Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC.[r]
(1)§Ị thi chän häc sinh giái thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm)
TÝnh
a/ A = 101+100+99+98+ +3+2+1
101−100+99−98+ +3−2+1 b/ B = 423134 846267−423133
423133 846267+423134
C©u (2 ®iĨm)
a/ Chøng minh r»ng: 1028 + chia hÕt cho 72 b/ Cho A = + + 22 + 23 + + 22001 + 22002
B = 22003 So s¸nh A vµ B
c/ Tìm số ngun tố p để p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 số nguyên tố
C©u (2 ®iĨm)
Ngêi ta chia sè häc sinh lớp 6A thành tổ, tổ em thừa em, tổ 10 em thiếu em
Hỏi có tổ, học sinh ?
Câu (3 điểm)
Cho +ABC có BC = 5,5 cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = cm
a/ Tính độ dài BM
b/ BiÕt BAM = 800; BAC = 600 TÝnh CAM
c/ Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = cm
Câu (1 điểm)
Chứng minh r»ng:
1 22+
1 32+
1 42+ +
1 1002<1
Đáp án đề thi chn hc sinh gii THCS cp tnh
Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán
Câu 1:
TÝnh a/ 101 51
51 =101 (1 ®iÓm)
b/ B = 423133 846267+846267−423133
(2)C©u 2:
a/ Vì 1028 + có tổng chữ số chia hết tổng chia hết cho 9 Lại có 1028 + có chữ số tận 008 nên chia hết cho 8
VËy 1028 + chia hÕt cho 72 (1/2 ®iĨm) b/ Cã 2A = + 22 + 23 + + 22002 + 22003 => 2A – A = 22003 – 1
=> A = B – VËy A < B (1/2 ®iĨm) c/ XÐt phÐp chia cđa p cho ta thay p cã d¹ng sau:
p = 5k; p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + (k N; k > 0) + Nếu p = 5k p nguyên tố nên k = => p =
+ NÕu p = 5k + => p + 14 = 5(k + 3) lớn nên hợp số (loại) + Nếu p = 5k + => p + = 5(k + 2) ⋮ lớn nên hợp số (loại) + NÕu p = 5k + => p + 12 = 5(k + 3) lớn nên hợp số (loại) + Nếu p = 5k + => p + = 5(k + 2) lớn nên hợp số (loại)
Thử lại với p = thoả mÃn (1 điểm)
Câu 3:
Giả sử có thêm học sinh chia tổ 10 em thừa em nh chia tổ em Vậy cách chia sau cách chia trớc học sinh Mỗi tổ 10 học sinh tổ học sinh là: 10 - = (häc sinh)
(1 điểm) Do số tổ là: : = (tổ) (1/2 điểm) Số học sinh là: 10 – = 37 (học sinh) (1/2 điểm)
C©u 4:
Vẽ hình, ghi giả thiết + kết luận (1/2 điểm) a/ C nằm B M
=> BC + CM = BM (1/2 ®iĨm) => BM = + 5,5 = 8,5 (1/2 điểm) b/ C nằm B M =>AC tia nằm tia AB AM (1/2 điểm) => BAC + CAM = BAM
=> CAM = BAM – BAC
=> CAM = 800 – 600 = 200(1/2 ®iĨm) c/ XÐt trêng hỵp:
+ Nếu K nằm C M tính đợc BK = BC + CK = 5,5 + = 6,5 (cm) + Nếu K nằm C B tính đợc BK = 4,5 (cm) (1/2 điểm) Câu 5:
Ta cã:
B C
A
M K
(3)
¿
1 22<
1 1−
1
32< 2−
1
42<
1 3−
1
1 1002<
1 99−
1 100
⇒
22+
1 32+
1 42+ +
1 1002<1−
1 100=
99 100<1
¿ { { {{
¿
§Ị thi chän häc sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán
Thi gian: 150 phỳt (Khụng k thời gian giao đề) Câu (2 điểm)
Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh: a/
3 7−
3 11+
3 13
7− 11+
5 13
+
1 2−
1 3+
1
4− 6+
5
b/ ( + + + + 90 ) ( 12 34 - 68 ) : (1
3+ 4+
1 5+
1 6)
Câu (2 điểm)
a/ Chøng minh r»ng 3636 - 910 chia hÕt cho 45 (1/2 ®iĨm)
(4)b/ TÝnh x, y, z biÕt r»ng: x
y+z+1= y x+z+1=
z
x+y −2=¿ x + y + z
c/ Tìm số a, b, c biết: ( - 2a2b3 )10 + ( 3b2c4 )15 = 0
Câu (2 điểm)
Mt ngi i t A đến B với vận tốc km/h dự định đến B lúc 11 45 phút Sau đợc
5 qng đờng ngời với vận tốc km/h nên
đến B lúc 12 tra Tính qng đờng AB, ngời khởi hnh lỳc my gi?
Câu (3 điểm)
phía ngồi tam giác ABC vẽ tam giác ACE vng cân (góc ACE = 900). Đờng cao Ah tam giác ABC đờng cao CK tam giác BCE cắt N Chứng minh AN = BC
Câu (1 điểm)
Cho 25 số, số có tổng số dơng Chứng minh tổng 25 số số dơng
Đáp án đề thi chn hc sinh gii THCS cp tnh
Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán
Câu 1:
a/
3(1 7−
1 11 +
1 13) 5(1
7− 11 +
1 13)
+
2(1 4−
1 6+
1 8) 5(1
4− 6+
1 8)
=3
5+
5 = (1 ®iĨm)
b/ Ta cã: 12.34 - 68 =
Do giá trị biểu thức
C©u 2:
a/ Ta cã 3636 cã tËn cïng b»ng 6
910 cã tËn cïng b»ng 1 (1/4 ®iĨm)
Do 3636 - 910 chia hết cho 5, đồng thời chia hết cho 9, chia hết cho
45 (1/4 ®iĨm)
b/ Ta cã: x y+z+1=
y x+z+1=
x
y+z −2=x+y+z (1)
áp dụng tính chất dãy tỉ số cho tỉ số đầu ta đợc: x+y+z
2(x+y+z)=x+y+z (2)
(5)NÕu x + y + z th× tõ (2) suy ra: x + y + z =
2 (1/2
®iĨm)
Khi (1) trở thành: x
1 2− x+1
= y
1 2− y+1
= z
1
2− z −2
=1
2
Do đó:
¿
2x=3
2− x 2y=3
2− y 2x=−3
2− z
⇔
x=1
2
y=1
2
z=−1
2
¿ { { { { ¿
Có đáp số: (0; 0; 0) (1/2; 1/2; -1/2) (1/2 điểm) c/ Ta có: 210 a20 b 30 + 315 b30 c60 = 0
Hai đơn thức vế trái khơng âm mà có tổng nên: ¿
a20.b30=0 b30.c60=0
⇔
¿a.b=0 b.c=0
¿ ¿{
¿
(1/4 ®iĨm)
Do b = 0, a c tuỳ ý a = 0; c = b tuỳ ý a = 0; b = 0; c =
C©u 3:
Ta có sơ đồ sau:
A C B
Gäi thêi gian ®i CB víi vËn tèc km/h lµ t1 (phót) Gäi thêi gian ®i CB víi vËn tèc km/h lµ t2 (phót)
=> t2 - t1 = 15 (phót) vµ v1 = km/h; v2 = km/h (1/2 ®iĨm) Ta cã v1
v2 =4
3 mà vận tốc thờigian đại lợng t l nghch
nên: (1/2 điểm)
t2 t1
=4
3⇒
t2
4=
t1
3=
t2−t1
4−3= 15
(6)=> t2 = 15 = 60 (phút) = (giờ) (1/2 điểm) Vậy quãng đờng AB bằng: = 15 (km)
Và ngời khởi hành lúc: 12 - = (giờ)
C©u 4:
Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận (1/2 điểm)
Ta cã:
¿
NA⊥BC(gt)
AC⊥CE(gt) } ¿
NAC = BCE (Góc có cạnh tơng ứng vuông góc tù) (1)
(1 điểm) Lại có:
C2+C3=1v E2+C3=1v
}⇒
C2 = E (2)
vµ AC = CE (gt) (3) (1 ®iÓm) Tõ (1), (2), (3) =>+ACN =+BEC (gcg) VËy AN = BC (1/2 điểm)
Câu 5: (1 điểm)
Trong 25 số cho, phải có số dơng 25 số âm, tổng số bât kì âm, trái với đề
Tách riêng số dơng đó, cịn lại 24 số, chia thành nhóm Theo đề nhóm có tổng mang giá trị dơng nên tổn nhóm số dơng
Vậy tổng 25 số số dơng
§Ị thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán
Thi gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2 im)
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 7x - 6 b/ Giải phơng trình: x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0
Câu (2 điểm)
a/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, víi a, b, c số hữu tỉ Biết f(0), f(1), f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên
b/ Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa: A = 3x
2−8x+6 x2−2x+1
C©u (2 ®iĨm)
a/ Chøng minh r»ng víi sè bÊt kú a, b, x, y ta cã (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2
b/ Chøng minh r»ng: x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho x2 + x + víi mäi sè tự nhiên m,n
Câu (3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc nhọn với đờng cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng:
A
B C
E N
(7)HA'
AA'+
HB'
BB' +
HC'
CC' =1
Câu (1 điểm)
Cho sè d¬ng a, b, c cã tỉng b»ng Chøng minh r»ng: a+
1
b+
1
c≥9
Đáp án đề thi chọn học sinh gii THCS cp tnh
Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán
Câu 1
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 7x - = x3 - 4x - 3x -
= x(x2 - 22) - 3(x + 2) (1/2 ®iÓm)
= x(x + 2)(x - 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x2 - 2x - 3)
= (x + 2)(x2 - - 2x - 2)
= (x + 2) [(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)]
= (x + 2)(x + 1)(x - 3) (1/2 ®iĨm)
b/ x4 -30x2 + 31x - 30 = <=> (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6) = (*)
V× x2 - x + = (x - 1/2)2 + 1/4 > 0 (1/2 ®iĨm)
=> (*) <=> (x - 5)(x + 6) = <=>
⇔
x −5=0 ¿ x+6=0
¿ x=5
¿ x=−6
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
(1/2 điểm)
Câu
a/ Cã f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(2) = 4a + 2b + c lµ số nguyên (1/2 điểm) => a + b + c - c = a + b nguyªn => 2a + 2b nguyªn => 4a + 2b nguyªn
(8)b/ Cã A =
x −1¿2 ¿ x −1¿2
¿ ¿
3(x2−2x+1)−2(x −1)+1 ¿
(1/2 điểm)
Đặt y =
x 1 => A = y2 – 2y + = (y – 1)2 + 2 (1/2
®iĨm)
=> A = => y = ⇔
x −1=1 => x =
VËy A = x = (1/2 ®iĨm)
C©u 3
a/ Ta cã (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2
<=> a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 a2x2 + 2axby + b2y2 (1/4 ®iĨm)
<=> a2y2 - 2axby + b2x2 <=> (ay - bx)2 0 (1/4 điểm) Vì bất đẳng thức cuối bất đẳng thức nên bất đẳng thức phải
chứng minh bất đẳng thức (1/4 điểm)
DÊu “=” xảy ay - bx = hay a x=
b
y (1/4 ®iĨm)
b/ Ta có x3m+1 + x3n+2 + = x3m+1 - x + x3n+2 - x2 + x2 + x + 1 (1/4 điểm) = x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + (x2 + x + 1) (1/4 điểm) Ta thấy x3m - x3n - chia hết cho x3 - chia hết cho x2 + x + 1 x3m+1 + x3n+2 + chia hết cho x2 + x + 1
C©u
+ Cã SABC =
2 BC AA’ (1/2 ®iĨm)
+ Cã SHBC =
2 BC HA’ (1/2 ®iĨm)
+ Cã SHAC =
2 AC HB’ (1/2 ®iĨm)
+ Cã SHAB =
2 AB HC’ (1/2 ®iĨm)
+ SHBC SABC
=HA'
AA' ;
SHAC SABC
=HB'
BB' ;
SHAB SABC
=HC'
CC' (1/2 ®iÓm)
=> SHBC+SHAC+SHAB SABC
=SABC SABC
=1
VËy HA'
AA'+
HB'
BB' +
HC'
CC' =1 (1/2 điểm)
Câu 5
A
B C
C'
B'
(9)Do a + b + c = nªn
¿
1
a=1+ b a+
c a
1
b=1+ a b+
c b
1
c=1+ a c+
b c ¿{ {
¿
(1/2 ®iĨm)
VËy a+
1
b+
1
c=3+( a b+
b a)+(
a c+
c a)+(
b c+
c
b)≥3+2+2+2=9 Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 1/3
§Ị thi chän häc sinh giái thcs cÊp tØnh
Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Cõu (2 im)
a/ Tính giá trị biểu thøc: P = (5+2√6)√5−2√6 √3+√2
b/ Chøng minh r»ng a, b, c số dơng thoả mÃn a + c = 2b ta
có:
√a+√b+
1
√b+√c=
2
a+c
Câu (1,5 điểm)
a/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 b/ Tìm giá trị lớn biểu thức: M = x
2
x4
+x2+1
Câu (2,5 điểm) Xét đa thức P(x) = x9 + x99
a/ Chøng minh r»ng P(x) lu«n lu«n chẵn với x nguyên dơng b/ Chứng minh P(2) lµ béi sè cđa 100
c/ Gọi N số nguyên biểu thị số trị P(4) Hỏi chữ số hàng đơn vị N chữ số đợc không ? Tại ?
Câu (3 điểm)
(10)Câu (1 điểm)
Cho số dơng a, b, c thoả mÃn điều kiện a + b > c |a - b| < c Chứng minh phơng trình a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = lu«n lu«n v« nghiƯm.
Đáp án đề thi chn hc sinh gii THCS cp tnh
Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán
Câu
a/ P =
√3−√2¿2 ¿ ¿
√3+√2¿2√¿ ¿ ¿
(1/2 ®iĨm) (1/2 ®iĨm) b/ Ta cã:
VT = √a −√b a − b +
√b −√c
b − c (*) (1/4 ®iÓm)
Tõ a + c = 2b => a = 2b – c thay vµo (*) ta cã (1/4 ®iÓm) VT = √a−√b
2b − c − b+√ b −√c b − c =√
a −√b+√b −√c b − c =√
a −√c
b −c (**)
(1/4 ®iĨm) Thay b = a+c
2 vµo (**) ta cã
VT = √ a−√c a+c −2c
2
=2(√a−√c) a −c =
2
a+c= VP (Đpcm) (1/4 điểm)
Câu 2
a/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình:
2x2 + 4x = 19 - 3y2 <=> 4x2 + 8x + = 42 - 6y2
<=> (2x + 2)2 = 6(7 - y2) (1/4 điểm)
Vì (2x + 2)2 => - y2 => y2 mµ y Z => y = 0;±1;±2 (1/4 ®iĨm) + Víi y = ± => (2x + 2)2 = 6(7 - 1) <=> 2x2 + 4x - 16 = 0
=> x1 = 4; x2 = -2
+ Víi y = ± =>2x2 + 4x - = => x
1, x2 Z (loại) (1/4 điểm)
+ Víi y = =>2x2 + 4x - 19 = => x
1, x2 Z (lo¹i)
(11)b/ Nhận xét x = M = 0, giá trị khơng phải giá trị lớn Vậy M đạt giá trị lớn với x khác Chia tử mẫu cho x2 ta đợc:
M =
1
(x2 +
x2)+1
(1/2 điểm) M đạt giá trị lớn x2+
x2 nhá nhÊt => x
+
x2 = => x = ± VËy M lín nhÊt b»ng 1/3 x = ±
C©u Ta cã P(x) = (x3)3 + (x33)3 = (x3 + x33)( x6 – x36 + x66)
= (x + x11)(x2 – x12 + x22)( x6 – x36 + x66) (1/4 ®iĨm)
a/ Với x chẵn x9, x99 chẵn x lẻ x9, x99 lẻ
=> x9 + x99 chẵn với x nguyên dơng (1/4 điểm)
b/ Ta có x11 = 2048 nên x + x11 = 2050 (1/4 điểm) Vì x = nên thừa số lại chẵn p bội 4100
VËy P(2) chia hÕt cho 100 (1/4 ®iĨm)
c/ Ta cã N = P(4) = 49 + 499 = (29)2 + (299)2 = (29 + 299)2 – 29 299
(1/4 điểm) Theo câu b số bị trf có chữ số hàng đơn vị mà số trừ lại có số hàng đơn vị khác hay hiệu chữ số hàng đơn vị khac
Vậy chữ số N khác
C©u 4
- Dựng A’ đối xứng với M qua Ox (1 điểm) - Dựng B’ đối xứng với M qua Oy
- Nối AB cắt Ox A, cắt Oy B (1 điểm) => AM = AA’ (A Ox trung trùc cña A’M) BM = BB’ (B Oy trung trùc cña B’M)
(1/2 ®iĨm) => P(AMB) = AA’ + AB + BB’ nhỏ
(vì A, A, B, B thẳng hàng)
Câu
Tính biệt số = [(a – b)2 – c2][(a + b)2 – c2] (1/2 điểm) Vì a + b > c > vµ < | a – b| < c
nªn (a – b)2 < c2 => (a – b)2 – c2 < 0 vµ (a + b)2 > c2 => (a + b)2 – c2> 0
Do vËy < => Phơng trình vô nghiệm (1/2 điểm) x
y O
M A'
B' A