CD On tot nghiep mon toan THPT2012

Chú ý : Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần tuân thủ theo các nguyên tắc sau :.. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng[r]

CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

I. NGUYÊN HÀM:

1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) = f(x) với x thuộc K

2 Tính chất:

+ Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x) + C với C số

+ f x dx'( ) f x( )C

+ kf x dx k f x dx( )   ( ) với k R * + ( ( )f x g x dx( )) f x dx( ) g x dx( ) Bảng nguyên hàm

0dx C 

ln

x

x a

a dx C

a

 



a0;a1 dx x C 

 cosaxdx 1sinax C a

a

  



1

-1

x dx x C  



  



 sinaxdx 1acosax C a 0

1

ln

dx x C

x  



1

t anx

os dx C

c x  



x x

e dx e C

 12 cot

sin xdx  x C 

4.Các phương pháp tính nguyên hàm

A Tính nguyên hàm dựa theo định nghĩa tính chất nguyên hàm Bài 1: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số

a) f(x)=1+ sin3x bieát F(6



)=

Giải

Ta có F(x)= x –

1

3 cos3x + C Do F(6 

) =  

-

1 3 cos2



+ C =  C = - 

Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x –

1

3 cos3x - 

b) f x( ) sin 2 x biết F( ) 06 



ĐS:

1

( ) os2

2

F x  c x

c) f(x) = 4x3 - ex + cosx biết F(0) =

ĐS: F x( )x4  ex sinx6 Bài 2: Tính nguyên hàm sau :

a)

( x 3x 5)dx

 ĐS:

4

1

5

4x 2x  x C b)(sinx2cos )x dx ĐS: -cosx + 2sinx + C

c)

2

(3sinx )

os dx c x 



d)sin cos3x xdx

HD:

1

sin x cos3 (sin sin )

x x x

ĐS:

1

os2x- os4x +C 4c 8c

e)

1

(x2)(x3)dx 

HD:

1 1

(x2)(x3)x2 x3 ĐS:

2 ln

3 x

C x

   B Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến

NHẬN XÉT: Khi gặp nguyên hàm có dạng: ( ) '( )

n

U x U x dx n N

 ta đặt t = U(x)

( ) '( ) n N, n

nU x U x dx  

 ta đặt t nU x( )

=> tn U x( ) => n t dt U x dx.n1  '( ) '( )

( ) U x

dx U x 

Đặt U(x) = t ( ) '( )

U x

e U x dx

 ta đặt U(x) = t Bài 1: Tính nguyên hàm sau :

a)

5 ( x1) dx

 ĐS:  

1

6 x C

b)

2

2 (x x 1) dx

 HD: đặt x2 1 t

  ĐS:  

1 x  C

c)

3. 2

x x  dx

 HD: đặt x4 2 t

  ĐS:  

3

6 x  c

d)

HD: đặt

3x1dx x t



2

§ : +C

S x

e)

sin cosx xdx

 ĐS:

4

sin

4 x C

f)

4

3

HD: đặt x

x

e  x dx t

  

4 § :

3

x

S e  c



g)

4 1

x dx x  

7

4

4

: đặt x

1

x x x

HD dx dx t

x   x   

 

4

1

§ : ( 1) ln( 1)

4

S x   x  C

C Tính nguyên hàm phương pháp phần

Công thức:

u dv u v  v du

 

NHẬN XÉT: Khi gặp nguyên hàm có dạng:

ax ( )sin ; ( )cos ; ( ) P x axdx P x axdx P x e dx

   đó

P(x) đa thức ta đặt P(x) = u phần lại dv ( )ln

P x xdx

Bài tập:

) cos ) ( 1)sin

a x xdx

b x xdx





) (2 1) ln )

x

c x e dx x

d dx

x  

 e x) ln(x1)dx

HD: đặt

ln( 1)

u x

dv xdx

 

 

 

2 1

dx du

x x v 



 

  

    

ĐS:

2

1 1

ln( 1)

2

x

x x x c



   

II.TÍCH PHÂN

1)Định nghĩa tích phân :

Cho f(x) hàm số liên tục đoạn a b;    

  giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn

; a b    

  Hiệu số F(a) - F(b) gọi tích phân từ a đến b hàm số f(x) ký hiệu là:

( )

b

a

f x dx 

( ) ( ) ( ) ( )

b

a

b

f x dx F x F b F a a

  



2) Tính chất:

Tính chất 1:

( ) ( )

b a

a b

f x dx f x dx

 

Tính chất 2:

( ) ( )

b b

a a

kf x dx k f x dx

 

với k thuộc R

Tính chất 3:

 ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

  

Tính chất 4:

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

  

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:

a) I =

3

(x 2x1)dx 

1 1

) x

b I e dx 



c)

2 I x dx Giải:

a) I =  

4

2

1

1

1 2 1

4 4

x

x x

   

         

   

 

 

b) I =

3 1

( ) 1

3

3

x

e  

=  

1 e 

c)

2

0

( 2) ( 2)

I   x dxx dx =

5

2/ Tính tích phân phương pháp đổi biến số dạng 1:

Khi gặp tích phân có dạng:

( ) '( )

b n a

U x U x dx

 n N ; n 2

;

'( ) ( )

b

a

U x dx U x 

ta đặt U(x) = t

( ) '( ) n N n

b n a

U x U x dx   

ta đặt nU x( ) t U x( )tn Bài 1: Tính tích phân

a)

8

(2x1) dx 

HD: đặt 2x+1 = t ĐS: 9841

9

b)

2

(2 1) x

dx x x

   

Nhận xét : (x2 +x+1)’= 2x+1 nên ta đặt: x2  x t

ĐS: ln

3

c)

2

2 xdx x  

Nhận xột (x21)' 2 x nên ta đặt x2  1 t  t2 x21; => tdt= xdx

ĐS: 2 5 2

d)

4

sin cosx xdx 



e)  

1 7

5

1

1

x x dx

  

Nhận xét: (x +1)'=5x nên ta đặt x5 5 1 t ĐS: 32

5

f)

1 ln

e x

I dx

x  

2

Nhận xét (1+lnx)'= nên ta đặt lnx t t lnx

x      ; 2

dx tdt

x 

ĐS:

 

2 2



g)

1

I dx

x 

 

HD: đặt x t  x=t ;2 dx2tdt ĐS: 2( – ln2 )

h)

2

sin

x dx cos x 

 

2

NhËn xÐt : (1 cos x)'=-sin2x

nên ta đặt 1+cos x t dt=-sin2xdx 

 

ĐS: ln2 Tính tích phân phương pháp đổi biến dạng 2:

*QUY TẮC:

Tính ( )

b

a

f x dx 

1 đặt x =u(t) , u(t) hàm số có đạo hàm liên tục đoạn  ;  f(u(t)) xác định đoạn  ;  u()= a ; u() =b

2 Biến đổi f(x)dx theo t dt giả sử f(x)dx = g(t)dt

3

( ) ( )

b

a

f x dx g t dt 

 

 

* Bài 1: Tính I =

2

1 x dx 

Nhận xét (1 x2)'2x ta thấy x khơng có ngồi dấu căn,nên khơng thể áp dụng phương pháp đổi biến dạng 1.

Nhận xét: sin2+cos2 =1

<=> sin2 = 1- cos2 nên ta đặt x = sint x = cost 1- x2 = - sin2t ( - x2 = - cos2t )

Giải : đặt x= sint với

; 2 t   

 

đổi cận : x=0 t = ; x = ; t =

I =

2

1 x dx 

=

2 2

2

0 0

1 os2

cos cos os

2

c t

t tdt c tdt dt

  

 

  

  

CHÚ Ý: Với

1

2

1

n

x  x dx 

n  N ta đặt x = sint n chẵn, đặt

t = 1 x2 khi n lẻ

*Bài 2: Tính tích phân sau : 2 2 x I dx x   

Nhận xét: Vì đạo hàm biểu thức dấu khơng có tử số nên ta không áp dụng được phương pháp đổi biến dạng 1

GIẢI: đặt x = sin t với

; 2 t   

  =>dx = cos t dt

Khi x = t =

Khi x =

2 t =  Vậy /4 2 sin cos sin x tdt I t     /4 sin tdt   

(Do cos t > 0)

/4

1

(1 cos )

2 t dt



 

  

*Bi 3: HÃy tính tích phân sau:

a)

2

2

4 x dx  b) 01 dx x

Giải: a) Đặt

2sin , ;

2 x t t    

  Khi x = th× t = Khi x2 th× t  

Tõ x2sint  dx2costdt

2 2

2 2

0 0

4 x dx 4sin 2cost tdt cos tdt

 



    

  

b) Đặt x = tant vi

; 2 t    

  Khi x0 th× t 0, x1 th× t  

Ta cã :  

2

1

1 tan os

dx dt t dt

c t    => 01 dx x   = 4 0 tan tan t dt dt t         

Chó ý: Trong thùc tế gặp dạng tích phân dạng tổng quát nh: Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa dạng

2 2, 2

2

( )

x a  x

(trong a số dơng) mà khơng có cách biến đổi khác nên đổi sang hàm số lợng giác để làm thức, cụ thể là:

 Với a2 x2 , đặt

sin , ;

2 x a t t   

 

hc x a cos ,t t0;

 Với a2 x2 , đặt x = atant t 

; 2

  

 

 

 

 Với x2  a2 đặt cos

a x

t 

, t0;

 Víi

2

( )

x a  x đặt x asin2t

 ,t 0;2      

 

 CHÚ Ý: Khi tính tích phân phương pháp đổi biến số cần phân biệt cho học sinh

nắm áp dụng cách đổi biến dạng 1, áp dụng cách đổi biến

dạng 2.Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng: f u x u x dx( ( )) '( ) ; '( )

( ) u x dx

u x ; '( )

( )

n

u x dx u x Thì nên áp dụng đổi biến số dạng Nếu khơng áp dụng cách đổi biến dạng áp dụng cách đổi biến dạng Trường hợp không dùng phương pháp đổi biến số ta áp dụng phương pháp tích phân phần

IV PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN;

Định lí . Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục a b;  thì:

 

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

b b

a a

b

u x v x dx u x v x v x u x dx a

 

 

hay

( )

b b

a a

b

udv uv vdu a

 

 

Chú ý : Khi sử dụng phương pháp tích phân phần để tính tích phân, cần tuân thủ theo nguyên tắc sau :

1 Lựa chọn phép đặt dv cho v xác định cách dễ dàng.

2 Tích phân

b

a

vdu 

xác định cách dễ dàng so với tích phân ban đầu

b

a

udv 

( )sin( )

b

a

P x cx dx 

(

( ) os( )

b

a

P x c cx dx  ) ( ) b cx d a

P x e  dx 

với P(x) đa thức Khi ta đặt u= P(x) phần cịn lại dv

Dạng :

os

b x a

e c xdx 

:

sin b x a e xdx 

Ta đặt u= ex; dv = cosxdx ( dv=sinxdx )

Cũng đặt : u =cosx ( u =sinx ) dv = e dxx Dạng3 : I= ( )ln b k a

P x xdx 

Đặt u = lnk x dv = P(x)dx Bài 1: Tính tích phân

a) ln e x xdx  ĐS: 1 e  b)

(x 2)e dxx

 

ĐS: – 2e

c)

(x )cosxdx    ĐS: 2    d)

(2 x)sinxdx 

 

ĐS :

e) os x I dx c x  

HD: cos2 tan

u x du dx

dx v x dv x              sin

( tan ) ln cos ln

cos 4

0

x

I x x dx x

x             ĐS: ln

I  

Một số tập tổng hợp:

1. Tính  

1

x

I x x e dx

GIẢI:

1

2

0 0

1

x x x

I x dxxe dx xe dx = 1 x xe dx  Với ta đặt x x u x xe dx

 

1

0

1

1

x x x

xe dx xe e dx

     

Vậy I 

2. Tính

(1 cos )

I x x dx



 

GIẢI:

2 2

2

0 0

1

cos cos

2 0

I xdx x xdx x x xdx

  



     

Với

cos ta đặt

cos sin

u x du dx

x xdx

dv xdx v x



 

 



 

 

 



 

2

0

cos sin sin

2

x xdx x x xdx

 





      

Vậy:

2

1

8

I   

3. Tính 1

( )ln

e

I x xdx

x  

HD: 1

1

ln ln

e e

I x xdx xdx

x   

Tính 1 ln

e

I x xdx

phương pháp phần

Tính 1

ln

e

I xdx

x 

phương pháp đổi biến

4. Tính

4 4

2 2

0 0

1

os os os

x x

I dx dx dx

c x c x c x

  



  

5.

osx

(ec x)sinxdx 



 osx

0

1 sinxdx sin

c

e x xdx e

e

 



    

Tính

osx

0

sinxdx

c

I e

 

cách đặt cosx = t

Tính

0 sin

I x xdx

 

phương pháp phần

III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1. Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f(x)liên tục đoạn a b;  , trục hoành đường thẳng x=a; x=b tính theo cơng thức:

S =

( )

b

a

f x dx 

(1)

Cho hai hàm số yf x1( ); yf x2( ) liên tục đoạn a b;  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số yf x1( ); yf x2( )và đường thẳng x=a ; x=b là:

S =

1( ) 2( )

b

a

f x  f x dx 

(2)

3 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong x = g(y); x = h(y) ( g h hàm số

liên tục đoạn c d;    

  hai đường thẳng y =c; y = d là:

S=

( ) ( )

d

c

g y  h y dy 

(3)

CHÚ Ý: Khi áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng cần khử dấu giá trị tuyệt đối dưới dấu tích phân.Chẳng hạn cơng thức (2) ta giải phương trình

f1(x)- f2(x) =0 đoạn ;    

a b , giả sử phương trình có hai nghiệm c;d ( a < c < d < b ), khi đó:

S =

1 2

( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

c d b

a c d

f x  f x dx  f x  f x dx  f x  f x dx

  

Hoặc xét dấu f x1( ) f x2( ) đoạn a b;  Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường

a) y x y 3, 0,x1,x2 ĐS : 15

4 b) y = lnx ; y = ; x = e ĐS :

c) y = x2 - 3x + 2, y = ĐS : y) y2x2 4x 6; y=0; x=-2; x=

HD : giải phương trình 2x2 4x 0 đoạn 2;4 có hai nghiệm x = -1 ; x =

Diện tích

1

2 2

2

2 6

S x x dx x x dx x x dx



 

1

2 2

2

(2x 4x 6)dx (2x 4x 6)dx (2x 4x 6)dx 

 

          

ĐS :S= 92

3

Chú ý: Khi tính diện tích hình phẳng cần cho học sinh xác định giả thiết toán xem đủ kiện cơng thức chưa? Có thừa hay thiếu khơng.

Chẳng hạn câu b) ta có y= lnx ; y =0; x = e cịn thiếu cận tích phân ( x = a ; x =b ) công thức (1) Do cần giải phương trình

f1(x) - f2(x) = để tìm thêm cận tích phân Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường

a, y x 2 3x1 , y = x + 1, x = 0, x =

HD : xét phương trình

2 3 1 1

4 (lo¹i) x

x x x

x        

 

=>diện tích

3

2

0

4 ( )

S x  x dxx  x dx 

ĐS :S = 9: b, y = x2 -2x , y = x

HD : xét phương trình

2 2

3 x

x x x

x      

 

=> diện tích

3

2

0

9

3 ( )

2 S x  x dxx  x dx 

ĐS :S =

2

c, yx24x 3 tiếp tuyến (P) tạị điểm

M( ; -3) N( ; 0)

HD : y’ = -2x + 4 y’(0) = ; y’(3) = -

Tiếp tuyến (P) M( ; -3) có phương trình y = 4x –

Tiếp tuyến (P) N( ; 0) có phương trình y = -2x +6 Xét phương trình 4x – = -2x +  x = 1,5

Diện tích

3

2

3

2

4 4

S   x  x  x dx  x  x  x dx

3

2

3

2

9

( 9)

4

x dx x x dx

    

ĐS :S = B/ TÍNH THỂ TÍCH;

Cơng thức tính:

1.Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) liên tục đoạn a b;  , trục hoành đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục 0x tạo thành khối trịn xoay tích là:

  ( )

b

a

V f x dx

2 Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g(y) liên tục đoạn c d;  , trục tung đường thẳng y =c; y = d quay quanh trục oy tạo thành khối trịn xoay tích là:

 ( )2

d

c

V g y dy

(2)

Bài 1: Tính thể tích khối trịn xoay miền hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox:

a) y = cosx y = x = ; x = 

ĐS

8

 



b)

sin , 0, 0,

2

x

y y x x

ĐS:

2 2

8

 



c) y - , x2 x y  ĐS : 16

15 

d) y x 21; y=x+1

HD : Xét phương trình :

2 1 1

1 x

x x

x        



Gọi V1 thể tích khối tạo thành quay hình phẳng giới hạn y x 21 ; y = ;x =0 ; x = nó

quay quanh trục ox

1

2

1

28 ( 1)

15 V x  dx 

Gọi V2 thể tích khối tạo thành quay hình phẳng giới hạn y x 1 ; y = ;x =0 ; x = nó

quay quanh trục ox

1

2

0

7 ( 1)

3 V x dx 

Do ta tích khối cần tìm : 15 V V V  

ĐS : V = 15



Bài 2: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường: y2 = x3, y = 1, x = quay xung quanh trục 0y

Hướng dẫn giải:

Từ y2 = x3 <=> x3 y2

Giải PT: y2  0 y0

1

V  y dy