Khi đó: Nếu véc tơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến và đường thẳng d 1 không cùng phương thì đường thẳng d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng mp(P) và mp(Q).. Tính diện tích ta[r]
(1)Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT-GDTX năm 2012 Chủ đề 5: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1) Một số phép tốn vectơ
Tọa độ khơng gian.
1. u x y z( ; ; ) u x i y j z k
2. M x y z( ; ; ) OM xiyjzk OM x y z( ; ; )
3 Nếu a x y z b x y z( ; ; ), ( '; '; ')
thì: + a b (x x y y z z '; '; ') + ka ( x; ; z) k ky k
+ a b.x x 'y y z z ' ' +| |a x2y2z2
+ 2
' ' ' cos( , )
| | | |
a b x x y y z z
a b
a b x y z
+ ab a b.0
+
' ' ' x x
a b y y
z z
4. Nếu A (x1;y1;z1), B (x2;y2;z2), thì:
+ AB(x1 x y2; 1 y z2; 1 z2)
(*)
+ |AB| (x1 x2)2(y1 y2)2(z1 z2)2
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k,k1 :
1 1
A B
M
A B
M
A B
M
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz
z
k
+ Nếu M trung điểm AB thì:
2 2
A B M
A B M
A B M
x x
x
y y
y
z z
z
Tích có hướng hai vectơ
* Nếu a x y z b x y z( ; ; ), ( '; '; ')
(2)
[ , ] ;
' ' ' ' ' '
y z z x x y
a b
y z z x x y
* Kết quả: + Vectơ [ , ]a b
vng góc với a và b
+ Hai vectơ a và bcùng phương [ , ]a b = 0. + Ba vectơ a b,
và cđồng phẳng [ , ].ca b = 0. + [ , ]|=| |.| |sin( , )a b a b a b
+
1
|[ , ] |
ABC
S AB AC
+
1
|[ , ] |
ABC
V AB AC AD
+ VABCD A B C D ' ' ' '| [AB AC AA, ] ' |
2) Phương trình tổng quát mặt phẳng.
*) Phương trình tổng quát mặt phẳng qua điểm M(x0;y0;z0) có vectơ pháp tuyến n( ; ; )A B C là:
A(x –x0 ) + B(y – y0 )+C(z – z0 ) =
Hay: Ax + By + Cz + D =0 ( Với D = –Ax0 – By0 – Cz0 = 0) Nếu mp () có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0 thì ta có 1vtptcủa ( ) là:
n = (A; B; C)
*) Phương trình mặt phẳng qua điểm A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là
x y z
abc ( Phương trình đoạn chắn)
Chú ý: Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ1 điểm mà qua véctơ pháp tuyến
*) Vị trí tương đối hai mp (1) (2) :
° ( ) cắt( ) A B C1: 1: 1A B C2: 2:
°
1 1
2 2
( ) / / ( ) A B C D
A B C D
°
1 1
2 2
( ) ( ) A B C D
A B C D
° ( ) ( ) A A1 2B B1 2C C1 0 3) Phương trình đường thẳng
+ Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M(x0;y0;z0) có vectơ
phương u( ; ; )a b c là:
0 0
( )
x x at
y y bt t
z z ct
0 0
( )
x x at
y y bt t
z z ct
+ Phương trình tắc đường thẳng qua điểm M(x0;y0;z0) có vectơ phương u( ; ; )a b c là:
0 0
( )
x x at
y y bt t
z z ct
0 0
x x y y z z
a b c
(3)+Vị trí tương đối đường thẳng d , d’ : Ta thực hai bước Tìm quan hệ vtcp ud
, ud/
Tìm điểm chung d , d’bằng cách xét hệ:
0
0
0
x + at = x' + a't' y + bt = y' + b't' (I) z + ct = z' + c't'
Hệ (I) Quan hệ
giữa ud'
, ud/
Vị trí d , d’ Vơ số
nghiệm Cùng phương
'
d d
Vô nghiệm '
/ /
d d
Có
nghiệm Không phương
d cắt d’ Vô nghiệm d , d’chéo
nhau
4) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng
Tùy theo dang đường thẳng mặt phẳng cho mà ta chọn cách xét vị trí tương đối Cụ thể có ba cách xét là:
+ Xét hệ phương trình tương giao
+ Quan hệ vectơ pháp tuyến, vectơ phương vectơ nối hai điểm đường thẳng
+ Quan hệ thuộc
5) Góc khoảng cách
+ Gọi góc hai đường thẳng d1, d2 nên ta có: cos | cos(u ud1, d2) |
+ Gọi góc hai mặt phẳng (P), (Q) nên ta có: cos | cos(n( )P ,n( )Q ) |
+ Gọi góc hai mặt phẳng (P) đường thẳng d nên ta có: sin | cos( ,u nd ( )P ) |
+ Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = là:
0 0
2 2
| Ax + By + Cz + D | ( / ( ))
A + B + C
d M P
+ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng qua A có vectơ phương u là:
| [u , ] | ( / )
| u | AM
d M
+ Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 d2 là:
1
1
1 2
| [u , u ] | ( / )
|[u , u ]|
d d d d
M M
d d d
6) Mặt cầu:
(4)+ Phương trình: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = phương trình mặt cầu A2 + B2 + C2 – D >
Khi tâm mặt cầu là: I(-A;-B;-C) bán kính R A2B2C2 D .
+ Nếu d(I/(P)) = R mp(P) tiếp xúc với mặt cầu + Nếu d(I/(P)) > R mp(P) khơng cắt mặt cầu
+ Nếu d(I/(P)) < R mp(P) cắt mặt cầu theo giao tuyến đường trịn có tâm hình chiếu I mặt phẳng (P) bán kính r R2 d2 với d = d(I/(P)).
II CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP:
Dạng 1: Các tốn phép toán véc tơ.
Chứng minh A,B,C ba đỉnh tam giác, xác định hình dạng tam giác A,B,C ba đỉnh tam giác AB ,AC không phương
Tìm D cho ABCD hình bình hành ABCD hình bình hành AB DC
Chứng minh ABCD tứ diện, tính thể tích tứ diện, tính độ dài đường cao tứ diện, xác định tính chất đặc biệt tứ diện
+ Viết phương trình (BCD)
+ Thay tọa độ A vào phương trình mp(BCD) cmA(BCD) ( Hoặc: chứng minh AB AC AD, 0
)
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng.
Viết phươngtrình mặt phẳng (P) trường hợp sau:
1. Mặt phẳng (P) qua điểm M(x0;y0;z0) có vectơ pháp tuyến n( ; ; )A B C
là: A(x –x0 ) + B(y – y0 )+C(z – z0 ) =
2. Mặt phẳng (P) qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C + Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P): n( )P [AB AC, ]
+ Điểm mặt phẳng qua A ( B, C)
3. Mặt phẳng (P) qua điểm M vng góc với đường thẳng d cho trước: + n( )P ud
+ Điểm mặt phẳng qua M
4. Mặt phẳng (P) qua điểm M song song với mặt phẳng (Q) cho trước: + n( )P n( )Q
+ Điểm mặt phẳng qua M
5. Mặt phẳng (P) qua điểm M đường thẳng d cho trước + n( )P [MM0,u ]d
(M0d )
+ Điểm mặt phẳng qua M
6. Mặt phẳng (P) qua điểm hai đường thẳng cắt d1, d2: + n( )P [u ,u ]d1 d2
+ Điểm mặt phẳng qua M1 thuộc d1 (hoặc M2 thuộc d2 giao điểm hai đường thẳng đó)
7 Mặt phẳng (P) qua hai đường thẳng song song d d' + n( )P u MMd, '
(5)+ Điểm mặt phẳng qua điểm M thuộc d hay M' thuộc d'
8. Mặt phẳng (P) chứa d1 song song với d2 (d1 d2 chéo nhau) + n( )P [u ,u ]d1 d2
+ Điểm mặt phẳng qua M1 thuộc d1
9. Mặt phẳng (P) chứa d1 vng góc với mặt phẳng (Q) cho trước: + n( )P [u nd1, ( )Q ]
+ Điểm mặt phẳng qua M1 thuộc d
10. Mặt phẳng (P) qua M song song với d1 d2 chéo + n( )P [u ,u ]d1 d2
+ Điểm mặt phẳng qua M
11. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với mặt phẳng (R), (Q) cho trước: + n( )P [n( )R ,n( )Q ]
+ Điểm mặt phẳng qua M
12. Mặt phẳng (P) song song với mp (Q) cách điểm A khoảng cho trước + n( )P n( )Q
PTTQ mp (P): Ax + By + Cz + D = 0. + Tìm D
13. Mặt phẳng (P) song song với mp (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) + n( )P n( )Q
PTTQ mp (P): Ax + By + Cz + D = 0. + Tìm D
14 Mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng chéo d, d’ tiếp xúc với mặt cầu (S)
+ n( )P u ud, d'
PTTQ mp (P): Ax + By + Cz + D = 0. + Tìm D
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng.
1 Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau:
a) Đường thẳng d qua điểm M(x0;y0;z0) có vectơ phương u ( ; ; )a b c
:
+ Phương trình tham số:
0 0
( )
x x at
y y bt t
z z ct
+ Phương trình tắc:
0 0
( )
x x at
y y bt t
z z ct
0 0
x x y y z z
a b c
a) Đường thẳng d qua điểm M(x0;y0;z0) vng góc với mp(P): Ax + By + Cz + D =
+ ud n( )P =(A;B;C)
+ Phương trình đường thẳng d:
0 0
x x y y z z
A B C
b) Đường thẳng d qua điểm M(x0;y0;z0) song song đường thẳng d’ có vectơ phương ud' ( ; ; )a b c
+ ud ud' ( ; ; )a b c
(6)+ Phương trình đường thẳng d:
0 0
x x y y z z
a b c
2.Viết phương trình đường thẳng d giao tuyến hai mp(P) mp(Q). Cách 1:
+ ud [n , n ]( )P ( )Q
+ Điểm mà đường thẳng d qua có tọa độ nghiệm hệ phương trình tạo phương trình hai mặt phẳng (P) (Q)
Cách 2: Lấy hai điểm A, B điểm chung hai mặt phẳng (P) (Q), suy giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng AB
Cách 3: Gọi M điểm chung hai mặt phẳng (P) (Q) Giả sử M có hồnh độ x = t, ta tìm y z theo t ,từ ta có phương trình tham số giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q)
3.Viết phương trình đường thẳng d’ hình chiếu đường thẳng d trên mp(P):
Cách 1:
+ Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d vng góc mp(P) + Khi đường thẳng d’ giao tuyến mp(P) mp(Q)
Cách 2:
+ Lấy hai điểm A, B thuộc đường thẳng d
+ Tìm điểm A’ B’ hình chiếu điểm A B ttrên mp(P) Khi đó: đường thẳng A’B’ hình chiếu đường thẳng d (P)
4 Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với hai đường thẳng d1, d2.
Vì
1
1 2
1
u
[u , u ] u
d d
d d d
d d
u
d d
u
d d u
Từ ta viết phương trình đường thẳng d
5 Viết phương trình đường thẳng d qua M song song với hai mp(P) và mp(Q).
Vì đường thẳng d song song với hai mp(P) mp(Q) nên
( )
( ) ( ) ( )
n
[n , n ] n
d P
d P Q
d Q
u
u u
Từ ta viết phương trình đường thẳng d
6. Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt hai đường thẳng d1, d2.
Cách 1:
+ Viết phương trình mp(P) qua điểm M đường thẳng d1 + Viết phương trình mp(Q) qua điểm M đường thẳng d2 Khi đó: Nếu ud
, ud1
u ud, d2
khơng phương đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng mp(P) mp(Q)
Cách 2:
(7)+ Viết phương trình đường thẳng MI Nếu vectơ phương hai đường thẳng MI d1 không phương đường thẳng MI đường thẳng d cần tìm
7 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M , cắt đường thẳng d1, vuông
góc với đường thẳng d2.
Cách 1:
+ Viết phương trình mp(P) qua điểm M đường thẳng d1
+ Viết phương trình mp(Q) qua điểm M vng góc với đường thẳng d2
Khi đó: Nếu véc tơ phương đường thẳng giao tuyến đường thẳng d1 không phương đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng mp(P) mp(Q) Cách 2:
+ Viết phương trình mp(P) qua điểm M vng góc với đường thẳng d2 + Tìm giao điểm I đường thẳng d1 mp(P)
Khi đó: đường thẳng MI đường thẳng d cần tìm
8 Viết phương trình đường thẳng d song song đường thẳng d1 cắt hai đường
thẳng d2, d3.
Cách 1:
+ Viết phương trình mp(P) song song với đường thẳng d1 chứa đ.thẳngd2 + Viết phương trình mp(Q) song song với đường thẳng d1 chứa đt d3 Gọi giao tuyến (P) (Q) d Nếu u ud, d2
không phương u ud, d3
khơng phương d đường thẳng cần tìm
Cách 2:
+ Viết phương trình mp(P) chứa d2 song song d1 + Tìm giao điểm I đường thẳng d3 mp(P)
+ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I song song với đt d1 Nếu u ud, d2
khơng phương d đường thẳng cần tìm
Cách 3:
+ Giả sử
2
d d A
d d B
ta viết tọa độ tổng quát điểm A, B theo t t’. + Vì d song song d1 AB
phương với ud1 AB k ud1
Ta có hệ hai phương trình hai ẩn t t’
Giải hệ ta tìm t t’ suy tọa độ A B
Đường thẳng AB đường thẳng d cần tìm
9 Viết phương trình đường thẳng d đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1, d2.
Cách 1:
+ Giả sử
1
d d A
d d B
ta viết tọa độ tổng quát A, B theo t t’.
+ Vì
1
2
1
u u
u u
d d
d d
AB AB
d d
d d AB AB
(8)Đường thẳng AB đường thẳng d cần tìm
Cách 2:
+ Vì đường thẳng d vng gócvới đường thẳng d1, d2 nên đường thẳng d có véc tơ phương là: ud [u , u ]d1 d2
+ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 có véc tơ pháp tuyến là:
( )P d, d
n u u
+ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d2 có véc tơ pháp tuyến là:
( )Q d, d
n u u
Suy ra: giao tuyến (P) (Q) đường thẳng d cần tìm
Đặc biệt: Nếu d1 d2 để viết phương trình đường thẳng d đường vng góc chung
của d1, d2 ta làm sau:
+ Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng d1 vng góc với đường thẳng d2 + Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d2 vng góc với đường thẳng d1 Khi đó: giao tuyến (P) (Q) đường thẳng d cần tìm
10 Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm I đường thẳng d’ và mặt phẳng (P), nằm (P) vng góc với d’.
+ Tìm toạ độ điểm I
+ ud n( )P ,ud'
Dạng4: Tìm điểm H hình chiếu điểm M mặt phẳng , đường thẳng. a H hình chiếu M mp()
Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc ()
H = d ()
b H hình chiếu M đường thẳng d
H thuộc đt d Toạ độ tổng quát H theo tham số t. Tính MH
Ta có MH ud MH u d 0 t ?
tọa độ H
Dạng : Điểm đối xứng M’ M qua mặt phẳng, đường thẳng. a Điểm M/ đối xứng với M qua mp(
)
Tìm hình chiếu H M mp()
M/ đối xứng với M qua (
) H trung điểm MM/
/
/
/ 2
H M
M
H M
M
H M
M
x x x
y y y
z z z
b Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d:
Tìm hình chiếu H M d
M/ đối xứng với M qua d H trung điểm của MM/
/
/
/ 2
H M
M
H M
M
H M
M
x x x
y y y
z z z
Dạng 6: Khoảng cách
a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng :
(9)+ Tính d(A, ) = AH
b) Khoảng cách đường thẳng ( ) với / /( ) :
+ Lấy M
+ d( ,( )) d M( ,( ))
c) Khoảng cách đường thẳng chéo , ’ :
+ Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa ’ //
+ Lấy M
+ d( , ) ' d M( ,( ))
Chú ý: Với toán a) c) HS ban KHTN có cơng thức tính
Dạng 7: Một số tốn hình học không gian giải phương pháp toạ độ
III BÀI TẬP MINH HỌA
Bài : Trong không gian Oxyz cho A(1;3;-2), B(-1;1;2) C(1;1;-3)
a) Chứng minh ABC tam giác vuông A Tính diện tích tam giác ABC b) Viết phương trình tham số đường thẳng AM, với AM trung tuyến tam
giác ABC
c) Viết phương trình tổng quát mp(P) qua đỉnh tam giác ABC d) Tính khoảng cách từ D(2;1;2) đến mp(ABC)
Bài giải
a)
Ta có: AB ( 2; 2; 4) AB2 6, AC(0; 2; 1) AC
Suy ra: AB AC 0 4 0 ABAC
Hay tam giác ABC vng A Diện tích tam giác ABC:
1
5.2 30
2
S AC AB
b)
M trung điểm BC nên
1 0;1;
2
M
Đường thẳng AM qua A(1;3;-2) nhận
3 1; 2;
2
AM
làm VTCP có phương trình tham số:
1
3
2
x t
y t
z t
c)
Gọi nAB AC (10; 2; 4)
Mp(P) qua A(1;3;-2) nhận n(10; 2;4) làm VTPT có phương trình tổng qt:
0 0
( ) ( ) ( )
10( 1) 2( 3) 4( 2)
5 2
A x x B y y C z z
x y z
x y z
(10)10 30 ( ,( ))
2 25
d D ABC
Bài 2: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) mp(P) x 2y2z 1 a) Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A
b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC
c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P)
Bài giải
a)
Mặt cầu tâm B, qua A nên có bán kính r = AB
AB
Phương trình mặt cầu cần tìm:
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
( 1) ( 3) ( 1)
x a y b z c r
x y z
b)
Gọi I trung điểm BC Khi đó:
3 69
1; ; ,
2 2
I BC
Mặt cầu đường kính BC có tâm 1; ;
2
I
, bán kính r = 69
2 có phương trình:
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
3 69
( 1) ( ) ( 2)
2
x a y b z c r
x y z
c)
Mặt cầu tâm C tiếp xúc với (P) nên có bán kính 12
( ,( ))
1 4
r d C P
Phương trình mặt cầu cấn tìm:
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
( 2) ( 6) 25
x a y b z c r
x y z
Bài 3: Cho mặt cầu (S): x2y2z2 2x6y 8z 1 0. a) Xác định tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu (S) b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu M(1;1;1)
Bài giải
a)
Từ phương trình mặt cầu ta có:
2
2
2
1
a a
b b
c c
d d
Tọa độ tâm I(1; -3; 4)
Bán kính: R 16 5 b)
(11)(0; 4; 3)
IM
Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT IM (0; 4; 3)
có phương trình: 0( 1) 4( 1) 3( 1)
4
x y z
y z
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) trường hợp sau: a) (P) qua điểm A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1)
b) (P) qua DE song song với GH với D(1;1;1), E(2;1;2), G(-1;2;2) H(2;1;-1) c) (P) mặt phẳng trung trực MN với M(2;3;1), N(-4;1;5)
Bài giải
a) Ta có: AB ( 3;0; 2), BC(4; 3; 5)
, (6; 7;9)
n AB BC
Mp(P) qua A(0;1;2), có VTPT n(6; 7;9) có phương trình: 6( 0) 7( 1) 9( 2)
6 11
x y z
x y z
b) DE(1;0;1),GH (3; 1; 3), n DE GH, (1;6; 1)
Mp(P) qua D(1;1;1), có VTPT có phương trình: 1( 1) 6( 1) 1( 1)
6
x y z
x y z
c) Gọi I trung điểm MN, I1; 2;3 ( 6; 2;4)
MN
Mp(P) mp trung trực MN nên qua điểm qua I1;2;3, nhận MN ( 6; 2;4)
làm VTPT có phương trình: 6( 1) 2( 2) 4( 3)
6 14
x y z
x y z
Bài 5: Trong khơng gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1) Viết phương trình tham số đường thẳng d biết:
a) d qua điểm A trung điểm I đoạn thẳng BC b) d qua C vng góc với mp(ABC)
Bài giải
a)
I trung điểm BC nên
1 1; ;
2
I
VTCP:
3 1; ;
2
AI
Phương trình tham số đường thẳng d:
3
2
2
x t
y t
z t
b) AB ( 3;0; 2),BC (4; 3; 5)
VTCP: u AB BC, (6; 7;9)
(12)Phương trình đường thẳng d cần tìm:
1
x t
y t
z t
Bài 6: Xét vị trí tương đối d
1 3
x t
y t
z t
với đường thẳng:
a)
1
1
:
3
x t
y t
z t
b)
2
2
:
1
x t
y t
z t
c)
3
1
:
1
x t
y t
z t
Bài giải
d có VTCP u(1; 1;3) . a)
1
có VTCP u1(2; 2;6) .
Xét hệ phương trình:
1 ' '
2 ' '
3 ' '
t t t t
t t t t
t t t t
vô nghiệm.
Và u1(2; 2;6) 2 u
Suy ra: d // 1
b)
Thực tương tự: d 2 cắt
c)
Thực tương tự: d 3 chéo
Bài 7: Cho điểm A(-2;6;1) B(-1;1;2) C(2;-1;2) D(-1;1;0)
1 Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng (BCD) Tìm toạ độ hình chiếu H A (BCD)
3 Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (BCD) Tìm toạ độ hình chiếu K D đường thẳng BC
5 Tìm toạ độ điểm D’ đối xứng với điểm D qua đường thẳng BC
Giải:
1 Ta có: BC(3; 2;0) BD(0;0; 2)
BC BD, 4;6;0
(BCD) có VTPT: n(2;3;0)
PTĐT d là:
2
x t
y t
z
PTMP (BCD) là: 2x + 3y - =
Toạ độ điểm H nghiệm hệ pt:
2
4
3 ( 4;3;1)
1
x t
x
y t
y H
z
z
x y
(13)4 BC(3; 2;0)
PTĐT BC:
1 2
x t
y t
z
Do K BC K(-1+3t;1-2t;2) KD3 ; ; 2t t
Do KDBC KD BC 0 t 0 K( 1;1; 2)
Do D’ đối xứng với D qua BC nên K trung điểm BC D’(-1;1;4)
Bài 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết: mp (P) qua điểm
A(-1; 2; -3) đường thẳng d có phương trình
1 3
x t
y t
z t
Giải: Ta có: đường thẳng d ln qua điểm M(1; -1; 3) có vectơ phương (3;2;-5)
d
u ; MA =(-2; 3; -6) Gọi n( )P
vectơ pháp tuyến mp(P)
Vì mp(P) qua điểm A(-1;2;-3) đường thẳng d nên
( )P [ , ] (-3; -28; -13)d
n MA u Suy phương trình mp(P) là: 3(x + 1) + 28(y – 2) + 13(z + 3) = 3x + 28y + 13z – 14 = 0.
Vậy: phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A đường thẳng d là: 3x + 28y + 13z – 14 =
Bài : Trong không gian cho hai đường thẳng:
2
:
1
x y z
d
5
:
3 1
x y z
d
a) Chứng minh d1, d2 chéo
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 song song d2 Giải:
Ta có:
Đường thẳng d1 qua M1(-2; 2; 0) có vectơ phương u ( 1;1; 2)d1
Đường thẳng d2 qua M2(-5; 2; 0) có vectơ phương u (3; 1;1)d2
c) Xét hệ phương trình tạo phương trình hai đường thẳng d1, d2 :
0
2
2
1
5
3 1
x y
x y z
y z
x y z x y
y z
(hệ vô nghiệm) Suy : d1 song song với d2 d1 d2 chéo
Mặt khác: hai vectơ phương u ( 1;1;2)d1
, u (3; 1;1)d2
không phương nên d1 song song d2 , d1 d2 chéo
b) Vì mp(P) mặt phẳng chứa d1 song song d2 nên ta có: n( )P =[u , u ]=(3; 7; -2)d1 d2
(14)3(x + 2) + 7(y – 2) – 2z = 3x + 7y – 2z – =
Lưu ý : Để chứng minh d1 chéo d2 em học sinh ban KHTN cịn chứng minh cách CM : [u , u ].d1 d2 M M1 0
Bài 10 : Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) x2 + y2 + z2 -2x -4y -6z – =0
và song song với mặt phẳng (P): 4x + 3y – 12z + = Giải:
Ta có: mặt cầu (S) viết lại :
2 2
1 16
x y z
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) bán kính R=4
Vì mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng có dạng : 4x + 3y -12z + D =0
Hơn nữa: mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) nên
( )
4 3.6
4 16 144
26 52 78
26
d I R
D D
D D
Vậy: có hai mặt phẳng thoả mãn điều kiện đầu bàiđó là: 4x + 3y -12z + 78 =0
4x + 3y -12z -26 =0
Bài 11 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng
1 3
:
1
x y z
d
mặt phẳng (P) : 2x + y -2z + = 0
a, Tìm toạ độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b, Tìm A d P Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P), qua A
vng góc với đường thẳng d Giải:
a, Theo giả thiết I d nên điểm I có toạ độ tổng quát là:
I( 1-t; -3+2t; 3+t) Hơn nữa:
( )
2 4
2
2
9
1
1
P
d I
t t t
t
t
t t
t t
(15)* Với t=2 ta có : I (3;-7;1) * Với t =4 ta có: I( -3;5;7)
Vậy: có hai điểm I thoả mãn điều kiện đầu : I (3;-7;1) I( -3;5;7) b, Do A d P nên tọa độ điểm A nghiệm hệ :
2
2 (0; 1; 4)
2
x y
y z A
x y z
Theo giả thiết: đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng d nên đường thẳng ∆ có VTCP : u n( )P ,ud
Mà : n( )P (2;1; 2), ud ( 1; 2;1)
(5;0;5) (1;0;1)
u hay u
Vậy: Phương trình đường thẳng ∆ :
1 x t
y
z t
Bài 12 : Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2y– 4z -20 = mặt phẳng (P): x + 2y – z + =
Chứng minh rằng: mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường trịn (C) Xác định tâm bán kính đường tròn giao tuyến (C)
Giải:
Ta ln có : mặt cầu (S) có tâm I(0;1;2) bán kính R=5
Vì: ( )
2 8
6
P
d I R
Mặt cầu (S) cắt (P) theo giao tuyến đường tròn (C)
Gọi H hình chiếu I (P) H tâm đường tròn (C) bán kính (C) là:
2 ( )P
r R d I
* Gọi d đường thẳng di qua I vuông góc với mặt phẳng (P) nên d có VTCP :
( ) (1; : 1)
d P
u n
Phương trình đường thẳng d là:
1 2 x t
y t
z t
Khi đó: Toạ độ điểm H nghiệm hệ :
4
1 5 10
( ; ; )
2 3 3
10
2
3 x x t
y t
y H
z t
x y z z
Và bán kinh (C) là:
64 23 25
6
r
Vậy: mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường trịn (C) có tâm 10
( ; ; ) 3
H
và bán kính
23
r
(16)Bài 13: Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) (Với a > b > 0)
Gọi M trung điểm CC’ Xác định tỉ số
a
b để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vng góc với nhau. Giải:
* Theo gt ta ln có: C(a; a; 0), C’(a; a; b)
Vì M trung điểm CC’ nên M(a; a; b/2)
Khi đó:
' (a;0; b) ' ' (0;a; b)
(0; a; b/2) ' ( a;0; b/2) A B
A D MB A B
Do đó: vectơ phương mp(A’BD)là:
2
1 [ , ]=(ab;ab;a )
n A B A D
Và : vectơ phương mp(MBD) là: n2 [MB MD, ]=(ab/2; ab/2; a )
* Để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vng góc với ta phải có:
2 2
4 2
1 2
2
a b a b
a a b a
2
a a
1
b b
n n n n
Vậy: tỉ số a
1
b hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vng góc với nhau.
Bài 14: (Đề thi Đại học khối A năm 2008)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD CMR : AM BP Tính thể tích VCMNP
Giải:
* Do SAD (SAD) ( ABCD) nên gọi H trung điểm AD SH AD SH (ABCD)
Khi đó, ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho : O = H = (0 ; ; 0),
N = (a ; ; 0), D = (0 ; a/2 ; 0), S = (0 ; ;
a )
B(a ; -a/2; 0), P(-a/2; -a/2; 0), A(0; -a/2; 0), M(
a a a ; ; 4 )
b
a
a z
x
y D
C B
A
D' C'
B'
A'
P N
K
x
z
y M
H
D
C B
A
(17)2
a a a a
( ; ; ), D( ;a;0)
2 4
a a
D 0 D
4
AM B
AM B AM B
Vậy AM BP * Ta có :
1
CMNP CNP
V S MK
Mà :
2
1 a a a a
,
2 2
CNP
S CN CP MK SH
2
1 a a a
3 96
CMNP
V
(đvtt)
III BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1; ; 0) mặt phẳng (P): x + y – 2z + =
1/ Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (Q) qua M song song với mặt phẳng (P)
2/ Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với mp(P)
3/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm I d (P)
ĐS: 1/ x + y -2z - = 2/
2 2 25
1
6
x y z
3/ 1
x t
y t
z t
1 1 ; ; 6
I
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1 ; ; 0), B(-3 ; ; 2), C(1 ; ; 3), D(0 ; ; - 2)
1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
2/ Viết phương trình mặt phẳng qua CD song song với đường thẳng AB 3/ Viết phương trình đường thẳng AD
4/ Tính diện tích tam giác ABC thể tích tứ diện ABCD ĐS: 1/ 3x - 5y - 2z +13 = 2/ 2x - 3y - z + = 3/
1
1
x y z
4/ S 38
V
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – = điểm M(1, -2 ; 3)
1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M song song với mp(P).Tính khỏang cách từ M đến mp(P)
2/ Tìm tọa độ hình chiếu điểm M lên mp(P) ĐS: 1/ 2x + y - z - =
3 ( ,( ))
2
d M P
2/
1 (4; ; )
2
H
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm D(-3 ; ; 2) mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1 ; ; 11), B(0 ; ; 10), C(1 ; ; 8)
(18)2/Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = Chứng minh mặt cầu cắt mặt phẳng (P)
Đs: 1/ 11
x t
y y
z t
(P): 2x - 3y + z - = 2/
2 2
3 25
x y z
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1 ; ; 0), B(0 ; ; 1), C(1 ; ; -4)
1/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành tìm tọa độ tâm hình bình hành
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với mp(ABC)
ĐS: 1/ D(2;2;-5) I(1;2;-2) 2/
3
x t
y t
z t
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; ; 0), C(0 ; ; 0), D(0 ; ; 3)
1/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD tứ diện 2/ Tìm điểm A’ cho mp(BCD) mặt phẳng trung trực đọan AA’ ĐS: 1/ 6x + 3y + 2z - = 2/ A’(
73 86 106
; ;
49 49 49 )
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; ; 1), B(2 ; -1 ; 5) 1/ Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB
2/ Viết phương trình mặt phẳng qua tiếp điểm với mặt cầu (S) A 3/ Tìm điểm M đường thẳng AB cho tam giác MOA vuông O ĐS: 1/
2 2
2
x y z 2/ y - 2z + = 3/ M(2;5;-7)
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; ; -2), B(1 ; -2 ; 4) 1/ Viết phương trình đường thẳng AB phương trình mặt phẳng trung trực đọan AB
2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A qua điểm B Tìm điểm đối xứng B qua A
ĐS: 1/
2
x t
y t
z t
2/ x + y - 3z + = 0
Bài :Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)
a)Viết phương trình mp qua I(2;1;1) song song với mp (ABC) b)Viết phương trình mp qua A song song với mp (P):2x- y- 3z- = c)Viết ptmp qua hai điểm A ,B vng góc với mp (Q):2x- y+2z- = d)Viết ptmp qua A, song song với Oy vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0 e)Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz
f).Viết phương trình mp(P) qua điểm hình chiếu điểm M(2;-3;4) lên trục toạ độ
(19)e/ x + = f/ 6x - 4y + 3z - 12 =
Bài 10 :Cho hai đường thẳng (d):
1
2
x y z
(d’):
2
1
x y z
a) Chứng tỏ (d) (d’ ) chéo nhau.Tính khoảng cách chúng b)Viết phương trình đường vng góc chung chúng
c)Tính góc (d1) (d2)
ĐS: a/ 62
195 b/
17 24
13 13 13
11
x y z
Bài 11:Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1) a) Viết phương trình đường thẳng BC
b) Chứng minh điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD
ĐS: a/ x
y t
z t
b/ V =
Bài 12 :Cho : 2x5y z 17 0 đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng 3x – y + 4z – 27 = 6x + 3y – z + =
a/ Tìm giao điểm A (d)
b/ Viết phương trình đường thẳng qua A, vng góc với (d) nằm mp
ĐS: a/ A(2;-5;4) b/
2
48 41 109
x y z
Bài 13 :Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;4;2) mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y + z –1=
a/ Hãy tìm tọa độ hình chiếu vng góc A (P) b/ Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P) ĐS: a/ H(
2 ; ; 3
) b/
2 2 50
1
3
x y z
Bài 14 :Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (4 ; -3 ; ) đường thẳng
( d) có phương trình tham số
2 2
x t
y t
z t
a) Viết phương trình mp( P) qua điểm M chứa đường thẳng (d)
b) Viết phương trình mp ( Q ) : biết mp(Q) qua M vng góc đường thẳng (d) c) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng (d)
ĐS: a/ x - 3y - 5z - = b/ 3x + 2y - z - = c/ H(1;0;-1)
Bài 15:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) :x y 2z 1 0 mặt cầu (S) : x2y2z2 2x4y 6z 8 0
a Tìm điểm N hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P)