Đang tải... (xem toàn văn)
Theo ch ươ ng trình nâng cao.. Theo ch ươ ng trình nâng cao.[r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn
http://toanhocmuonmau.violet.vn
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIÁNG
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011-2012
Mơn: Tốn lớp 11 Thời gian làm bài: 90 phút Phần chung (8 ñiểm)
Câu I (2 điểm) Tính giới hạn sau:
2
2 lim
3 2
x
x x
→
− − −
2 ( )
1
lim
x→ x + x+
Câu II (2 ñiểm) Cho hàm số y= +x3 3x2+4 1( ) Giải bất phương trình 'y ≤0
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết hệ số góc tiếp tuyến
Câu III (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD); H hình chiếu vng góc A lên SD, SA = a
1 Chứng minh CD vuông góc với mặt phẳng (SAD) Chứng minh AH vng góc với SC
3 Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD)
Câu IV (1 ñiểm ) Cho tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c nửa chu vi p (p<3) Chứng minh phương trình sau có nghiệm thuộc (0; 1):
3 1 1 1
2
x x
p a p b p c a b c
− + + + + + − =
− − −
Phần riêng (2 điểm): Thí sinh chỉđược làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình chuẩn
Câu Va (2 điểm ) Cho hàm số y = x.sinx Tính ñạo hàm hàm số
2 Chứng minh '' 'x y − y +x y = −2 sinx
B Theo chương trình nâng cao Câu Vb Theo chương trình nâng cao
Câu Vb (2 ñiểm ) Cho hàm số y= −x3 3mx2+3(m+2)x+5
1 Tìm m để x = nghiệm phương trình y’ =
2 Tìm m để y’ = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 – 2x2 =
(2)http://toanhocmuonmau.violet.vn
http://toanhocmuonmau.violet.vn
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ NĂM HỌC 2011-2012
MƠN TỐN, LỚP 11
Chú ý : Dưới ñây sơ lược bước giải cách cho ñiểm phần Bài làm của học sinh yêu cầu tiết, lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác chấm cho ñiểm phần tương ứng
Câu Hướng dẫn giải Điểm
1 (1ñ)
( )( )
x x x
x 3x 2
x 3x 2
lim lim lim
3x 3
3x 2
→ → →
− − +
− = = − + =
− − −
1,0 I
(2ñ)
2 (1ñ)
( )
x
lim 2x 4x
→ + + = 1,0
1 (1ñ) TXĐ :ℝ
2
y '=3x +6x 0,25
2
y '≤ ⇔0 x +2x≤0 0,25
2 x
⇔ − ≤ ≤ 0,25
KL 0,25
2 (1ñ)
Gọi (x ; y0 0)là tiếp ñiểm
0,25
Tìm x0 =1 x0 = −3 0,25
Với x0 =1 y0 =8, viết phương trình tiếp tuyến: y=9x 1− 0,25 II
(2ñ)
Với x0 = −3 y0 =4, viết phương trình tiếp tuyến: y=9x+31 0,25 1.(1đ)
H
D
B
A
C S
K
SA⊥(ABCD)⇒SA⊥CD(1) 0,25
ABCD hình vng ⇒CD⊥AD(2) 0,25
III (3ñ)
(3)http://toanhocmuonmau.violet.vn
http://toanhocmuonmau.violet.vn (1đ)
Theo phần a) ta có CD⊥(SAD), mà AH⊂(SAD)⇒CD⊥AH(3) 0,25
Theo giả thiết AH⊥SD(4) 0,25
Từ (3) (4) ta có AH⊥(SCD) ,25
AH SC
⇒ ⊥ 0,25
3 (1ñ)
Ta có SA BD SC BD(5)
AC BD
⊥
⇒ ⊥
⊥
Kẻ BK⊥SC K (6)
Từ (5) (6) ta có DK⊥SC (7)
0 ,25
Từ (6) (7) ta có ((SBC , SCD) ( ))=(BK, DK) 0,25 BD=SD=a
Ta có tam giác SCD vng D, có DK đường cao
2 2 2
1 1 1 a
DK
DK SD CD 2a a 2a
⇒ = + = + = ⇒ =
Tương tự BK a =
0 ,25
Theo định lí cơsin tam giác BDK ta có
BK2 DK2 BD2 (( ) ( ))
cosBKD BKD 120 SBC , SCD 60
2.BK.DK
+ −
= = − ⇒ = °⇒ = ° 0,25
1 (1ñ)
Xét hàm số f (x) x3 1 x 1
p a p b p c a b c
= − + + + + + −
− − −
ℝ
Ta có f(x) liên tục ℝ 1
f (0) 2
a b c
= + + −
1 1 1
f (1)
p a p b p c a b c
= − − + − + − + + + −
0,25
Do p < nên 2 f (0) a + + > >b c p
⇒ > 0,25
Chứng minh : 1 1
p a p b p c a b c
+ + ≥ + +
− − − (*)
Thật : theo cosi cho hai số dương ta có :
( )( )
1 4
p a− +p b− ≥ p a− p b− ≥ p a− + −p b = c Tương tự ta có : 1
p−b+p c− ≥a ;
1
p c− +p a− ≥b Từđó (*) chứng minh ( dấu xảy a=b=c)
0,25 IV
(1ñ)
Từ (*) ta có f (1)<0
Vậy : f (0).f (1)<0⇒ phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng (0 ;1) 0,25 Va
(2ñ)
1 (1ñ) TXĐ:ℝ
y '=x '.sin x+x.(sin x) '
(4)http://toanhocmuonmau.violet.vn
http://toanhocmuonmau.violet.vn sin x x.cos x
= + 0,25
KL 0,25
2.(1ñ)
( ) ( )
y ''= sin x '+ x cos x ' 0,25
=cos x+cos x−x sin x=2 cos x−x sin x 0,25
Ta có: x.y '' 2y ' x.y− + =x cos x( −x sin x) (−2 sin x+x cos x)+x.x sin x= −2sin x 0,25
KL… 0,25
1.( 1ñ ) TXĐ:ℝ
( )
2
y '=3x −6mx+3 m+2
0,25
x=2 nghiệm phương trình y’=0 y’(2)=0⇔ =m
0,5
KL… 0,25
2.(1ñ)
y’ = có hai nghiệm phân biệt ⇔x2−2mx+ + =m 0có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ > 0,25
2 m
m m (*)
m
> ⇔ − − > ⇔ < −
0,25
Theo vi-et ta có
1
x x 2m (1) x x m (2)
+ =
= +
GT x1−2x2 =3 (3)
Giải (1) (3) ta ñược:x1 4m 3, x2 2m
3
+ −
= =
Thay vào (2) ta ñược
m 3(tm)
8m 15m 27 9
m (tm)
8 = − − = ⇔
= −
0,25 Vb
(2ñ)
KL… 0,25