2. Tính đối xứng qua mặt phẳng của khối tứ diện đều, bát diện đều và hình lập phương.. Tính thể tích khối lăng trụ. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ.. T[r]
(1)a 3a C' B' A' C B A
Chủ đề KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH
Các kiến thức cơ bản cần nhớ
Các dạng tốn cần ơn tập
Bài tập minh hoạ
(Xây dựng tập từ nhận biết ® thơng hiểu ® vận dụng) 1 Khối lăng
trụ, khối chóp, khối chóp cụt, khối đa diện Phân chia lắp ghép khối đa diện Phép đối xứng qua mặt phẳng bằng nhau hai khối đa diện.
2 Khối đa diện đều, loại khối đa diện (tứ diện đều, lập phương, bát diện đều, thập nhị diện đều nhị thập diện đều) Tính đối xứng qua mặt phẳng khối tứ diện đều, bát diện đều hình lập phương Phép vị tự không gian
3 Thể tích khối đa diện Thể tích khối hộp chữ nhật Cơng thức thể tích khối lăng
1. Tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp
Một số ý:
- Chú trọng rèn cho học sinh kỹ vẽ hình khơng gian
- Hệ thống lại cho học sinh công thức tính diện tích tứ giác tam giác đặc biệt
- Phân loại khối chóp, khối lăng trụ thường gặp để xác định đường cao, từ tính thể tích chúng
- Nhắc lại khái niệm góc khơng gian, khoảng cách đối tượng KG
Loại 1: Các khối đa diện thường gặp
Loại 2: Khối chóp, khối lăng trụ có
Bài 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ
Lời giải: Ta có
ABC vng cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng AA' AB
2 2
AA'B AA' A'B AB 8a
AA' 2a 2
Vậy V = B.h = SABC AA' =
3 a 2
Bài 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ này.
Lời giải:
ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 BD 3a
ABCD hình vuông
3a AB
2
Suy B = SABCD =
2 9a
4
Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3
(2)trụ, khối chóp
khối chóp cụt chiều cao cho trước,tìm hình dạng diện tích đáy từ tính thể tích
Loại 3: Khối chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy
Loại 4: Khối chóp có hai mặt bên vng góc với mặt đáy
Loại 5: Khối chóp có cạnh xuất phát từ đỉnh, vng góc với đơi
Loại 6: Hình chóp có cạnh bên hợp với mặt đáy góc
a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải:
Gọi I trung điểm BC Ta có
ABC nên AB
3 &
AI 2 AI BC
A 'I BC(dl3 )
A'BC A'BC
2S 1
S BC.A 'I A 'I 4
2 BC
AA ' (ABC) AA ' AI .
2
A 'AI AA ' A 'I AI 2
Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= 8 3 Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300
Tính thể tích tổng diên tích mặt bên lăng trụ Giải:
Ta có ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên ta có:
DD' (ABCD) DD' BD BD hình chiếu BD' ABCD Vậy góc [BD';(ABCD)] = DBD' 30
0 a 6
BDD' DD' BD.tan 30
3
Vậy V = SABCD.DD' =
3
a 6
3 S = 4SADD'A' =
2
(3)Lời giải:
Ta có A'A (ABC)& BC AB BC A 'B Vậy góc[(A 'BC),(ABC)] ABA' 60 o
0
ABA' AA ' AB.tan 60 a 3
SABC =
2
1BA.BC a
2 2
Vậy V = SABC.AA' =
3
a 3 2
Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
b) Tính diện tích mặt trụ trịn xoay ngoại tiếp hình trụ
Giải
a) Ta có V B h , B diện tích đáy lăng trụ, h chiều cao lăng trụ
Vì tam giác ABC đều, có cạnh a nên
2 3
a B
h = AA’ = a
3 3
a V
(đvtt)
(4)r bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC
2 3
3
a a
r
, l =AA’ =a nên diện tích cần tìm
2
3
2
3
xq
a a
S a
(đvdt)
Bài 7: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 60o.
1) Chứng minh mặt bên tam giác vuông 2)Tính thể tích hình chóp
Lời giải:
1) SA (ABC) SA AB &SA AC mà BC AB BC SB ( đl ).
Vậy mặt bên chóp tam giác vng
2) Ta cóSA (ABC) AB hình chiếu SB (ABC).Vậy góc[SB,(ABC)] = SBA 60o.
ABC
vuông cân nên BA = BC = a
2 SABC =
2 1BA.BC a 2 4
o a 6 SAB SA AB.tan60 2
Vậy
2
ABC
1 1 a a a 6 V3S .SA3 2 24
Bài 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vng góc với đáy ABC (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o.
(5)Lời giải: Mlà trung điểm BC,vì tam giác ABC nên AM
BC SABC (đl3) góc[(SBC);(ABC)] = SMA 60 o.
Ta có V = ABC
1B.h 1S .SA 3 3
o 3a SAM SA AMtan60 2
Vậy V =
3 ABC
1B.h 1S .SA a 3
3 3 8
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o.
1) Tính thể tích hình chóp SABCD
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
Lời giải: 1)Ta có SA (ABC) CD AD CD SD ( đl
).(1)
Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o SAD
vuông nên SA = AD.tan60o = a 3
Vậy
2
ABCD a
1 1 a 3
V3S .SA3 a 3 3
2) Ta dựng AH SD,vì CD(SAD) (do (1) ) nên CD AH
AH (SCD)
Vậy AH khoảng cách từ A đến (SCD)
2 2 2
1 1 1 1 1 4
SAD
AH SA AD 3a a 3a
AH = a 3
(6)Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với đáy a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Chứng minh trung điểm I cạnh BC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài giải
a) Áp dụng công thức
V Bh
B = a2, h = SA = a
3
V a
( đvtt)
b) Trong tam giác vng SAC, có AI trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên AI = IS = IC.(1)
BC AB BC SA BC SB SBC vuông B, IB trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên IB = IS = IC (2)
Tương tự ta có ID = IS = IC(3) Từ (1), (2), (3) ta có I cách tất đỉnh hình chóp nên I tâm mặt
cầu ngoại tiếp
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a SA (ABC) Tam giác ABC vng cân B, AB a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
c) Gọi I H trung điểm SC SB Tính thể tích khối chóp S.AIH
(7)a)
3
1
1
2 ,
2
V B h
a
B S a a a h SA a V
#ABC
b) Gọi I trung điểm SC
SA AC nên A thuộc mặt cầu đường kính SC
BC SA BC Ab nên BC SB B thuộc mặt cầu đường kính SC Như tâm mặt cầu trung điểm I SC cịn bán kính mặt cầu
SC R
Ta có
2
2 2
2 2
4 2
AC a a a
SC SA AC a a a R a
c) Áp dụng công thức
3
1
4
S AIH
S AIH S ACB
S ACB
V SI SH a
V V
V SC SB
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a
Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáyABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB
(8)Lời giải:
1) Gọi H trung điểm AB SAB
SH AB
mà (SAB) (ABCD) SH (ABCD) Vậy H chân đường cao khối chóp 2) Ta có tam giác SAB nên SA =
a 3 2 suy
3 ABCD
1 a 3
V3S .SH 6
Bài 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có
BC = a Mặt bên (SAC) vng góc với đáy, mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy góc 450. a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC
b) Tính thể tích khối chóp SABC.
Lời giải:
a) Kẻ SH BC mp(SAC)mp(ABC) nên SHmp(ABC)
Gọi I, J hình chiếu H AB BC SIAB, SJBC,
theo giả thiết SIH SJH 45 o
Ta có: SHI SHJ HI HJ nên BH đường phân giác ABCừ suy H trung điểm AC
b) HI = HJ = SH = 2
a
VSABC=3 . 12
1 a3
SH SABC
(9)2) Tính thể tích khối chóp SABCD
Lời giải: Dựng SO (ABCD)
Ta có SA = SB = SC = SD nênOA = OB = OC = OD ABCD là
hình thoi có đường trịn ngoại tiếp nên ABCD hình vng
Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên ASCvuông S
2
a OS
3
1 2
3 ABCD
a a
V S SO a
Vậy
3 a 2 V 6
Bài 15: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC Lời giải:
a) Gọi O tâm ABC DO(ABC)
1 . 3 ABC V S DO
2 3
4 ABC
a
S
,
2 3
3 3
a
OC CI 2 2
DO DC OC
6 3
a
2
1 3 6 2
.
3 4 3 12
a a a
V
b) Kẻ MH// DO, kc từ M đến mp(ABC)
1 6
2 6
a MH DO
2
1
3 24
MABC ABC
a a a
V S MH
Vậy
3 a 2 V 24
(10)góc đáy Góc SC đáy 60 M trung điểm SB 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2) Tính thể tích khối chóp MBCD
Lời giải: a)Ta có
1
. 3 ABCD
V S SA
+ SABCD (2 )a 4a2
+ SAC c SA ACó : tanC 2a 6
3
1 8 6
4 6
3 3
a
V a a
b) Kẻ MH / /SA MH (DBC) Ta có:
1
MH SA , 1
2 BCD ABCD
S S
3 D
1 2 6
4 3
MBC
a
V V
(11)Lời giải:
Hạ SH(ABC), kẽ HEAB, HFBC, HJAC
suy SEAB, SFBC, SJAC Ta có SEH SFH SJH 60 O SAH SFH SJH nên HE =HF = HJ = r ( r bán kính
đường trịn ngọai tiếp ABC)
Ta có SABC = p(p a)(p b)(p c)
với p = a
c b a
9 2
Nên SABC =
2
2 . 3 . 4 .
9 a
Mặt khác SABC = p.r 3 6 2 a p
S r
Tam giác vuông SHE: SH = r.tan 600 a
a
2
6
Vậy VSABC =
3 2.2 2 8 3
6
a a
a
Bài 18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a 3 , AD = a, AA’ = a, O giao điểm AC BD
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V
Ta có :V AB A D.AA ' a 3.a2 a3 3 ABD c DBó : AB2 AD2 2a
(12)3 ' ' ' '
1 3
3 3
OA B C D
a
V V
b) M trung điểm BC OM ( ' ')BB C
2
' ' ' '
1 1 3 3
. . .
3 3 2 2 12
O BB C BB C
a a a
V S OM
c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Ta có :
' ' '
3
' OBB C
OBB V C H
S
2
ó : 2
ABD c DB AB AD a
2 '
1 2 OBB
S a
' 2a 3
C H
Bài 19(THPT PB-2008-lần 1): Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC
a) Chứng minh SA vng góc với BC b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a
Bài 20: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Tính thể tích khối chóp, biết: a) Cạnh đáy 2cm, cạnh bên 2cm
b) Cạnh đáy 2cm, cạnh bên hợp với đáy góc 600.
c) Cạnh đáy 2cm, mặt bên hợp với đáy góc 600.
Bài 21 (THPT- PB-2006): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB a
(13)b) Chứng minh trung điểm cạnh bên SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Bài 22( THPT PB-2007-lần 1): Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vng đỉnh B, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S ABC
Bài 23: (THPT PB-2007- lần 2): Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA = AC Tính thể tích khối chóp S ABCD
Bài 24: (THPT PB- 2008 - lần 2): Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy tam giác ABC vng đỉnh B, đường thẳng SA vng góc với với mặt phẳng (ABC) Biết AB = a; BC = a SA = 3a
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
b) Gọi I trung điểm cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a
Bài 25 (THPT 2009): Cho hình chóp S ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết BAC· = 1200, tính thể tích khối chóp S ABC theo a.
Bài 26 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C có cạnh bên cạnh đáy a a) Tính thể tích khối lăng trụ theo a
b) Tính thể tích khối chóp A' ABC theo a
Bài 27: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AB // CD), AB = a, DC = 2a, ADC· = 600,
mặt bên (SAD) vng góc với đáy, SA = SD = AD Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a