e dx− v e−
= + =
⇒
= = −
( ) x x ( ) x
I 2x e− e dx− 2x e− C
⇒ = − + + ∫ = − + +
38 Tìm họ nguyên hàm: I=∫cos2x.e dx3x
Hướng dẫn giải:
Đặt 3x
3x
du 2sin2xdx u cos2x
1
v e
dv e dx
3
= − =
⇒
= =
3x 3x
1
I e cos2x sin2x.e dx
3
⇒ = + ∫
Đặt
1
3x 3x
1
du 2cos2x u sin2x
1
v e
dv e dx
3
= =
⇒
= =
3x 3x 3x 3x
sin2x.e dx e sin2x cos2x.e dx e sin2x I
3 3
⇒∫ = − ∫ = −
3x 3x
1
I e cos2x e sin2x I
3 9
⇒ = + −
( )
3x e
I 3cos2x 2sin2x C 13
⇒ = + +
39 Tìm họ nguyên hàm: I=∫(2x ln xdx+ )
Hướng dẫn giải:
Đặt
( )
2
2 ln x
du dx
u ln x
x dv 2x dx
v x x
= =
⇒
= +
= +
( ) ( ) I x x ln x x ln xdx
⇒ = + − ∫ +
Đặt :
( )
1
2
1 dx du
u ln x x
dv x dx
v x x
2
=
=
⇒
= +
= +
(24)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh
( ) 1( ) ( )
x ln xdx x 2x ln x x dx
2
⇒∫ + = + − ∫ +
( )
2
1 x
x 2x ln x x
2
= + − −
( ) ( )
2 2 x
I x x ln x x 2x ln x 2x C
2
⇒ = + − + + + +
40 Tìm họ nguyên hàm: I=∫(x2+ +x e dx) x
Hướng dẫn giải:
Đặt ( )
2
x x
du 2x dx
u x x
v e dv e dx
= + + = +
⇒
=
=
Suy I=(x2+ +x e) x−∫(2x e dx+ ) x
Đặt 1
x x
1
u 2x du 2dx
dv e dx v e
= + =
⇒
= =
Suy ra∫(2x e dx+ ) x =(2x e+ ) x−2 e dx∫ x =(2x e− ) x ( ) x ( ) x ( ) x
I x x e 2x e C x x e C
⇒ = + + − − + = − + +
41 Tìm họ nguyên hàm: I=∫ln x( + x2+1 dx)
Hướng dẫn giải:
Đặt ( )
2
2 dx du
u ln x x
x
dv dx v x
= + + =
⇒
+
=
=
( )
2 xdx I x ln x x
x
⇒ = + + −
+
∫ =x ln x( + x2+1)− x2+ +1 C
42 Tìm họ nguyên hàm: I x dx cos2x
= −
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có :
2
x x
I dx dx
2
2sin x sin x
=∫ = ∫
Đặt
2 u x
du dx dx
dv v cot x
sin x
=
=
⇒
=
= −
( ) d sin x
1 1
I xcot x cot xdx xcot x
2 2 sin x
⇒ = − + ∫ = − − ∫
1xcot x 1ln sin x C
2
(25)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
43 Tìm họ nguyên hàm: I=∫sin x.ln cos x dx( )
Hướng dẫn giải:
Đặt u ln cos x( )
dv sin xdx
=
=
ta chọn
sin x
du dx
cosx v cosx
−
=
= −
Suy I= −cos x ln cos x( )+∫sin xdx = −cos x ln cosx( )−cos x C+
44 Tìm họ nguyên hàm: I x lnx 1dx x
− =
+
∫ Hướng dẫn giải:
Đặt ( )
2
2
du dx
x
u ln x
x
1
dv xdx v x
2
=
−
=
⇒ +
+
=
=
Suy
( ) 2
2
1 x x
I x ln dx
2 x x 1
−
= +
+ ∫ +
( )
2
1 x
x ln dx
2 x x x 1
−
= + − +
+ ∫ + +
1x ln2 x x 2ln x 1 C
2 x x
−
= + − + − +
+ +
45 Tìm họ nguyên hàm: I=∫xsin xdx
Hướng dẫn giải:
Đặt t= x⇒ =x t2⇒dx 2tdt=
Suy I t sintdt= ∫
Đặt
3
u t du 3t dt
dv sin t v cost
= =
⇒
= = −
Suy I= −2t cost t cos tdt3 + ∫
Tiếp tục sử dụng phương pháp phần ta tìm
3
I= −2t cost 6t sin t 12t cost 12sin t C+ + − +
Vậy I= −2x x cos x 6xsin x 12 x cos x 12sin x C+ + − +
46 Tìm họ nguyên hàm: I=∫x2 x2+1dx
Hướng dẫn giải:
Đặt
( ) 2
du dx u x
2
v x x
dv x x
3
= =
⇒
= + +
= +
(26)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh Suy I 2x (x2 1)3 2I x2 1dx
3 3
= + − − ∫ +
( 2 )3 2
2
I x x x
5
⇒ = + − ∫ +
Mà theo ví dụ 9.12 ta có :
2 2
x 1dx x x ln x x C
2
+ = + + + + +
∫
Nên I 2x (x2 1)3 x x2 ln x x2 C
5
= + − + + + + +
Chủ đề 2: TÍCH PHÂN 1 Định nghĩa:
Cho hàm số y=f x( ) liên tục K ; a,b hai phần tử thuộc K , F x ( ) nguyên hàm f x K Hiệu số ( ) F b( ) ( )−F a gọi tích phân của
( )
f x từ a đến b kí hiệu: ( ) ( ) ( ) ( ) b
b a a
f x dx=F x =F b −F a
∫
2 Các tính chất tích phân:
1) ( ) a
a
f x dx 0∫ =
2) ( ) ( )
a b
b a
f x dx= − f x dx
∫ ∫
3) ( ) ( )
b b
a a
k.f x dx=k f x dx
∫ ∫
4) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫
5) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx= f x dx+ f x dx
∫ ∫ ∫
6) Nếu f x( ) ( )≥g x x∀ ∈[ ]a;b ( ) ( )
b b
a a
f x dx≥ g x dx
∫ ∫
3 Các phương pháp tính tích phân
Phương pháp phân tích: Để tính tích phân ( ) b
a
(27)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn ( ) 1( ) m m( )
f x =k f x + + k f x
Trong hàm f x i 1,2,3, ,mi( ) ( = ) có bảng nguyên hàm
Phương pháp đổi biến số loại
Giả sử cần tính ( ) b
a
I=∫f x dx ta thực bước sau
B1: Đặt x=u t( ) (với u t hàm có đạo hàm liên tục ( ) [ ]α β; ,f u t( ( )) xác định [ ]α β; vàu( )α =a, u( )β =b) xác định ,α β
B2: Thay vào ta có: ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I f u t u' t dt g t dt G t G G
β β
β α
α α
=∫ =∫ = = β − α
Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng * Hàm số dấu tích phân chứa a2−b x2 ta thường đặt
a x sin t
b
=
* Hàm số dấu tích phân chứa b x2 2−a2 ta thường đặt a
x
bsin t
=
* Hàm số dấu tích phân chứa a2+b x2 ta thường đặt x atgt b
=
* Hàm số dấu tích phân chứa x a bx( − ) ta thường đặt
a x sin t
b
=
Phương pháp đổi biến số loại
Tương tự ngun hàm, ta tính tích phân phương pháp đổi biến số (ta gọi loại 2) sau
Để tính tích phân b
a
I=∫f(x)dx, f x( )= g u x ( ).u' x( ), ta thực phép đổi biến sau
Bước 1: Đặt t=u x( )⇒dt=u' x dx( ) Đổi cận x= ⇒ =a t u a , x( ) = ⇒ =b t u b( )
Bước 2: Thay vào ta có ( )
( ) ( )
( ) u b
b a u a
(28)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh
Cho hai hàm số u v liên tục [a;b] có đạo hàm liên tục [a;b] Khi :
b b
b a
a a
udv=uv − vdu
∫ ∫
Ví dụ Tính tích phân :
4
2
x dx I
x 3x
=
− +
∫ Lời giải
Ta có:
2 2
x 2x
1
2
x 3x x 3x x 3x
−
= + +
− + − + − +
2
3 2x 1
1
2x 3x 2 x x
−
= + + −
− −
− +
Suy
4
3
3 x
I x ln x 3x ln
2 x
−
= + − + +
−
3
1 ln3 ln
2
= + +
Ví dụ Tính tích phân :
2
dx I
x x
=
+
∫ Lời giải
2 3
2 2
5
dx xdx
I
x x x x
= =
+ +
∫ ∫
Đặt t= x2+ ⇒4 x2=t2− ⇒4 xdx=tdt Đổi cận: x= 5⇒ =t 3; x=2 3⇒ =t
( )
4
4
2
3
3
tdt dt t
I ln ln
4 t
t
t t
−
⇒ = = = =
+ −
−
∫ ∫
Ví dụ Tính tích phân :
2 2
3 x
I dx
x
+ = ∫
Lời giải
Ta có
2 2
x 1.xdx I
x
+
= ∫
Đặt t= x+ 2⇒x2=t2− ⇒1 xdx=tdt
(29)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
( )( )
3
3
2
2
2
t.tdt 1 t
I dt t ln
t t t
t
−
= = + − + = + +
−
∫ ∫
1ln1 1ln1 1ln
2 2 2
= + − − = +
Ví dụ Tính tích phân :
0
dx I
cosx.cos x
π
=
π −
∫ Lời giải
Ta có:
( ) ( )
3
2
0
dx dx
I 2
cosx cosx sin x cos x tan x
π π
= =
+ +
∫ ∫
Đặt
2 dx t tan x dt
cos x
= ⇒ =
Đổi cận: x t 0; x t 3
π
= ⇒ = = ⇒ =
3 3
0
dt
I ln 3t ln2
3
1 3t
⇒ = = + =
+
∫
Ví dụ Tính tích phân :
( )
2
3
sin xdx I
3sin x cosx π
=
+
∫ Lời giải
Ta có:
2
3
sin x dx
6 I
8sin x
π π π
+ −
=
π +
∫ 2 3
0
cos x dx
3 dx
16 16
sin x sin x
6
π π π
+
= −
π π
+ +
∫ ∫
2
2
0
3 1
cot x
16 32
sin x
π π
π
= − + + =
π
+
Ví dụ Tính tích phân :
0
sin2x sin x
I dx
1 3cosx π
+ =
+
(30)Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh
Đặt
2
t
cosx t 3cosx
3sin x
dt dx
2 3cos x
−
=
= + ⇒
= −
+
Đổi cận: x t 2,x t
π
= ⇒ = = ⇒ =
( )
1 2
2
2 1
t 2 2t 34
I dt 2t dt t
3 9 27
−
= + − = + = + =
∫ ∫
Ví dụ Tính tích phân : e
1
1 3ln x ln x
I dx
x
+ =∫
Lời giải
Đặt
2
t dx
t 3ln x ln x tdt
3 x
−
= + ⇒ = ⇒ =
Đổi cận: x 1= ⇒ =t 1; x= ⇒ =e t
( ) ( )
2
2
1 1
2 2 t t 116
I t t tdt t t dt
9 9 135
⇒ = − = − = − =
∫ ∫
Ví dụ Tính tích phân : ( )
0
I sin x.ln sin x dx π
=∫ +
Lời giải
Đặt ( )
cos x
u ln sin x du dx
1 sin x dv sin xdx
v cos x
= + =
⇒
+
=
= −
( )2 2 2( )
0
0
cos x
I cos x.ln sin x dx sin x dx
1 sin x
π π
π
= − + + = −
+
∫ ∫
( )
0
x cos x
2
π
π
= + = −
Ví dụ Tính tích phân : ( )
2x
I=∫ x e− + dx
(31)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
Đặt 2x 1
2x
du dx u x
1
v e
dv e
2
+ +
= = −
⇒
= =
( ) 2x 12 2x 2x 12
0 0
1 1 5e e
I x e e dx e e
2 4
+ + + −
⇒ = − − ∫ = − =
Ví dụ 10 Tính tích phân :
6
0 tan x
I dx
cos2x
π
=∫
Lời giải
Đặt
2 dt
t tan x dx
1 t
= ⇒ =
+ Khi đó:
2 t cos2x
1 t
− =
+
Đổi cận:x t 0; x t
6
π
= ⇒ = = ⇒ =
( )
( )( )
1 1
4
3
2
2
2
0 0
t t dt t dt 1
I t dt
1 t t
1 t t
+
⇒ = = = − −
− −
+ −
∫ ∫ ∫
1
3 3
0
1 t t 10
ln t ln
2 t 3 27
+ +
= − − = −
− −
Ví dụ 11 Tính tích phân :
0
sin x
I dx
sin x
π
=
π +
∫ Lời giải
Đặt t x x t
3
dx dt
π = −
π
= + ⇒
=
, đổi cận:
x t
6
x t
3
π π
= ⇒ =
π = ⇒ =
2 2
3 3
1
sin t dt sin t cost
1 costdt
3 2 2
I dt dt
sin t sin t 2 sin t
π π π π
π π π π
π −
−
=∫ =∫ = ∫ − ∫
2
1 3
I ln sin t ln
2 12 2
π π
π π π
= − − = +
(32)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh
Chú ý:
6
0
sin x
3
sin x
I dx dx
sin x sin x
3
π π +π−π
= =
π π
+ +
∫ ∫
6
0
sin x cos sin cos x
3 3
I dx
sin x
π π π π π
+ − +
=
π +
∫
6 6
6
0 0
d sin x cos x
3
1
3
I cos dx sin dx x
3 2
sin x sin x
3
π π π
π π
π
+ +
π π
= − = −
π π
+ +
∫ ∫ ∫
6
3 3
I ln sin x ln
12 12 2
π
π π π
= − + = +
Chú ý: d sin x sin x 'dx cos x dx
3 3
+π = +π = +π
Ví dụ 12 Tính tích phân :
0
sin x
I dx
sin x cos x
π π
−
=
+
∫ Lời giải
6
0
sin x
1 cos x sin x
I dx dx
sin x 3cosx sin x 3cosx
π π π
−
−
= = −
+ +
∫ ∫
( ) ( )
6
0
cos x 3sin x sin x
I dx
2 sin x 3cos x
π
− + −
= −
+
∫
6
1
0
1 cosx 3sin x sin x
I dx dx J J
2 sin x 3cosx sin x cos x
π π
− −
= − + = +
+ +
∫ ∫
( )
6
1
0
d sin x 3cosx
1 cosx 3sin x
J dx
2 sin x 3cosx sin x 3cosx
π π
+ −
= − = −
+ +
(33)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
1
0
1
J ln sin x cos x ln
3
2
π
= − + = −
6
2
0
1 sin x sin x
J dx dx I
2 sin x 3cos x 2 sin x 2
3
π π
− − −
= = =
π
+ +
∫ ∫
Chú ý:
( ) ( ) ( )
d sin x+ cos x = sin x+ 3cosx 'dx= cosx− 3sin x dx
1 3 3
I ln ln
3 12 2
2 2
− π
= − + +
Chú ý:
6 6
0 0
sin x
sin x sin x
6 12
4
I dx dx dx
sin x 3cosx 2cos x 2cos x
6
π −π π −π π −π− π
= = =
π π
+ − −
∫ ∫ ∫
Ví dụ 13 Tính tích phân :
2
xsin x
I dx
cos x
π
=∫
Lời giải
Đặt
2
u x du dx
sin x
dv dx v
cosx cos x
=
=
⇒
=
=
3
0
x dx
I | J
cos x cosx
π π
π
⇒ = −∫ = −
Mà : ( )
( )( )
3
2
0
d sin x cos xdx
J
1 sin x sin x sin x
π π
= =
− +
−
∫ ∫
( ) ( )
3
3 0
1 1 1 sin x
d sin x ln ln
2 sin x sin x sin x
π π
+
= + = = +
− + −
∫
( )
2
I ln
3
π
⇒ = − +
(34)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh
1 Tính tích phân :
2
2
2x x x x 3x
I dx
x
+ − +
=∫
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
2
2
3
I 2x x x dx
x
− −
= + − +
∫
2
3
3
2
1
4 23
x 3x 3ln x 3ln2
3 x 10
= + − − = + − −
2 Tính tích phân :
0
xdx I
3x 2x
=
+ + +
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có: x=(3x 1+ ) (− 2x 1+ )=( 3x 1+ − 2x 1+ )( 3x 1+ + 2x 1+ )
Nên ( ) ( ) ( )
1
3
0
2 17
I 3x 2x dx 3x 2x
9
−
= + − + = + − + =
∫
3 Tính tích phân :
2
I x dx
−
= ∫ −
Hướng dẫn giải:
Ta có: ( ) ( ) ( )
2 1
2 2
2 1
I x dx x dx x dx x dx
−
− − −
= ∫ − = ∫ − + ∫ − +∫ −
1
3 3
2 1
x x x
I x x x
3 3
−
− −
= − − − + − =
4 Tính tích phân :
4
I cos 2xdx
π
=∫
Hướng dẫn giải:
Ta có: cos 2x4 1(1 2cos4x cos 4x2 ) 1(3 4cos4x cos8x)
2
= + + = + +
Nên ( )
4 4
0
1 1
I 4cos4x cos8x dx 3x sin 4x sin8x
4
π π
= + + = + +
∫ I
16
π
⇒ =
5 Tính tích phân :
0
4x
I dx
2x
− =
+ +
(35)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn Đặt t= 2x 2+ + ⇒(t dt− ) =dx
( )( )
5
2
3
2t 8t t 10 34 3
I dt 2t 12t 21 dt 10ln
t t
− + −
= = − + − = +
∫ ∫
6 Tính tích phân :
1 x
I dx
1 x
=
+ −
∫ Hướng dẫn giải:
Đặt: t= x 1− ⇔t2= − ⇔ =x x t2+ ⇒1 dx=2tdt
1
2
0 0
t t t
I 2tdt dt t t dt
1 t t t
+ +
= = = − + −
+ + +
∫ ∫ ∫
1
3
0
t t 1 11
2 2t 2ln t 2 2ln2 4ln2
3 3
= − + − + = − + − = −
7 Tính tích phân:
2
I=∫x −3x dx+
Hướng dẫn giải: Cách 1:
Bảng xét dấu
x
2
x −3x 2+ + − +
( ) ( )
1
2
0
I=∫ x −3x dx+ −∫ x −3x dx+
1
3
2
0
x 3x x 3x
x x
3 6
= − + − − + = − − =
Cách 2:
[ ]
2 x 0;2
x 3x
x
= ∈
− + = ⇔
=
1
2
0
I=∫x −3x dx+ +∫x −3x dx+
( ) ( )
1
2
0
x 3x dx x 3x dx
(36)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh
1
3
2
0
x 3x x 3x
x x
3 6
= − + + − − = + − =
8 Tính tích phân : ( )
1
I x x dx
−
= ∫ − −
Hướng dẫn giải: Cách
( )
2 2
1 1
I x x dx x dx x dx
− − −
= ∫ − − = ∫ −∫ −
( ) ( )
0 2
1 1
xdx xdx x dx x dx
− −
= −∫ +∫ + ∫ − −∫ −
1
0
2 2
1 1
x x x x
I x x
2 2
− −
= − + + − − − =
Cách
Bảng xét dấu
( ) ( ) ( )
0
1
I x x dx x x dx x x dx
−
= ∫ − + − +∫ + − +∫ − +
( )1
0 2
1 0
x− x x x
= − + − + =
9 Tính tích phân : { }
x
I=∫min , x dx−
Hướng dẫn giải:
Đặt h x( )=3x−(4 x− )=3x+ −x Bảng xét dấu
x
( )
h x − + ( )
2
1 x
x
0 1
3 x
I dx x dx 4x
ln3 ln3
= + − = + − = +
∫ ∫
10 Tính tích phân :
3
2x
I dx
x 3x
+ =
− +
∫ Hướng dẫn giải:
(37)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn ( )2 ( )( ) ( )
2x a x 1+ = − +b x x 1+ − +c x 2+
( ) ( )
2x a b x c 2a b x a 2b 2c
⇔ + = + + − + + − +
a b
1
2a b c a ,b ,c
9
a 2b 2c
+ =
⇔ − + + = ⇔ = − = =
− + =
Suy
( )
2
1 1
I dx
9 x 9 x x 1
= − + +
+ −
−
∫
( )
2
1 x
ln ln
9 x x
−
= − = +
+ −
11 Tính tích phân :
2
0
sin2x
I dx
cos x 4sin x
π
=
+
∫ Hướng dẫn giải:
Đặt: t= cos x 4sin x2 + ⇔t2= +1 3sin x2
2tdt 2tdt 6sin xcos xdx 3sin2xdx sin2xdx
3
⇒ = = ⇔ =
2
2
1 1
2tdt
2 2
3
I dt t
t 3 3
=∫ = ∫ = = − =
12 Tính tích phân :
3
xdx I
2x
−
=
+
∫ Hướng dẫn giải:
Đặt
3
3
3 t
t 2x t 2x x dx t dt
2
−
= + ⇔ = + ⇔ = ⇒ =
Đổi cận : x t
= − ⇒ = ; x 3= ⇒ =t
( ) 2
2
2
1
1
t 2 3 3 3 3 3
I t dt t t dt t t
2t 20
−
= = − = −
∫ ∫ 24 3 12
5 20
= − − − =
13 Tính tích phân :
1 x
I dx
1 x
=
+ −
∫ Hướng dẫn giải:
(38)Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh Đổi cận: x= ⇒ =1 t 1; x= ⇒ =2 t
( )( )
2
2
1
t 2t t 2
I dt t 3t dt
t t
− + −
⇒ = = − + −
∫ ∫
2
3
1
t 3t 11
2 4t 2ln t 4ln2
3
= − + − = −
14 Tính tích phân :
5
I sin xdx
π
=∫
Hướng dẫn giải:
Ta có: ( )
2 2
2
I cos x sin xdx
π
=∫ − Đặt t=sin x⇒dt=cosxdx
Đổi cận : x t 0; x t
π
= ⇒ = = ⇒ =
( ) ( )
1 2
2
0
8
I t dt 2t t dt
15
⇒ =∫ − =∫ − + =
15 Tính tích phân :
0
sin2x sin x
I dx
1 3cos x
π
+ =
+ +
∫ Hướng dẫn giải:
Đặt
2
t
cosx t 3cos x
2
tdt sin xdx
−
=
= + ⇒
− =
Đổi cận: x t 2,x t
π
= ⇒ = = ⇒ =
2
1
2
t
2
2 2t t
3
I t dt dt
1 t t
− +
+
= − =
+ +
∫ ∫ 2
1
2
2t 2t dt
9 t
= − + −
+
∫
2
2
1
2 2t 28
t 3t 3ln t ln
9 27
= − + − + = −
16 Tính tích phân :
2
0
sin2x
I dx
4sin x cos x
π
=
+
(39)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
Hướng dẫn giải:
Đặt 2
2
3sin2x
t 4sin x cos x dt dx
4sin x cos x
= + ⇒ =
+
2
sin2x
dx dt
3 asin x bcos x
⇒ =
+
Đổi cận x t 1; x t 2
π
= ⇒ = = ⇒ =
2
1
1
I dt
3
⇒ = ∫ =
17 Tính tích phân :
6
0 tan x
I dx
cos2x
π
=∫
Hướng dẫn giải:
Đặt
2 dt
t tan x dx
1 t
= ⇒ =
+ Khi đó:
2 t cos2x
1 t
− =
+
Đổi cận:x t 0; x t
6
π
= ⇒ = = ⇒ =
( )
( )( )
1 1
4
3
2
2
2
0 0
t t dt t dt dt
I t dt
1 t t
1 t t
+
⇒ = = = − −
− −
+ −
∫ ∫ ∫
1
3 3
0
1 t t 10
ln t ln
2 t 3 27
− −
= − − = −
+ +
18 Tính tích phân :
( )
2 e
e ln x
I dx
x ln x
=
+
∫ Hướng dẫn giải:
Đặt ln x t dx dt x
+ = ⇒ =
Ta có: ( )
3
3 2
t
I dt t ln t ln
t
−
=∫ = − = −
19 Tính tích phân : e
1
1 3ln x ln x
I dx
x
+ =∫
Hướng dẫn giải:
Đặt t 3ln x ln x 1(t2 1) dx 2tdt
3 x
(40)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh Khi đó: ( )
2
2
2
1 1
2 t t 116
I t t dt
9 135
= − = − =
∫
20 Tính tích phân : ln5
x x
ln3 dx I
e 2e−
=
+ −
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có
ln5 x
x x
ln3
e dx I
e 3e
=
− +
∫
Đặt t=ex⇒dt=e dxx
Ta có:
5
3
3
dt t
I ln ln
t
t 3t
−
= = =
−
− +
∫
22 Tính tích phân :
ln5 2x x ln2
e dx I
e
=
−
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có:
ln5 x x x ln2
e e dx I
e
=
−
∫
Đặt t= ex− ⇒1 ex=t2+ ⇒1 e dxx =2t.dt
Đổi cận: x=ln2⇒ =t 1; x=ln5⇒ =t
( ) ( )
2
2
1 1
t tdt t 20
I 2 t dt t
t 3
+
⇒ = = + = + =
∫ ∫
23 Tính tích phân : ( ) 2
4
1
x dx I
x 6x
+ =
− +
∫ Hướng dẫn giải:
Ta có:
2 2 2
2
1
2
1
1
x x
I dx dx
1 1
x x 4
x x
+ +
= =
+ − − −
∫ ∫
Đặt t x dt 12 dx
x x
= − ⇒ = +
Đổi cận: x t 0,x t
(41)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
Suy
3
2
2
0
dt 1
I dt
4 t t
t
= = −
− +
−
∫ ∫
3
1 t
ln ln7
4 t
−
= = −
+
24 Tính tích phân :
0
cosx
I dx
sin x 2cos x
π
=
+
∫ Hướng dẫn giải:
2
0
cosx
I dx
sin x 2cos x
π
=
+
∫
Ta xác định a,b cho:
( ) ( )
cos x=a sin x 2cosx+ +b cos x 2sin x− a 2,b
5
⇒ = =
2 2
0
2 cosx 2sin x
I dx x ln sin x 2cos x
5 sin x 2cosx 5
π π
−
⇒ = + = + +
+
∫ =π −5ln2
25 Tính tích phân :
2
1 xsin x
I dx
cos x
π
+ =∫
Hướng dẫn giải:
3 3
3
2 2
0 0
dx xsin xdx xsin xdx xsin xdx
I tan x
cos x cos x cos x cos x
π π π π
π
=∫ +∫ = +∫ = +∫
Đặt
2
u x du dx
sin x
dv dx v
cosx cos x
=
=
⇒
=
=
Khi
3 3
3
2
0
0 0
xsin xdx x dx cos xdx
I 3
cosx cosx
cos x sin x
π π π π
π
= + = + − = + −
−
∫ ∫ ∫
( )
3
2 1 sin x
I ln ln
3 sin x
π
π − π
= + − = + + −
+
26 Tính tích phân : ( )
2
2
x cosx dx I
4cos x 3sin x
π
π −
+ =
+
(42)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh
+ ( )
2 2
1
2 2
2 2
x cosx dx xdx cos xdx
I I I
4 sin x sin x sin x
π π π
π π π
− − −
+
= = + = +
− − −
∫ ∫ ∫
+ Tính
0
2
1 2 2 2
0
2
xdx xdx xdx
I
4 sin x sin x sin x
π π
π π
− −
= = +
− − −
∫ ∫ ∫
Trong
2
xdx sin x
π
− −
∫ , Đặt x= −t Dễ thấy
0
2
0
xdx xdx
4 sin x sin x
π
π −
= −
− −
∫ ∫
Suy I1=0
+ Tính
2
2 2
2
cosxdx I
4 sin x
π
π −
= −
∫ Đặt t=sin x
1
2 2
1
dt t
I ln ln3
4 t
4 t −
−
+
= = =
−
−
∫
+ Vậy: I 1ln3
=
27 Tính tích phân : ( )
0
xsin x x cos x
I dx
xsin x cosx
π
+ +
=
+
∫ Hướng dẫn giải:
( )
4 4
1
0 0
xsin x x cosx xcosx
I dx dx dx I I
xsin x cosx xsin x cos x
π π π
+ +
= = + = +
+ +
∫ ∫ ∫
Trong :
4
1 0
0
I dx x
4
π
π
π
=∫ = =
4
0
xcos x
I dx
xsin x cosx
π
=
+
∫
(43)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
Khi
1
1 1
4
4
2 1
1
dt
I ln t ln
t
π +
π
+
π
= = = +
∫
Vậy I ln 1
4
π π
= + +
28 Tính tích phân : ( )
0
I ln tan x dx
π
=∫ +
Hướng dẫn giải:
Đặt x t dx dt
4
π
= − ⇒ = −
Đổi cận x t ; x t
4
π π
= ⇒ = = ⇒ =
0
0
1 tan t
I ln tan t dt ln dt
4 tan t
π
π
π −
= − + − = +
+
∫ ∫
( )
4
ln2 ln tan t dt
π
=∫ − +
0
ln2 ln2 dt I 2I
4
π
π
= ∫ − ⇒ =
.ln2
I
8
π ⇒ =
29 Tính tích phân :
2
xsin x
I dx
4 sin x
π
= +
∫ Hướng dẫn giải:
Đặt x= π −t ta có ( )
2 2
0 0
I
t sin t sin t t sin t
I dt dt dt
4 sin t sin t sin t
π π − π π
= = π −
+ + +
∫ ∫ ∫
( )
2
0 0
d cos x
sin x cos x
I dx ln
2 sin x cos x 5 cosx
π
π π
π π π +
= = =
−
+ −
∫ ∫
5 5
ln ln ln
5
4 5
π − + π −
= − =
+ −
(44)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh
30 Tính tích phân : ( )( )
1 11
2
2
6
1
x x 2x
I dx
x 14x
+ + +
+
+ + −
=
+ −
∫ Hướng dẫn giải:
Đặt a 11
+ + +
= Ta có :
a 2 a 2
2
1 3
2
1 1
x x
x x x x
I dx dx
1 1 1
x 14 x x 3 14
x x x
+ +
− + + − + +
= =
− + − − + +
∫ ∫
Đặt
2
1
t x dt dx
x x
= − ⇒ = +
Đổi cận : x t 1; x a t
+
= ⇒ = = ⇒ = +
( )( )
6 6
3 2
1 1
t t dt
I dt dt
t 3t 14 t t 2t t 2t
+ +
⇒ = = =
+ + + − + − +
∫ ∫ ∫
Đặt t 1− = tanu⇒dt= tan u du( + )
Đổi cận : t u 0; t u
π
= ⇒ = = + ⇒ =
( )
( )
2
2
6 tan u du 6 I
4 tan u
π
+ π
⇒ = =
+
∫
31 Tính tích phân :
0
I xsin2xdx
π
=∫
Hướng dẫn giải:
Đặt
du dx u x
1
dv sin2xdx v cos2x
2
= =
⇒
=
= −
2
2
0
0
1 1
I x.cos2x cos2xdx sin2x
2 4
π
π π
π π
(45)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
32 Tính tích phân : ( )
2x
I=∫ x e− +dx
Hướng dẫn giải:
Đặt 2x 1
2x
du dx u x
1
v e
dv e
2
+ +
= = −
⇒
= =
( ) 2x 12 2x 2x 12
0 0
1 1 5e e
I x e e dx e e
2 4
+ + + −
⇒ = − − ∫ = − =
33 Tính tích phân : ( ) ( )
2
I 2x x ln x dx
−
= ∫ + + +
Hướng dẫn giải:
Đặt ( )
( )
3
1
du dx
u ln x
x
2
dv 2x x dx
v x x x
3
=
= +
⇒ +
= + +
= + +
( )
3
1
2 1 4x 3x 6x
I x x x ln x dx
3 − x
−
+ +
⇒ = + + + −
+
∫
0
1 32
4x 5x 16 dx
6− x
= − − + −
+
∫
( )
3
1
1
x x 16x 32ln x
6 −
= − − + − +
16 119
ln2
3 396
= −
34 Tính tích phân : ( )
0
I sin x.ln sin x dx
π
=∫ +
Hướng dẫn giải:
Đặt ( )
cos x
u ln sin x du dx
1 sin x dv sin xdx
v cos x
= + =
⇒
+
=
= −
( ) 2 2( )
0
0
cos x
I cos x.ln sin x dx sin x dx
1 sin x
π π
π
π
= − + + = − = −
+
∫ ∫
Chủ đề 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 Tính diện tích hình phẳng
(46)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh
0
y
x b
a
( )
y f x=
Khi diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y=f x( ), trục hoành hai đường thẳng: x=a,x=b là: ( )
b
a
S=∫f x dx
Bài toán 1: Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên[ ]a;b Khi diện tích S hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y=f x( ); trục Ox : ( y=0) hai đường thẳng x=a;x=b là: ( )
b
a
S=∫f x dx
Bài toán Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị:( )C1 : y=f x( ), ( )C2 : y=g x( ) hai đường đường thẳng x=a,x=b Được xác định công thức: b ( ) ( )
a
S=∫ f x −g x dx Chú ý:
1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm sau:
* Giải phương trình: f x( ) ( )=g x tìm nghiệm ( )
1 n
x ,x , ,x ∈ a;b
(x1<x2< < xn) Tính:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x1 x2 b
a x1 xn
S=∫ f x −g x dx+∫ f x −g x dx + +∫ f x −g x dx x1( ( ) ( )) b( ( ) ( ))
a f x g x dx xn f x g x dx
= ∫ − + + ∫ −
Ngồi cách trên, ta dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
2) Trong nhiều trường hợp, toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị ( )C1 : y=f x( ), ( )C2 : y=g x( ) Khi đó, ta có cơng thức tính sau:
( ) ( ) xn
x1
S= ∫ f x −g x dx
y
0 a b
( )
y f x=
( )
(47)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
Trong đó: x ,x tương ứng nghiệm nhỏ nhất, lớn phương trình: 1 n ( ) ( )
f x =g x
2 Tính thể tích khối trịn xoay a.Tính thể tích vật thể
Định lí Cắt vật thể C hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với trục Ox x=a,x=b a( <b) Một mặt phẳng vng góc với Ox điểm
( )
x a≤ ≤x b cắt C theo thiết diện có diện tích S x Giả sử ( ) S x hàm liên tục ( ) [ ]a;b Khi thể tích vật thể C giới hạn hai mp(P) (Q) tính theo công thức: ( )
b
a
V=∫S x dx
b Tính thể tích trịn xoay
Bài tốn Tính thể tích vật thể tròn xoay quay miền D giới hạn đường y=f x ;y( ) =0;x=a;x=b quanh trục Ox
Thiết diện khối tròn xoay cắt mặt phẳng vng góc với Ox điểm có hồnh độ x hình trịn có bán kính R | f x |= ( ) nên diện tích thiết diện
( ) 2( )
S x = πR = πf x Vậy thể tích khối trịn xoay tính theo cơng thức:
( ) ( )
b b
2
a a
V=∫S x dx= π∫f x dx
Chú ý:
Nếu hình phẳng D giới hạn đường y=f x ,y( ) =g x ,( ) x=a, x=b (Với f x g x( ) ( )≥0 x∀ ∈[ ]a;b ) thể tích khối tròn xoay sinh quay D quanh trục Ox tính cơng thức:
( ) ( ) b
2
a
V= π∫f x −g x dx
Bài tốn Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng D giới hạn đường x=g y , y( ) =a, y=b, Oy quanh trục Oy tính theo cơng thức:
( ) b
2 a
V= π∫g y dy
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng D giới hạn đường sau
2 x
y ,
4
= −
2 x y
4
=
x
( )
y f x=
a
b y
x
(48)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh
Lời giải
Xét PTHĐ giao điểm hai đồ thị
2 x
y
4
= −
2 x y
4
= :
2 2
2
x x x x
4 x x 2
4 4 32
− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ±
Trên −2 2;2 2, ta có:
2
x x
4
4
− ≥ nên diện tích cần tính là:
2 2 2 2
2
D
0
2
x x
S dx 16 x dx x dx
4 2
−
= − − = − −
∫ ∫ ∫
Ta có:
2
2
2
0
x 16
x dx
3
= =
∫
Đặt x=4sin t⇒dx=4costdt Khi đó:
( )
2 4
2
0 0
16 x dx 16 cos tdt cos2x dx
π π
− = = + = π +
∫ ∫ ∫
Vậy: SD
= π +
Ví dụ Xét hình phẳng (H) bị chắn phía Parabol (P):y=x2và phía đường thẳng qua A 1;4( ) có hệ số góc k Tìm k để (H) có diện tích nhỏ
Lời giải
Đường thẳng ∆ qua A, hệ số góc k có phương trình : ( )
y=k x 1− + =4 kx k 4− +
Phương trình hồnh độ giao điểm (P) ∆: ( )
2
x =kx k 4− + ⇔x −kx k 1+ − =
Dễ thấy (1) ln có hai nghiệm x1<x2 Khi đó, diện tích (H) là:
( )
x2
2 x1
S= ∫ kx k x− + − dx ( )
x2
x1
k x
x k x
2
= + − −
k(x22 x12) (4 k x)( 2 x1) 1(x32 x13)
2
= − + − − − −
x2 x1 3k x( 1 x2) (6 k) (2 x1 x2)2 2x x1 2
−
= + + − − + +
(49)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
x2 x1(k2 4k 16)
−
= − +
Ta có: (x2−x1) (2= x2+x1)2−4x x1 2=(k 2− )2+12 12≥
S 12
6
⇒ ≥ = Đẳng thức xảy ⇔ =k Vậy k=2 giá trị cần tìm
Bài tập tự luyện
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:y= −x2+4x 3, x− =0, x 3= Ox Hướng dẫn giải:
( ) ( )
1
2
0
S= − −∫ x +4x dx− + −∫ x +4x dx−
1
3
2
0
x x
2x 3x 2x 3x
3 3
= − − + − + − + − =
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y=x3+11x 6, y− =6x2, x=0, x=2 Hướng dẫn giải:
Đặt h x( )=(x3+11x 6− )−6x2=x3−6x2+11x 6− h x( )= ⇔ = ∨ = ∨ =0 x x x (loại)
( ) ( )
1
3
0
S= −∫ x −6x +11x dx− +∫ x −6x +11x dx−
1
4
3
0
x 11x x 11x
2x 6x 2x 6x
4 2
= − − + − + − + − =
3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:y=x2−4 x+3 trục hoành Hướng dẫn giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm:
2
x −4 x + = ⇔3 t −4t 0, t+ = =x ≥0 x
t x
t x x
=
= = ±
⇔ ⇔ ⇔
= = = ±
3
2
3
S x x dx x 4x dx
−
(50)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh
( ) ( )
1
2
0
2 x 4x dx x 4x dx
= − + + − +
∫ ∫
1
3
2
0
x x 16
2 2x 3x 2x 3x
3 3
= − + + − + =
4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:y= x2−4x 3+ y= +x Hướng dẫn giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm:
x −4x 3+ = +x 2 x
x x 4x x
x
x 4x x
+ ≥
=
⇔ − + = + ⇔ =
− + = − −
( ) ( ) ( )
1
2 2
0
S x 5x dx x 3x dx x 5x dx
⇒ = ∫ − + −∫ + − +∫ −
1
3 3
0
x 5x x 3x x 5x 109
6x
3 3
−
= − + + − + − =
5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y=x ln x,x=evà Ox Hướng dẫn giải:
Giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành:
x x
x ln x
ln x x
= =
= ⇔ ⇔
= =
Nhận xét: x ln x , x≥ ∀ ∈[ ]1;e Gọi S diện tích cần tìm:
e e
1
S=∫x ln x dx=∫x ln xdx
Đặt: 2
dx du
u ln x x
dv xdx x
v
=
=
⇒
=
=
e
e e
1 1
e e
2
2 1
x
S x ln xdx ln x xdx
2
x e
ln x x ( vdt)
2 4
= = −
+
= − =
∫ ∫
®
(51)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn Hướng dẫn giải:
Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình:
2 x
x 3x x x 4x
x
=
− + = − ⇔ − + = ⇔
=
Gọi S diện tích cần tìm:
( ) ( )
3
2
1
S=∫ x −3x 2+ − x dx− =∫x −4x 3dx+ Cách ( Dựa vào đồ thị )
[ ]
2
x −3x x 1+ ≤ − ⇔x −4x 0, x+ ≤ ∀ ∈1;3
( )
3
2
1
x
S x 4x dx 2x 3x
4
= − + − = − + − =
∫ (đvdt)
Cách ( Không dựa vào đồ thị )
( )
3
3
1
S=∫x −4x dx+ =∫ x −4x dx+
3
2
x 4
2x 3x
4 3
= − + = − =
(đvdt)
7 Tìm m để đồ thị ( )C :y=x4−2mx2+m 2+ cắt Ox bốn điểm phân biệt diện tích hình phẳng nằm Ox giới hạn ( )C Ox diện tích hình phẳng phía trục Ox giới hạn ( )C Ox
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm ( )C Ox :x4−2mx2+m 1+ = ( )
Đặt t=x , t2 ≥0, ta có phương trình: t2−2mt+m 2+ = ( ) u cầu tốn ⇔( )2 có hai nghiệm t>0 phân biệt
2
' m m
S 2m m
P m
∆ = − − >
⇔ = > ⇔ >
= + >
Gọi t ,t (0 t1 2 < 1<t )2 hai nghiệm ( )2 Khi (1) có bốn nghiệm theo thứ tự tăng dần là:
1 2
x = − t ;x = − t ;x = t ;x = t
(52)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh
( ) ( )
x3 x4
4
0 x3
x 2mx m dx x 2mx m dx
⇔ ∫ − + + = ∫ − + − −
( ) ( )
5
4
4
4 4
x 2mx
m x 3x 10mx 15 m
5
⇔ − + − + = ⇔ − + + =
4 x
⇒ nghiệm hệ:
( )
4
4
4
4
x 2mx m
3x 10mx 15 m
− + + =
− + + =
( ) ( )
2
4
3 m
4mx 12 m x
m
+
⇒ − + = ⇒ = thay vào hệ ta có
( )2 ( ) ( )
2
m
9 m m m 5m
m
+
− + + + = ⇔ + − = (do m 2> )
2
5m 9m 18 m
⇔ − − = ⇔ = ⇒x4=
Với m ( )1 x4 6x2 x
x
= ±
= ⇒ ⇔ − + = ⇔
= ±
Vậy m 3= giá trị cần tìm
8 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường: 2
y= − x , x− +3y=0 quay quanh Ox Hướng dẫn giải:
Hoành độ giao điểm
2
2 x
4 x x x
3
− − = − ⇔ = ⇔ = ±
( )
3
2
x
V x dx
9
−
⇒ = π ∫ − −
( )
3
2
0
2 x
36 9x x dx 36x 3x
9
π π
= − − = − −
∫
Vậy V 28
π
= (đvtt)
9 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường:
x= −y +5, x y= − quay quanh Oy Hướng dẫn giải:
Tung độ giao điểm: y2 y y y
= −
− + = − ⇔
=
(53)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
( ) ( )
2 2
2
1
V y y dy
−
⇒ = π∫ − + − −
( )
2
4
1
y 11y 6y 16 dy
−
= π ∫ − + +
2
5
2
1
y 11y 153
3y 16y
5
−
π
= π − + + =
10 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường: x
y=xe ,y=0,x=0,x 2= quay quanh trục Ox Hướng dẫn giải:
Gọi V thể tích cần tìm: ( )
2 2
x 2x
0
V= π∫ xe dx= π∫x e dx Đặt:
2
2x 2x
du 2xdx u x
1
v e
dv e dx
2
= =
⇒
= =
2 2 2
2 2x
2x 2x
0
0 x e
V xe dx e xe dx
2
π
= − π∫ = π − π∫
Đặt: 2x
2x
du dx u x
1
v e
dv e dx
2
= =
⇒
= =
2
2 2x
4 2x 2x
0 0
xe
V e xe dx e e dx
2
π π
= π − π = π − −
∫ ∫
( ) ( )
2
4 2x 4 4
0
2 e e e e e e 5e
4 4
π π π
= π − π − = π − π + − = −
(đvtt) 11 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường:
2
y=x −4,y=2x 4,x− =0,x=2 quay quanh trục Ox Hướng dẫn giải:
Gọi V1 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn đường: y=x2−4,y=2x 4,x− =0,x=2 quay quanh trục Ox
( ) ( )
2
2
2 2
1
0 0
4x 32
V 2x dx 4x 16x 16 dx 8x 16x
3
π
= π − = π − + = π − + =
(54)Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh
Gọi V2 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn đường: y=x2−4,y=2x 4,x− =0,x=2 quay quanh trục Ox
( ) ( )
2 2
2
2
0 0
x 8x 256
V x dx x 8x 16 dx 16x
5 15
π
= π − = π − + = π − + =
∫ ∫
Gọi V thể tích cần tìm: V V2 V1 256 32 32
15
π π π
= − = − = (đvtt)
12 Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên ta quay hình D quanh trục Ox, với D hình giới hạn đường: y xcos x sin x , y2 0,x 0,x
2
π
= + = = =
Hướng dẫn giải:
Ta tích khối trịn xoay cần tính là:
( )
2 2
2 2
0 0
V y dx xcosx sin x dx xcosxdx sin xdx
π π π π
= π∫ = π∫ + = π∫ + π∫
Ta có: ( )
2 2
2
0
0
1 1
sin xdx cos2x dx x sin2x
2 2
π π π
π
= − = − =
∫ ∫
Đặt u x du dx
dv cos xdx v sin x
= =
⇒
= =
2
2
0
xcosxdx xsin x sin xdx
π π
π
π
⇒∫ = −∫ = −
Vậy V (3 4)
2 4
π π −
π π
= π − + π =
( đvtt )
13 Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên ta quay hình D quanh trục Ox, với D hình giới hạn đường: y=xe ,yx =0,x=0,x 1=
Hướng dẫn giải:
Thể tích khối trịn xoay cần tính là:
2 2x
V=∫x e dx Đặt
2
2x 2x
du 2x u x
1
v e
dv e dx
2
= =
⇒
= =
1
1
2 2x 2x 2x
0
0
1 e
V x e xe dx xe dx
2
π
⇒ = π − = − π
(55)Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn
Đặt 2x
2x
du dx u x
1
v e dx
dv e dx
2
= =
⇒
= =
1
1 1 2x
2x 2x 2x
0
0 0
1 e e e
xe dx xe e dx
2 2 4
+
⇒∫ = − ∫ = − =
2 2
e e e
V
2 4
+ −
⇒ = π − = π
( đvtt )
14 Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên ta quay hình D quanh trục Ox, với D hình giới hạn đường: y=x ln x( + 2),y=0,x 1=
Hướng dẫn giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường ( 2)
y=x ln x+ y=0: x ln x( + 2)= ⇔ =0 x Thể tích cần tính: ( )
1
2
0
V= π∫x ln x+ dx
Đặt ( )
2 2
3
2x
du dx
u ln x 1 x
x
dv x dx v
3
=
= +
⇒ +
=
=
( ) ( )1
1
2 2
2
0 0
x x
x ln x dx ln x dx
3 x
⇒ + = + −
+
∫ ∫
1
2
ln2
x dx
3 x
= − − +
+
∫
1 1
3
2 0
ln2 x dx
x
3 3 x
= − − − +
∫
ln2 12ln2 16
3 36
π + − π