Toan vao 10 chuyen NT HD 2009 2010

[r]

Sở giáo dục đào tạo HảI dơng

Kú thi tun sinh líp 10 THPT chuyên nguyễn trÃi - Năm học 2009-2010

Môn thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 08 tháng năm 2009

(Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2.5 điểm):

1) Giải hệ phơng trình:

    

 



2

2

x y xy

xy 3x

2) Tìm m nguyên để phơng trình sau có nghiệm ngun: 4x24mx2m2 5m 6

C©u II (2.5 ®iĨm):

1) Rót gän biĨu thøc:

   

 

    

 

 



 

3

2

2

2 x x x

A

4 x víi 2 x

2) Cho trớc số hữu tỉ m cho 3mlà số vơ tỉ Tìm số hữu tỉ a, b, c để:

3

a m b m  c 0

Câu III (2.0 điểm):

1) Cho đa thức bËc ba f(x) víi hƯ sè cđa x3 lµ mét số nguyên dơng biết

f(5) f(3) 2010 Chứng minh rằng: f(7) f(1) là hợp số.

2) Tìm giá trị lớn biểu thøc:

 2   2 

P x 4x x 6x 13

C©u IV (2.0 ®iĨm):

Cho tam gi¸c MNP cã ba gãc nhän điểm A, B, C lần lợt hình chiếu vuông góc M, N, P NP, MP, MN Trên đoạn thẳng AC, AB lần lợt lấy D, E cho DE song song víi NP Trªn tia AB lÊy ®iĨm K cho DMK NMP Chøng minh r»ng:

1) MD = ME

2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ suy điểm M tâm đờng trịn bàng tiếp góc DAK ca tam giỏc DAK

Câu V (1.0 điểm):

Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A C phân biệt Tìm vị trí điểm B D thuộc đờng trịn để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn

-Hết -Họ tên thí sinh : Số báo danh : Chữ kí giám thị : Chữ kí giám thị 2: Sở giỏo dc v o to

HảI dơng

Kỳ thi tun sinh líp 10 THPT chuyªn ngun tr·i - Năm học 2009-2010

Hớng dẫn chấm gồm: 03 trang H

ớng dẫn chấm

Câu Phần nội dung Điểm

câu I 2,5 ®iÓm 1) 1,5®iÓm         2

x y xy (1)

xy 3x (2)

Từ (2)  x  Từ

2 3x y x  

, thay vµo (1) ta cã: 0.25

2

2

2 3x 3x

x x

x x

   

   

  0.25



7x  23x 160 0.25

Giải ta đợc

2 16

x hc x =

7



0.25

Tõ

2

x  1 x 1 y1;

2 16 7

x x y

7 7

    

0.25

VËy hƯ cã nghiƯm (x; y) lµ (1; 1); (-1; -1);

  

 

 

 

4 7

; 7 ;        

4 7 ;

7

0.25 2)

1,0®iĨm

Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x'0 0.25

m 5m (m 2)(m 3)

        V× (m - 2) > (m - 3) nªn: x'

   m 20 vµ m 30  2m3, mµ mZ

 m = hc m = 3. 0.25

Khi m =  x'= 0 x = -1 (tháa m·n)

Khi m =  x'= 0 x = - 1,5 (lo¹i) 0.25

VËy m = 0.25

c©u II

2,5 điểm

1) 1,5điểm

Đặt a  2x; b x (a, b 0)

2 2

a b 4; a b 2x

     0.25

 3   2 

2 ab a b ab a b a b ab

A

4 ab ab

     

  

  0.25

   

 

2 ab a b ab

A ab a b

4 ab

  

    

 0.25

 

A 2ab a b

    0.25

 2      

A a b 2ab a b a b a b

       

0.25

2

A a b 2x A x

      0.25

2) 1,0®iĨm

3

a m b m c 0 (1)

Gi¶ sư cã (1)

3

b m c m am (2)

   

Tõ (1), (2)  (b2  ac) m3 (a m2  bc) 0.25 NÕu a m2  bc0

2

2 a m bc m

b ac



 

số hữu tỉ Trái với giả thiÕt!

2

2

b ac b abc

a m bc bc am

    

 

   

  

 

 

3 3

b a m b a m

    NÕu b0 th×

3 m b a

là số hữu tỉ Trái víi gi¶

thiết!  a0;b0 Từ ta tìm đợc c = 0.25 Ngợc lại a = b = c = (1) ln Vậy: a = b = c =

0.25

câu III

2 điểm

1)

1,0điểm

Theo f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d víi a nguyªn d¬ng

0.25 Ta cã: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c

= 98a + 16b + 2c  16b + 2c = (2010- 98a) 0.25 Ta cã f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c

= 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c)

= 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010)3 0.25 Vì a nguyên dơng nên 16a + 2010>1 Vậy f(7)-f(1) hợp số

0.25 2)

1,0điểm

   

  2   2

P x x

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) 0.25 Ta chứng minh đợc:            

2

AB x x 25 26

    

2 2

OA x

,     

2 2

OB x

0.25 MỈt kh¸c ta cã: OA OB AB    

 x 2 212  x 3 222  26

0.25 DÊu “=” x¶y A thuéc đoạn OB B thuộc đoạn OA

   



x

x

x .Thư l¹i x = A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc ®o¹n

OB VËy MaxP 26khi x = 0.25

câuIV

2 điểm

1)

0,75điểm

Ta dễ dàng chứng minh tứ giác MBAN nội tiÕp  MAB MNB ,

MCAP néi tiÕp  CAM CPM 0.25 L¹i cã BNM CPM

(cïng phô gãc NMP)

 

 CAMBAM (1) 0.25

Do DE // NP mặt khác MANP MADE (2) Từ (1), (2) ADE cân A  MA lµ trung trùc cđa DE

 MD = ME 0.25

K

E

B C

A N

M

P

2)

1,25®iĨm

K

E

B C

A N

M

P

D

Do DE//NP nªn DEK NAB , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên: 

NMB NAB 180  NMB DEK 1800 0.25

Theo gi¶ thiÕt DMK NMP  DMK DEK 1800

 Tø gi¸c MDEK néi tiÕp 0.25

Do MA lµ trung trùc cđa DE MEAMDA 0.25

 MEA MDA   MEK MDC 0.25 Vì MEK MDK MDK MDC DM phân giác góc CDK, kết hợp

vi AM phân giác DAB M tâm đờng tròn bàng tiếp góc DAK

cđa tam gi¸c DAK 0.25

câu V

1 điểm

D' B' A'

O

C A

B

D

Không tổng quát giả sử:ABAC Gọi B điểm chÝnh gi÷a cung 

ABC  AB 'CB '

Trên tia đối BC lấy điểm A’ cho BA’ = BA ABBC CA ' 0.25 Ta có: B 'BC B ' AC B 'CA (1) ; B 'CA B 'BA 1800 (2)

B 'BC B 'BA ' 180  (3);Tõ (1), (2), (3)  B 'BA B 'BA ' 0.25 Hai tam gi¸c A’BB’ vµ ABB’ b»ng  A 'B 'B ' A

Ta có  B ' A B 'C B ' A ' B 'C A ' C= AB + BC ( B’A + B’C khơng đổi B’, A, C cố định) Dấu “=” xảy B trựng vi B

Hoàn toàn tơng tự gọi D điểm cung ADC th× ta cịng cã AD’ + CD’ AD + CD DÊu “=” x¶y D trïng víi D’

 Chu vi tø gi¸c ABCD lín nhÊt B, D điểm các

cung AC đờng tròn (O) 0.25