Quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong hình học không gian

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Sinh viên thực hiện: Võ Thị Hương Trà Lớp: 09 ST Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Châu Đà Nẵng, tháng 5/2013 SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu MỤC LỤC Trang Lý chọn đề tài Cấu trúc luận văn Chương I: Quan hệ song song 1.1 Tóm tắt quan hệ song song 1.1.1 Hai đường thẳng song song 1.1.2 Đường thẳng song song với mặt phẳng 1.1.3 Hai mặt phẳng song song 1.2 Các toán áp dụng 1.2.1 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song 1.2.2 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 10 1.2.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng song song 12 1.2.4 Dạng 4: Sử dụng quan hệ song song để tìm giao tuyến hai mặt phẳng 15 1.2.5 Dạng 5: Sử dụng quan hệ song song để xác định thiết diện mặt phẳng hình 18 1.3 Bài tập tương tự 21 Chương II: Quan hệ vng góc 24 2.1 Tóm tắt quan hệ vng góc 24 2.1.1 Hai đường thẳng vuông góc 24 2.1.2 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 25 SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu 2.1.3 Hai mặt phẳng vng góc 27 2.1.4 Một số hình đặc biệt 29 2.2 Bài tập áp dụng 31 2.2.1 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vng góc 31 2.2.2 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 34 2.2.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc 37 2.2.4 Dạng 4: Sử dụng quan hệ vuông góc để xác định thiết diện mặt phẳng hình 40 2.3 Bài tập tương tự 43 Chương III: Một số dạng toán tổng hợp 45 3.1 Tóm tắt liên hệ quan hệ song song quan hệ vuông góc 45 3.1.1 Khoảng cách 45 3.1.2 Góc 46 3.2 Bài tập áp dụng 48 3.2.1 Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng m cho trước 48 3.2.2 Dạng 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) 50 3.2.3 Dạng 3: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song 53 3.2.4 Dạng 4: Cách xác định đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo Khoảng cách hai đường thẳng chéo 57 3.2.5 Dạng 5: Góc hai đường thẳng 60 3.2.6 Dạng 6: Góc đường thẳng mặt phẳng 61 3.2.7 Dạng 7: Góc hai mặt phẳng 64 3.2.8 Dạng 8: Các dạng toán mặt cầu – khối cầu 67 SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu 3.2.9 Dạng 9: Các dạng toán mặt trụ – hình trụ – khối trụ 74 3.2.10 Dạng 10: Các dạng tốn mặt nón – hình nón – khối nón 76 3.2.11 Dạng 11: Các ví dụ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 79 3.3 Bài tập tương tự 81 Kết luận 82 Tài liệu tham khảo 83 SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trường Đại học sư phạm – Đại học Đà Nẵng nói chung, thầy giáo khoa Tốn nói riêng tận tình dạy dỗ tơi suốt thời gian học tập trường Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Ngọc Châu tận tình hướng dẫn, giúp đỡ bảo tơi suốt q trình hồn thành luận văn Đà Nẵng, tháng năm 2013 Sinh viên thực Võ Thị Hương Trà SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học môn học xuất sớm Khi đời, hình học mơn khoa học thực nghiệm nảy sinh từ việc đo đạc, tính tốn đại lượng khoảng cách điểm, diện tích ruộng, thể tích thùng chứa,…Thời cổ đại, người tích lũy nhiều kiến thức hình học phong phú, chẳng hạn cơng thức Py-ta-go, định lý Ta-lét, cơng thức tính thể tích hình chóp,…Dần dần, hình học trở thành khoa học suy diễn chặt chẽ Ngày nay, hình học phận tách rời công cụ quan trọng việc xây dựng nên mơn tốn học đại, đồng thời có nhiều ứng dụng nghành khoa học, kĩ thuật khác Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, hình học khơng gian mơn học khó, quan hệ song song quan hệ vng góc nội dung Các phương pháp giải tốn hình học khơng gian thường dùng là: phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, phương pháp dùng quan hệ song song, quan hệ vng góc, phương pháp tồng hợp,…Là giáo viên Tốn tương lai, để tìm hiểu quan hệ song song quan hệ vng góc hình học khơng gian, chọn đề tài “ Quan hệ song song quan hệ vng góc hình học khơng gian ” cho luận văn Đại học Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành ba chương Chương I: Quan hệ song song Chương II: Quan hệ vng góc Chương III: Một số dạng tốn tổng hợp SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu CHƯƠNG I: QUAN HỆ SONG SONG Chương trình bày quan hệ song song hình học khơng gian, tốn minh họa 1.1 Tóm tắt quan hệ song song 1.1.1 Hai đường thẳng song song 1.1.1.1 Định nghĩa: Hai đường thẳng song song hai đường thẳng a nằm mặt phẳng mà khơng có điểm b chung 1.1.1.2 Định lí: Qua điểm nằm đường thẳng cho b B trước ta dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho a Tức là: B  a , ! b , B  b a // b 1.1.1.3 Hệ quả: b Trong mặt phẳng ( ) cho đường thẳng a điểm B a Nếu từ B ta dựng đường thẳng b song song với a b nằm mặt phẳng ( ) a B α a  ( )  Tức là:  B  b  b  ( ) b // a  1.1.1.4 Định lí: Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng cắt a b A B đường thẳng phải cắt đường thẳng a // b  ( )  b  B Tức là:  ( )  a  A α 1.1.1.5 Định lí: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với a // c Tức là:   a // b b // c SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST a b c Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu 1.1.1.6 Định lí: Nếu ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song ( )  ( )  a a // b // c  Tức với ( ), (  ), ( ) phân biệt thỏa mãn: (  )  ( )  b   a  b  c  M  ( )  (  )  c  γ a M c a b b γ α β β α 1.1.1.7 Hệ quả: ( giao tuyến ) c Nếu hai mặt phẳng cắt chứa hai đường thẳng song song cho trước giao tuyến chúng song song với hai b a đường thẳng ( trùng với hai đường thẳng ) a  ( ), b  (  )  Tức là: a // b  a // b // c ( )  (  )  c  β α 1.1.2 Đường thẳng song song với mặt phẳng 1.1.2.1 Định nghĩa: Một đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung 1.1.2.2 Định lí: Điều kiện cần đủ để đường thẳng song song với d mặt phẳng đường thẳng không nằm mặt phẳng song song với đường thẳng chứa a α mặt phẳng d  ( )  d // ( ) Tức là:  d // a  ( ) 1.1.2.3 Định lí: SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST d α β a Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) mặt phẳng (  ) chứa d mà cắt ( ) cắt theo giao tuyến song song với d d // ( )   d // a Tức là: d  (  ) ( )  ( )  a  1.1.2.4 Hệ quả: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) d Nếu từ điểm M ( ) dựng đường thẳng a song song với d đường thẳng a nằm mặt phẳng ( ) a ( ) // d   a  ( ) Tức là: M  ( ) M  a // d  M α 1.1.2.5 Định lí: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng d c ( )  (  )  c  Tức là: ( ) // d  d // c ( ) // d  β α 1.1.2.6 Định lí: Cho hai đường thẳng chéo Qua đường thẳng này, ta b dựng mặt phẳng song song với đường thẳng Tức với a, b chéo thì: a a  ( ) ! ( ) :  ( ) // b α 1.1.2.7 Hệ quả: Cho hai đường thẳng chéo Từ điểm khơng thuộc mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng kia, ta dựng mặt phẳng song song với hai đường thẳng cho 1.1.3 Hai mặt phẳng song song 1.1.3.1 Định nghĩa: β SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST Trang α Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Hai mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung 1.1.3.2 Định lí: a Nếu hai mặt phẳng ( ) (  ) song song với α đường thẳng nằm mặt phẳng ( ) song song với (  ) a  ( ) Tức là:  ( ) // ( )  a // ( ) β 1.1.3.3 Định lí: Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt a α hai đường thẳng song song với mặt b phẳng cho trước hai mặt phẳng song song với 𝑎 // (𝛼) 𝑣à 𝑏 //(𝛽) Tức là: { 𝑎 𝑐ắ𝑡 𝑏 𝑎, 𝑏 ⊂ (𝛼) β  ( ) // ( ) 1.1.3.4 Hệ quả: Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng khác hai mặt phẳng song song với 𝑎, 𝑏 ⊂ (𝛼); 𝑎′ , 𝑏′ ⊂ (𝛽)  ( ) // ( ) Tức là: { 𝑎 𝑐ắ𝑡 𝑏 ′ 𝑎//𝑎 ; 𝑏//𝑏′ a α b a' β b' 1.1.3.5 Định lí: Qua điểm O nằm ngồi mặt phẳng ( ) dựng mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) O  (  ) Tức là: O  ( )  ! (  ) :  ( ) // ( ) b' β a' O Cách dựng:  Trong ( ) dựng a, b cắt  Qua O dựng a’ // a , b’ // b SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST α b a Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu a 2 Mặt khác: R  WC  WI  IC  WI      2 2 2 (2) a 2 5a  (a  WI )2  WI   Từ (1) (2) ta được:     7a a  WI  2a.WI  WI  2 2  WI  a 2 a 11 Do vậy: R  a   a 4 Hay R  a 11 Ví dụ 2: Mặt cầu (S) tâm O bán kính R = tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC, cho biết AB  13 cm , BC  14 cm, CA  15 cm Tính khoảng cách từ tâm O đến (ABC) Giải Mặt phẳng (ABC) cắt (S) theo thiết diện đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tâm đường trịn hình chiếu H O xuống (ABC) Bán kính đường trịn là: r S  p với p  p.( p  a).( p  b).( p  c) p a  b  c 13  14  15   21 2 Vậy r 21.(21 13).(21 14).(21 15) 4 21 Do đó: O B C H d (O,( BCA))  OH  R2  r  52  42  A A N Ví dụ 3: Chứng minh có mặt R cầu tiếp xúc với sáu cạnh tứ diện M tổng cặp cạnh đối diện tứ diện Giải K B D SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST Trang 76 Q P C Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Gọi giao tuyến mặt cầu (S) với mặt bên (ACD) đường tròn tiếp xúc với cạnh M, N, P giao tuyến với mặt phẳng (ABC) đường tròn tiếp xúc với cạnh Q, M, R Theo tính chất tiếp tuyến ta có:  AM  AN  AR CQ  CP  CM    BR  BQ  DN  DP Do : AD  BC  AN  ND  BQ  QC  AR  PD  BR  CP  AR  BR  PD  CP  AB  CD (1) Tương tự: Gọi giao tuyến mặt cầu (S) với (BCD) đường tròn tiếp xúc Q, P, K CQ  CP  Theo tính chất tiếp tuyến ta có:  DK  DP  DN  BQ  BK  BR  BD  AC  BK  KD  AM  MC  BQ  ND  AN  QC  BQ  QC  ND  AN  BC  AD (2) Từ (1) (2) ta suy : AD  BC  AB  CD  BD  AC Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD Tìm tập hợp điểm M cho: uuur uuur uuuur uuuur MA  MB  MC  MD  k ( k cho trước ) Giải Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD, ta có: uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur MA  MB  MC  MD  MG  GA  MG  GB  MG  GC  MG  GD uuuur uuur uuur uuur uuur  4MG  GA  GB  GC  GD uuuur  4MG uuuur k2 Nên 4MG  k  MG  Vậy tập hợp điểm M mặt cầu tâm G bán kính R  SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST k2 Trang 77 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu ·  600 , đường thẳng   ( ABC ) A Ví dụ 5: Cho  ABC có AB  3a, AC  2a, BAC lấy điểm S, kẻ AH  SB AK  SC Chứng minh A, K, H, B, C mặt cầu, tính bán kính mặt cầu Giải S Vẽ đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC đường kính AD H CD  AC  CD  (SAC ) Ta có:  CD  SA K  CD  AK  AK  CD  AK  (SCD) Lại có:   AK  SC B 3a A 2a  AK  KD (Vì KD  (SCD) ) O D C · AKD  900 Tương tự:  BD  AD  BD  (SAD)  BD  AH Ta có:   BD  SA  AH  BD  AH  (SBD)  AH  HD (Vì HD  (SBD) ) Lại có:   AH  SB · AHD  900 Vậy A, H, K, D nhìn AD góc vng Nên A, H, K, B, C mặt cầu đường kính AD tâm O Trong  ABC có: BC  AB  AC  AB AC cos 600  (2a)2  (3a)2  2.2a.3a.cos600  7a  BC  a Mà BC BC a a 21  2R  R    0 sin 60 2.sin 60 3 2 Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp Giải SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST Trang 78 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Hình chóp S.ABCD nên SO trục S đường tròn ngoại tiếp ABCD Trong (SAO) kẻ trung trực SA cắt SO I I tâm mặt cầu ngoại tiếp Vì  SMI :  SOA nên: M SM SI SA.SM SA2   SI   SO SA SO 2.SO I D SO Trong  SAO có: tan 60  AO C O a a  SO  AO.tan 600    2 A B a SO SO a  SA    a Lại có: sin 600  SA sin 60 3 Vậy SI  (a 2)2 2a2 2a 2a a     a a 6 2 2  a  4 a  a Diện tích: S  4 R  4 (SI )  4      2 4 a 6 a Thể tích: V   R3      3   27 3.2.9 Dạng : Các dạng toán mặt trụ - hình trụ - khối trụ 3.2.9.1 Dạng 1: Tính chấ t thiế t diê ̣n – Hình trụ ngoại tiế p, nội tiế p hình lăng trụ * Phương pháp:  Mo ̣i thiế t diê ̣n song song với tru ̣c đề u là hiǹ h chữ nhâ ̣t  Mo ̣i thiế t diê ̣n vuông góc với tru ̣c đề u là đường tròn có tâm ở tru ̣c và bán kiń h bằ ng bán kính đáy  Hin ̀ h tru ̣ ngoa ̣i tiế p hiǹ h lăng tru ̣ đáy của lăng tru ̣ là đa giác nô ̣i tiế p đường tròn đáy hiǹ h tru ̣ 3.2.9.2 Dạng 2: Mặt trụ – Diê ̣n tích mặt trụ – Thể tích khố i trụ SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST Trang 79 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu * Phương pháp: Mă ̣t tru ̣ là tâ ̣p hơ ̣p các điể m không gian cách đường thẳ ng  cố đinh ̣ mô ̣t khoảng bằ ng R không đổ i  Diê ̣n tích xung quanh: Sxq  2 Rh  Diê ̣n tích toàn phầ n: Stp  2 Rh  2 R2  Thể tić h: V   R2 h 3.2.9.3 Ví dụ: Ví dụ 1: Cho hiǹ h tru ̣ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’ ABCD là hiǹ h vuông nô ̣i tiế p đường tròn tâm O, AA’, BB’ là các đường sinh của hình tru ̣, cho biế t bán kiń h đáy hiǹ h tru ̣ là R, (A’B’CD) hơ ̣p với đáy 600 Tiń h S tứ diê ̣n A’B’CD B' Giải Góc của mă ̣t phẳ ng (A’B’CD) với đáy là góc O' A' O A · ADA'  600  OAD vuông cân ta ̣i O nên AD  R2  R2  R Trong  AA’D vng ta ̣i A có: tan 600  AA ' AD  AA'  AD.tan600  R  R B Mà A ' D  AA '  AD  6R  2R  2R 2 2 C Ta có A’B’ // = CD CD  AD  CD  ( AA ' D)  Và CD  AA ' D  CD  A ' D · A' DC  900 Do đó A’B’CD là hiǹ h chữ nhâ ̣t Vâ ̣y S  CD A ' D  R 2.2 R  R Ví dụ 2: Một hình trụ có Stp  6 dm2 Xác định kích thước khối trụ để thể tích khối trụ lớn Giải Stp  2. R.h  2. R2  2. R.(h  R)  6  R.(h  R)   R.h  R2  SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST (1) Trang 80 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu   R2  Ta lại có: V   R2 h   R2     R.(3  R )   R  3. R  R  Mà V '  3. R  3 Khi V '    3. R2  3   R  Bảng biến thiên: R +∞ V’ + - 2 V -∞ Vmax R = h = Ví dụ 3: Bên hình trụ có hình vng ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B đường tròn đáy thứ hai đỉnh C, D đường tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng hình vng tạo với đáy hình trụ góc 45 Tính V S xq mặt trụ Giải Gọi I, J trung điểm CD, AB Ta có: O'J  AB , IJ cắt OO’ trung điểm M D · '  MIO ·  450 góc (ABCD) với đáy  MJO I O Trong  OIM có: cos 450  C OI a a  OI  MI cos 450    MI 2 2 Trong  OIC vuông I: M a2 a2 3a OC  R  OI  IC    8 2 Trong  OMI có: OM  MI  OI  a2 a2 a2 a    8 2 SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST A O' J B Trang 81 Khóa luận tốt nghiệp Nên h  2.OM   GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu a  a 2 3a a 2. a3   Vậy: V   R h    16 S xq  2. R.h  2. 3.2.10 3a a 3. a   2 Dạng 10 : Các dạng toán mặt nón – hình nón – khối nón 3.2.10.1 Dạng 1: Tính chất thiết diện – Diện tích – Thể tích a Tính chất thiết diện:  Mọi thiết diện vng góc với trục hình nón hình trịn có tâm trục hình nón  Mọi thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân đỉnh hình nón b Cơng thức diện tích – thể tích: * Diện tích : Sxq   R.l * Thể tích : V     R2  h (Với S: Diện tích đáy) 3.2.10.2 Dạng 2: Hình nón nội tiếp – ngoại tiếp: * Phương pháp:  Hình nón nội tiếp hình chóp đáy đường trịn nội tiếp đa giác đáy đỉnh đỉnh hình chóp  Hình nón ngoại tiếp hình chóp đáy hình chóp đa giác nội tiếp đường trịn đáy hình nón, cạnh bên hình chóp đường sinh hình nón  Mặt cầu ngoại tiếp hình nón mặt cầu qua đỉnh hình nón qua đường trịn đáy hình nón  Mặt cầu nội tiếp hình nón tiếp xúc với mặt đáy hình nón tiếp xúc với đường sinh hình nón 3.2.10.3 Ví dụ: Ví dụ 1: Cho  ABC vuông A Gọi V1,V2 ,V3 thể tích khối nón sinh cho  ABC quay quanh AB, AC, BC Chứng minh: 1  2 2 V3 V1 V2 SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST Trang 82 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Giải B C B H A C B A A C V2     AB2  AC Ta có: V1     AC  AB Kẻ đường cao AH  ABC ta có: 1   2 AH AB AC Và AH.BC = AB.AC 1 Khi V3     AH  BH     AH  HC     AH  BC 3 Mà 1 1    2     2 2  2 V1 V2    AC  AB2    AB4  AC  AB AC  AC AB  9  Vậy 9     2 2 2 2  AB AC AH  AH BC AH  BC AH V3 1  2 2 V3 V1 V2 Ví dụ 2: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R điểm M nửa đường trịn Chiếu vng góc M xuống AB thành H Đặt AH = x Tính theo R x thể tích V hình nón tạo thành cho MAH quay quanh AB tìm max V Giải 1 V     MH  AH  V     MH  x 3 M  MAB có MH đường cao nên: MH  HA.HB  HA.( AB  AH )  x.(2 R  x) A SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST H B Trang 83 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Ta có: V     x2  (2R  x)  V     x2  R     x3 3 V '     R  x    x2 Khi V '      R  2x    x2  x R Bảng biến thiên: x R V’ + V +∞ - 32   R3 81 Vậy: Vmax  -∞ 32   R3 x  R 81 Ví dụ 3: Cho hình nón có đỉnh S, độ dài đường sinh a, góc đường sinh đáy  Một mặt phẳng (P) qua đỉnh S hình nón cắt đường trịn đáy AB hợp với đáy góc 60 Mặt phẳng (P) cắt mặt nón theo giao tuyến SA, SB Tính: a) V S xq b) Khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến (P) Giải a) Tính V S xq S ·  Ta có: SAO Gọi I trung điểm AB OI  AB  AB  OI  AB  (SIO)  AB  SI   AB  SO ·  600 Vì SI  AB  SIO Trong  SAO vng O ta có: SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST H A α I O Trang 84 B Khóa luận tốt nghiệp sin   GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu SO  SO  SA.sin   a.sin  SA cos  AO  AO  SA.cos   a.cos  SA 1 Nên V     OA2  SO     a2  cos2  a  sin      a3  cos2  sin  3 Sxq   OA.SA   a.cos .a   a2 cos  b) Khoảng cách từ O đến (P) Trong  SOI vuông O: tan 600  SO SO a.sin  a 3.sin   OI    OI tan 60 3 Kẻ OH  SI (1)  AB  OI  AB  (SIO)  AB  OH Mà   AB  SO (2) Từ (1) (2)  OH  ( SAB) Vậy d (O,( P))  OH  OI sin 600  a 3.sin    a  sin  2 Dạng 11: Các ví dụ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 3.2.11 3.2.11.1 Phương pháp: Để tìm giá trị lớn – nhỏ đại lượng hình học ( độ dài, diện tích, thể tích, góc…) ta thực sau: - Biểu diễn đại lượng cần tìm GTLN, GTNN phụ thuộc theo đại lượng biến thiên đề - Nếu đại lượng phụ thuộc vào đại lượng biến thiên, ta có thể: + Áp dụng bất đẳng thức liên quan với đoạn thẳng + Áp dụng bất đẳng thức liên quan đến hàm số lượng giác + Dùng ẩn phụ để đưa dạng hàm đại số áp dụng phương pháp đạo hàm để tìm GTLN, GTNN - Nếu đại lượng phụ thuộc vào nhiều đại lượng thay đổi, ta áp dụng bất đẳng thức quan trọng như: Cauchy, Bunhiacovsky,… - Một số bất đẳng thức cần lưu ý: SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST Trang 85 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu + AH  AB, đẳng thức xảy H  B + AB  AC  BC ; AB  AC  BC đẳng thức xảy A, B, C thẳng hàng + x, y  ta có: x y x2  y x y   2 + x + y = a (không đổi)   x y max    + x + y = a (không đổi)  x2  y a2 a x  y   a2 a x  y  2 + x y = a (không đổi)   x  y min  a x  y  a 3.2.11.2 Ví dụ: Ví dụ 1: Cho tam diện Oxyz có Ox, Oy, Oz vng góc đôi I điểm tam diện a, b, c khoảng cách từ I đến mặt (Oyz), (Ozx), (Oxy) Mặt phẳng ( ) (di động) qua I cắt Ox, Oy, Oz A, B, C a Chứng minh a b c   1 OA OB OC b Tìm giá trị nhỏ VOABC , cho biết vị trí I  ABC lúc Giải a) Chứng minh a b c   1 OA OB OC Ta có: VOABC  VIOAB  VIOBC  VIOAC 1 1 1 1   OA   OB  OC   c   OA  OB   a   OB  OC   b   OA  OC 3 3 1   OA  OB  OC   OA  OB  c  OB  OC  a  OA  OC  b  6  a b c   1 OA OB OC z C Vì I cố định nên a, b, c khơng đổi Do ta có a b c   1 OA OB OC I a b c Suy tích đạt GTLN   OA OB OC a b c    OA OB OC SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST O A x B y Trang 86 Khóa luận tốt nghiệp Lúc GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu OAOB OC OC đạt GTNN đạt GTNN tức OAOB a.b.c Mà VOABC   OA  OB  OC nên điều có nghĩa VOABC đạt GTNN abc OA = 3a, OB = 3b, OC = 3c Khi I trọng tâm  ABC 3.3 Bài tập tương tự Bài 1: Cho lăng trụ tam giác có tất cạnh a Tính thể tích diện tích mặt cầu qua đỉnh lăng trụ Bài 2: Cho hình trụ có đáy đường trịn tâm O O’ , ABCD hình vng nội tiếp đường tròn tâm O Gọi AA’, BB’ đường sinh, cho biết góc (ABCD) đáy hình trụ 600 Tính thể tích diện tích tồn phần hình trụ Bài 3: Cho ABC vng A có cạnh huyền BC thuộc mặt phẳng (P) Gọi  ,  góc hợp hai đường thẳng AB, AC với (P) Gọi  góc hợp (ABC) với (P) Chứng minh rằng: sin2   sin2   sin2  Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O SA  a vng góc với (ABCD) Tính số đo góc nhị diện (B, SC, D) Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c a) Tính khoảng cách từ B đến (ACC’A’) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng BB’ AC’ Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (BA’C’) (ACD’) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ KẾT LUẬN Luận văn: “ Quan hệ song song quan hệ vng góc hình học khơng gian ” thực mục tiêu đề ra, cụ thể: 1) Tìm hiểu trình bày lại quan hệ song song quan hệ vng góc hình học khơng gian, tính chất chúng 2) Hệ thống phân loại số dạng toán hình học khơng gian liên quan đến quan hệ song song, quan hệ vng góc Đối với dạng tốn có phương pháp quy trình giải tương ứng, nhiều ví dụ minh họa Cuối chương có phần tập tương tự SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST Trang 87 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Trong khuôn khổ luận văn cuối khóa bậc Đại học, hạn chế khả năng, hạn chế thời gian, nên luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong nhận góp ý thầy, cô bạn sinh viên, để luận văn bổ sung hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Thị Vân Anh (2011), Phân dạng phương pháp giải tốn hình học 11 nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Văn Như Cương (2007), Bài tập hình học 11 Nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [3] Trần Bá Hà (2011), Phương pháp giải tốn hình học khơng gian, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Trần Văn Hạo (2007), Hình học 11 Cơ bản, Nhà xuất Giáo dục [5] Nguyễn Mộng Hy (2007), Bài tập hình học 11 Cơ bản, Nhà xuất giáo dục SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST Trang 88 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu [6] Lê Bích Ngọc (2005), Học ơn tập tốn hình học 11, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Phan Huy Khải (2009), Bài tập chọn lọc hình học 11, Nhà xuất Giáo dục [8] Đồn Quỳnh (2007), Hình học 11 Nâng Cao, Nhà xuất Giáo dục SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST Trang 89 Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Trang 90 ... tương lai, để tìm hiểu quan hệ song song quan hệ vng góc hình học khơng gian, tơi chọn đề tài “ Quan hệ song song quan hệ vuông góc hình học khơng gian ” cho luận văn Đại học Cấu trúc luận văn... hợp quan hệ song song quan hệ vng góc hình học khơng gian 3.1 Tóm tắt liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc 3.1.1 Khoảng cách 3.1.1.1 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng: Trong không gian. .. HỆ SONG SONG Chương trình bày quan hệ song song hình học khơng gian, tốn minh họa 1.1 Tóm tắt quan hệ song song 1.1.1 Hai đường thẳng song song 1.1.1.1 Định nghĩa: Hai đường thẳng song song hai