Một số vấn đề trong bài toán của zelmanowitz

GVHD: TS Trương Cơng Quỳnh Bài tốn Zelmanowitz Mục lục Trang Mục lục Danh mục kí hiệu Mở đầu Chương 1: Các kiến thức Chương 2: Bài toán Zelmanowitz 10 Kết luận 19 Tài liệu tham khảo 20 SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang Bài toán Zelmanowitz GVHD: TS Trương Cơng Quỳnh Danh mục kí hiệu N  M : N môđun M N e M : N môđun cốt yếu M  bao M-nội xạ N   M  N Lớp C gồm vành cho với môđun M R-môđun phải nguyên tố với phần tử x, y  M , x  0, y  rR  x   rR  y  SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang Bài tốn Zelmanowitz GVHD: TS Trương Cơng Quỳnh Mở đầu Cùng với phát triển mạnh mẽ tốn học đại, lý thuyết mơđun nhận nhiều quan tâm từ nhà toán học ngày nhận nhiều kết xuất sắc, điều tạo điều kiện để lý thuyết môđun phát triển mạnh mẽ Zelmanowitz nhà tốn học có đóng góp to lớn cho phát triển lĩnh vực toán học Ơng đưa tốn mà ông chưa thể chứng minh điều hay không? “Một môđun co rút cho tự đồng cấu khác khơng đơn cấu có phải môđun co rút tới hạn?” Thông qua việc sử dụng số kiến thức lý thuyết vành lý thuyết mơđun, chúng tơi xem xét tốn Zelmanowitz số trường hợp đặc biệt Nội dung luận văn gồm chương ngồi phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo: Chương 1: Các kiến thức Trong chương nhắc lại khái niệm để phục vụ cho chương sau Chương 2: Bài tốn Zelmanowitz Trong chương chúng tơi xem xét toán Zelmanowitz số trường hợp đặc biệt * Trước tiên, xem xét lại tốn Zelmanowitz: Một R-mơđun M co với End(M) miền có phải mơđun dạng nhiều? Đồng thời phần cho thấy toán Zelmanowitz trả lời khẳng định lớp mơđun khơng suy biến Vì toán khác đặt ra: Với giả thiết Zelmanowitz với M môđun suy biến co rút tới hạn sao? Chúng ta chưa thể trả lời câu hỏi tin khơng SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang Bài toán Zelmanowitz GVHD: TS Trương Công Quỳnh * Phần tiếp theo, xem xét toán Zelmanowitz trường hợp M môđun tựa nội xạ thấy M mơđun tựa nội xạ tốn Zelmanowitz trả lời * Cuối cùng, thấy tốn Zelmanowitz có câu trả lời khẳng định cho môđun vành C Hơn phần thấy M môđun co thỏa mãn tính chất (*) tự đồng cấu khác không M đơn cấu tốn Zelmanowitz trả lời (*) 0  K  M , rR  M K   rR  M  , nghĩa tồn r  R r R (M ) cho Mr  K SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang GVHD: TS Trương Cơng Quỳnh Bài tốn Zelmanowitz CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong toàn luận văn, ta qui ước vành R cho vành có đơn vị khác khơng khơng cần thiết giao hoán Định nghĩa 1.1 Vành R gọi miền (khơng giao hốn) R khơng có ước không Định nghĩa 1.2 Cho R vành Một R-môđun phải M là: (1) Nhóm cộng aben M với (2) Ánh xạ M R  M  m, r   mr gọi phép nhân môđun, thoả mãn điều kiện sau: (i) Qui tắc kết hợp :  mr1  r2  m  r1r2  (ii) Qui tắc phân phối:  m1  m2  r  m1r  m2r m  r1  r2   mr1  mr2 (iii) Qui tắc unita: m.1  m , m, m1, m2 phần tử tuỳ ý M ; r1 , r2 R SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang Bài toán Zelmanowitz GVHD: TS Trương Cơng Quỳnh Lúc R gọi vành sở Nếu M R-môđun phải ta thường kí hiệu M  M R Tương tự ta có định nghĩa R-mơđun trái Định nghĩa 1.3 Cho môđun M N  M Môđun N gọi cốt yếu M với môđun K khác không M ta ln có N  K  Kí hiệu N e M Nếu N môđun cốt yếu M ta nói M mở rộng cốt yếu N Định nghĩa 1.4 Một R-môđun M gọi (uniform) môđun M môđun cốt yếu M Định nghĩa 1.5 Một R-môđun M gọi co (retractable) với môđun N khác không M tồn đồng cấu g : M  N, g  Định nghĩa 1.6 Một R-môđun M gọi co đầy đủ (fully retractable) với môđun N khác không M phần tử g  HomR  N , M  , g  0, có gHomR  M , N   Định nghĩa 1.7 Một R-môđun M gọi co rút (compressible) với môđun N khác không M tồn đơn cấu f : M  N, f  Định nghĩa 1.8 Một R-môđun M gọi co rút tới hạn (critically compressible) M môđun co rút M không nhúng môđun thương M N , với N  M Định nghĩa 1.9 Một R-môđun N  M , N  gọi dày đặt (dense) M HomR  X N , M   0, với N  X  M Định nghĩa 1.10 Một R-môđun M gọi dạng đơn (monoform) môđun M dày đặt M SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang Bài toán Zelmanowitz GVHD: TS Trương Công Quỳnh Định nghĩa 1.11 Một R- môđun M gọi dạng nhiều (polyform) môđun cốt yếu M dày đặt M Định lý Cho M R-môđun phải Khi điều kiện sau tương đương: (i) M môđun dạng nhiều Với môđun K  M với đồng cấu f : K  M , f  ker(f) không cốt yếu K (ii) Định nghĩa 1.12 Một tự đồng cấu riêng (partial endomorphism) môđun M đồng cấu từ môđun M vào M Định nghĩa 1.13 Vành R gọi vành đối ngẫu trái (phải) (left (right) duo ring) với iđêan trái (phải) R iđêan R Định nghĩa 1.14 Môđun M gọi nội xạ (injective) với đơn cấu f : K  N đồng cấu g : K  M tồn đồng cấu f : N  M cho f f  g Định nghĩa 1.15 Môđun M gọi tựa nội xạ (quasiinjective) với đơn cấu f : K  M , đồng cấu g : K  M tồn tự đồng cấu f : M  M cho f f  g SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang Bài toán Zelmanowitz GVHD: TS Trương Công Quỳnh Định nghĩa 1.16 Môđun E gọi bao nội xạ môđun M E mơđun nội xạ E cốt yếu M Kí hiệu E(M ) Định nghĩa 1.17 Cho M R-môđun phải U  M ,U  Kí hiệu rR (U )  x  R / mx  0, m U  Khi rR (U ) gọi linh hoán tử U R Trường hợp U  m , ta kí hiệu rR (m)   x  R / mx  0 Định nghĩa 1.18 Cho M R-môđun phải Xét : Z (M )  {m  M / rR (m) e R} Z(M) gọi môđun suy biến M Nếu Z (M )  M M gọi mơđun suy biến (singular) Nếu Z (M )  M gọi môđun không suy biến (nonsingular) SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang Bài toán Zelmanowitz GVHD: TS Trương Công Quỳnh Vành R gọi không suy biến phải môđun RR môđun không suy biến Định nghĩa 1.19 Môđun M gọi môđun nguyên tố (prime module), với môđun N khác không M rR ( N )  rR (M ) SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang GVHD: TS Trương Cơng Quỳnh Bài tốn Zelmanowitz CHƯƠNG 2: BÀI TỐN CỦA ZELMANOWITZ 1: Xây dựng lại tốn Zelmanowitz: Mệnh đề 1.1 Các điều kiện sau tương đương với môđun M co rút: (i) (ii) M môđun co rút tới hạn Mỗi tự đồng cấu riêng khác không M đơn cấu Chứng minh (i)=>(ii): Với N  M  f : N  M đồng cầu, ta chứng minh f đơn cấu Theo định lý đồng cấu tồn đẳng cấu: f ' : N ker( f )  f ( N ) Mặt khác tồn đơn cấu g : M  f ( N ), g  (vì M mơđun co rút) Vậy N '1 g f N f '1 g : M   f ( N )  ker( f ) ker( f )  M ker( f ) đơn cấu Mặt khác nên f '1g : M  M ker( f ) đơn cấu suy ker( f )  (vì ker( f )  M M môđun co rút tới hạn) Vậy f đơn cấu (ii)=>(i) : Giả sử M môđun co rút tới hạn Suy tồn đơn cấu h : M  M N , h  , với N  M Gọi T môđun 1  h T N   M tự đồng M cho N  T  M , ta có hợp thành T  cấu riêng M đơn cấu (theo giả thiết), với  phép chiếu tắc Ta có : ker(h1 )  x  T / h1   x        x  T /   x   N   x T / x  N  N SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang 10 GVHD: TS Trương Cơng Quỳnh Bài tốn Zelmanowitz  x T / x  N  N  Điều vô lý h1 đơn cấu Mệnh đề 1.2 Giả sử M R-môđun co Nếu f  End (M ), f  đơn cấu, phần tử khác khơng HomR (M , N ) đơn cấu, với N  M Hiển nhiên, M môđun co rút Chứng minh Vì N  M nên với f  HomR (M , N ), f  ta suy f  End (M ), f  f đơn cấu (theo giả thiết) Cho N  M , N  Vì M co nên tồn đồng cấu g : M  N , g i g  Xét phép nhúng tắc i : N  M , ta có ig : M   N   M đơn cấu, ig  End (M ) hiển nhiên g đơn cấu Vậy M mơđun co rút Vì tự đồng cấu M tự đồng cấu riêng M nên Mệnh đề 1.1 mở rộng với môđun co Mệnh đề 1.3 Với M R-môđun co Các điều kiện sau tương đương: (i) (ii) M môđun co rút tới hạn Mọi tự đồng cấu riêng khác không M đơn cấu Chứng minh Tương tự chứng minh Mệnh đề 1.1 Định lý 1.4 Cho M R- môđun Các điều kiện sau tương đương : (i) M môđun co rút tự đồng cấu khác không M đơn cấu SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang 11 Bài toán Zelmanowitz GVHD: TS Trương Công Quỳnh (ii) M môđun co rút End (M ) miền (iii) M môđun co tự đồng cấu khác không M đơn cấu (iv) M môđun co End (M ) miền Chứng minh (i)=>(ii) : f , g  End (M ); f  0; g  chứng minh fg  Thật giả sử fg  Với x  M ta có f  g  x    g ( x)  (vì f đơn cấu theo giả thiết) Suy x  (vì g đơn cấu theo giả thiết), điều vô lý suy fg  Vậy End (M ) miền (ii)=>(iv) : Vì M mơđun co rút nên M môđun co (iv)=>(iii): Chúng ta cần chứng minh với f  End (M ), f  f đơn cấu Thật vậy, giả sử tồn f  End (M ), f  f đơn cấu Suy ker( f )  0; ker( f )  M Xét g : M  ker( f ), g  g  End (M ) Mặt khác, ta có x  M , f  g  x    0, vơ lý End(M) miền (iii)=>(i): Theo Mệnh đề 1.2 Mệnh đề 1.5 Với M môđun co cho End(M) miền Khi M mơđun co rút tới hạn M môđun dạng nhiều Chứng minh Ta chứng minh M môđun dạng nhiều M mơđun co rút tới hạn Giả sử M môđun co rút tới hạn Theo Mệnh đề 1.3, tồn đồng cấu f : N  M , f  với  N  M f đơn cấu Theo giả thuyết M môđun  ker( f )  M nên ker( f ) e M suy ker( f ) e N , điều vơ lý M mơđun dạng nhiều Vậy M môđun co rút tới hạn SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang 12 Bài toán Zelmanowitz GVHD: TS Trương Công Quỳnh Ta chứng minh M mơđun co rút tới hạn M mơđun dạng nhiều Giả sử M môđun dạng nhiều tồn mơđun khác khơng K  M tồn đồng cấu f : K  M , f  cho ker( f ) e K Do ker( f )  hay f đơn cấu, điều vô lý theo Mệnh đề 1.3 M mơđun co rút tới hạn nên tự đồng cấu riêng khác không M đơn cấu Bài toán Zelmanowitz Một R-môđun M co với End(M) miền có phải mơđun dạng nhiều? Ở trả lời câu hỏi Christian Lomp việc mở rộng câu hỏi Zelmanowitz: “Mỗi môđun co rút với vành tự đồng cấu miền có phải mơđun dạng đơn?” Chú ý theo Định lí 1.4 câu hỏi Lomp tương đương với câu hỏi Zelmanowitz Mệnh đề 1.6 Cho M R-môđun co Nếu M mơđun khơng suy biến, M môđun co rút tới hạn Chứng minh: Từ Mệnh đề 1.3 ta chứng minh M mơđun dạng đơn Cho N môđun khác không M, P môđun M cho N  P  M Chúng ta thấy P N R-môđun suy biến M mơđun hiển nhiên Hom  P N , M   Trong 7 tác giả chứng minh M mơđun co rút M mơđun suy biến M môđun không suy biến Bởi Mệnh đề 1.6 toán Zelmanowitz trả lời khẳng định lớp mơđun khơng suy biến Vì toán khác đặt ra: Với giả SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang 13 Bài toán Zelmanowitz GVHD: TS Trương Công Quỳnh thiết Zelmanowitz với M mơđun suy biến co rút tới hạn sao? Chúng ta chưa thể trả lời câu hỏi tin khơng Bài tốn Zelmanowitz môđun co đầy đủ Định nghĩa 2.1 Một môđun M gọi môđun co đầy đủ với môđun khác không N  M phần tử g  HomR ( N, M ), g  có gHomR (M , N )  Rõ ràng M mơđun co đầy đủ M mơđun co Một R-môđun M khác không gọi nửa đơn môđun M hạng tử trực tiếp M Rõ ràng môđun nửa đơn co đầy đủ điều ngược lại không Thực Z Zmôđun co đầy đủ môđun nửa đơn Mệnh đề 2.2 Nếu M môđun co đầy đủ cho End(M) miền M mơđun dạng nhiều Chứng minh: Giả sử M mơđun dạng nhiều Khi tồn mơđun khác không K M đồng cấu khác không f : K  M cho ker( f ) e K Nhưng có fHomR (M , K )  0, tồn g : M  K , g  cho fg  Ta có M mơđun co End(M) miền Theo Định lý 1.4 tự đồng cấu khác không M đơn cấu, suy fg đơn cấu g đơn cấu Bây giờ, ta có: SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang 14 Bài tốn Zelmanowitz GVHD: TS Trương Cơng Quỳnh x  ker( fg )  f  g  x    g ( x)  ker( f )  x  g 1  ker( f ) Từ suy  ker( fg)  g 1(ker( f ))  ker( f )  Im( g) g đơn cấu Vì ker( f ) e K nên có Im( g)  0, điều vô lý  bao M-nội xạ M *Trong mệnh đề kí hiệu M   M  Mệnh đề 2.3 Với M môđun co cho ), f  đơn cấu M môđun co rút tới hạn f  HomR (M , M  bao M-nội xạ Chứng minh Từ Mệnh đề 1.3 từ giả thiết M M Từ mệnh đề dễ dàng thấy M mơđun tựa nội xạ tốn Zelmanowitz trả lời Mệnh đề 2.4 ChoM môđun co cho End(M) miền Khi điều kiện sau tương đương: (i) M môđun co rút tới hạn (ii) M môđun dạng nhiều (iii) M môđun co đầy đủ Chứng minh (i)  (ii) theo kết Mệnh đề 1.5 (iii)  (ii) theo Mệnh đề 2.2 SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang 15 Bài toán Zelmanowitz GVHD: TS Trương Công Quỳnh Bây chứng minh (ii)  (iii) Vì M mơđun dạng nhiều môđun ta suy M môđun dạng đơn Theo Mệnh đề 1.5 suy M môđun co rút tới hạn Nếu X môđun khác không M g đồng cấu khác khơng từ X vào M g đơn cấu (theo Mệnh đề 1.3) Vì M môđun co được, suy HomR (M , X )  , có gHomR (M , X )  Bây đưa thêm lớp mơđun mà tốn Zelmanowitz trả lời Định lý 2.5 Giả sử M môđun tựa nội xạ thỏa mãn giả thiết Zelmanowitz Khi M mơđun dạng nhiều Chứng minh Chúng ta có M môđun co được, theo ( 8 , Mệnh đề 2.2) cho thấy M môđun co M môđun co đầy đủ Từ Mệnh đề 2.4 có M mơđun dạng nhiều Điều kiện nguyên tố: Trong phần xem lớp C gồm vành cho với môđun M R-môđun phải nguyên tố với phần tử khác không x, y  M ta có rR  x   rR  y  Chúng ta nhắc lại vành R gọi vành đối ngẫu phải (trái) iđêan phải (trái) R iđêan R Rõ ràng vành giao hoán vành đối ngẫu phải (trái) Các kết sau vành đối ngẫu phải (trái) nằm C Bổ đề 3.1 Với R vành đối ngẫu phải RC Chứng minh Giả sử M R môđun nguyên tố Vì M vành đối ngẫu phải, nên ta có với x  M , x  0, rR  x   r  R : xr  0 SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang 16 Bài toán Zelmanowitz GVHD: TS Trương Cơng Quỳnh iđêan R Khi với r  rR ( x) a  rR ( x) , ar  rR ( x) điều chứng tỏ r  rR ( xR) Do rR ( x)  rR ( xR) hiển nhiên rR ( x)  rR ( xR) Vì M mơđun ngun tố nên có rR ( xR)  rR (yR) với phần tử x, y  M ; x  0; y  điều rR ( x)  rR ( xR)  rR ( yR)  rR ( y) Định lý 3.2 Cho RC M R-mơđun co cho End(M) miền Khi M môđun dạng nhiều Chứng minh Trước tiên ý Mệnh đề 1.2, M môđun co rút Dễ dàng thấy M môđun nguyên tố Cho K, L môđun M cho K  L  M K e M Giả sử     Hom L K ; M , ta cần chứng minh   Giả sử tồn l  L cho  (l  K )  Vì lR  nên ánh xạ  : L  L K đơn cấu Do ta có  (l )  K   Vì M mơđun co cho tự đồng cấu khác không M đơn cấu, nên theo Mệnh đề 1.2 suy tồn g    L   L K   M Vì g  , đơn cấu g : M  lR Khi ta xét  : M  nên tồn m  M cho g(m)  tồn r  R cho g(m)  lr  Do r  rR  l   rR  x  với x  M 0 Bổ đề 3.1 Do r( (l  K ))  lr  K Bằng cách ta chứng minh (m)  điều cho thấy  cần đơn cấu giả thiết ta Mặt khác K e M nên ta có g (M )  K   g 1  K   Ker( ) Điều vơ lý Vì phải có   Hệ 3.3 Câu hỏi Zelmanowitz có câu trả lời khẳng định cho môđun vành C SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang 17 Bài toán Zelmanowitz GVHD: TS Trương Công Quỳnh Ở 5,3.13 đưa điều kiện (*) tính chất Rmơđun M , tính chất quan trọng điều kiện nguyên tố Trong trường hợp chúng ta, tính chất (*) đóng vai trị quan trọng cho phép đưa câu trả lời cho toán Zelmanowitz trường hợp khác (*) 0  K  M , rR  M K   rR  M  , nghĩa tồn r  R rR (M ) cho Mr  K Định lý 3.4 Cho M mơđun co thỏa mãn tính chất (*) tự đồng cấu khác không M đơn cấu Khi M mơđun dạng đơn Chứng minh Bởi Mệnh đề 1.2, M môđun co rút mơđun ngun tố Với L môđun khác không M f : L  M cho  MI  ker( f ) cho iđêan phải I R Thì I  f  L   =0 f  L   Điều rõ ràng M môđun nguyên tố Bây ta chứng minh M môđun dạng đơn Cho K, L môđun khác không M cho K  L  M , cần HomR  L K , M   Ngược lại giả sử tồn g : L K  M , g  xét ánh xạ  : L  L K , f  g : L  M khác khơng Vì M thỏa mãn tính chất (*), nên tồn r  R cho  Mr  K  ker( f ) theo f cần khác khơng, điều vơ lý Vậy HomR  L K , M   M môđun dạng đơn Hơn M mơđun định lý trên, M mơđun co rút tới hạn câu hỏi Zemalowitz trả lời trường hợp SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang 18 Bài toán Zelmanowitz GVHD: TS Trương Công Quỳnh KẾT LUẬN Luận văn tìm hiểu tổng quan số kết sau: 1/Thiết lập lại toán Zelmanowitz : Một R-môđun M môđun co cho End(M) miền có phải mơđun dạng nhiều? 2/ Bài toán Zelmanowitz trả lời khẳng định lớp môđun không suy biến 3/ Bài toán Zelmanowitz trả lời khẳng định lớp mơđun tựa nội xạ 4/ Bài tốn Zelmanowitz có câu trả lời khẳng định cho môđun vành C 5/ Nếu M mơđun co thỏa mãn tính chất (*) tự đồng cấu khác không M đơn cấu tốn Zelmanowitz trả lời (*) 0  K  M , rR  M K   rR  M  , nghĩa tồn r  R r R (M ) cho Mr  K SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang 19 GVHD: TS Trương Công Quỳnh Bài toán Zelmanowitz Tài liệu tham khảo: 1 Goodearl, K.R., “Ring Theory – Nonsingular Rings and Modules”, Monographs and extbooks in Pure and Applied Mathematics, 33 (Marcel Dekker, Inc., NewYork – Basel, 1976)  2 Jeong, J-W., “On critically compressible modules”, Master thesis, Kyungpook National University, 1998 3 Limarenko, S.V., “Compressible Mdules”, Moscow Univ Math Bull., vol 60, no.3, pp 26-29, 2005  4 Limarenko, S.V., “Weakly primitive superrings”, J Math Sci., vol 139, no.4, pp 6723-6752, 2006 5 Wisbauer, R., “Modules and Algebras – Bimodule Structure and Group Actions on Algebras”, Pitman Monographs and Surveys in Pure and Appl Math., 81 (Addison- Wesley, Longman, Harlow, 1996) 6 Zelmanowitz, J., “An extension of the Jacobson density theorem”, Bull Amer Math Soc., vol 82, no 4, pp 551-553, 1976 7 Zelmanowitz, J., “ Weakly primitive rings”, Comm Algebra, 9(1), pp 23-45, 1981 8 Zelmanowitz, J., “ Correspondences of closed submodules”, Proc Amer Math Soc., vol 124, no 10, pp 2955-2960, 1996 9 Zelmanowitz, J., “Density for polyform modules”, Contemporary Math 259 (2000), 563-569 SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang 20 Bài toán Zelmanowitz GVHD: TS Trương Cơng Quỳnh [10] Virgínia Silva Rodrigues and Alveri Alves Sant'Ana, "A note on a problem due to Zelmanowitz", Algebra and discrete Mathematics Number (2009) pp 85 - 93 SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang 21 ... SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang GVHD: TS Trương Công Quỳnh Bài tốn Zelmanowitz CHƯƠNG 2: BÀI TỐN CỦA ZELMANOWITZ 1: Xây dựng lại toán Zelmanowitz: Mệnh đề 1.1 Các điều kiện sau tương đương với môđun M... khảo: Chương 1: Các kiến thức Trong chương nhắc lại khái niệm để phục vụ cho chương sau Chương 2: Bài toán Zelmanowitz Trong chương chúng tơi xem xét tốn Zelmanowitz số trường hợp đặc biệt * Trước... hợp SVTH: Bùi Xuân Tâm Trang 18 Bài toán Zelmanowitz GVHD: TS Trương Cơng Quỳnh KẾT LUẬN Luận văn tìm hiểu tổng quan số kết sau: 1/Thiết lập lại tốn Zelmanowitz : Một R-mơđun M môđun co cho End(M)