Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB nhá.[r]
(1)Sở giáo dục đào tạo Hng n
đề thức
kú thi tun sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (1,5 điểm)
Cho
1
a :
7 1 1
HÃy lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - nghiệm Bài 2: (2,5 điểm)
a) Giải hệ phơng tr×nh:
x 16
xy
y
y
xy
x
b) Tìm m để phơng trình
2
2
x 2x 3x 6xm0
cã nghiƯm ph©n biệt Bài 3: (2,0 điểm)
a) Chứng minh số nguyên k lớn thoả mÃn k24 k216 số nguyên tố k chia hÕt cho
b) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p a p b p c 3p
Bµi 4: (3,0 ®iĨm)
Cho đờng trịn tâm O dây AB khơng qua O Gọi M điểm cung AB nhỏ D điểm thay đổi cung AB lớn (D khác A B) DM cắt AB C Chứng minh rằng:
a) MB.BDMD.BC
b) MB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD
c) Tổng bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác BCD ACD khơng đổi Bài 5: (1,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA cho hình 8- giác EFGHIJKM có góc Chứng minh độ dài cạnh hình 8-giác EFGHIJKM số hữu tỉ EF = IJ
HÕt
-Họ tên thí sinh: .
Chữ ký giám thị .
…
Sè b¸o danh: … … ………. . Phßng thi sè: … …
Híng dÉn chÊm thi
(2)1 1 1
a : :
7
7 1 1
0,5 ® a =
2 :
7 0,25 đ
Đặt x a x 1 x 1 7 x22x 1 7 0,5 ®
2
x 2x
Vậy phơng trình x22x 60 nhận làm nghiệm
0,25 đ Bài 2: (2,5 ®iĨm)
a) x 16 x 16 xy (1) xy y y
y x
y
(2) xy
x y
x
§K: x, y0
0,25 đ
Giải (2)
2
6y 6x 5xy (2x 3y)(3x 2y)
0,25 ®
* NÕu
3y
2x 3y x
2
Thay vào (1) ta đợc
3y 16
y
2
0,25 ® 3y 23
(phơng trình vô nghiệm)
0,25 đ
* NÕu
2y
3x 2y x
3
Thay vào (1) ta đợc
2
y 9 y3
0,25 đ
- Với y x2 (thoả mÃn ®iỊu kiƯn) - Víi y 3 x2 (tho¶ m·n ®iỊu kiện)
Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)
0,25 đ
b) Đặt
2
x 2x 1 y x 1 y x 1 y (y0)
(*) Phơng trình cho trở thành:
2
y 1 y 1 m0
y 5y m
(1)
0,25 ®
Từ (*) ta thấy, để phơng trình cho có nghiệm phân biệt phơng trình (1) có nghiệm dơng phân biệt
0,25 ®
0 4m
S
P m
(3)9
m
4 m
4
4
m
VËy víi
9
4 m
4
phơng trình có nghiệm phân biệt
0,25 đ
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Vì k > suy k2 4 5; k2165
- XÐt k5n (víi n ) k2 25n210n 1 k24 5
2
k
không số nguyên tố
0,25 ®
- XÐt
2 2
k5n2 (víi n) k 25n 20n 4 k 16 5
k 16
không số nguyên tố 0,25 đ
- Xét k5n3 (với n) k2 25n230n 9 k216 5
2
k 16
không số nguyên tố 0,25 ®
- XÐt
2 2
k5n4 (víi n) k 25n 40n 16 k 4 5
k
không số nguyên tố
Do k 5
0,25 ®
b) Ta chøng minh: Víi a, b, c th×
2 2 2 2 a b c 3 a b c
(*) ThËt vËy (*) a2b2c22ab2bc 2ca 3a23b23c2
2 2
(a b) (b c) (c a)
(luụn ỳng)
0,5 đ
áp dụng (*) ta cã:
p a p b p c2 3 3p a b c 3p
Suy p a p b p c 3p (®pcm)
0,5 ®
Bµi 4: (3,0 ®iĨm)
J I
C N
M O
A B
D
a) XÐt MBC vµ MDB cã:
BDM MBC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau)
(4)BMC BMD
Do MBCvà MDB đồng dạng Suy
MB MD
MB.BD MD.BC
BC BD
0,5 ®
b) Gọi (J) đờng tròn ngoại tiếp BDC BJC2BDC 2MBC
hay
BJC
MBC
1800 BJC
BCJ cân J CBJ
2
0,5 ®
Suy
BJC 180O BJC O
MBC CBJ 90 MB BJ
2
Suy MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB
0,5 ®
c) Kẻ đờng kính MN (O) NB MB
Mà MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB Gọi (I) đờng tròn ngoại tiếp ADC
Chøng minh t¬ng tù I thuéc AN
Ta cã ANB ADB 2BDM BJC CJ // IN Chứng minh tơng tự: CI // JN
0,5 đ
Do tứ giác CINJ hình bình hành CI = NJ Suy tổng bán kính hai đờng tròn (I) (J) là: IC + JB = BN (khụng i)
0,5 đ Bài 5: (1,0 ®iÓm)
g
f e d
h c
b a
G F
I
H
J M
C
A B
D
E
K
Gäi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (víi a, b, c, d, e, f, g, h lµ số hữu tỉ dơng)
Do góc hình cạnh nên góc hình cạnh có số đo là:
O
O
8 180
135
( )
0,25 ®
Suy góc ngồi hình cạnh là: 180O - 135O = 45O
Do tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ tam giác vuông cân
(5) MA = AE =
h
2 ; BF = BG = b
2 ; CH = CI = d
2 ; DK = DJ = f
2
Ta cã AB = CD nªn:
h b f d
a e
2
(e - a) = h + b - f - d
NÕu e - a ≠ th×
h b f d
e a
(điều vô lý 2 số vô tỉ)
Vậy e - a = e = a hay EF = IJ (®pcm)