Đề thi học kỳ II môn toán đề 4

ĐỀ 04 ĐỀ THI HỌC KÌ II TRẮC NGHIỆM MƠN TỐN 12 (Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề) Mã đề: 001 Câu 1[TH] Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − (3 + 2i) = A Đường tròn tâm I(3;2), bán kính R = C Đường trịn tâm I(3;2), bán kính R = Câu 2[TH] Cho w= ( ) z2 − z A w số ảo B Đường trịn tâm I(-3;2), bán kính R = 2 D Đường trịn tâm I(3;- 2), bán kính R = 2 với z số phức tùy ý cho trước Mệnh đề đúng? + z.z B w = -1 C w = D w số thực Câu 3[TH] Gọi z1, z2,z3, z4 nghiệm phức phương trình (z + z) + 4(z + z) − 12 = Tính S = z1 2 + z + z3 + z A S = 18 B S = 16 C S = 17 D S = 15 x = − t  Câu 4[NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:  y = , vectơ z = −1 + 2t  vectơ phương đường thẳng d? uur A u = ( −1;3;2) uur B u = (1;0; −2) uur C u = (1;3; −1) uur D u = (1;0;2) Câu 5[NB] Cho số phức z = 3+ 4i Mệnh đề sai A z số thực B z = − 4i C Phần ảo số phức z D z = Câu 6[TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; −2; −2),B(3;2;0) Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A (x − 3) + y + (z + 1) = 20 B (x − 3) + y + (z + 1) = C (x + 3) + y + (z − 1) = D (x + 3) + y + (z − 1) = 20 Câu 7[VD] Cửa lớn trung tâm giải trí có dạng Parabol (như hình vẽ) Người ta dự định lắp cửa kính cường lực 12 ly với đơn giá 800.000 đồng/m2 Tính chi phí để lắp cửa A 9.600.000 đồng B 19.200.000 đồng C 33.600.000 đồng D 7.200.000 đồng Trang Câu 8[VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; −1;1) hai mặt phẳng (P) : 2x − z + = 0, (Q) : y − = Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua A vng góc với hai mặt phẳng (P), (Q) A (α ) : 2x − y + z − = B (α ) : x + 2z − = C (α ) : 2x + y − = D (α ) : x + 2y + z = Câu 9[VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;0;1), B( −1; −2;0), C(2;0; −1) Tập hợp điểm M ba điểm A, B, C đường thẳng ∆ Viết phương trình ∆  x = + t   A ∆ :  y = − + t  z = t    x = + t   B ∆ :  y = − − t  z = t   Câu 10[NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : vecto pháp tuyến mặt phẳng (P)? uur uur A n1 (3;6; 2) B n ( −3;6; 2)  x = + t  D ∆ :  y = −1 − t  z = − + t  x = + t   C ∆ :  y = − + t  z = t x y z + + = , vecto uur C n (2;1;3) uur D n ( −3;6; −2) Câu 11[TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa trục Ox qua điểm M(2; −1;3) A (α ) : − y + 3z = B (α ) : 2x − z + = C (α ) : x + 2y + z − = D (α ) : 3y + z = Câu 12[NB] Hàm số f(x) thỏa mãn ∫ f (x)dx = ln x + + C ? A f (x) = (x + 3) ln(x + 3) − x C f (x) = x+2 B f (x) = x+3 D f (x) = ln(ln(x + 3)) Câu 13[VD] Cho hình phẳng (H) giới hạn đường cong y − 2y + x = đường thẳng x + y − = Tính diện tích S hình (H)? A S = B S = 14 C S = 17 D S = Câu 14[TH] Cho số phức z = a + bi(a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn (1 + i)z − + 4i = (1 + i) Tính P = 10a + 10b 2−i B P = 20 D P = A P = −42 C P = 2019 Câu 15[TH] Tìm phần thực a số phức z = i + + i A a = 1009 B a = −2 1009 C a = D a = −1 Trang x = + t  Câu 16[VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :  y =  z = −5 + t  x =  d :  y = − 2t ' Viết phương trình đường vng góc chung ∆ d1, d2 z = + 3t '  A ∆ : x y−4 z −5 x−4 y z−2 x −1 y z + = = = = = = B ∆ : C ∆ : −3 −2 −3 22 D ∆ : x−4 y z+2 = = −2 Câu 17[VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−3;5; −5), B(5; −3;7) mặt phẳng (P) : x + y + z = Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (P) cho MA − 2MB2 đạt giá trị lớn A M(−2;1;1) B M(2; −1;1) C M(6; −18;12) D M(−6;18;12) Câu 18[TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(3;0;0), N(2; 2; 2) Mặt phẳng (P) thay đổi qua M, N cắt trục Oy, Oz B(0;b;0), C(0;0;c) ( b, c ≠ ) A b + c =6 B bc = 3(b + c) π Câu 19[NB] Cho I = ∫ π π A I = ∫ u du π C bc = b + c D 1 + = b c cot x dx u = cotx Mệnh đê đúng? sin x B I = ∫ u du C I = − ∫ u du D I = ∫ udu Câu 20[TH] Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liện tục [0;2] biết ∫ f (x)dx = Tính ∫ [f (2 − x) + 1]dx A -9 B C 10 D -6 Câu 21[TH] Tìm số thực x, y thỏa mãn (1 − 3i)x − 2y + (1 + 2y)i = −3 − 6i A x = −5, y = −4 B x = 5, y = C x = 5, y = −4 D x = −5, y = Câu 22[TH] Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z + bz + c = 0(c ≠ 0) Tính P = 1 + 2 z1 z theo b,c b − 2c A P = c b + 2c B P = c2 b + 2c C P = c b − 2c D P = c2 Câu 23[TH] Tìm giá trị thực tham số m để số phức z = m + 3m − + (m − 1)i số ảo m = A   m = −2 B m = C m = - D m = Trang Câu 24[TH] Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm M(x,y) biểu diễn số phức z = x+ yi ( x, y ∈ ¡ ) thỏa mãn z − + 3i = z − − i A Đường tròn đường kính AB với A(1;-3), B(2;1) B Đường thẳng trung trực đoạn thẳng AB với A(1;-3), B(2;1) C Trung điểm đoạn thẳng AB với A(1;-3), B(2;1) D Đường thẳng trung trực đoạn thẳng AB với A(-1;-3), B(-2;-1) 2 2 Câu 25[TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x + 3) + y + (z − 2) = m + Tìm tất giá trị thực tham số m để mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz) A m = B m = 2; m = -2 C m = D m = 5, m = − π b Câu 26[TH] Cho cos 2xdx = π + b với a, b, c số nguyên dương, tối giản Tính P = a + b + c ∫0 c a c A P = 15 B P = 23 dx Câu 27[TH] Cho I = ∫ 2x + a A a = C P = 24 D P = 25 , với a > Tìm a nguyên để I ≥ B a = C Vơ số giá trị a.D Khơng có giá trị a Câu 28[TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A(−1;0;3) qua mặt phẳng (P) : x + 3y − 2z − = A A '(−1; −6;1) B A '(0;3;1) C A '(1;6; −1) D A '(11;0; −5) x C ∫ f (x)dx = + C x D ∫ f (x)dx = ln + C C M(4; −3) D M(−3; 4) C I = D I = -3 x Câu 29[NB] Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = 3x A ∫ f (x)dx = +C ln 3x +1 B ∫ f (x)dx = +C x +1 Câu 30[NB] Số phức z = − 3i có điểm biểu diễn A M(4;3) B M(3; 4) Câu 31[TH] Tính I = A I = x3 ∫−1 x + 2dx B I = Câu 32[TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x −3 y−2 z = = mặt 1 phẳng (α ) : 3x + 4y + 5z + = Góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (α ) có số đo là: A 450 B 900 C 300 D 600 Câu 33[NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình mặt cầu? 2 A x + y + 2x − 4y + 10 = 2 B x + y + z + 2x − 2y − 2z − = 2 C x + 2y + z + 2x − 2y − 2z − = 2 D x − y + z + 2x − 2y − 2z − = Câu 34[VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật nằm hai mặt phẳng x = x = Biết thiết diện vật cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0 ≤ x ≤ 3) hình vng cạnh − x Tính thể tích V vật thể Trang B V = 171π A V = 171 D V = 18π C V = 18 Câu 35[TH].Tìm số phức z thỏa mãn z + 2z = − 4i − 4i A z = B z = − + 4i C z = + 4i D z = − − 4i b Câu 36[VD] Biết (x − 1) 2016  x −1  ∫ (x + 2)2018 dx = a  x + ÷ + C, x ≠ −2 , với a, b nguyên dương Mệnh đề đúng? A a < b B a = b C a = 3b D b – a = 4034 r r r r r Câu 37[NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho u = 2i − 3j − k , tọa độ u r r r r A u = (2;3; −1) B u = (2; −1;3) C u = (2;3;1) D u = (2; −3; −1) x = t  Câu 38[NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  y = − t với mặt phẳng  z = −1 + 2t  (α ) : x + 3y + z − = Khẳng định sau đúng? A Đường thẳng d cắt mặt phẳng (α ) B Đường thẳng d cắt mặt phẳng (α ) C Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α ) D Đường thẳng d song song với mặt phẳng (α ) x x Câu 39[TH] Cho hai hàm số F(x) = (x + ax + b)e , f (x) = (x + 3x + 4)e Biết a, b số thực để F(x) nguyên hàm f(x) Tính S = a+ b A S = - B S = 12 C S = Câu 40[TH] Cho hàm số f (x) xác định (e; +∞) thỏa mãn f '(x) = A f (e ) = ln B f (e ) = − ln D S = 4 f (e ) = Tính f (e ) x.ln x C f (e ) = 3ln Câu 41[VD] Cho hình phẳng (H) (phần gạch chép tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục hồnh A V = 8π C V = D f (e ) = hình vẽ) Tính thể B V = 10π 8π D V = 16π Câu 42[NB] Cho đồ thị hàm số y = f(x) Diện tích S hình phẳng (phần tơ đen hình vẽ) tính theo cơng thức đây? −3 A S = ∫ f (x)dx − ∫ f (x)dx B S = ∫ f (x)dx −3 Trang −3 C S = − ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx −3 D S = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx m Câu 43[VD] Tìm số thực m > thỏa mãn ∫ x(2 ln x + 1)dx = 2m A m = e B m = C m = D m = e2 Câu 44[NB] Tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ đường trịn tâm I(0;1), bán kính R =3 Mệnh đề đúng? A z − = B z − i = C z − i = Câu 45[NB] Phương trình nhận hai số phức − 3i A z + = B z + = C z + = D z + i = 3i nghiệm? D z + = Câu 46[VDC] Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 − + i = z = 2iz1 Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = 2z1 − z A Pmin = − B Pmin = − C Pmin = − 2 D Pmin = − 2 Câu 47[VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 2;1), M(3;0;0) mặt phẳng (P) : x + y + z − = Đường thẳng ∆ qua điểm M, nằm mặt phẳng (P) cho khoảng cách từ r điểm A đến đường thẳng ∆ nhỏ Gọi vectơ u(a, b, c) vectơ phương ∆ (a, b, c số nguyên với ước chung lớn 1) Tính P = a + b + c A -1 B C D Câu 48[VD] Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 = 2, z = Gọi M, N điểm biểu diễn uuuu r uuur z1 + z số phức z1, z2 Biết góc tạo OM, ON 450 Tính giá trị biểu thức P = z1 − z A P = B P = C P = 2+ 2− D P = 2+ 2−2 Câu 49[VDC] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm M(1;0; 2), N(1; −1; −1) mặt phẳng (P) : x + 2y − z + = Một mặt cầu qua M, N, tiếp xúc mặt phẳng (P) điểm E Biết E thuộc đường trịn cố định, tìm bán kính đường trịn A R = 10 C R = 10 B R = 10 D R = Câu 50[VD] Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f (x) > 0, ∀x ∈ R Biết f(0) =1 f '(x) = (6x − 3x )f (x) Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f(x) = m có nghiệm m > e4 A  0 < m < B < m < e m > e4 C  m < D ≤ m ≤ e Trang HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT A A C B A B B B D 10 A 11 D 12 B 13 D 14 D 15 D 16 D 17 C 18 D 19 B 20 C 21 B 22 D 23 A 24 B 25 D 26 D 27 D 28 C 29 A 30 C 31 B 32 D 33 B 34 C 35 C 36 C 37 D 38 B 39 D 40 A 41.D 42.A 43.D 44.B 45.B 46.D 47.D 48.A 49.D 50.A Câu Phương pháp: Nếu z − (x + y i) = R, (x , y , R ∈ ¡ , R > 0) tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn tâm I(x , y0 ) , bán kính R Cách giải: Giả sử z = a + bi, (a, b ∈ R) có điểm biểu diễn M(a;b), thỏa mãn điều kiện: z − (3 + 2i) = Khi đó, (a − 3) + (b − 2) = ⇔ (a − 3) + (b − 2) = 2 Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(3;2), bán kính R = Chọn: A Câu Phương pháp: Đặt z = a + bi, (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Thay vào biểu thức rút gọn Cách giải: Giả sử z = a + bi, (a, b ∈ R) Ta có w = z − (z) + z.z = (a − b + 2bi) − (a − b − 2bi) 4bi = số ảo 2 1+ a + b + a + b2 Chọn: A Câu Phương pháp: + Giải phương trình bậc hai tập số phức + z = a + bi, (a, b ∈ R) ⇒ z = a + b Cách giải: z =  z = −2  z2 + z = z + z − =  2 ⇔ ⇔  z = −1 + 23i Ta có (z + z) + 4(z + z) − 12 = ⇔  2  z + z = −6  z + z + =   −1 − 23i z =  2 2 S = z1 + z + z3 + z = 12 + 2 + + 23 = 17 Trang Chọn: C Câu Phương pháp:  x = x + at r  Đường thẳng d :  y = y + bt có vectơ phương u = (a, b, c)  z = z + ct Cách giải: x = − t r  Đường thẳng  y = có vectơ phương u = (1;0; −2) z = −1 + 2t  Chọn: B Câu Phương pháp: Số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) có phần thực a, phần ảo b, môđun z = a + b , số phức liên hợp z = a − bi Cách giải: Mệnh đề sai: z số thực Chọn: A Câu Phương pháp: 2 2 Phương trình mặt cầu có tâm I(x ; y0 , z ) , bán kính R: (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) = R Cách giải: Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3;0;-1) trung điểm đoạn thẳng AB bán kính AB R= = 02 + 42 + 22 2 2 = , có phương trình (x − 3) + y + (z + 1) = Chọn: B Câu Phương pháp: +) Gắn hệ trục tọa độ, lập phương trình đường parabol +) Tính diện tích cửa Diện tích hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x), trục hoành hai đường thẳng b x = a; x = b tính theo cơng thức S = ∫ f (x) − g(x) dx a +) Tính chi phí làm cửa Cách giải: Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ Trang Giả sử phương trình đường Parabol là: y = ax + bx + c, a ≠ 0(P)  a=− 0 = a(−3) + b(−3) + c  9a − 3b + =    ⇔ 9a + 3b + = ⇔ b = Ta có: 0 = a.3 + b.3 + c 6 = c c = c =     ⇒ (P); y = − x + 3  2    Diện tích làm cửa là: S = ∫  − x + ÷dx =  − x + 6x ÷ = (−6 + 18) − (6 − 18) = 24(m )    −3 −3  Chi phí làm cửa là: 24 × 800 000 = 19 200 000 (đồng) Chọn: B Câu Phương pháp: r r Phương trình mặt phẳng qua M0(x0; y0; z0) có VTPT n = (a, b, c) ≠ a(x − x ) + b(y − y ) + c(z − z ) = Cách giải: uur (P) : 2x − z + = có VTPT n1 = (2;0; −1) uur uur (Q) : y − = có VTPT n = (0;1;0) n1 = (2;0; −1) uur uur r Do (α ) vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q) nên (α ) có VTPT n =  n1 , n  = (1;0; 2) Phương trình mặt phẳng (α ) là: 1(x − 2) + + 2(z − 1) = ⇔ x + 2z − = Chọn: B Câu Phương pháp: Tập hợp điểm M cách ba điểm A, B, C (A, B, C khơng thẳng hàng) đường thẳng vng góc với (ABC)tại tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Cách giải: uuur uuur Ta có: A(0;0;1), B(−1; −2;0), C(2;0; −1) ⇒ AB = ( −1; −2; −1), AC = (2;0; −2) ⇒ A, B, C không thẳng hàng Nhận xét: Tập hợp điểm M cách ba điểm A, B, C (A, B, C không thẳng hàng) đường thẳng vuông góc với (ABC) tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABC r uuur uuur Mặt phẳng (ABC) có VTPT n =  AB, AC  = (1; −1;1) có phương trình là: 1(x − 0) − 1(y − 0) + 1(z − 1) = ⇔ x − y + z − = Gọi I(a,b,c) tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Trang a − b + c − = a − b + c − =   ⇔  IA = IB ⇔ a + b + (c − 1) = (a − 1) + (b + 2) + c   2 2 2  IA = IC a + b + (c − 1) = (a − 2) + b + (c + 1)  a = a − b + c − =  1  1 ⇔ a + 2b + c + = ⇔ b = −1 ⇔ I  ; −1; − ÷ 2 2 a − c =   c = −   x = + t  1 1 ∆ qua I  ; −1; − ÷ có VTCP (1; −1;1) , có phương trình ∆ :  y = −1 − t 2 2  z = − + t  Chọn: D Câu 10 Phương pháp: r (P) : Ax + By + Cz + D = có VTPT n = (A, B, C) Cách giải: (P) : uur x y z + + = ⇔ 3x + 6y + 2z − = có VTPT n1 = (3;6; 2) Chọn: A Câu 11 Phương pháp: r r Phương trình mặt phẳng qua M0(x0; y0; z0) có VTPT n = (a, b, c) ≠ a(x − x ) + b(y − y ) + c(z − z ) = Cách giải: r r uuuu r Mặt phẳng (α ) có VTPT n = i;OM  = (0; −3; −1) có phương trình − 3(y − 0) − 1(z − 0) = ⇔ 3y + z = Chọn: D Câu 12 Phương pháp: ∫ f (x)dx = F(x) ⇒ f (x) = F '(x) Cách giải: ∫ f (x)dx = ln x + + C ⇒ f (x) = ( ln x + + C ) ' = x + Chọn: B Câu 13 Phương pháp: Trang 10 Diện tích hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x), trục hoành hai đường thẳng b x = a, x = b tính theo cơng thức S = ∫ f (x) − g(x) dx a Cách giải: 2 Ta có: y − 2y + x = ⇔ x = − y + 2y; x + y − = ⇔ x = − y y = Giải phương trình − y + 2y = − y ⇔  y = Diện tích cần tìm là: 2 1 S = ∫ (− y + 2y) − (2 − y) dy = ∫ (− y + 3y − 2) dy 2   = ∫ (− y + 3y − 2)dy =  − y3 + y − 2y ÷  1     =  − + − ÷−  − + − ÷ =     Chọn: D Câu 14 Phương pháp: Áp dụng quy tắc nhân, chia số phức Cách giải: Ta có: + 4i (3 + 4i)(2 + i) = (1 − i) ⇔ (1 + i)z − = −2i 2−i + 11i + 11i 2+i ⇔ (1 + i)z − = −2i ⇔ (1 + i)z = −2i + ⇔ (1 + i)z = 5 2+i (2 + i)(1 − i) ⇔z= ⇔z= ⇔z= − i 5(1 + i) 5.2 10 10 (1 + i)z −  a = 10 ⇒ ⇒ P = 10a + 10b = b = −  10 Chọn: D Câu 15 Phương pháp: 1, n = 4k, k ∈ N i, n = 4k + 1, k ∈ N  in =  −1, n = 4k + 2, k ∈ N −i, n = 4k + 3, k ∈ N Cách giải: Trang 11 2019 Nhận xét: Tổng số hạng liên tiếp biểu thức Tổng z = i + + i có 2018 số 2019 = i + i + (i + + i 2019 ) = i + i3 + = −1 − i hạng (2018 = 4.504 +2) nên z = i + + i Phần thực số phức z là: -1 Chọn: D Câu 16 Phương pháp: Tham số hóa hai giao điểm ∆ với d1, d2 Tìm tọa độ giao điểm Viết phương trình đường thẳng ∆ Cách giải: Gọi A, B giao điểm ∆ với d1, d2 Giả sử A(1 + t;0; −5 + t), B(0; − 2t ';5 + 3t ') uuur ⇒ AB = (−1 − t; − 2t ';10 + 3t '− t) Do ∆ đường vng góc chung d1, d2 nên r uuur uuu  AB.u = (−1 − t).1 + + (10 + 3t '− t).1 =  t ' = −1 A(4;0; −4) d1  ⇔ ⇔ ⇒  uuur r  uuur uuu 0 − 2(4 − 2t ') + 3(10 + 3t '− t) = t = AB = (−4;6; 4) .AB.u d =  r uuur Đường thẳng ∆ qua A(4;0; −4) có VTCP u = AB = (−2;3; 2) , có phương trình ∆: x−4 y z+2 = = −2 Chọn: D Câu 17 Phương pháp: uur uur r Xác định điểm I thỏa mãn IA − 2IB = Cách giải:  −3 − a = 2(5 − a) a = 13 uur uur r   Lấy I(a,b,c) thỏa mãn IA − 2IB = ⇔ 5 − b = 2(−3 − b) ⇔ b = −11  −5 − c = 2(7 − c) c = 19   Khi đó, uuuu r uuur uuu r uur uuu r uur MA − 2MB2 = MA − MB = (MI + IA) − 2(MI + IB) uuu r2 uuu r uur uur = −MI + 2MI(IA − 2IB) + IA − 2IB2 = −MI + IA − 2IB2 (MA − 2MB2 ) max ⇔ MI ⇔ M hình chiếu I lên (P)  x = 13 + t  Phương trình đường thẳng d qua I vng góc với (P) là:  y = −11 + t  z = 19 + t  Giả sử M(13 + t; −11 + t;19 + t) Mà M ∈ (P) ⇒ 13 + t + (−11 + t) + 19 + t = ⇔ t = −7 ⇒ M(6; −18;12) Chọn: C Trang 12 Câu 18 Phương pháp: Phương trình mặt phẳng (P) A(a;0;0), B(0; b;0), C(0;0;c), (a, b, c ≠ 0) là: cắt Ox, Oy, Oz điểm x y z + + =1 a b c Cách giải: (P) qua điểm M(3;0;0), B(0; b;0), C(0;0;c), (b, c ≠ 0) ⇒ Phương trình mặt phẳng (P) là: x y z + + =1 b c Do N(2;2;2) ∈ (P) ⇒ 2 2 1 1 + + =1⇔ + = ⇔ + = b c b c b c Chọn: D Câu 19 Phương pháp: Đặt u = cot x Cách giải: −1 dx sin x Đặt u = cot x ⇒ du = Đổi cận: x = π π → t = 1; x = → t = π cot x I = ∫ dx = − ∫ u du = ∫ u du π sin x Chọn: B Câu 20 Phương pháp: Đặt t = 2- x Cách giải: Đặt t = − x ⇒ dt = −dx Đổi cận: x = → t = 2; x = → t = 2 2 0 Khi I = ∫ f (x)dx = ∫ f (2 − t)( −dt) = ∫ f (2 − t)dt = ⇒ ∫ f (2 − x)dx = 2 ∫ [ f (2 − x) + 1] dx = ∫ f (2 − x)dx + ∫1dx = + x 0 = + = 10 Chọn: C Câu 21 Phương pháp: Trang 13 a = a ' , với z = a + bi, z ' = a '+ b 'i, (a, a ', b, b ' ∈ R) Hai số phức z = z ' ⇔  b = b ' Cách giải: Ta có (1 − 3i)x − 2y + (1 + 2y)i = −3 − 6i ⇔ (x − 2y) + ( −3x + + 2y)i = −3 − 6i  x − 2y = −3  x − 2y = −3 x = ⇔ ⇔ ⇔  −3x + + 2y = −6 −3x + 2y = −7 y = Chọn: B Câu 22 Phương pháp: Sử dụng định lí Vi – ét: b c Nếu z1, z2 hai nghiệm phức phương trình az + bz + c = 0, (a ≠ 0) z1 + z = − & z1 z = a a Cách giải:  z1 + z = − b z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z + bz + c = 0, (c ≠ 0) ⇒   z1 z = c P= 1 z12 + z 22 (z12 + z 22 ) − 2z1 z b − 2c + = 2 = = z12 z 22 z1 z z12 z 22 c2 Chọn: D Câu 23 Phương pháp: Số phức z = a+ bi (a, b ∈ R) số ảo ⇔ a = Cách giải: m = 3 Số phức z = m + 3m − + (m − 1)i số ảo ⇔ m + 3m − = ⇔   m = −2 Chọn: A Câu 24 Phương pháp: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − (a + bi) = z − (a '+ b 'i) , (a, b, a ', b ' ∈ R) đường trung trực đoạn thẳng AA’ với A(a,b), A’(a’,b’) Cách giải: Ta có z − + 3i = z − − i ⇔ (x − 1) + (y + 3) = (x − 2) + (y − 1) ⇒ Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z= x +yi (x, y ∈ R) đường trung trực đoạn thẳng AB với A(1;-3), B(2;1) Chọn: B Câu 25 Phương pháp: Trang 14 Mặt cầu (S) tâm I, bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (P) d(I;(P)) = R Cách giải: 2 2 Mặt cầu (S): (x + 3) + y + (z − 2) = m + có tâm I(−3;0; 2) , bán kính R = m + Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz) ⇔ d(I;(Oyz)) = R ⇔ = m + ⇔ m + = ⇔ m = ⇔ m = ± Chọn: D Câu 26 Phương pháp: Sử dụng công thức hạ bậc cos x = + cos 2x sau sử dụng cơng thức tính nguyên hàm Cách giải: Ta có: π π π 1 8 cos 2xdx = (1 + cos 4x)dx = x + sin 4x  ÷ ∫0 ∫0 2 0 π π π π b = + sin = + = + 8 16 a c ⇒ a = 16, b = 1, c = ⇒ P = a + b + c = 25 Chọn: D Câu 27 Phương pháp: Sử dụng công thức nguyên hàm I = ∫ dx x = x +C Cách giải: Ta có I=∫ dx 2x + a Để I ≥ = 1 d(2x + a) = 2x + a = 2x + a = 2+a − a ∫0 2x + a a ≥ + a − a ≥ ⇔ + a ≥ a +1 ⇔  2 + a ≥ a + a a ≥ a ≥  ⇔ ⇔ ⇔0≤a≤ 1 ≥ a  a ≤ Mà a ∈ Z, a > ⇒ a ∈ ∅ Chọn: D Câu 28 Phương pháp: uuuur uuur  AA ' / /n (P) Giả sử A’(a,b,c) điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) Khi đó, ta có:  , với I  I ∈ (P) trung điểm AA’ Trang 15 Cách giải: Giả sử A’(a,b,c) điểm đối xứng với điểm A(-1;0;3) qua mặt phẳng (P): x + 3y – 2z – = uuuur uuur  AA ' / /n (P) Khi đó, ta có:  , với I trung điểm AA’  I ∈ (P) a +1 b − c − a +1 b c −  = = −2 = =  ⇔ ⇔ −2  a − ÷ + b − c + − = a + 3b − 2c = 21   2 a = a + b c − a + + 3b − 2c + 21 + +  ⇒ = = = = = ⇒  b = ⇒ A '(1;6; −1) −2 1+ + 14 c = −1  Chọn: C Câu 29 Phương pháp: ax ∫ a dx = ln a + C, (a > 0, a ≠ 1) x Cách giải: f(x) = 3x ⇒ ∫ f (x)dx = 3x +C ln Chọn: A Câu 30 Phương pháp: Số phức z = a + bi có điểm biểu diễn là: M(a;b) Cách giải: Số phức z = - 3i có điểm biểu diễn là: M(-3; 4) Chọn: D Câu 31 Phương pháp: a f(x) hàm số lẻ ⇒ I = ∫ f (x)dx = −a Cách giải:  x = → t = −1 Đặt t = - x ⇒ dt = −dx Đổi cận   x = −1 → t = I= −1 ∫ 1 −t −t t3 ( −dt) = ∫ dt = − ∫ dt = − I ⇔ I = t2 + −1 t + −1 t + Chọn: B Câu 32 Phương pháp: Trang 16 rr u.n r r Gọi ϕ góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (α ) , sin ϕ = r r với u VTCP ∆ , n u n VTPT (α ) Cách giải: r r Đường thẳng ∆ có t VTCP u(2;1;1) , mặt phẳng (α ) có VTPT n(3, 4,5) Gọi ϕ góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (α ) , rr u.n 2.3 + 1.4 + 1.5 sin ϕ = r r = = ⇒ ϕ = 600 2 2 2 u n +1 +1 + + Chọn: D Câu 33 Phương pháp: 2 2 2 Phương trình mặt cầu có dạng x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với a + b + c − d > Cách giải: 2 2 Nhận xét x + y + 2x − 4y + 10 = , x + 2y + z + 2x − 2y − 2z − = , x − y + z + 2x − 2y − 2z − = khơng phải phương trình mặt cầu x + y + z + 2x − 2y − 2z − = có: a + b + c − d = + + − (−2) > ⇒ Đây phương trình mặt cầu Chọn: B Câu 34 Phương pháp: Thể tích vật có mặt cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x a ≤ x ≤ b b hình có diện tích S(x) là: V = ∫ S(x)dx a Cách giải: 3 3  Thể tích cần tìm V = ∫ S(x)dx = ∫ (9 − x )dx =  9x − x ÷ = (27 − 9) − = 18 0  0 Chọn: C Câu 35 Phương pháp: Đặt z = a + bi, (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Tìm a, b Cách giải: Đặt z = a + bi, (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi  3a = 2 a = ⇔ ⇒ z = + 4i Ta có z + 2z = − 4i ⇔ a + bi + 2(a − bi) = − 4i ⇔ 3a − bi = − 4i ⇔   − b = −4  b = Trang 17 Chọn: C Câu 36 Phương pháp: Đặt t = x −1 x+2 Cách giải:  x −1  Ta có :  ÷' =  x +  (x + 2) Khi đó: ∫ Đặt t = 2016 (x + 1) 2016  x −1  dx = ∫  ÷ 2018 (x + 2) x +2 dx (x + 2) x −1 dx dt ⇒ dt = dx ⇔ = 2 x+2 (x + 2) (x + 2) 2017 (x + 1) 2016 t 2017  x −1  2016 dt ⇒∫ dx = ∫ t = +C=  ÷ 2018 3 2017 6051  x +  (x + 2) +C ⇒ a = 6051, b = 2017 ⇒ a = 3b Chọn: C Câu 37 Phương pháp: r r r r r u = xi + y j + zk ⇔ u = (x, y, z) Cách giải: r r r r r u = 2i − 3j − k ⇔ u = (2, −3, −1) Chọn: D Câu 38 Phương pháp: Kiểm tra mối quan hệ VTCP d VTPT (P) Cách giải: x = t r  Đường thẳng  y = − t có VTCP u = (1, −1, 2)  z = −1 + 2t  r Mặt phẳng (α ) : x + 3y + z − = có VTPT n = (1,3,1) rr r r d / /(α ) Ta có: u.n = − + = ⇒ u ⊥ n ⇒  d ⊂ (α ) Lấy A(0;1; −1) ∈ d, ta có (α ) : + 3.1 + (−1) − = : ⇒ A ∈ (α ) ⇒ Đường thẳng d nằm mặt phẳng (α ) Chọn: B Câu 39 Phương pháp: Trang 18 F(x) = ∫ f (x)dx ⇒ F '(x) = f (x) Cách giải: F(x) nguyên hàm f(x) ⇒ F '(x) = f (x) ( (x + ax + b)e x ) ' = (x + 3x + 4)e x ⇔ (2x + a)e x + (x + ax + b)e x = (x + 3x + 4)e x a + = a = ⇔ (x + (a + 2)x + a + b)e x = (x + 3x + 4)e x , ∀x ⇒  ⇔ ⇒S=a+b=4 a + b = b = Chọn: D Câu 40 Phương pháp: Tích phân hai vế f '(x) = , lấy cận e2, e4 x.ln x Cách giải: e4 e4 e4 1 f '(x) = ⇒ ∫ f '(x)dx = ∫ dx ⇔ f (e ) − f (e ) = ∫ dx(ln x) x.ln x 2 x.ln x ln x e e e e4 ⇔ f (e ) − = ln ln x e2 ⇔ f (e ) = ln − ln ⇔ f (e ) = ln Chọn: A Câu 41 Phương pháp: Cho hai hàm số y=f(x) y = g(x) liên tục [a; b] Khi thể tích vật thể tròn xoay giới hạn hai đồ thị hàm số y=f(x) y = g(x) hai đường thẳng x = a; y = b quay quanh trục Ox là: b V = π ∫ f (x) − g (x) dx a Cách giải: Thể tích cần tìm là: 4 V = π ∫ ( x ) dx + π ∫ ( x ) − (x − 2)  = π ∫ xdx + π ∫  − x + 5x −  dx 2   = π x + π  − x + x − 4x ÷ = 2π + π 2  2  64     16  − + 40 − 16 ÷−  − + 10 − ÷ = π     Chọn: D Câu 42 Phương pháp: Diện tích hình phẳng (H) giới hạn hai đồ thị hàm số y=f(x) y = g(x), trục hoành hai đường thẳng x = a; y = b tính theo cơng thức b S = ∫ f (x) − g(x) dx a Cách giải: Trang 19 S= 0 −3 −3 ∫ f (x) dx = ∫ f (x)dx − ∫ f (x)dx Chọn: A Câu 43 Phương pháp: b b Sử dụng cơng thức tích phân phần ∫ udv = uv a − ∫ vdu a b a Cách giải: m m m m 1 2 ∫1 x(2 ln x + 1)dx = ∫1 (2 ln x + 1)d(x ) = (2 ln x + 1)x − ∫1 (x )d(2 ln x + 1) m m 1 = ( (2 ln m + 1)m − 1) − ∫ x dx = (2m ln m + m − 1) − ∫ xdx 21 x m = m2 1 1 (2m ln m + m − 1) − x = (2m ln m + m − 1) − + = m ln m 2 2  m = 0(L) 2 2 x(2 ln x + 1)dx = 2m ⇒ m ln m = 2m ⇔ m (ln m − 2) = ⇔ ln m = ⇔ m = e (tm) ∫1  m Mà Chọn: D Câu 44 Phương pháp: Nếu z − (x + y i) = R(x , y , R ∈ ¡ , R > 0) tập hợp điểm biểu diễn z đường trịn tâm I(x0;y0;z0) bán kính R Cách giải: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ đường tròn tâm I(0;1) bán kính R =3 Khi z − i = Chọn: B Câu 45 Phương pháp: Phương trình nhận hai số phức z1 z2 nghiệm ( z − z1 ) ( z − z ) = Cách giải: ( )( ) Phương trình z − 3i z + 3i = ⇔ z + = nhận hai số phức − 3i 3i nghiệm Chọn: B Câu 46 Phương pháp: Sử dụng phương pháp hình học để tìm GTNN Cách giải: Ta có z1 − + i = ⇔ Điểm biểu diễn z1 Trang 20 đường tròn (I(1;-1), R1 = 1) Gọi M điểm biểu diễn số phức z1, z2 Giả sử z1 = a + bi, z = a '+ b 'i(a, b, a ', b ' ∈ R) z = 2iz1 ⇔ a '+ b 'i = 2(−b + ai) ⇒ N ảnh M qua phép biên hình: Phép quay tâm O góc 900 phép vị tự tâm O tỉ số Gọi N’ điểm đối xứng N qua O Dựng hình bình hành OM’KN’( hình vẽ) Khi đó, điểm biểu diễn số phức 2z1-z2 điểm K, P = 2z1 − z = OK Dễ dàng chứng minh OM’KN’ hình vng, có cạnh OM’=2.OM ⇒ OK = 2.OM ' = 2.OM Nhận xét: OKmin OMmin ⇔ M giao điểm đoạn thẳng OI đường tròn (I(1;-1),R1 =1) Khi OK = 2.OM = 2(OI − R) = 2( − 1) = − 2 ⇒ Pmin = − 2 Chọn: D Câu 47 Phương pháp: Gọi H, K hình chiếu A lên (P) ∆ Khi đó, ta có: AH ≤ AK ⇒ Khoảng cách từ A đến ∆ nhỏ AH K trùng H Khi đó, ∆ đường thẳng qua M H Cách giải: Gọi H, K hình chiếu A lên (P) ∆ Khi đó, ta có AH ≤ AK ⇒ Khoảng cách từ A đến ∆ nhỏ AH K trùng H Khi đó, ∆ đường thẳng qua M H uuur Đường thẳng AH qua A nhận n (P) = (1;1;1) làm VTCP, x = + t  Có phương trình  y = + t z = + t  uuuu r Giả sử H(3 + 1; + t;1 + t), H ∈ (P) ⇒ + t + + t + + t − = ⇒ t = −1 ⇒ H(2;1;0) ⇒ HM = (1; −1;0) r ⇒ u = (1; −1;0) ⇒ P = a + b + c = Chọn: D Câu 48 Phương pháp: Sử dụng phương pháp hình học để tính giá trị P Chú ý: z1 z1 = , a = b + c2 − 2bc cos A z2 z2 Cách giải: Ta có P = z1 + z z1 + z OE = = (quan sát hình vẽ) OF z1 − z z1 − z Trang 21  2 OE = OM + ME − 2.OM.ME.cos1350 = + − 2.2  − ÷ ÷ = 10   ⇒ OE = 10 OF2 = OM + MF2 − 2.OM.MF.cos 450 = + − 2.2 =2 ⇒ OE = OE ⇒P= = OF Chọn: A Câu 49 Cách giải: Gọi I giao điểm đường thẳng MN mặt phẳng (P) Khi IE tiếp tuyến mặt cầu (S) cho IM.IN=IE2 uuuu r Ta có M(1;0; 2), N(1; −1; −1) ⇒ MN = (0; −1; −3) x =  Phương trình đường thẳng MN là:  y = t  z = + 3t  Giả sử I(1; t; + 3t), I ∈ (P) ⇒ + 2t − − 3t + = ⇔ t = ⇒ I(1;1;5) ⇒ IM = + + = 10, IN = + + 36 = 10, IE = IM.IN = 10.2 10 = 20 ⇒ IE = Vậy, E thuộc đường trịn cố định có bán kính R = Chọn: D Câu 50 Phương pháp Nguyên hàm hai vế Xác định hàm số f(x) Từ khảo sát hàm số f(x), tìm điều kiện để f(x) = m có nghiệm Cách giải: Ta có f '(x) = (6x − 3x )f (x) , f (x) > 0, ∀x ∈ R ⇒ ⇔ ln(f (x)) = 3x − x + C ⇔ f (x) = e3x − x3 + C Mà f (0) = ⇒ eC = ⇒ C = ⇒ f (x) = e3x ⇒ f '(x) = (6x − 3x )e3x − x3 f '(x) f '(x) = 6x − 3x ⇒ ∫ dx = ∫ (6x − 3x )dx f (x) f (x) −x3 x = , f '(x) = ⇔  x = Bảng biến thiên: x f’(x) −∞ - +∞ + - Trang 22 +∞ e4 y m > e4 Để f(x) = m có nghiệm nhát  0 < m < Chọn: A Trang 23 ... D 23 A 24 B 25 D 26 D 27 D 28 C 29 A 30 C 31 B 32 D 33 B 34 C 35 C 36 C 37 D 38 B 39 D 40 A 41 .D 42 .A 43 .D 44 .B 45 .B 46 .D 47 .D 48 .A 49 .D 50.A Câu Phương pháp: Nếu z − (x + y i) = R, (x , y ,... t).1 =  t ' = −1 A (4; 0; ? ?4) d1  ⇔ ⇔ ⇒  uuur r  uuur uuu 0 − 2 (4 − 2t ') + 3(10 + 3t '− t) = t = AB = (? ?4; 6; 4) .AB.u d =  r uuur Đường thẳng ∆ qua A (4; 0; ? ?4) có VTCP u = AB = (−2;3;... mãn z + 2z = − 4i − 4i A z = B z = − + 4i C z = + 4i D z = − − 4i b Câu 36[VD] Biết (x − 1) 2016  x −1  ∫ (x + 2)2018 dx = a  x + ÷ + C, x ≠ −2 , với a, b nguyên dương Mệnh đề đúng? A a